2024年吉林省长春市经开区洋浦学校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2024年吉林省长春市经开区洋浦学校中考数学一模试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的绝对值是( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约59000000000千克，这个数据用科学记数法表示为( )
A. 0.59×1011千克B. 59×109千克C. 5.9×109千克D. 5.9×1010千克
3.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.不等式6−3x≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D. 两点之间线段最短
6.如图，用三角支架固定空调外机，已知OA⊥AB，∠AOB=α，BO=0.4米，则点O到墙面距离OA为( )
A. 0.4sinα米B. 0.4csα米C. 0.4sinα米D. 0.4csα米
7.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )
A. AF=BF
B. AE=12AC
C. ∠DBF+∠DFB=90°
D. ∠BAF=∠EBC
8.如图，▱AOBC的顶点B在x轴正半轴上，点A与BC的中点D都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，若▱AOBC的面积为12，则k的值为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：a2−2a= ．
10.若关于x的一元二次方程x2+2x−c=0有两个相等的实数根，则c的值为______．
11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 ．
12.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，S△ABC=9，则△DEF的面积为______．
13.如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，连接EF，则∠1的度数为______．
14.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为______米．(结果保留根号)
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(a+2)(a−2)+a(1−a)，其中a=2024．
16.(本小题6分)
某运动俱乐部推出活动，到俱乐部消费的顾客都有一次抽奖机会，商家在一个不透明的纸箱中放入三个小球，分别标记字母A、B、C，每个小球除字母不同外其余均相同，每次搅匀后顾客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回，按照字母兑换运动体验券即可(A：乒乓球；B：羽毛球；C：游泳)，小明和小亮均抽奖一次，用画树状图(或列表)的方法，求小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率．
17.(本小题6分)
某校英语考试采取网上阅卷的形式，已知该校甲、乙两名教师各阅卷400张，甲教师的阅卷速度是乙教师的2倍，结果甲教师比乙教师提前2个小时完成阅卷工作.求甲、乙两名教师每小时批阅学生试卷的张数．
18.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若BEEC=14，则tan∠BCF的值为______．
19.(本小题7分)
“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段.某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，对成绩(百分制)进行整理、描述和分析，成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并制作出不完整的统计图如下．

已知：B等级数据(单位：分)：
80 80 81 82 85
86 86 88 89 89
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：m= ______，n= ______．
(2)抽取的m名学生中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______．
(3)这所学校共有2105名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数．
20.(本小题7分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
(1)如图①，在AB上画一点E，连结DE，使∠ADE=∠C；
(2)如图②，在AB上画一点F，连结DF，使∠AFD=∠C；
(3)如图③，在AB上画一点M，连结CM，DM，使∠AMD=∠BMC．
21.(本小题8分)
现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点.行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/ℎ的速度匀速驶向景点.两辆车的行驶路程y(km)与时间x(ℎ)之间的函数关系如图所示．
(1)甲车停留前行驶时的速度是______km/ℎ，m= ______ℎ；
(2)求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
(3)求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
22.(本小题9分)
【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补.”如图①，小明给出了如下证明方法：
证明：连结OB、OD．
∵∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD．
又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角．
∴∠A+∠C=360°2=180°．
同理∠ABC+∠ADC=180°．
这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补．
【应用】如图②，四边形ABCD内接于⊙O，E为CB延长线上一点.若∠D=110°，则∠ABE= ______．
【探究】如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB=DC，延长BA、CD相交于点E．
(1)求证：∠EAD=∠CAD；
(2)若BC=12,sin∠BAC=1213，则四边形ABCD的面积为______．
23.(本小题10分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，动点P从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．D是AB的中点，以PA、AD为邻边作▱APED.设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长．
(2)当点E落在边BC上时，求t的值．
(3)当点P在线段AC上运动时，连结PD，若△PDE为钝角三角形，求t的取值范围．
(4)当点E到△ABC的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t的值．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,3)和点B(1,0)，顶点为D，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m．
(1)求该抛物线函数关系式．
(2)当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=13，求m的值．
(3)记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G(包含P、B两点)，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．
(4)点Q(2m−1,4−2m)是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.a(a−2)
10.−1
11.8
12.49
13.54°
14.6 2
15.解：原式=a2−4+a−a2
=a−4，
当a=2024时，
原式=2024−4
16.解：列表得：
由列表可知可能出现的结果共9种，其中小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的情况有4种，
所以小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率为49．
17.解：设乙教师每小时批阅x张学生试卷，则甲教师每小时批阅2x张学生试卷，
根据题意得：400x−4002x=2，
解得：x=100，
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×100=200．
答：甲教师每小时批阅200张学生试卷，乙教师每小时批阅100张学生试卷．
18.(1)证明：∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵DF=DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
(2) 15．
19.(1)50，20．
补全条形统计图如图：
(2)85.5，60%．
(3)2105×2050=842(名)，
答：成绩能达到A等级的学生人数约为842名．
20.解：如图：

