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2023-2024学年新疆乌鲁木齐十九中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐十九中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=1−i3−i的共轭复数的模是( )
A. 15B. 55C. 2 55D. 25
2.下列说法正确的是( )
A. 若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
B. 若a⊥b，b⊥α，则a//α
C. 若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°
D. 若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l//平面α
3.如图是一个圆台的侧面展开图，已知BA=12，BD=6且∠ABC=120°，则该圆台的体积为( )
A. 112 2π
B. 7 23π
C. 28 23π
D. 112 23π
4.已知m是直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的命题是( )
A. 若m//β，α//β，则m//αB. 若m⊥β，α⊥β，则m//α
C. 若m//β，α⊥β，则m⊥αD. 若m//β，m⊥α，则α⊥β
5.一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在的棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. 3B. 2C. 3 32D. 6
6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，则异面直线AC，A1D的夹角余弦值为( )
A. 1010B. 45C. 23D. 66
7.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30和45°，且A，B两点间的距离为20m，则这颗银杏树的高度为( )
A. 5( 3+1)m
B. 10( 3+1)m
C. 5( 3−1)m
D. 10( 3−1)m
8.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PC= 3，PB= 2，则此三棱锥外接球的体积为( )
A. 8 23πB. 64 23πC. 8πD. 32π3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 设z=a+bi(a,b∈R)则z是纯虚数的充要条件是a=0
B. 复数z与z−在复平面中对应的点分别在x轴上方和下方
C. 设复数z1与z2满足z1>z2>0，则z12>z22
D. 若复数z1与z2满足|z1|=|z2|，则z1=±z2
10.下列说法错误的是( )
A. 已知向量a=(2,3),b=(x,2)，则“a,b的夹角为锐角”是“x>−3”的充要条件
B. 已知向量a=(1, 3),b=(csθ,sinθ)，若a⊥b，则tanθ= 33
C. 若向量a=(−4,3),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量坐标为(12,32)
D. 在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC为等边三角形
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a2+b2B. 若A=75°，b=4，c=3，则△ABC有两解
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
12.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线DD1与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为92
D. 点A1和点D到平面AEF的距离不相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则△ABC的面积为______．
14.已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1−4e2，b=ke1+2e2，若a与b共线，则k= ______．
15.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 ．
16.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a− 3c)csB= 3bcsC．
(1)求B；
(2)BC=2 3,D为边AB上一点，BD=1,∠ACD=π2，求AC长．
18.(本小题12分)
某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(1)求出m的值；
(2)求样本质量指标值的平均数，众数；
(3)求样本质量指标值的第75百分位数．
19.(本小题12分)
已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60°，点E是线段BC的中点．
(1)求AB⋅AD的值；
(2)若AF=AE+λAD，且BD⊥AF，求λ的值．
20.(本小题17分)
《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥C1−ABB1A1)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥C1−ABC).在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，已知AB=3，BC=4，AC=5，若鳖臑C1−ABC的体积等于12，求：
(1)求堑堵ABC−A1B1C1的侧棱长；
(2)求阳马C1−ABB1A1的体积；
(3)求阳马C1−ABB1A1的表面积．
21.(本小题17分)
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，AB=AC=3，BC=2 5，AA1= 7，BB1=2 7，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF//平面A1B1BA；
(2)求证：AE⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.D
6.B
7.B
8.A
9.ABD
10.ABD
11.AD
12.BC
13.6
14.−12
15.2：1
16.1200π
17.解：(1)因为(2a− 3c)csB= 3bcsC，
则由正弦定理得：(2sinA− 3sinC)csB= 3sinBcsC，
⇒2sinAcsB= 3sinCcsB+ 3sinBcsC= 3sin(B+C)= 3sinA，
显然sinA≠0则csB= 32，
又B∈(0,π)，故B=π6；
(2)因为BC=2 3,BD=1,B=π6，
根据余弦定理得：
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅csB=1+12−2×1×2 3× 32=7，∴CD= 7．
