高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·江苏·高二单元测试）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
3．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·江苏·高二单元测试）若直线l经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东潮州·高二期末）圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·北京十五中高二期中）经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·湖北·高二期中）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·湖北·高二期中）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
10．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．2D．
11．（2021·山东师范大学附中高二期中）直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））圆x2+y2＝1关于直线x+y﹣2＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1B．（x+2）2+（y+2）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣2）2＝1D．（x﹣2）2+（y+2）2＝1
13．（2021·河北·高二期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知圆,圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
15．（2021·江西·景德镇一中高二期中）已知点，动点满足，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2022·湖南益阳·高二期末）已知圆的一般方程为，则（ ）
A．圆的圆心为B．圆经过原点
C．圆的半径为25D．圆被轴截得的弦长为8
17．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列说法正确的有（ ）
A．边上的高所在直线的方程；
B．的外接圆的方程为；
C．过作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为；
D．的面积为.
18．（2021·河北省晋州市第二中学高二期中）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为（2，7）B．点Q在圆C外
C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
19．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
20．（2021·湖北宜昌·高二期中）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题
21．（2022·全国·高二单元测试）若，，则以为直径的圆的标准方程是______．
22．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．
23．（2022·江苏·高二单元测试）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
24．（2022·贵州·遵义四中高二期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
25．（2022·吉林辽源·高二期末）已知圆C的方程为，直线恒过定点A，若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值是______.
26．（2021·天津北辰·高二期中）已知圆的圆心到直线的距离为2，则a的值为___________.
四、解答题
27．（2022·江苏·高二单元测试）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
28．（2022·浙江金华·高二期末）已知：圆是的外接圆，边所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，直线与圆相切于点.
(1)求点和点的坐标；
(2)求圆的方程.
29．（2022·福建漳州·高二期末）已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分别与x轴，y轴交于A，B两点.
(1)求点A和B的坐标；
(2)若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
30．（2022·浙江宁波·高二期末）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
31．（2022·全国·高二单元测试）已知圆C：与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足的点P的轨迹方程．
32．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）依次位于同一直线上.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，.
(1)求的外接圆方程；
(2)求的欧拉线的方程及内心坐标.
33．（2021·江苏·盐城市大丰区新丰中学高二期中）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为，求
（1）圆C的一般方程
（2）圆C关于线的对称圆方程.
34．（2021·全国·高二单元测试）已知方程表示圆，其圆心为C.
（1）求该圆半径r的取值范围；
（2）求圆心C的轨迹方程；
（3）若，线段的端点A的坐标为，端点B在圆C上运动，求线段中点M的轨迹方程.
参考答案：
1．D
【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
2．A
【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
3．C
【分析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
4．B
【分析】将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：B.
5．D
【分析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
6．B
【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.
【详解】若表示圆，则，
解得.
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是.
故选：B
7．C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
8．C
【分析】根据以线段为直径的圆的圆心为的中点，半径为求解.
【详解】因为点，，
所以所求圆的圆心坐标为，半径，
所以所求圆的标准方程为.
故选：C
9．B
【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
10．B
【分析】圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值．
【详解】圆心为（1，1），所以
于是
当且仅当，即时取等号.
故选：B．
11．D
【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得，根据点斜式写出直线方程.
【详解】由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即，
∴直线l的方程为，即.
故选：D
12．A
【分析】先求得关于直线的对称点，由此求得正确答案.
【详解】∵圆x2+y2＝1关于直线x+y﹣2＝0对称的圆半径为1，
∴圆心（0，0）关于直线x+y﹣2＝0对称的点为对称圆的圆心，设为（x，y），
则（0，0）与（x，y）的中点（）在直线上，即﹣2＝0，①，
且经过（0，0）和（x，y）的直线与直线x+y﹣2＝0垂直，即，②，
联立①②，解之得x＝2，y＝2，则对称圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，
故选：A
13．C
【分析】先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解.
【详解】因为三个顶点的坐标分别为，，，
所以，所以，
所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
故选：C
14．D
【分析】利用几何图形，把的最小值转化为圆与圆的连心线的长减去两个圆的半径之和，即可求解.
【详解】如图所示，
圆关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径为1，
圆的圆心坐标为，半径为4.
设为点关于轴对称的点，
由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的连心线的长减去两个圆的半径之和，
即.
故选：D.
15．B
【分析】根据题意，求出点和的轨迹，结合平面向量的加法以及模长的计算，即可求解.
【详解】设，则，，
因，所以，即，因此点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
同理可得点也在以原点为圆心，2为半径的圆上.
又因，所以当和重合，且、、三点共线时，取得最值，
因此，.
故选：B.
16．ABD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可判断ABC，再利用弦长公式即可判断D.
【详解】由已知，圆的标准方程为，
所以圆心为，故A正确；
满足圆的方程，故B正确；
圆的半径为5，故C错误；
圆心到x轴的距离为3
圆被轴截得的弦长为，故D正确.
故选：ABD
17．BCD
【分析】对选项，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项，用待定系数求圆的方程；对选项，根据直线从点到点的过程中斜率的变化求得；对选项，的面积利用点到直线的距离求得中边的高，然后根据面积公式即可.
