2023-2024学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b是两个单位向量，则下列结论正确的是( )
A. a=±bB. a/​/bC. a⋅b=0D. a2=b2
2.已知复数z满足(1−i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知圆锥的母线长为2 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 2 2
4.设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若m⊥α，n⊥β，m/​/n，则α⊥β
B. 若α∩β=m，n/​/α，n/​/β，则m/​/n
C. 若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/β
D. 若α⊥β，m/​/α，n/​/β，则m⊥n
5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是( )
A. 众数<中位数<平均数
B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数
D. 中位数<众数<平均数
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是( )
A. 0B. 12C. 3 1010D. 1010
7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标.如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D共线)处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为( )
A. 284mB. 286mC. 288mD. 290m
8.已知△ABC是锐角三角形，若sin2A−sin2B=sinBsinC，则ab的取值范围是( )
A. (0,2)B. ( 2, 3)C. ( 2,2)D. ( 3,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是( )
A. A与D是互斥事件B. B与E是对立事件
C. E=C∪DD. A=C∩E
10.若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是( )
A. |z+w|=|z|+|w|B. |z−w−|=|z−−w−|
C. |z⋅w|=|z|⋅|w|D. |zw|=|z−||w−|
11.如图，一张矩形白纸ABCD，AB=4，AD=4 2，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是( )
A. 当平面ABE/​/平面CDF时，AC/​/平面BFDE
B. 当A，C重合于点P时，PD⊥平面PFM
C. 当A，C重合于点P时，三棱锥P−DEF的外接球的表面积为24π
D. 当A，C重合于点P时，四棱锥P−BFDE的体积为8 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A和事件B相互独立，且P(A)=12，P(B)=34，则P(AB−)= ______．
13.已知向量a=(4,3)，b=(2,4)，则b在a上的投影向量的坐标是______．
14.已知四面体A−BCD中，棱BC，AD所在直线所成的角为60°，且BC=4，AD=3，∠ACD=120°，则四面体A−BCD体积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球.从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到红球”．
(1)求P(A)和P(B)的值；
(2)求两次摸到的不都是红球的概率．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b−c)csA=acsC．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为 3，BC边上的高为1，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩(满分100分)的统计结果按[50,60)，[60,70)，…，[90,100]依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求如图中x的值；
(2)估计参与这次测试学生的成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)和第60百分位数；
(3)现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员.若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5.2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．
18.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AA1=BB1=CC1=1，侧棱BB1与底面ABC所成角的正弦值为 63.若球O与三棱台ABC−A1B1C1内切(即球与棱台各面均相切)．
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求二面角B1−BC−A的正切值；
(3)求四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积和球O的表面积．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=|x−1x|−(x−a)，a∈R．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个不同零点，求实数a的取值范围；
