2023-2024学年福建省部分优质高中高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省部分优质高中高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=1+2i31−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8.则下列说法错误的是( )
A. 这组数据的平均数为8B. 这组数据的众数为7
C. 这组数据的极差为4D. 这组数据的第80百分位数为9
3.已知向量a,b的夹角为45∘,a=1,b= 2，则2b−a=( )
A. 5B. 7C. 13D. 5
4.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为4π3的扇形，则该圆锥的侧面积为( )
A. 6πB. 8πC. 10πD. 12π
5.已知非零向量a，b满足2a+b⊥2a−b，且向量a在向量b上的投影向量是 34b，则a与b的夹角是( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
6.学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为34，在三分线处投篮命中率为35，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为( )
A. 2780B. 3380C. 950D. 340
7.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF−CDE和BDG−ACH是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF与GH互相垂直平分，EF,GH交于点I，AF=BF=a，AF⊥BF，则点G到平面ACEF的距离是( )
A. 33aB. 12aC. 22aD. 24a
8.如图，直线l1//l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为 2和 6，点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，点E、F在线段BC上运动(包括端点)且EF=1，若△ABC的面积为2 3，则AE⋅AF的最小值为( )
A. 3B. 114C. 3 22D. 74
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法正确的是( )
A. 若a，b是共线的单位向量，则a=b
B. 若a，b是相反向量，则a=b
C. 若a+b=0，则向量a，b共线
D. 若AB//CD，则点A，B，C，D必在同一条直线上
10.如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为13
B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为130
C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为56
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936
11.如图，已知二面角α−l−β的棱l上有A,B两点，C∈α,AC⊥l,D∈β,BD⊥l，且AC=AB=BD，则( )
A. 当α⊥β时，直线CD与平面β所成角的正弦值为 33
B. 当二面角α−l−β的大小为60∘时，直线AB与CD所成角为45∘
C. 若CD=2AB=2，则三棱锥A−BCD的外接球的体积为5 5π3
D. 若CD=2AB，则二面角C−BD−A的余弦值为2 77
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足z1+i=i2020+i2021，则复数z= ．
13.为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为 ．
14.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，BB1=BC=2 3，AB=2，AC=4，且有鳖臑C1−ABB1和鳖臑C1−ABC，现将鳖臑C1−ABC沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1−ABC经翻折后，与鳖臑C1−ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsinA．
(1)求角B的大小．
(2)若a=3 3，c=5，求b．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，O,E,M分别是棱BD,BC,AC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2．

(1)求证：EM//平面ABD；
(2)求证：AO⊥平面BCD；
(3)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
17.(本小题12分)
2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩(满分100分)，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
(3)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
18.(本小题12分)
如图①所示，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC,AC=2BC=3DE=6.将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示．M是线段A1D的中点，P是A1B上的点，EP//平面A1CD．
(1)求A1PA1B的值．
(2)证明：平面BCM⊥平面A1BE．
(3)求点P到平面BCM的距离．
19.(本小题12分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点．
(1)证明：A1B=A1D.
(2)证明：平面EFH //平面A1CD．
(3)若AB=2A1B1，AA1=1，∠ABC=π3，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积V．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.A
5.A
6.B
7.B
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.2i

14.100π3
15.解：(1)由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，
由△ABC为锐角三角形得B=π6．
(2)因为a=3 3, c=5，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=27+25−45=7，
所以b= 7．
16.(1)
由已知得EM//AB，
又EM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
因此EM//平面ABD；
(2)
连结OC

