2023-2024学年江西省景德镇市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m为实数，若复数z=m2−4+m+2i为纯虚数，则复数z的虚部为( )
A. 2B. −2iC. 4D. −4i
2.已知向量a=−1,3，b=2,4，则2a−b的坐标为( )
A. 6,8B. −4,2C. −6,12D. 4,18
3.已知β是第三象限角，且sinβ=−13，则tanβ=( )
A. − 24B. 24C. − 22D. 22
4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是▵ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB=2π3，南北距离AB的长大约60 3m，则该月牙泉的面积约为( )(参考数据：π≈3.14, 3≈1.73)
A. 572m2B. 1448m2C. 1828m2D. 2028m2
5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE=2EO，则ED=( )
A. 13AD−23ABB. 23AD+13ABC. 23AD−13ABD. 13AD+23AB
6.已知α为钝角，β为锐角，且sinα=45，sinβ=1213，则csα−β2的值为( )
A. 7 6565B. −7 6565C. 4 315D. −4 315
7.棣莫弗公式(csx+i⋅sinx)n=cs(nx)+i⋅sin(nx)(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667−1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ3+i⋅sinπ32在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.已知sinα+csα=3 55，α∈0,π4，sinβ−π4=35，β∈π4,π2，则csα+2β的值为( )
A. −11 525B. −1125C. 1125D. 11 525
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z是2−i2+i的共轭复数，则( )
A. z=35+45iB. z=1C. z2=−725−2425iD. z=35+45i
10.已知m=(2,−3),n=(2,1)，则下列说法正确的有( )
A. (m−2n)⊥nB. m与n可以作为一组基底向量
C. cs⟨m,n⟩= 6565D. m在n方向上的投影向量的坐标为(23.13)
11.已知α，β均为锐角，2csα=sinα+β，则下列说法正确的是( )
A. 若β=π6，则α=π3B. 若α+2β=π2，则sinβ=12
C. 若β>π6，则α+β>π2D. α的最小值为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=1,−1，b=−2,t，若a与b共线，则t= ．
13.已知θ∈3π4,π，tan2θ=−4tanθ+π4，则1+sin2θ2cs2θ+sin2θ= ．
14.在▵ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90 ∘，D，E为边BC上两点，且∠DAE=45 ∘，则AD⋅AE的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z=51−i1+2i+2+i，i为虚数单位．
(1)求z；
(2)若复数z是关于x的方程x 2+mx+n=0的一个根，求实数m，n的值．
16.(本小题12分)
已知向量k=(1,−2),j=(1,λ)．
(1)若k⋅j=−5，求实数λ的值以及k在j方向上的投影数量；
(2)若f(x)=j2⋅x2+(λ+2)x+1对∀x∈R有fx≥0恒成立，求实数λ取值范围．
17.(本小题12分)
函数fx=sinωxcsωx+cs2ωx,ω>0，函数fx的最小正周期为π．
(1)求函数fx的递增区间，对称轴以及对称中心；
(2)将函数fx的图象向左平移π4个单位长度，得到函数gx的图象，再将gx函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数ℎx的图象，求函数ℎx在区间−π2,π2上的值域．
18.(本小题12分)
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①(a+c)(sinA−sinC)+(b−a)sinB=0；②2sinB−sinA=2sinCcsA；③ccs(π2−A)= 3asin(C+5π2)，在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若____________．
(1)求角C；
(2)若c=4，求▵ABC周长的取值范围．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，已知tanA+tanB= 3tanAtanB−1．
(1)求C；
(2)设AB= 3，点P为▵ABC外接圆O上的一个动点．
(ⅰ)求PA⋅PB的取值范围；
(ⅱ)若CO=λCA+μCB，且λ+μ=23，求▵ABC的周长．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.BD
10.BC
11.ACD
12.2
13.14或0.25
14.4 2−4
15.解：(1)因为51−i1+2i=51−i1−2i1+2i1−2i=51−3i+2i21−4i2=−1−3i
所以z=51−i1+2i+2+i=−1−3i+2+i=1−2i
所以z= 12+−22= 5
(2)复数z的共轭复数z=1+2i
复数z是关于x的方程x 2+mx+n=0的一个根，所以z=1+2i也是方程x 2+mx+n=0的一个根，
所以由韦达定理可得，z+z=−mz⋅z=n⇒1−2i+1+2i=−m1−2i⋅1+2i=n⇒m=−2n=5