(3)已知点A(x1,2)，B(x2,2)是函数f(x)图象上的两个动点，且满足x2>x1>0，求3x1−x2+a的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.A
6.D
7.C
8.B
9.ABC
10.BCD
11.AC
12.18
13.(165,125)
14.32
15.解：(1)将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果，
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，即A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}，
∴P(A)=820=25．
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即B={(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)}，
∴P(B)=820=25．
(2)事件AB=”两次摸到都是红球“包含2个可难结果，即AB={(1,2)，(2,1)}，
则两次摸到都是红球的概率为P(AB)=220=110，
∴两次摸到的不都是红球的概率为：
P(A−+B−)=1−P(AB)=1−110=910．
16.解：(1)因为(2b−c)csA=acsC，
由正弦定理，得(2sinB−sinC)csA=sinAcsC，
即2sinBcsA=sinAcsC+sinCcsA=sin(A+C)=sinB，
因为在△ABC中，sinB≠0，
所以csA=12．
又因为0(2)因为△ABC的面积为 3，BC边上的高为1，
所以12bcsinA=12a×1= 3，得a=2 3．
即12bc× 32= 3，所以bc=4．
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
即12=b2+c2−bc，化简得(b+c)2=3bc+12，
所以(b+c)2=24，即b+c=2 6，
所以△ABC的周长为a+b+c=2 6+2 3．
17.解：(1)由题意得(x+0.015+0.02+0.03+0.025)×10=1，解得x=0.01．
(2)参与测试学生的成绩平均数为：
u−=10×(55×0.01+65×0.015+75×0.02+85×0.03+95×0.025)=79.5，
第60百分位数为80+0.6−−0.45×10=85．
(3)设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为x3−，x4−，x5−，s32，s42，s52，
且三组的频率之比为4：6：5，
则这三组的平均数为：
x−=115(75×4+85×6+93×5)=85，
∴第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差为：
s2=415[s32+(x3−−x−)2]+615[s42+(x4−−x−)2]+515[s52+(x5−−x−)2]
=415[5+(75−85)2]+615[10+(85−85)2]+515[5.2+(93−85)2]
=82615．
18.解：(1)证明：设A1C1与B1D1、AC与BD分别交点E，F，连接EF，

因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
在等腰梯形A1C1CA中，因为E，F为底边中点，
所以AC⊥EF，又EF与BD相交，
∴AC⊥平面B1D1DB；
(2)由(1)可知平面ABCD⊥平面B1D1DB，又平面ABCD∩平面B1D1DB=BD，
过点B1作B1H⊥BD于H，则B1H⊥平面ABCD，再作HG⊥BC于G，

则由三垂线定理得B1G⊥BC，则∠B1GH是二面角B1−BC−A的平面角，
因为B1H⊥平面ABCD，故∠B1BH是侧棱BB1与底面ABC所成角，
所以sin∠B1BH= 63，
在Rt△B1BH中，B1H=BB1sin∠B1BH= 63，BH=BB1cs∠B1BH= 33，
在Rt△BGH，GH=BHsin30°= 36，
在Rt△B1GH中，tan∠B1GH=B1HGH= 63 36=2 2，
因此二面角B1−BC−A的正切值为2 2；
(3)由题意可知三棱台ABC−A1B1C1为正三棱台，设O1，O2是△A1B1C1和△ABC的中心，
M，N分别是B1C1和BC的中点，故O1O2为内切球的球心O的直径，
不妨设△A1B1C1和△ABC的边长分别是x，y，球O的半径为r，
则2r=O1O2=B1H= 63，
所以球O的表面积为S=4πr2=4π( 66)2=23π，
在Rt△B1GH中，MN=B1G= B1H2+GH2= 32，
由O为内切球可知MN= 36(x+y)，解得x+y=3，
在直角梯形O1O2NM中，MN2=(2r)2+[ 36(y−x)]2=[ 36(x+y)]2，
解得xy=2，
因此x=1，y=2，
因此四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积V=13×ℎ×[S1+ S1⋅S2+S2]=13× 63×[2 3+ 2 3⋅ 32+ 32]=7 26．
19.解：(1)f(x)=|x−1x|−(x−a)=−1x+a,−10−2x+1x+a,x≤−1,0则f(x)的单调递增区间是(−1,0)，(1,+∞)，
单调递减区间是(−∞−1)，(0,1)．
(2)函数f(x)在(−∞,−1)单调递减，在(−1,0)单调递增，
故f(x)在(−∞,0)的最小值为f(−1)=a+1，
同理，f(x)在(0,+∞)的最小值为f(1)=a−1，
且f(x)在(1,+∞)的渐近线为y=a，
函数f(x)有两个零点时需满足f(−1)=a+1=2，
解得：a=−1.或a<0f(−1)=a+1>0f(1)=a−1<0，
解得：0综上所述：a=−1或0(3)由题意得：a>2f(1)=a−1<2，则2且f(x1)=−2x1+1x1+a=2f(x2)=−1x2+a=2，
则a=2x1−1x1+2x2=1a−2，
因为a>2，00，
故0−，又2x1−1x1=a−2∈(0,1)，
所以ℎ(x1)=a+3x1−x2=(2x1−1x1)−12x1−1x1+3x1+2 单调递增，
故ℎ(x1)<ℎ(1)=5.因此3x1−x2+a的取值范围为(−∞,5)．