2023-2024学年重庆市渝西南七校联考高二下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆市渝西南七校联考高二下学期期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|1<3x≤9}，B={x∈Z|x≥1}，则A∩B=( )
A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}
2.树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例3:2，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )
A. 8人 168cmB. 8人 170cmC. 12人 168cmD. 12人 170cm
3.“x>y”成立的一个充分条件可以是( )
A. 2x−y>12B. x2>y2C. xt2>yt2D. xy>1
4.有3名男生、4名女生站成一排，则这3名男生互不相邻的站法共有( )种
A. 840B. 1020C. 1440D. 1920
5.已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
6.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过6次传球后，球恰好在甲手中的概率为( )
A. 516B. 3196C. 1132D. 1748
7.设m>0，不等式x2lnx−memx≥0在[e,+∞)上恒成立，则m的最大值为( )
A. 1eB. eC. 2eD. e2
8.已知数列{an}共有9项，其中a1=a9=1，且对每个i∈{1,2,⋯,8}，都有ai+1ai∈{2,1,−12}，则满足上述条件的数列一共有( )个。
A. 461B. 471C. 481D. 491
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 若随机变量X~B(5,12),则D(X)=54
B. 若随机变量X~N(5,σ2),且P(3≤X≤5)=0.3,则P(X≥7)=0.2
C. 若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品,记取得的次品数为随机变量X,无论是有放回的抽取还是无放回的抽取,D(X)相等
D. 从2,4,5,7,9,11,13,15,17,19中任取一个数,这个数比a大的概率为25,若a恰为以上数据的第m百分位数,则m的值可能是60
10.袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片.A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则( )
A. P(A∪B)=1B. P(B∪C)=1325C. A与B相互独立D. P(C|B)=15
11.设(1−2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn，x∈R，n∈N∗，则下列结论中正确的是( )
A. −a12+a222−a123+⋯+(−1)nan2n=2n−1
B. 若|a8|>|a7|，|a8|>|a9|，则n=11
C. 当x=−12000，n=2024时，(1−2x)n>5
D. 当n≥3时，2a2+6a3+⋯+n(n−1)an=4n(n−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为(−1,3)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为 ．
13.2024年5月15日至17日“一节一赛”水上运动大赛在重庆彭水举行，甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者承担调度服务、安检服务、驾驶服务3个项目志愿服务，每名志愿者需承担1项工作，每项工作至少需要1名志愿者，甲不承担驾驶服务，则不同的安排方法有 种.(用数字作答)
14.已知函数f(x)=ax+xlnx的图像在x=e(其中e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.若k∈Z，且k1恒成立，则k的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax+b．
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)的图象是曲线C，直线y=kx+1与曲线C相切于点(2,3).求函数g(x)=f(x)−x−1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
16.(本小题12分)
某从业者绘制了他在26岁∼35岁(2014年∼2023年)之间各年的月平均收入(单位：千元)的散点图：
(1)由散点图知，可用经验回归方程y=blnx+a拟合月平均收入y与年龄代码x的关系，试根据附注中提供的有关数据求出所选经验回归方程;
(2)若把月收入不低于2万元称为“高收入者”.试利用(1)的结果，估计他36岁时能否称为“高收入者”?
给定以下列联表的数据，依据α=0.05的独立性检验，能否认为年龄高于35岁与成为高收入者有关系?
附注：
①参考数据：i=110xi=55，i=110yi=155.5，i=110(xi−x)2=82.5，i=110(xi−x)(yi−y)=94.9，i=110ti=15.1，i=110(ti−t)2=4.84，i=110(ti−t)(yi−y)=24.2，其中ti=lnxi，取ln11=2.4，ln36=3.6
②参考公式：经验回归直线y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx;
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d
17.(本小题12分)
已知集合A={x|2x−2x+1<1}，集合B={x|x2+x+a−a2<0}．
(1)若存在x0∈A，使得B≠⌀，求a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望．
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望．
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择?请写出你的选择及简要理由．
19.(本小题12分)
给出以下三个材料：
①若函数f(x)的导数为f′(x)，f′(x)的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f″(x).类似地，二阶导数f′′(x)的导数叫做f(x)的三阶导数，记作f(3)(x)，三阶导数f(3)(x)的导数叫做f(x)的四阶导数⋯，一般地，n−1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，即f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′，n≥4;
②若n∈N∗，定义n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1;
③若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有n阶的导数，那么对于∀x∈(a,b)有g(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+⋯+f(n)(x0)n！(x−x0)n，我们将g(x)称为函数f(x)在点x=x0处的n阶泰勒展开式.例如，y=ex在点x=0处的n阶泰勒展开式为1+x+12x2+⋯+1n!xn.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若f1(x)=csx，f2(x)=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式分别为g1(x)，g2(x)，求出g1(x)，g2(x);