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD，
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD，
在▵AOC中，由已知可得AO=1,CO= 3，而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90,即AO⊥OC，
∵BD∩OC=O,BD⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，
∴AO⊥平面BCD；
(3)
连结OM,OE，由E为BC的中点知ME//AB,OE//DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在▵OME中，EM=12AB= 22,OE=12DC=1,
∵OM是直角▵AOC斜边AC上的中线，∴OM=12AC=1,
∴cs∠OEM=OE2+EM2−OM22OE⋅EM= 24,
∴异面直线AB与CD所成角的所成角的余弦值是 24．
17.解：(1)由频率分布直方图可知，成绩在 [80,100] 内的频率为 0.020×10+0.010×10=0.3 ，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为 3000×0.3=900 人；
(2)由频率分布直方图可知，成绩在 [40,50) 内的频率为 0.005×10=0.05 ，
成绩在 [50,60) 内的频率为 0.015×10=0.15 ，
成绩在 [60,70) 内的频率为 0.020×10=0.2 ，
成绩在 [70,80) 内的频率为 0.030×10=0.3 ，
成绩在 [80,90) 内的频率为 0.020×10=0.2 ，
所以成绩在 80 分以下的学生所占的比例为 0.05+0.15+0.2+0.3=70% ，
成绩在 90 分以下的学生所占的比例为 0.05+0.15+0.2+0.3+0.2=90% ，
所以成绩的75%分位数一定在 [80,90) 内，即为80+10×0.75−，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为82.5；
(3)因为 6×0.30.3+0.2+0.1=3 ， 6×0.20.3+0.2+0.1=2 ， 6×0.10.3+0.2+0.1=1 ，
所以从成绩在[70,80),[80,90)，[90,100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人，
其中有3人为航天达人，设为a,b,c，有3人不是航天达人，设为d,e,f，
则从6人中选择2人作为学生代表，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，
(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共15种，
其中2人均为航天达人为 a,b,a,c,b,c 共3种，
所以被选中的2人均为航天达人的概率为315=15．
18.(1)
令平面PED交棱A1C于点N，连接PN,DN，由DE//BC，BC⊂平面A1BC，DE⊄平面A1BC，
则DE//平面A1BC，而平面PED∩平面A1BC=PN，DE⊂平面PED，于是PN//DE，
又EP//平面A1CD，平面PED∩平面A1CD=DN，EP⊂平面PED，于是EP//DN，
因此四边形DEPN是平行四边形，PN=DE，而BC=3,DE=2，PN//BC，
所以A1PA1B=PNBC=23．
(2)
在图①的Rt▵ABC中，由DE//BC,AC=2BC=3DE=6，得AD=4,CD=2，
于是A1D=4,CD=2，而A1C⊥CD，则A1C= A1D2−CD2=2 3，∠CA1D=30∘，
又M是线段A1D的中点，则MC=MA1，∠A1CM=∠CA1D=30∘，
由(1)得A1NA1C=NPBC=23，则A1N=4 33,CN=2 33，tan∠CND=CDCN= 3，
则有∠CND=60∘，∠CND+∠NCM=90∘，因此DN⊥CM，
显然DE⊥CD,DE⊥A1D，CD∩A1D=D,CD,A1D⊂平面A1CD，则DE⊥平面A1CD，
而DE//BC，因此BC⊥平面A1CD，又DN⊂平面A1CD，则DN⊥BC，
又BC∩CM=C,BC,CM⊂平面BCM，从而DN⊥平面BCM，又EP//DN，
则EP⊥平面BCM，而EP⊂平面A1BE，
所以平面BCM⊥平面A1BE．
(3)
由(1)知PN//BC，又BC⊂平面BCM，PN⊄平面BCM，则PN//平面BCM，
即点P到平面BCM的距离等于点N到平面BCM的距离ℎ=CNsin30∘=12×2 33= 33，
所以点P到平面BCM的距离为 33．
19.(1)证明：如图，连接AC，与BD交于点O．
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD．
又因为BD⊥A1C，AA1∩A1C=A1，AA1、A1C⊂平面AA1C，
所以BD⊥平面AA1C，
因为AC⊂平面AA1C，所以AC⊥BD．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是菱形，则AB=AD．
因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，
所以A1B2=A1A2+AB2
=A1A2+AD2=A1D2，即A1B=A1D；
(2)证明：延长EF交AA1于点M，连接MH，
由中位线性质可得EF/​/A1B1，
因为A1B1//AB//CD，所以EF/​/CD．
因为EF⊄平面A1CD，CD⊂平面A1CD，所以EF//平面A1CD，
易得M为AA1的中点，则MH//A1D.
因为MH⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以MH/​/平面A1CD，
因为EF∩MH=M，EF、MH⊂平面EFH，
所以平面EFH/​/平面A1CD；
(3)解：设AB=m，m>0，因为∠ABC=π3，
所以AC=BC=AB=AD=m，
则A1B= m2+1，A1D=A1C= m2+1，
所以△A1CD为等腰三角形，
故S△A1CD=12⋅m⋅ m2+1−14m2=12 34m4+m2，
设点B到平面A1CD的距离为d，A1B与平面A1CD所成的角为α，
则sinα=dA1B=d m2+1，
因为VA1−BCD=13⋅AA1⋅S△BCD
=13S△BCD=13× 34m2= 312m2，
VB−A1CD=13⋅d⋅S△A1CD=13⋅d⋅12 34m4+m2，
所以13⋅d⋅12 34m4+m2= 312m2，
解得d= 3m 3m2+4，
所以sinα= 3m 3m2+4 m2+1= 3 3m2+4m2+7
≤ 3 2 12+7= 32+ 3=2 3−3，
当且仅当m4=43，即m2=2 33时，等号成立，此时A1B与平面A1CD所成的角最大．
故此时ABCD−A1B1C1D1的体积
V=13×1×(2× 34m2+2×14× 34m2
+ 2× 34m2×2×14× 34m2)
=13( 32×2 33+12× 34×2 33+ 32×2 33×12× 34×2 33)=712．