16.解：(1)因k=(1,−2),j=(1,λ)，则k⋅j=1−2λ=−5，解得λ=3；
则j=1,3，于是，k在j方向上的投影数量为k⋅jj=−5 12+32=− 102．
(2)依题意，f(x)=(1+λ2)x2+(λ+2)x+1≥0在R上恒成立，
因1+λ2>0，故有Δ=(λ+2)2−4(1+λ2)≤0，解得λ≥43或λ≤0，
即实数λ的取值范围为：−∞,0∪43,+∞．

17.解：(1)fx=sinωxcsωx+cs2ωx=12sin2ωx+1+cs2ωx2=12sin2ωx+12cs2ωx+12= 22sin2ωx+π4+12
因为函数fx的最小正周期为π，所以T=2π2ω=π，即ω=1
所以fx= 22sin2x+π4+12，
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπk∈Z
所以fx的递增区间为−3π8+kπ,π8+kπk∈Z，
令2x+π4=π2+kπ，解得x=π8+k2πk∈Z，
所以fx的对称轴为x=π8+k2πk∈Z，
令2x+π4=kπ，解得x=−π8+k2πk∈Z，
所以fx的对称中心为−π8+k2π,12k∈Z，
(2)将函数fx的图象向左平移π4个单位长度，得到函数gx的图象，则
gx=fx+π4= 22sin2x+π4+π4+12= 22sin2x+3π4+12
再将gx函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数ℎx的图象，则
ℎx=g12x= 22sin2×12x+3π4+12= 22sinx+3π4+12，
因为x∈−π2,π2，所以x+3π4∈π4,5π4，
所以sinx+3π4∈− 22,1，
所以ℎx= 22sinx+3π4+12∈0, 2+12
即函数ℎx在区间−π2,π2上的值域为0, 2+12．

18.解：(1)选择①，(a+c)(sinA−sinC)+(b−a)sinB=0，由正弦定理，(a+c)(a−c)+(b−a)b=0，即a2+b2−c2=ab，
由余弦定理，csC=a2+b2−c22ab=12，因0选择②，2sinB−sinA=2sinCcsA，因sinB=sin(A+C)=sinAcsC+sinCcsA，
则得，2(sinAcsC+sinCcsA)−sinA=2sinCcsA，整理得，sinA(2csC−1)=0，
因00，故得csC=12，因0选择③，由ccs(π2−A)= 3asin(C+5π2)可得，csinA= 3acsC，
由正弦定理，sinCsinA= 3sinAcsC，
因00，故得，tanC= 3，因0(2)由正弦定理，asinA=bsinB=4sinπ3=8 33，
可得a=8 33sinA,b=8 33sinB=8 33sin(π3+A)=4 33sinA+4csA，
于是▵ABC的周长为：L=a+b+4=8 33sinA+4 33sinA+4csA+4=4 3sinA+4csA+4
=8sin(A+π6)+4，因0故8
19.解：(1)因为tanA+tanB= 3tanAtanB−1
所以tanA+B=tanA+tanB1−tanAtanB= 3tanAtanB−11−tanAtanB=− 3，
又因为在▵ABC中，tanA+B=tanπ−C=−tanC
所以tanC= 3，又C∈0,π
所以C=π3；
(2)
如图所示，以AB中点D为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，
则圆心O在y轴上，不妨设O0,y0,y0≥0，则A− 32,0,B 32,0，
由正弦定理可得，外接圆半径r=12×ABsinC=12× 3 32=1，
由OA=1，得 0+ 322+y0−02=1，解得x0=0y0=12
所以O0,12，所以外接圆方程为x2+y−122=1，
(ⅰ)设PxP,yP，则PA=− 32−xp,−yP,PB= 32−xp,−yP
所以PA⋅PB=− 32−xp,−yP⋅ 32−xp,−yP=xP2−34+yP2
又因为点P在▵ABC外接圆O上，所以xP2+yP−122=1，即xP2=1−yP−122
所以PA⋅PB=xP2−34+yP2=1−yP−122−34+yP2=yP，
又yP−122=1−xP2≤1，所以−12≤yP≤32，
所以PA⋅PB∈−12,32
(ⅰⅰ)因为点C在外接圆x2+y−122=1上，所以设Csinθ,csθ+12，则
CO=−sinθ,−csθ,CA=− 32−sinθ,−csθ−12,CB= 32−sinθ,−csθ−12，
所以CO=λCA+μCB=λ− 32−sinθ,−csθ−12+μ 32−sinθ,−csθ−12
=λ− 32−sinθ+μ 32−sinθ,λ+μ−csθ−12=−sinθ,−csθ
所以λ+μ−csθ−12=−csθ，
又因为λ+μ=23，所以csθ=1，所以sinθ=0，
即C0,32，经检验符合题意，
所以▵ABC为等边三角形，
所以▵ABC的周长为3 3．