2023-2024学年江西省南昌市高一下学期7月期末调研检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市高一下学期7月期末调研检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(1+2i)2在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知单位向量a，b满足a⋅b=12，则|3a+b|=( )
A. 10B. 3C. 13D. 4
3.已知命题甲：“非零向量a，b，c，若a⋅c=b⋅c，则a=b”;命题乙：“非零复数z1，z2，z3，若z1z3=z2z3，则z1=z2”，则( )
A. 命题甲和命题乙都为真命题B. 命题甲为真命题，命题乙为假命题
C. 命题甲为假命题，命题乙为真命题D. 命题甲和命题乙都为假命题
4.已知直线m，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m/​/α，m/​/β，则α/​/βB. 若m/​/α，m⊥β，则α⊥β
C. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥βD. 若m/​/α，α⊥β，则m⊥β
5.向量AB在向量AC上的投影向量为AC，且|AB−AC|=|AC|=2，则|AB|=( )
A. 2B. 2C. 4D. 2 2
6.已知角α，β的终边与单位圆⊙O的交点分别为P，Q，O为坐标原点，若P(−sinβ,csβ)，则OP⋅OQ=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
7.在△ABC中，若AB=AC，则csA+csB的取值范围为( )
A. (0,98]B. [0,98)C. (0,98)D. [0,98]
8.如图，边长为2的正方形ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，EF是圆O1的直径，点E从B1点出发，沿着圆O1逆时针方向转动一圈，记点E运动的路程为x，三棱锥E−FBA的体积为y，则函数y=f(x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足zi=4−z，则下列结论正确的是( )
A. z的虚部为−2iB. |z|=2 2C. z2为纯虚数D. z=−2+2i
10.已知函数y=f(x)= 3cs(π4x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示，M，N分别是函数图象的最高点和最低点，记∠MON=θ，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的单调递增区间为[3+8k,7+8k]，k∈Z
B. 函数f(x)的对称中心为(1+4k,0)，k∈Z
C. φ=3π4
D. tan(θ−φ)=−2− 3
11.函数f(x)=x−[x]是物理中常见的锯齿波函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复.下列说法正确的有( )
A. [x+1]=[x]+1B. 函数y=2x−[2x]的最小正周期为12
C. 函数y=3x−[3x−1]的值域为[1,2]D. 函数y=x−[−x]为周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=7，C=π3，则△ABC的面积为 ．
14.如图，曲线C1是以O为圆心，半径为1的半圆弧，AB为圆O的直径，现将C1上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的12，横坐标不变，分别得到曲线C2、C3，垂直AB的直线与曲线C1，C2，C3分别相交于P1，P2，P3三个不同的点，则|OP2|⋅|OP3|的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z是关于x的方程x2+4x+5=0的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限．
(1)求z;
(2)若复数z，z2所对应的向量分别为a，b，且(λa+b)⊥(a−b)，求λ的值．
16.(本小题12分)
已知4sinα−3csα=5．
(1)求sinα的值;
(2)求cs2α1+sin2α的值．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PC=3EC，点E在底面ABCD的投影恰好为△BCD的重心F．
(1)求证：EF/​/平面PAB;
(2)求证：PC⊥BD．
18.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为BB1的中点，点M在棱AC上．
(1)若M为AC的中点，求证：平面BMC1⊥平面ACC1A1;
(2)若△AEC1为直角三角形，求tan∠EAB;
(3)若VA−BCC1E=4VA−MC1B，AB=4，求AM．
19.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BF=2FC，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
(1)若BE=λCB+μCA，求λ+μ的值;
(2)若AB=2AE=2 7，∠BAD=2π3，求|MN|;
(3)若BE⊥AF，求cs∠ACB的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.A
7.A
8.D
9.BC
10.ABD
11.AB
12.