【详解】对选项，直线的斜率为：
则边上的高的斜率为：
则高的方程为：，即
故不正确；
对选项，设的外接圆的方程为
则有：
解得：，，
所以△的外接圆的方程为：
故正确；
对选项，，
则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为：
故正确；
对选项，易知所在直线的方程为：
点到直线的距离为：
又
则的面积为：
故正确
故选：
18．ABD
【分析】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出的值，进而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足，求出MQ|的取值范围.
【详解】将化为，所以圆心C坐标为，故A正确：因为两点之间的距离为，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点在圆C上，所以，所以，即．所以直线的斜为，故C错误，因为圆心，半径所以，即，故D正确
故选：ABD．
19．ABD
【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，
【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.
20．CD
【分析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，由点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得选项．
【详解】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点的斜率的值，
设过点的直线为，即，
则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，
所以，即的最大值为，最小值为.
故选：CD.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和由几何意义求最值的问题，属于中档题．
21．
【分析】由已知求出圆的圆心和半径，利用圆的标准方程写出答案即可．
【详解】以为直径的圆的圆心为，半径为，则以为直径的圆的标准方程是
故答案为：
22．##
【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
23．
【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为方程表示一个圆
所以，，即，解得或.
所以，实数的取值范围是
故答案为：
24．
【分析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程.
【详解】圆的标准方程为，
圆心(2,2),半径为2，
圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,
所以所求对称圆的标准方程为，
故答案为：
25．4
【分析】根据直线方程求出直线l过的定点A坐标，设点关于直线的对称点为，利用点关于直线对称的点的特点可得，进而得出
，计算即可.
【详解】圆C的半径为，
直线l可化为，
由解得
所以点A的坐标为.
设点关于直线的对称点为，
则由解得
所以点B坐标为.由线段垂直平分线的性质可知，，
所以，
当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立，所以的最小值为4.
故答案为：4
26．##
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：圆
即
所以圆心坐标为
由圆心到直线的距离为2可得
解得：
故答案为：.
27．(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.
（1）
设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
（2）
设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
（3）
设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
（4）
设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
28．(1)A（1,7）,
(2)
【分析】（1）与的的交点为点D, 与的的交点为点A,联立解方程即可得出结果.
（2）设圆P的圆心P为，由，，计算求解即可得出点坐标，由求得半径，进而可得出圆的方程.
(1)
由题可得：与的的交点为点D,
故由，解得：，故
与的的交点为点A,
，解得：，故A（1，7）
(2)
设圆P的圆心P为，
由与圆相切于点A，且的斜率为,则即，
即，①
又圆P为的外接圆，则BC为圆P的弦，
又边BC所在直线的科率为,
故根据垂径定理，有进而，
即②，
联立①②，解得：，即
故，则圆P的方程为：.
29．(1)，；
(2).
【分析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.
（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.
（1）由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，所以直线为，即，令，则；令，则.所以，.
（2）由（1）可得：垂直平分线为，即，联立，可得，即，故圆的半径为，所以圆C的方程为.
30．(1)
(2)，
【分析】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；
（2）当三点共线时有最小值，求出直线MN的方程，令y=0即可.
(1)
由题意可设圆心，
因为y轴被圆M截得的弦长为4，
所以，
又，
则，
化简得，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的标准方程为．
(2)
点关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当M，P，三点共线时等号成立，
因为，则直线的方程为，即，
令，得，则．
31．(1)，半径为1
(2)
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，根据与轴相切求出可得；
（2）设，根据已知结合距离公式可求出.
（1）
圆的方程可化为，
因为圆与轴相切，所以，解得，
所以圆心为，半径为1；
（2）
设，
则，
，
因为，所以，
即，
化简可得点P的轨迹方程为.
32．(1)；
(2)欧拉线方程：；内心坐标.
【分析】（1）设的外接圆方程为，将三点坐标代入求出的值即可求解；
（2）求出重心坐标，结合外心坐标可得欧拉线方程，根据到角公式结合点斜式方程求出和内角平分线所在直线的方程，联立两个方程解方程组可得内心坐标.
(1)
设的外接圆方程为，
因为点，，在圆上，
所以可得，
所以的外接圆方程为即
(2)
因为，，，所以重心坐标，
由（1）知外心坐标为，
因为外心､重心都在的欧拉线上，所以欧拉线方程为：，
设的角平分线的斜率为，因为，，
由到角公式可得：，解得：，
所以的角平分线的所在直线，
设的角平分线的斜率为，因为，，
由到角公式可得：，解得：，
所以的角平分线所在直线，
由 可得：，
所以的内心坐标为
33．（1）；（2）．
【分析】（1）由一般方程配方得出圆心和半径，列方程组求得，注意即可；
（2）求出圆心关于直线的对称点的坐标，圆半径不变，由此可得结论．
【详解】（1）圆的标准方程为，
圆心为，半径为，
所以，解得或，
又圆心在第二象限，所以，
圆的一般方程为；
（2）由（1）圆心为，设它关于直线的对称点为，
则，解得．
所以对称圆方程为．
34．（1）；（2），；（3）.
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）利用圆心，消去参数即得；
（3）利用相关点法即求.
【详解】（1）方程可变为，
由方程表示圆，
所以，即得，
∴.
（2）由（1）知，令，
消去可得，，又，
所以，
故圆心C的轨迹方程，.
（3）当时，圆C方程为：，
设，又M为线段的中点，A的坐标为则，
由端点B在圆C上运动，
∴即
∴线段中点M的轨迹方程为.