高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题，共27页。
考点一：椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
考点二：椭圆的标准方程
考点三：求轨迹方程的方法
直译法——“四步一回头”，
四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；
（2）写出适合条件的点M的集合；
（3）将 “翻译”成代数方程；
（4）化简代数方程为最简形式.
【题型归纳】
题型一：利用椭圆的定义求方程
1．（2021·湖北·高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型二：椭圆的焦点三角形问题
4．（2022·四川省绵阳江油中学高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A．4B．8C．16D．32
5．（2021·江苏·高二单元测试）已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：根据方程表示椭圆求参数问题
7．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
8．（2021·全国·高二专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．且
C．D．
题型四：椭圆的标准方程的求法
10．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：与椭圆有关的轨迹问题
13．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2021·四川·高二期末（文））若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）已知表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
17．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
19．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·四川内江·高二期末（理））已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
21．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴经过两点，；
(2)过点，且与椭圆有相同的焦点.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．
【高分突破】
一：单选题
23．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3B．9C．D．
25．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．B．2C．D．4
26．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．2D．3
27．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A．3B．4C．6D．11
28．（2022·吉林·长春外国语学校高二期末）方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
29．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线是一个椭圆；
③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
A．①B．①②C．③D．①③
30．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022·重庆八中高二阶段练习）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
32．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
33．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得B．的最小值为
C．，则的面积为9D．直线与直线斜率乘积为定值
34．（2022·江苏·高二）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5B．
C．存在点，使D．的最大值为
35．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
三、填空题
36．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________.
37．（2022·江苏·扬州大学附属中学高二阶段练习）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．
38．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为________.
39．（2022·全国·高二单元测试）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．
四、解答题
40．（2022·河南·南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若，求椭圆的标准方程．
41．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
【答案详解】
1．D
【详解】因为，所以．因为，所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：D.
2．B
【分析】由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解
【详解】由，
得，
又因为，
所以，
由，
得，
所以，
又.
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的方程是.
故选：B.
3．C
【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合列方程可解得，，即可得到椭圆的方程．
【详解】
，，
又，，
又，，
，，
，，
，在轴上．
在中，，
在中，由余弦定理可得．
，可得，解得．
．
椭圆的方程为：．
故选：C．
【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
4．C
【分析】由已知条件，结合得出，然后利用椭圆的定义可得答案．
【详解】∵，，
∴，∴，∴
∴的周长为．
故选：C．
5．B
【分析】根据已知条件求得，由此求得的面积.
【详解】由题意得，，，
因为直线AM的倾斜角为，所以直线MN的方程为，
把代入椭圆方程解得，所以，
因为A在直线MN上，所以，解得．
又，，解得，
令，则，即，
因为M为椭圆的右焦点，所以，
由椭圆的定义可知，，
因为的周长为6，所以，
所以，所以，，所以，，.
所以．
故答案为：．
6．B
【分析】利用椭圆的定义求出的值，进而可得出的值，由此可求得面积的最大值为，即可得解.
【详解】由椭圆的定义可得的周长为，
，则，
则面积的最大值为，
故选：B.
7．A
【分析】根据椭圆的定义和必要不充分条件定义可得答案.
【详解】若方程表示椭圆，则，，
“”是“方程表示椭圆”的必要条件；
反过来，当时，如，或，方程表示圆，
“”不是方程“表示椭圆”的充分条件．
综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：A．
8．D
【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆直接列出不等式可求解.
【详解】方程表示焦点在y轴上的椭圆,
，解得.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查方程表示椭圆求参数范围，熟记椭圆标准方程的要求条件是解题关键，属于基础题.
9．D
【分析】由条件可得，从而可得答案.
【详解】方程表示焦点在x轴上的椭圆
则，则
故选：D
10．C
【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C
11．C
【分析】由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的标准方程.
【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.
故选：C.
12．C
【分析】由题意可知，结合面积公式求得，又，故，，即可求解．
【详解】轴，点和点的横坐标为，设点，轴，，把点代入椭圆方程中得到，
令可得．
由的面积为，
，即，
又，
．
解得，．
故椭圆方程为．
故选：C．
13．D
【分析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
14．A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
15．B
【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
16．B
【分析】根据曲线方程表示焦点在y轴上的椭圆，列出相应的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，
故选：B
17．C
【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得，从而求得的面积.
【详解】设，
根据椭圆的定义以及余弦定理得
，
整理得，即，
所以的面积为.
故选：C
18．B
【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案
【详解】解：由椭圆可得即，
因为P为椭圆上的点，所以，
因为，所以，，故，
故选：B．
19．C
【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.
【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示．
由题意，得，．在中，①．
又②．由①②，得a＝2，所以，所以椭圆C的标准方程为．
方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：C.
20．A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接设椭圆的一般式，然后代入点的坐标，求解方程即可得到结果.
（2）根据题意可设所求的椭圆方程为，然后代入点的坐标即可求得.
（1）
设椭圆方程为
则，解得
故椭圆方程为
（2）
由已知椭圆方程可得焦点坐标为，则可设所求的椭圆方程为:
，（其中）
代入点，解得，
所以所求椭圆方程为:
22．(1)3