所以cs∠BDC=DB2+DC2−BC22DB⋅DC=1+7−122×1× 7=2 77，
所以cs∠ADC=−cs∠BDC=2 77，
所以sin∠ADC= 1−(2 77)2= 217，
所以tan∠ADC= 32，
所以AC=CD⋅tan∠ADC= 7× 32= 212．
18.解：(1)由题意知(0.010+0.015+m+0.035+0.010)×10=1，解得m=0.030；
(2)样本质量指标值的平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5，
显然由图知，频率最高的为[70,80)之间，则样本质量指标值的众数是70+802=75；
(3)前3组的频率之和为(0.010+0.015+0.035)×10=0.60，
前4组的频率之和为0.60+0.030×10=0.90，
故第75百分位数位于第4组，设其为t，
则(t−80)×0.030+0.60=0.75，解得t=85，
即第75百分位数为85．
19.解：(1)以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0),C(6,3 3),E(92,3 32),B(3,0),D(3,3 3)，
则AD=(3,3 3),AB=(3,0)，
所以AB⋅AD=9；
(2)AF=AE+λAD=(92+3λ,32 3+3 3λ)，BD=(0,3 3)，
因为BD⊥AF，
所以BD⋅AF=3 3(32 3+3 3λ)=0，解得λ=−12．
20.解：(1)已知AB=3，BC=4，AC=5，
又ABC−A1B1C1为直棱柱，
设AA1=ℎ，
因为VC1−ABC=12，
所以13⋅12⋅4⋅3⋅ℎ=12，
所以ℎ=6；
(2)VC1−ABB1A1=13⋅3⋅6⋅4=24；
(3)SC1−ABB1A1=S△ABC1+S△B1BC1+S△A1AC1+S△B1B1C1+SB1BAA
=12⋅3⋅2 13+12⋅6⋅4+12⋅5⋅6+12⋅4⋅3+3⋅6
=51+3 13．
21.(1)证明：连接A1B，
在△A1BC中，∵E和F分别是BC和AlC的中点，∴EF//A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA1，
∴EF//平面A1B1BA．
(2)证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，∴BB1⊥平面ABC，
又AE⊂平面ABC，
∴BB1⊥AE，
又∵BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCB1，∴AE⊥平面BCB1；
(3)解：取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE//B1B且NE=12B1B，
∴NE//A1A且NE=A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，
∴A1N//AE，
∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，
在△ABC中，AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM//AA1，BM=AA1，∴A1M//AB且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RtΔA1MB1中，A1B1= B1M2+A1M2=4，
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N=A1NA1B1=12，
因为∠A1B1N∈(0,π2]，
∴∠A1B1N=π6，
即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为π6．
1.复数z=1−i3−i的共轭复数的模是( )
A. 15B. 55C. 2 55D. 25
2.下列说法正确的是( )
A. 若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
B. 若a⊥b，b⊥α，则a//α
C. 若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°
D. 若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l//平面α
3.如图是一个圆台的侧面展开图，已知BA=12，BD=6且∠ABC=120°，则该圆台的体积为( )
A. 112 2π
B. 7 23π
C. 28 23π
D. 112 23π
4.已知m是直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的命题是( )
A. 若m//β，α//β，则m//αB. 若m⊥β，α⊥β，则m//α
C. 若m//β，α⊥β，则m⊥αD. 若m//β，m⊥α，则α⊥β
5.一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在的棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. 3B. 2C. 3 32D. 6
6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，则异面直线AC，A1D的夹角余弦值为( )
A. 1010B. 45C. 23D. 66
7.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30和45°，且A，B两点间的距离为20m，则这颗银杏树的高度为( )
A. 5( 3+1)m
B. 10( 3+1)m
C. 5( 3−1)m
D. 10( 3−1)m
8.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PC= 3，PB= 2，则此三棱锥外接球的体积为( )
A. 8 23πB. 64 23πC. 8πD. 32π3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 设z=a+bi(a,b∈R)则z是纯虚数的充要条件是a=0
B. 复数z与z−在复平面中对应的点分别在x轴上方和下方
C. 设复数z1与z2满足z1>z2>0，则z12>z22
D. 若复数z1与z2满足|z1|=|z2|，则z1=±z2
10.下列说法错误的是( )
A. 已知向量a=(2,3),b=(x,2)，则“a,b的夹角为锐角”是“x>−3”的充要条件
B. 已知向量a=(1, 3),b=(csθ,sinθ)，若a⊥b，则tanθ= 33
C. 若向量a=(−4,3),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量坐标为(12,32)
D. 在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC为等边三角形
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a2+b2
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