(1)点E即为所求；
(2)点F即为所求；
(3)点M即为所求．
21.(1)80 1.5
(2)设y=kx+b，把(1,40)，(1.5,90)代入，
k+b=401.5k+b=90
解得k=100b=−60
所以y=100x−60.(1≤x≤135)；
(3)当y=200时，200=100x−60，
甲用的时间：x=135．
乙用的时间：20060=103，
103−135=1115，即44分钟．
答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
22.110° 69
【解析】【应用】110°；
【探究】(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠EAD=∠BCD，
∵DB=DC，
∴DB=DC，
∴∠DAC=∠DCB，
∴∠EAD=∠CAD；
(2)解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴sin∠BAC=BCAB=1213，
∵BC=12，
∴AC=13．
∴AB= AC2−BC2= 132−122=5．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
在△ADC和△ADE中，
∠CAD=∠EADAD=AD∠ADC=∠ADE，
∴△ADC≌△ADE(ASA)，
∴AC=AE=13，ED=CD，
∴BE=BA+AE=18，
∴EC= BE2+BC2= 182+122=6 13，
∴CD=DE=12EC=3 13，
∴AD= AC2−CD2=2 13，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC
=12AB⋅BC+12AD⋅CD
=12×5×12+12×2 13×3 13
=30+39
=69．
23.解：(1)∵∠C=90°，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
当点P在线段AC上时，PC=AC−AP=8−2t，
当点P在线段BC上时，PC=2t−8，
综上所述：PC=2t−8(0(2)如图1，

∵四边形ADEP是平行四边形，
∴DE=AP，DE/​/AP，
∴△BDE∽△BCA，
∴DEAC=BDAB，
∵点D是AB的中点，
∴AB=2AD，
∴DE8=12，
∴DE=4，
∴AP=4，
∴t=42=2；
(3)如图2，

当∠DP1A=90°时，
同理(2)得：AP1=12AC=4，
∴t=2，
∴当0当∠ADP2=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADP2∽△ACB，
∴AP2AB=ADAC，
∴AP210=58，
∴AP2=254，
∴t=258，
当258综上所述：0(4)如图3，

当点E到AC和AB距离相等时，点E在∠CAB的平分线上，
∴∠CAE=∠DAE，
∵DE/​/AP，
∴∠CAE=∠AED，
∴∠AED=∠DAE，
∴DE=AD=5，
∴AP=DE=5，
∴t=52，
如图4，

当点E到AB和BC的距离相等时，点E在∠CBF的平分线上，
∴∠FBE=∠EBP，
∵AB//EP，
∴∠FBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠EBP，
∴PB=PE，
∵PE=AD=5，
∴PB=5，
∴PC=BC−PB=6−5=1，
∴AC+PC=8+1=9，
∴t=92，
综上所述：t=52或92．
24.解：(1)由题可知，将点A，B代入抛物线的关系式中，得c=30=1+b+c，
解得，b=−4c=3
∴该抛物线的函数关系式为y=x2−4x+3；
(2)∵点P是抛物线上的一点，且横坐标为m，
∴P(m,m2−4m+3)，
∵抛物线的对称轴为α=2，D(2,−1)，且PC⊥y轴于点C，
∴C(2,m2−4m+3)，
∴PC=2−m，CD=m2−4m+3+1，
∴tan∠PDC=PCCD=2−mm2−4m+4=13，
解得m=−1或2(舍)，
∴m=−1．
(3)当m<1时，令1≤m2−4m+3≤4，
解得2− 5≤m≤2− 2，符合题意；
当1≤m≤3时，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差d的范围为0≤d≤1，
且当2≤m≤3时，d=1，符合题意；
当m>3时，令0综上所述：2− 5≤m≤2− 2或2≤m≤4．
(4)上可知，P(m,m2−4m+3)，Q(2m−1,4−2m)；
根据题意可知，这部分图象在抛物线对称轴x=2同一侧，
Ⅰ、当P，Q在对称轴左侧：
①当点P在点Q的右侧时，m>2m−1，即m<1时，
m<14−2m>m2−4m+3或m<14−2m>m2−4m+3，
解得1− 2②当点P在点Q的左侧时，m<2m−1，即m>1时，
m>1m<24−2m1m<24−2m>m2−4m+3，
无解；
Ⅱ、当P，Q在对称轴的右侧时，m>2，则点P在点Q的左侧，
则m>24−2m>m2−4m+3或m>24−2m>m2−4m+3，
解得2综上，m的取值范围为：1− 2
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)