2024年广东省广州市越秀区华侨外国语学校中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2024年广东省广州市越秀区华侨外国语学校中考数学二模试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的倒数是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4.2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七(1)班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
5.下列运算正确的是( )
A. 2(a−1)=2a−2B. (a+b)2=a2+b2
C. 3a+2a=5a2D. (ab)2=ab2
6.有两辆车按1，2编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是( )
A. 1B. 12C. 14D. 16
7.一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为−2，当y1≥y2时，x的取值范围是( )
A. x≤−2或x≥1B. x≤−2或0C. −2≤x<0或x≥1D. −2≤x<0或09.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D=30°，OD=4，则AC等于( )
A. 6
B. 4
C. 2 3
D. 3
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；
③a+b+c>7．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.4的算术平方根是______．
12.分解因式：5x2−5y2= ______．
13.同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是______．
14.若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是______．
15.如图，圆锥的母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是______°.
16.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=16，点M在直线BC上，连接MA，MD．
(1)当MC=3MB，则MAMD= ______；
(2)当MAMD最大时，BM= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：2sin30°−38+(2−π)0+(−1)2024．
18.(本小题4分)
如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM=CN.求证：DM=BN．
19.(本小题6分)
已知T=(a2+4a−4)÷a2−4a+2．
(1)化简T．
(2)若a为二次函数y=2x2−4x+5的最小值，求此时的T值．
20.(本小题6分)
某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
(1)在统计表中，a= ______，b= ______，c= ______；
(2)若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=34x+32的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于点A(a,3)，与x轴相交于点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
22.(本小题10分)
某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费320元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多4个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少20%．
(1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“飞机”模型的售价为35元，“汽车”模型的售价为25元.设购买“飞机”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C是钝角．
(1)尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出圆O，使其过A、C两点，交AB于点D，连接CD；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，若∠BCD=∠A，tanA=13，BC=9．
①求证：BC是圆O的切线；
②求圆O的半径长．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ax−3a(a是常数)的顶点为P．
(1)直接写出点P的坐标：______(用含a的式子表示)；
(2)若过点Q(0,b)作平行x轴的直线交抛物线于点A，B(A在Q的左边，B在Q的右边)，AQ=4BQ，求b的最小值；
(3)在第(2)问的条件下，将直线AB向上平移与抛物线分别交于A1、B1，与y轴交于Q1，(A1在Q1的左边，B1在Q1的右边)，且A1Q1=nB1Q1，当点P关于直线AB的对称点在直线A1B1的上方时，求n的取值范围．
25.(本小题12分)
如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D、E分别是BC、AC上一点，且BD= 22CE．
(1)如图1，当∠BAD=30°时，求CE的长度．
(2)如图2，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，作FG⊥AD，交AB于点G，求证：BG+CE= 22BC．
(3)连接DE，当DE的长度最小时，求△ADE的面积．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.A
8.C
9.C
10.D
11.2
12.5(x+y)(x−y)
13.40°
14.−3
15.216
16. 6515 3
17.解：原式=2×12−2+1+1
=1−2+1+1
=1．
18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵AM=CN，
∴AB−AM=CD−CN，
即BM=DN，
又∵BM/​/DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴DM=BN．
19.解：(1)T=(a2+4a−4aa)÷a2−4a+2
=(a−2)2a×a+2(a+2)(a−2)
=a−2a；
(2)y=2x2−4x+5=2(x2−2x+1−1)+5=2(x−1)2+3，
所以当x=1是有最小值a=3，
所以原式=3−23=13．
20.5 0.4 15
21.(1)∵一次函数y=34x+32的图象经过点A(a,3)，
∴34a+32=3，
解得：a=2，
∴A(2,3)，
将A(2,3)代入y=kx(x>0)，
得：3=k2，
∴k=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x；
(2)如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y=34x+32中，令y=0，得34x+32=0，
解得：x=−2，
∴B(−2,0)，
∵E(2,0)，
∴BE=2−(−2)=4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB=AD，
∵AE⊥BD，
∴DE=BE=4，
∴D(6,0)，
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
∵A(2,3)，D(6,0)，
∴2m+n=36m+n=0，
解得：m=−34n=92，
∴直线AD的函数表达式为y=−34x+92，
联立方程组：y=6xy=−34x+92，
解得：x1=2y1=3(舍去)，x2=4y2=32，
∴点C的坐标为(4,32).
22.解：(1)设“飞机”模型成本为每个x元，则“汽车”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，
根据题意得：320x=3200.8x−4，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x=16(元)，
答：“飞机”模型成本为每个20元，“汽车”模型成本为每个16元；
(2)①设购买“飞机”模型a个，则购买“汽车”模型(100−a)个，
则w=(35−20)a+(25−16)(100−a)=6a+900，
∴w与a的函数关系式为w=6a+900；
②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，
∴a≤12(100−a)，
解得a≤1003，
∵w=6a+900，6>0，a是正整数，
∴当a=33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“飞机”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
23.(1)解：图形如图所示；