12.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线DD1与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为92
D. 点A1和点D到平面AEF的距离不相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则△ABC的面积为______．
14.已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1−4e2，b=ke1+2e2，若a与b共线，则k= ______．
15.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 ．
16.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a− 3c)csB= 3bcsC．
(1)求B；
(2)BC=2 3,D为边AB上一点，BD=1,∠ACD=π2，求AC长．
18.(本小题12分)
某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(1)求出m的值；
(2)求样本质量指标值的平均数，众数；
(3)求样本质量指标值的第75百分位数．
19.(本小题12分)
已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60°，点E是线段BC的中点．
(1)求AB⋅AD的值；
(2)若AF=AE+λAD，且BD⊥AF，求λ的值．
20.(本小题17分)
《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥C1−ABB1A1)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥C1−ABC).在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，已知AB=3，BC=4，AC=5，若鳖臑C1−ABC的体积等于12，求：
(1)求堑堵ABC−A1B1C1的侧棱长；
(2)求阳马C1−ABB1A1的体积；
(3)求阳马C1−ABB1A1的表面积．
21.(本小题17分)
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，AB=AC=3，BC=2 5，AA1= 7，BB1=2 7，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF//平面A1B1BA；
(2)求证：AE⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.D
6.B
7.B
8.A
9.ABD
10.ABD
11.AD
12.BC
13.6
14.−12
15.2：1
16.1200π
17.解：(1)因为(2a− 3c)csB= 3bcsC，
则由正弦定理得：(2sinA− 3sinC)csB= 3sinBcsC，
⇒2sinAcsB= 3sinCcsB+ 3sinBcsC= 3sin(B+C)= 3sinA，
显然sinA≠0则csB= 32，
又B∈(0,π)，故B=π6；
(2)因为BC=2 3,BD=1,B=π6，
根据余弦定理得：
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅csB=1+12−2×1×2 3× 32=7，∴CD= 7．
所以cs∠BDC=DB2+DC2−BC22DB⋅DC=1+7−122×1× 7=2 77，
所以cs∠ADC=−cs∠BDC=2 77，
所以sin∠ADC= 1−(2 77)2= 217，
所以tan∠ADC= 32，
所以AC=CD⋅tan∠ADC= 7× 32= 212．
18.解：(1)由题意知(0.010+0.015+m+0.035+0.010)×10=1，解得m=0.030；
(2)样本质量指标值的平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5，
显然由图知，频率最高的为[70,80)之间，则样本质量指标值的众数是70+802=75；
(3)前3组的频率之和为(0.010+0.015+0.035)×10=0.60，
前4组的频率之和为0.60+0.030×10=0.90，
故第75百分位数位于第4组，设其为t，
则(t−80)×0.030+0.60=0.75，解得t=85，
即第75百分位数为85．
19.解：(1)以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0),C(6,3 3),E(92,3 32),B(3,0),D(3,3 3)，
则AD=(3,3 3),AB=(3,0)，
所以AB⋅AD=9；
(2)AF=AE+λAD=(92+3λ,32 3+3 3λ)，BD=(0,3 3)，
因为BD⊥AF，
所以BD⋅AF=3 3(32 3+3 3λ)=0，解得λ=−12．
20.解：(1)已知AB=3，BC=4，AC=5，
又ABC−A1B1C1为直棱柱，
设AA1=ℎ，
因为VC1−ABC=12，
所以13⋅12⋅4⋅3⋅ℎ=12，
所以ℎ=6；
(2)VC1−ABB1A1=13⋅3⋅6⋅4=24；
(3)SC1−ABB1A1=S△ABC1+S△B1BC1+S△A1AC1+S△B1B1C1+SB1BAA
=12⋅3⋅2 13+12⋅6⋅4+12⋅5⋅6+12⋅4⋅3+3⋅6
=51+3 13．
21.(1)证明：连接A1B，
在△A1BC中，∵E和F分别是BC和AlC的中点，∴EF//A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA1，
∴EF//平面A1B1BA．
(2)证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，∴BB1⊥平面ABC，
又AE⊂平面ABC，
∴BB1⊥AE，
又∵BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCB1，∴AE⊥平面BCB1；
(3)解：取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE//B1B且NE=12B1B，
∴NE//A1A且NE=A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，
∴A1N//AE，
∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，
在△ABC中，AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM//AA1，BM=AA1，∴A1M//AB且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RtΔA1MB1中，A1B1= B1M2+A1M2=4，
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N=A1NA1B1=12，
因为∠A1B1N∈(0,π2]，
∴∠A1B1N=π6，
即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为π6．
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