人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时作业，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·四川甘孜·高二期末）若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（ ）
A．​或​B．​C．​或​D．​
2．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
4．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·上海市控江中学高二期末）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·广东·仲元中学高二期中）已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知圆：的面积被直线平分，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
9．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14B．34C．14或45D．34或14
10．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2B．2C．D．
12．（2022·广西柳州·高二期中（理））若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
13．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（理））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
14．（2022·河北保定·高二期末）已知直线与圆相交于、两点，则弦最短时所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·河北邯郸·高二期末）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为点A，B，圆C的圆心为C，当四边形的面积最小时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2022·广东深圳·高二期末）点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A．两个圆心所在的直线斜率为
B．两个圆相交弦所在直线的方程为
C．两圆公切线有两条
D．|PQ|的最小值为0
17．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线与圆，则（ ）
A．直线与圆C相离
B．直线与圆C相交
C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个
18．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
19．（2022·广东汕尾·高二期末）直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．直线过定点
B．时，直线平分圆
C．时，为等腰直角三角形
D．时，弦最短
20．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知圆，点，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且．则（ ）
A．直线的斜率B．的最小值为2
C．的最小值为D．
21．（2022·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点在定圆上
B．点在圆外
C．线段长的最大值为
D．的最小值为
22．（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）过点作圆的切线，是圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．切线的方程为
B．圆与圆的公共弦所在直线方程为
C．点到直线的距离的最小值为
D．点为坐标原点，则的最大值为
23．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）圆和圆的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
C．公共弦的长为
D．圆上存在三个点到直线的距离为
三、填空题
24．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为___________.
25．（2022·安徽·高二期末）已知直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线方程为___________.
26．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆和圆内切，则m的值为___________．
27．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.
28．（2022·陕西渭南·高二期末（理））若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为________．
29．（2022·安徽省舒城中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
30．（2022·福建福州·高二期末）圆的圆心为，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线：与圆交两点，且，求．
31．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）已知点，圆.
(1)若直线过点，且圆C上任意一点关于直线的对称点也在圆C上，求直线的方程；
(2)若直线过点P，且直线与圆C交于M、N两点，若，求直线的方程.
32．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
33．（2022·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
34．（2022·浙江·海宁一中高二期中）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.
35．（2022·河北石家庄·高二期末）已知三个条件①圆心在直线上；②圆的半径为2；③圆过点在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)已知圆过点且圆心在轴上，且满足条件________，求圆的方程；
(2)在（1）的条件下，直线与圆交于、两点，求弦长的最小值及相应的值．
36．（2022·河北沧州·高二期末）已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围．
37．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.
(1)求圆C的方程；
(2)当时，求线段AB的长；
(3)当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
【点睛】
2．C
【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
3．B
【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.
【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
4．A
【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当取得最小值时，最大，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时
【详解】圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小. ，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.
故选：A
5．C
【分析】将看作时圆上的点到点的直线的斜率的最小值即可求解.
【详解】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
6．C
【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.
【详解】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，
所以有，
因为过点向圆作切线，切点为，
所以
所以，
故选：C
7．C
【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长，利用勾股定理，即可求出实数k的值.
【详解】圆，可化为，
∴圆心C的坐标，半径为
∴圆心到直线的距离为，
又圆心到直线的距离
∴，解得（舍去）或
故选:C
8．D
【分析】根据题意，圆：的面积被直线平分，即直线经过圆的圆心，由此求出两圆的圆心和半径，然后判断两个圆的位置关系即可．
【详解】根据题意，圆：，
即，其圆心为，半径，
圆：的面积被直线平分，
即直线经过圆的圆心，
则有1−m＋1＝0，解可得m＝2，
即所以圆的圆心（1，−1），半径为1，
圆的标准方程是，圆心（−2，3），半径为4，
其圆心距，
所以两个圆外切，
故选：D.
9．D
【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.
【详解】圆：的圆心为,
圆：的圆心为,
，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，
故或，从而或，
所以或，解得：或
所以实数a等于34或14
故选：D
10．B
【分析】由题意可知直线过定点，且定点在圆C上或圆C内，即可求解
【详解】由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
11．D
【分析】由圆心到直线的距离为得出.
【详解】设圆的半径为，由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为
即，两边平方得，
故选：D
12．C
【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得到直线的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C、D选项；
【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则到直线
的距离为，
所以，解得，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线垂直平分线段，
所以到直线的距离
即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，
因此，
即，故C正确，D错误；
故选：C
13．B
【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
14．D
【分析】求出直线所过的定点，确定何种位置时，弦的长最短，即可求得答案.