(2)①证明：连接OC．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠A+∠ADC=90°，
∵∠BCD=∠A，
∴∠OCD+∠BCD=90°，
∴∠OCB=90°，即OC⊥BC，
∵OC是半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
②在Rt△ACD中，tanA=CDAC=13，
∵∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽∠BAC，
∴BCAB=BDBC=CDAC=13，
∵BC=9，
∴AB=27，BD=3，
∴AD=AB−BD=27−3=24，
∴OA=12，
∴⊙O的半径为12．
24.(−a2,−a24−3a)
25.(1)解：如图1：过D作DS⊥AB交AB于S，设DS=x，

∵等腰直角三角形ABC，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=30°，
∴AS=DStan30∘= 3x，BS=DS tan45∘=x，BD=DScs45∘= 2x，
∵AS+BS=AB=4，
∴ 3x+x=4，
解得，x=2 3−2，
∴BD=2 6−2 2，
∵BD= 22CE，
∴CE= 2BD=4 3−4，
∴CE=4 3−4；
(2)证明：由题意知，AC=BC⋅cs∠C= 22BC，
∵EF⊥BC，∠C=45°，
∴CE=CFcs45∘= 2CF，∠FEC=45°，
∵CE= 2BD，
∴BD=CF，
如图2，连接AF，

∵BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，AB=AC，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，
设∠BAD=∠CAF=α，则∠DAF=90°−2α，∠BAF=90°−α，
∠ADF=∠AFD=∠C+∠CAF=45°+α，∠AFE=∠FEC−∠CAF=45°−α，
∠AGH=90°−∠BAD=90°−α，
∴∠AFH=90°−∠DAF=2α，
∴∠BFG=∠AFD−∠AFH=45°−α=∠AFE，
∵∠BAE+∠BFE=180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
如图2，作ABFE的外接圆，延长FG交ABFE的外接圆于M，连接BM，
∵∠BFG=∠AFE，
∴BM=AE，
∵BF=BF，
∴∠BMF=∠BAF=90°−α，
∵∠BGM=∠AGH=90°−α，
∴∠BMF=∠BGM，
∴BG=BM=AE，
∴BG+CE=AE+CE=AC= 22BC，
∴BG+CE= 22BC；
(3)解：如图3，连接DE，作AN⊥BC于N，
由题意知，AN=AB⋅sin45°=2 2，BC=ABcs45∘=4 2，
由(2)可知，BD=CF，
设BD=CF=a，则EF=a，CD=4 2−a，DF=4 2−2a，
由勾股定理得，DE2=DF2+EF2=(4 2−2a)+a2=5a2−16 2a+32，
∵5>0，
当a=−−16 22×5=8 25时，DE2最小，即DE最小，
∵S△ADE=S△ABC−S△ABD−S△CDE=12×4×4−12×a×2 2−12×(4 2−a)×a=8−3 2a+a22，
∴DE最小时，S△ADE=8−3 2a+a22=8−3 2×8 25+12×(8 25)2=2425，
∴当DE的长度最小时，△ADE的面积为2425． 分段
成绩范围
频数
频率
A
90～100
a
m
B
80～89
20
b
C
70～79
c
0.3
D
70分以下
10
n