2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各对角中终边相同的是( )
A. π2和7π2B. −π3和22π3C. −7π9和11π9D. 20π3和π6
2.对于α∈R，下列等式恒成立的是( )
A. tanπ+α=tan2π−αB. cs3π2−α=sinα
C. cs−α=−csαD. sin3π−α=sinα
3.在▵ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，且2c⋅cs2A2=b+c，则▵ABC的形状为( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
4.已知sinα+π8=23，则cs2α−3π4=( )
A. 23B. −23C. 19D. −19
5.如图，在▵ABC中，AD=2DC，若BA=a，BC=b，则BD=( )
A. a+2bB. a+12bC. 13a+23bD. 23a+13b
6.函数y=csx+π3,x∈−π2,0的值域是( )
A. 12,1B. 32,1C. 12, 32D. − 32,1
7.如图，▵AOB的斜二测画法的直观图是腰长为3 2的等腰直角三角形，y′轴经过A′B′的中点，则AB=( )
A. 6B. 3 6C. 12D. 6 6
8.设a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a//α,b//α，则a/​/b
B. 若a//α,b//α,a⊂β,b⊂β，则β//α
C. 若α//β,a⊂α，则a//β
D. 若α//β,b//α，则b//β
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. e1=0,0，e2=1,−2B. e1=2,−3，e2=12,34
C. e1=3,5，e2=6,10D. e1=−1,2，e2=5,7
10.已知函数f(x)=−2sin(2x+φ)(−π<φ<0)，将函数f(x)图象向右平移π6个单位长度后所得的函数图象过点P(0,2)，则函数f(x)=−2sin(2x+φ)满足( )
A. 7π12,0是f(x)的一个对称中心B. 在区间π6,π3上单调递增
C. x=−π6是f(x)的一条对称轴D. 在区间−5π6,−2π3上单调递减
11.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC一定为直角三角形
D. 若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
12.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是( )
A. E，F，G，H四点共面B. EF // GH
C. EG，FH，AA1三线共点D. ∠EGB1=∠FHC1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=y,−2,b=1,3，若a⊥b，则y= ．
14.已知角α的终边经过点(1,2 2)，则sin(2α+π2)=
15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，tanBcsC=1−sinC，△ABC的面积为2，则△ABC的周长的最小值为 ．
16.已知函数fx=2cs2x−2 3sinxcsx−a，若不等式fx≥0对任意的x∈0,π2都成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：共6小题，共70分。
17.（10分）已知sinθ=45，θ为第二象限角．
(1)求sin2θ的值；
(2)求csθ−π6的值．
18.（12分）已知a=(1,0)，b=(2,1)．
(1)当k为何值时，ka−b与b垂直？
(2)若AB=2a+3b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．
19.（12分）▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcsA=ccsA+acsC．
(1)求A；
(2)若a=4，求▵ABC面积的最大值．
20.（12分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，F为棱D1C1的中点．
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求异面直线EF与AD1所成角的大小．
21.（12分）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
a.教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；
b.在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45∘，到体育馆楼顶C的仰角是30∘；
c.从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15∘；
d.教学楼AB的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．
(2)小李获得了以下信息：
a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
b.大屏幕的高度PQ是2米；
c.当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．
22.（12分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)求证：BD1‖平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC‖平面BFD1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.C
6.A
7.D
8.C
9.BD
10.ACD
11.AC
12.D
13.6
14.−79
15.4+2 2
16.−∞,−1
17.解：(1)∵sinθ=45 ， θ 为第二象限角，
∴csθ=− 1−sin2θ=− 1−452=−35 ，
则 sin2θ=2sinθcsθ=2×45×−35=−2425 ；
(2)cs (θ−π6)=cs θcs π6+sin θsin π6
=−35× 32+45×12=4−3 310．
18.解：(1)
∵a=(1,0)，b=(2,1)，
∴ka−b=(k−2,−1)，
又ka−b与b垂直，得2(k−2)−1=0，即k=52；
(2)
AB=2a+3b=(8,3)，BC=a+mb=(1+2m,m)，
∵A、B、C三点共线，∴AB//BC，
则8m−3(1+2m)=0，解得：m=32．
19.解：(1)根据正弦定理及 2bcsA=ccsA+acsC ，
得 2sinBcsA=sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)=sinB ．
∵ sinB≠0 ，∴ csA=12 ．
∵ 0(2)由(1)知 A=π3 ，又 a=4 ，
由余弦定理得 16=b2+c2−2bccsπ3 ，
即 b2+c2−bc=16 ，
∵ b2+c2≥2bc ，
∴ 2bc−bc≤16 ，即 bc≤16 ，
当且仅当 b=c=4 时取等号．
∴ S△ABC=12bcsinA=12× 32bc≤ 34×16=4 3 ．
∴ S▵ABC 的最大值为 4 3 ．
20.(1)连接B1D1，
∵E为棱B1C1的中点，F为棱D1C1的中点，∴EF//B1D1
∵正方体ABCD−A1B1C1D1,∴BB1=DD1,BB1//DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD//B1D1，
∴BD//EF,BD,EF确定一平面．
∴E、F、B、D四点共面；
(2)由(1)得∴EF//B1D1
∴∠AD1B1或补角为异面直线EF与AD1所成角，
在ΔAD1B1中，AD1=D1B1=B1A,∴∠AD1B1=π3
∴异面直线EF与AD1所成角为π3．
21.解：(1)
由题意知AB=BM=20，AB⊥BM，由勾股定理得AM= AB2+AM2=20 2，
且可知∠AMC=180∘−45∘−30∘=105∘，
∠ACM=15∘+30∘=45∘⇒∠CAM=180∘−105∘−45∘=30∘，
由正弦定理可得20 2sin45∘=MCsin30∘⇒MC=20⇒CD=20sin30∘=10，
则体育馆的高度CD为10米．
(2)
设ND=x，则tan∠PND=4x，tan∠QND=6x，
∴tan∠PNQ=tan(∠QND−∠PND)=tan∠QND−tan∠PND1+tan∠QNDtan∠PND
=6x−4x1+6x⋅4x=2x+24x≤22 24= 612，
当且仅当x=24x⇒x=2 6时，∠PNQ取到最大值，即ND=2 6米时，观看效果最佳．
22.解：(1)
证明：如图，连接BD交AC于O，连接EO．

∵正方体ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD为正方形，AC∩BD=O，
∴O为BD的中点，又∵E为DD1的中点，
∴OE是△DBD1的中位线，∴OE‖BD1，
又∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
∴BD1‖平面AEC．
(2)
当点F为CC1的中点时，即满足平面AEC‖平面BFD1，理由如下：
连接BF，D1F，

∵F为CC1的中点，E为DD1的中点，∴CF‖ED1，CF=ED1，
∴四边形CFD1E为平行四边形，∴D1F‖EC，
又∵EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
∴D1F‖平面AEC．
由(1)知BD1‖平面AEC，
又∵BD1∩D1F=D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，
∴平面AEC‖平面BFD1．