【详解】直线y=kx-k+2=k（x-1）+2，所以直线恒过A（1，2），
因为 ，故该点在圆内，
设圆心为B（2，1），由圆的几何性质知，当直线y=kx-k+2与直线AB垂直时，弦PQ最短，
此时，直线AB的斜率为，
∴kPQ=1，∴弦PQ最短时所在的直线方程是y-2=x-1，即x-y+1=0，
故选：D
15．D
【分析】首先分析得四边形的面积最小时，最小，利用圆心到直线的距离来求得的最小值，利用等面积法求得此时的长.
【详解】圆C化为，∴圆心为，半径为4.
若使四边形的面积最小，则需使的面积最小，即最小，
∴最小，即求C到直线l的距离，，
此时，，
，
∴.
故选：D
16．AD
【分析】根据直线斜率公式，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
两个圆心所在的直线斜率为，所以本选项正确；
因为，，
所以两圆相外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项BC不正确，选项D正确，
故选：AD
17．BD
【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.
【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.
故选：BD
18．BCD
【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确；
当时可得直线l过圆心，所以B正确；
直线l与圆相切时可得，所以C正确，
当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确．
【详解】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.
故选：BCD.
19．AD
【分析】对A，根据定点的定义判断即可；
对B，判断当时，直线是否经过圆的圆心即可；
对C，当时，可根据直线过圆心判断；
对D，根据直线过定点，在圆内，故当弦最短时，与直线垂直判断即可
【详解】对A，因为当时，恒成立，故直线过定点，故A正确；
对B，当时，，圆的圆心为不满足，故此时直线不过圆的圆心，故直线不平分圆，故B正确；
对C，当时，经过圆的圆心，故无，故C错误；
对D，因为直线过定点，，故在圆内，故当弦最短时，与直线垂直.因为时，直线的斜率为，直线的斜率为1，故与直线垂直成立，故D正确；
故选：AD
20．CD
【分析】依题意画出草图，直线的斜率存在，设斜率为，则直线，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求出的取值范围，从而判断A，再根据即可判断B、C，设，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示计算即可判断D；
【详解】解：依题意圆的圆心坐标为，半径，
显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线，即，
所以，解得，故A错误；
因为，所以，故C正确；
当直线与圆相切时，，又，所以不存在最小值，只存在最大值且，故B错误；
设，，由与，
消去整理得
所以，，
所以
，故D正确；
故选：CD
21．BC
【分析】两直线互相垂直，分别过定点，定点，可得的轨迹方程为即可判断选项A；判断两圆的位置关系可判断选项B；由垂径定理可得，则有的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，从而可得线段长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径即可判断选项C；由数量积的运算结合选项C即可判断选项D．
【详解】解：因为直线与，满足，所以两直线互相垂直，
又两直线分别过定点，定点，所以是以为直径的圆，圆的方程为，故选项A错误；
圆与圆的圆心距为，
所以两圆相离，则点在圆外，故选项B正确；
因为，为弦的中点，所以，所以圆心到弦的距离为，
所以弦中点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以线段长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即，故选项C正确；
，
因为，
所以，故选项D错误．
故选：BC.
22．ABD
【分析】A.由，得到，再利用点斜式写出切线方程； B. 由和两式相减求解判断；C.先求得点到直线的距离，再减去半径即可； D.设，得到，然后利用直线与圆相切求解判断.
【详解】A.因为，所以，则过点的切线为，即，故正确；
B. 由和两式相减得，故正确；
C.点到直线的距离，所以点到直线的距离的最小值为，故错误；
D.设，则，所以，即，点到直线的距离等于半径得：，解得或 ，则的最大值为，故正确；
故选：ABD
23．ABD
【分析】求得公共弦所在直线方程判断选项A；求得到直线距离的最大值判断选项B；求得公共弦的长判断选项C；求得圆心到直线的距离进而可判断选项D.
【详解】圆的圆心，半径
选项A：由和两式怍差得
则公共弦所在直线方程为.判断正确；
选项B：圆心到直线的距离为
则圆上动点到直线距离的最大值为.判断正确；
选项C：公共弦的长.判断错误；
选项D：圆心到直线的距离为
又圆的半径，
则圆上存在三个点到直线的距离为.判断正确.