13.10 3
14.54
15.解：(1)因为x2+4x+5=0，
所以(x+2)2=−1，
则x1=−2+i或x2=−2−i，
因为复数z在复平面内所对应的点在第二象限，
所以z=−2+i;
(2)因为z=−2+i，所以z=−2−i，z2=3−4i，
所以a=(−2,−1)，b=(3,−4)，
所以λa+b=(−2λ+3,−λ−4)，
a−b=(−5,3)，
因为(λa+b)⊥(a−b)，
所以10λ−15−3λ−12=0，所以λ=277．
16.解：(1)因为4sinα−3csα=5，
则4sinα−5=3csα，
所以16sin2α+25−40sinα=9cs2α，
则25sin2α−40sinα+16=0，
则sinα=45；
(2)因为sinα=45，4sinα−3csα=5，
所以csα=−35，
则tanα=−43，
所以cs2α1+sin2α=cs2α−sin2α(sinα+csα)2=csα−sinαsinα+csα=1−tanαtanα+1=−7．
17.解：(1)如图，连接CF，并延长交BD于点O，
因为点E在底面ABCD的投影恰好为△BCD的重心F，
所以点O为BD的中点，连接AO，
因为底面ABCD为菱形，所以C，F，O，A四点共线，
因为点F为△BCD的重心，所以AC=3CF，
又因为PC=3EC，所以EF/​/PA，
因为EF在平面PAB外，PA在平面PAB内，
所以EF/​/平面PAB;
(2)因为EF⊥平面ABCD，EF/​/PA，
所以PA⊥平面ABCD，
因为BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为PC⊂平面PAC，
所以PC⊥BD．

18.(1)证明：因为正棱柱ABC−A1B1C1，
所以ΔABC为等边三角形，
因为M为AC的中点，所以BM⊥AC，
由题意知AA1⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，
所以AA1⊥BM，
又因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，
所以BM⊥平面ACC1A1，
又因为BM⊂平面BMC1，
所以平面BMC1⊥平面ACC1A1;
(2)解：因为正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为BB1的中点，
所以EA=EC1，
又因为ΔAEC1为直角三角形，
所以∠AEC1=90∘，
即AE⊥EC1，
设AB=a，BE=b，则AE=EC1= a2+b2，
AC1= a2+4b2，
所以a2+b2+a2+b2=a2+4b2，
则a= 2b，
所以tan∠EAB=EBAB=ba= 22;
(3)解：因为AB=4，设BE=b，AM=x，则
VA−BCC1E=13×12×(b+2b)×4×2 3=4 3b，
VA−MC1B=VC1−AMB=13×12×4x× 32×2b=2 33bx，
因为VA−BCC1E=4VA−MC1B，所以x=32，则AM=32．
19.解：(1)因为E为AD的中点，
所以BE=BA+AE=CA−CB−12CB=CA−32CB，
所以λ=−32，μ=1，则λ+μ=−12;
(2)因为AB=2AE=2 7，∠BAD=2π3，
由BE2=AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cs∠BAE，
得到BE2=28+7−2×2 7× 7×(−12)=49，所以BE=7，
因为E为AD的中点，所以AM=−13CA，
因为BF=2FC，所以AN=37AF=−37CA+17CB，
所以NM=AM−AN=221CA−17CB，
又因为BE=CA−32CB，所以NM=221BE，
因为BE=7，所以|NM|=23;
(3)因为BF=2FC，所以AF=AC+CF=−CA+13CB，
因为BE⊥AF，所以BE⋅AF=0，
所以(CA−32CB)⋅(−CA+13CB)=0，
则116CA⋅CB=CA2+12CB2，
所以116|CA|⋅|CB|cs∠ACB=|CA|2+12|CB|2，
所以cs∠ACB=|CA|2+12|CB|216|CA|⋅|CB|≥2×1 2|CA|⋅|CB|116|CA|⋅|CB|=6 211，
当且仅当|CA|= 22|CB|时，cs∠ACB的最小值为6 211．