2023-2024学年山东省部分校高一下学期6月期末联考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省部分校高一下学期6月期末联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若sinθ=−45，tanθ>0，则csθ的值为( )
A. −35B. 35C. −53D. 53
2.已知向量a=(2,1)，b=(−3,4)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A. (625,825)B. (−625,−825)C. (−625,825)D. (625,−825)
3.设a，b是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a/​/b，b⊂α，则a/​/αB. 若a/​/α，b⊂α，则a/​/b
C. 若a/​/b，a/​/α，b⊄α，则b/​/αD. 若a/​/α，b/​/α，则b/​/a
4.已知一组数据：x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数是10，方差是4，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1，2x6+1的方差是( )
A. 16B. 14C. 12D. 11
5.已知函数f(x)=2 2cs(π4+x)cs(π4−x)，要得到函数.g(x)=sin2x−2cs2x+1的图象，只需将f(x)的图象( )
A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移3π8个单位长度
C. 向右平移374个单位长度D. 向左平移3π4个单位长度
6.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC，E，F分别为DC，AB的中点，若AC=xAE+yAF，其中x，y∈R，则x+y的值为( )
A. 12B. 1C. 65D. 85
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a,b)与n=(csA,sinB)平行.若c=2，b= 2，则BC边上的中线AD为( )
A. 1B. 2C. 10D. 102
8.如图，在三棱锥P−ABC中，▵PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=2 2，AB=AC= 6，二面角P−AC−B的大小为120​∘，则三棱锥P−ABC的外接球表面积为( )
A. 5 103πB. 10πC. 9πD. 4+2 3π
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知复数z=a+bi，a，b∈R，则当且仅当a=0时z为纯虚数
B. 已知复数a2−4+(a+2)i(a∈R)为实数，则a=−2
C. 已知复数z=−2i，则|z|=2
D. 已知复数z=−1+2i，则复数z在复平面内对应的点在第四象限
10.如图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是( )
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年D. 2020年销量高于这六年销量的平均值
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点Q，使得C1Q//A1C
B. 存在点Q，使得C1Q⊥A1C
C. 对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为[ 22, 63]
D. 对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b共线，且|a|=2|b|=2，则|a+b|= ______．
13.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为______．
14.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1，f(53π)=0，且f(x)在(π4,5π6)上单调，则ω的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b+c=2asin(C+π6).
(1)求角A；
(2)若△ABC的内切圆面积为π，求△ABC的面积S的最小值．
16.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)试判断直线BD1与平面ACE的位置关系，并说明理由；
(2)若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，求点B到平面AB1C的距离．
17.(本小题12分)
某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如图直方图：

已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．
(1)求n和乙样本直方图中a的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；
(3)若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数．
18.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，∠ACB=90°，BF⊥AD，BC=2，BE=EF=FC=1．
(1)求证：平面BCFE⊥平面ABC；
(2)若直线AE与平面BCFE所成角为π3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值．
(3)当x∈[π6,5π6]时，关于x的不等式af(12x−π6)−f(x+π12)≥4有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.A
5.B
6.C
7.D
8.B
9.BC
10.ABC
11.ABC
12.3或1
13.5π4
14.1817
15.解：(1)b+c=2asin(C+π6)，即sinB+sinC=sinA( 3sinC+csC)，sin(A+C)+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC，
即sinAcsC+csAsinC+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC,csAsinC+sinC= 3sinAsinC，sinC≠0，
故csA+1= 3sinA，sin(A−π6)=12，
又0