故选：ABD
24．
【分析】根据垂径定理，结合点到直线的距离公式求解即可
【详解】由题意，圆，故圆心，半径，故圆心到直线的距离为，故，即，解得，即
故答案为：
25．
【分析】根据题意可求出圆心，由点在直线上，为圆的直径，则可知线段的垂直平分线方程过点且斜率为，再利用点斜式即可写出答案.
【详解】由题意知，线段的垂直平分线斜率为，
因为圆，所以圆心，
因为圆心在直线上.
所以线段的垂直平分线过点，
所以线段的垂直平分线方程为，即.
26．##3.5
【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值.
【详解】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，
解得.
故答案为：.
27．
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.
【详解】解：由题意所在的直线方程为：，即，
因为圆的圆心，半径为，
所以，圆心到直线的距离为1，
所以.
故答案为：
28．
【分析】设圆心为，半径为写出圆的标准方程，根据点在圆上及已知条件求m值，再应用点线距离公式求圆心到直线距离.
【详解】设圆心为，半径为，则，
由题设，且，
当，，可得或；
当，，方程无解；
所以圆心为或，
当圆心为到的距离为；
当圆心为到的距离为；
所以圆心到直线的距离为.
故答案为：
29．
【分析】设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解.
【详解】设点，则，
即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
要在圆上至少存在两点到直线的距离等于，
则需圆心到直线的距离，
解得.
故答案为：
30．(1)
(2)或
【分析】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；
（2）由题知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可.
（1）
解：因为圆的圆心为，且过点,
所以半径，
所以，圆的标准方程为
（2）
解：设圆心到直线的距离为，因为
所以，解得
所以，由圆心到直线距离公式可得．
解得或．
31．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意得到直线经过点和圆的圆心，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）由，得到圆心C到直线的距离为，设直线的方程为，结合点到直线的距离公式列出方程，求得，即可求得直线的方程.
(1)
解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线过点，且圆C上任意一点关于直线的对称点也在圆C上，
可得直线经过圆的圆心，所以直线斜率为，
所以直线的方程为，即.
(2)
解：由及圆的半径为，可得,
则圆心C到直线的距离为，
当直线l的斜率不存在时，直线的方程为,圆心到直线的距离为4，不符合题意
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
可得圆心C到直线的距离，解得，
所以直线的方程为或.
32．(1)
(2)，最大值为.
【分析】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值．
（1）
圆化为标准方程为：.
则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
（2）
设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为
所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
33．(1)或
(2)或
【分析】(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.
（1）
由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
（2）
由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
34．(1)外离；
(2)﹒
【分析】(1)判断两圆圆心距和两圆半径之和及半径之差的关系即可判断两圆的位置关系；
(2)根据圆的性质可知，作关于(1，2)关于x轴的对称点，则，据此即可求得答案．
（1）
圆的圆心为(1，2)，半径为1，圆的圆心为(3，4)，半径为，
∵，∴两圆外离；
（2）
，
作(1，2)关于x轴的对称点，
则当、P、三点共线时，所求最小值为．
35．(1)条件选择见解析，圆的方程为
(2)的最小值为，相应
【分析】（1）选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆的方程.
（2）首先求得直线过定点，根据求得最短弦长以及此时的值.
（1）
若选条件①，由题意知，圆心是方程的解，解得，所以，
设半径为，则．则圆的方程为：．
若选条件②，设圆心，由题意知，所以．
圆心，半径为，所以圆的方程为：．
若选条件③，设圆心，由题意知，
即有，解得，
圆心为，且半径为，
所以圆的方程为： ．
（2）
由（1）圆的方程为：，圆心为，半径.
直线过定点，要使弦长最短，，
，，，
直线的斜率，也即直线的斜率为，所以.
，，所以弦长最小值为．
36．(1)
(2)
【分析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.
（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.
(1)
由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，
设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，
所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为
(2)
连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，
在中，根据勾股定理可知，因为为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；
画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；
设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，
所以，所以；
，所以.
所以
37．(1)；
(2)；
(3)4.
【分析】(1)根据圆的圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a；
(2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长；
(3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短.
（1）
由题，设圆C的标准方程为，
则，解得.
故圆C方程为；
（2）
根据题意可知，直线的方程为，即，
圆心C到直线的距离为，
故弦长；
（3）
设，则，又直线方程为：，
故直线过定点Q，
设圆心C到直线的距离为，则，
故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，
∴线段长度的最小值4.