(2)比较(1)中f1(x)与g1(x)的大小;
(3)证明：ex+sinx+csx≥2+2x．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.ABD
10.BCD
11.AC
12.{x|x<−1或x>13}
13.100
14.3
15.解：(1)f′(x)=3x2+a，
当a≥0时，f′(x)≥0恒成立且不恒为0，所有f(x)在R上单调递增；
当a<0时，令f′(x)>0，解得x<− −a3或者x> −a3，
所以f(x)在(−∞,− −a3)和( −a3+∞)上单调递增，
令f′(x)<0，解得− −a3所以f(x)在(− −a3, −a3)上单调递减，
综上：当a≥0时，f(x)在R上单调递增;
当a<0时，f(x)在(−∞,− −a3)和( −a3+∞)上单调递增，在(− −a3, −a3)上单调递减；
(2)∵函数f(x)的图象是曲线C，直线y=kx+1与曲线C相切于点(2,3)，
∴k=1，a=−11，b=17，即g(x)=x3−12x+16，
∴g′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，
令g′(x)<0，解得−2∴g(x)在[0,2]上单调递减，
故g(x)在[0,2]上的最大值为16，最小值为0．
16.解：(1)令lnx=t，则y=bx+a，
则t−=110i=110ti=110×15.1=1.51，
y−=110i=110yi=110×155.5=15.55；
∴b=i=110(ti−t−)(yi−y−)i=110(ti−t−)2=，
a=y−−bx−=15.55−5×1.51=8，
∴回归方程为y=5t+8=5lnx+8；
(2)把x=11带入y=5lnx+8y=5×2.4+8=20(千元)≥2(万元)，
∴他36岁时能称为“高收入者”，
设H0:年龄高于35岁与成为高收入者没有关系;
计算χ2=100×(40×20−30×10)250×50×70×30≈4.762>3.841，
所以有95%的把握认为年龄与收入有关系．
17.解：(1)∵A={x|2x−2x+1<1}，
∴A={x|−1若存在x0∈A，使得B≠⌀，
只需集合B在(−1,3)内有解，
即a2−a大于y=x2+x在(−1,3)内的最小值，
∵y=x2+x在(−1,−12)上单减，在(−12,3)上单增，
所以y=x2+x在(−1,3)内的最小值为−14，
∴a2−a>−14，解得a≠12，
所以a的范围为(−∞,12)∪(12,+∞)；
(2)由(1)得，A=(−1,3)，B={x|(x+a)(x+1−a)<0}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A是B的真子集，
分类讨论如下：
①−a=a−1，即a=12时，B=⌀，不符题意;
②−a12时，B={x|−a此时−a≤−1a−1≥3(等号不同时成立)，解得，a≥4时，满足A是B的真子集；
③−a>a−1，即a<12时，B={x|a−1此时a−1≤−1−a≥3(等号不同时成立)，解得，a≤−3时，满足A是B的真子集，
综上，a≥4或a≤−3时，满足“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
18.解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为C52+C52C102=49，
因为两次抽奖相互独立，
所以中奖次数X服从二项分布，即X∽B(2,49)，
所以X的所有可能取值为0，1，2，则
P(X=0)=C20⋅(49)0×(59)2=2581，P(X=1)=C21⋅491×591=4081，
P(X=2)=C22⋅(49)2×(59)0=1681，
所以X的分布列为
所以X的数学期望为E(X)=2×49=89;
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则，
P(Y=1)=C52+C52C102⋅C31C51C82+C51C51C102⋅C42+C42C82=1563+1563=3063=1021，
P(Y=2)=C52+C52C102⋅C32+C52C82=1363，
所以Y的分布列为
所以Y的数学期望为E(Y)=1×1021+2×1363=89；
(3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的大，即
1681<1363，第(1)不中奖的概率比第(2)问小，即2581<2063，
若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽．
19.解：(1)∵f1′(x)=−sinx，f1′′(x)=−csx，f1(3)(x)=sinx，
∴f1′(0)=0，f1′′(0)=−1，f1(3)(0)=0，
∴g1(x)=cs0+01!(x−0)+−12!(x−0)2+03!(x−0)3=1−12x2，
同理可得：g2(x)=x−16x3；
(2)由(1)知：f1(x)=csx，g1(x)=1−12x2，
令ℎ(x)=f1(x)−g1(x)=csx−1+12x2，则ℎ′(x)=−sinx+x，
∴ℎ′(x)=1−csx≥0，∴ℎ′(x)在R上单调递增，
又ℎ′(0)=0，∴ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
∴ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即csx≥1−12x2，
故f1(x)≥g1(x)；
(3)令φ(x)=f2(x)−g2(x)=sinx−x+16x3，则φ′(x)=csx−1+12x2，
由(2)知，φ′(x)≥0，所以φ(x)在R上单调递增，
又φ(0)=0，
所以当x<0时，f2(x)当x=0时，f2(x)=g2(x)，sinx=x−16x3;
当x>0时，f2(x)>g2(x)，sinx>x−16x3，
∵y=ex在点x=0处的4阶泰勒展开式为：1+x+12x2+16x3+124x4，
∴ex=1+x+12x2+16x3+124x4≥1+x+12x2+16x3，当且仅当x=0时取等号，
①当x≥0时，sinx≥x−16x3，当且仅当x=0时取等号，
所以ex+sinx+csx≥(1+x+12x2+16x3)+(x−16x3)+(1−12x2)=2+2x，
②当x<0时，设F(x)=ex+sinx+csx−2−2x，F(0)=0，
F′(x)=ex+csx−sinx−2=ex+ 2cs(x+π4)−2，F′′(x)=ex−sinx−csx，
若x∈(−1,0)，由于sinxF 1+x+ \dfrac{1}{2} x^{2} + \dfrac{1}{6} x^{3} + \dfrac{1}{6} x^{3} -x- \cs x" title="latexImg" />，
=1−csx+16x2(3+2x)>0，从而F′(x)若x∈(−∞,−1]，F′(x)=ex+ 2cs(x+π4)−2<1e+ 2−2<12+ 2−2<0，
所以，x<0时，F(x)单调递减，从而F(x)>F(0)=0，即ex+sinx+csx>2+2x．
综上：ex+sinx+csx≥2+2x． 为高收入者
不为高收入者
高于35岁
40
10
不高于35岁
30
20
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
高收入者
不高收入者
合计
高于35岁
40
10
50
不高于35岁
30
20
50
合计
70
30
100
X
0
1
2
P
2581
4081
1681
Y
0
1
2
P
2063
1021
1363