高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题，共41页。
考点一：椭圆的简单几何性质
考点二：直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
重难点技巧：弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
【题型归纳】
题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴
1．（2022·山东滨州·高二期末）已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
2．（2021·山东济宁·高二期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
3．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
题型二：椭圆的椭圆的范围问题
4．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦距为4，则有（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上
B．椭圆C的长轴长为6
C．椭圆C的离心率为
D．以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为
5．（2021·江苏·高二单元测试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2022·福建省永春美岭中学高二期中）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三：椭圆的离心率问题
7．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江西省广丰中学高二阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型四：椭圆的中点弦问题
10．（2022·四川南充·高二期末）过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·四川·遂宁中学高二）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：直线与椭圆的弦长问题
13．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（ ）.
A．椭圆的焦点坐标为，B．椭圆C的长轴长为4
C．直线的方程为D．
15．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：离心率综合问题
16．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·江苏·扬州大学附属中学高二阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三开学考试）椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
19．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
21．（2022·四川·德阳五中高二）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点相同，椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C方程；
(2)若直线交椭圆C于P、Q两点，l交y轴于点R．
①求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）；
②若，求实数的取值范围．
题型八：椭圆中的向量问题
22．（2022·四川泸州·高二期末）已知椭圆C:的离心率为，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线交C于A，B两点，且（O为坐标原点），求m的值．
23．（2022·江苏省海州高级中学高二）已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率
24．（2022·广西贵港·高二期末）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
【双基达标】
一、单选题
25．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等
26．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.
27．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知椭圆的左焦点坐标为，离心率，点分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上的一动点作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于点，求四边形面积的最小值.
【高分突破】
一：单选题
28．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高二单元测试）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
31．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·江苏·高二专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
二、多选题
34．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．B．当时，的面积为
C．D．的周长的最大值为
35．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．该椭圆的长轴长为
B．使为直角三角形的点共有6个
C．若点的纵坐标为1，则的长度为
D．若点是异于，的点，则直线与的斜率之积为－2
36．（2022·江西·高二阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的面积的最大值为
C．的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
37．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆C上存在点P，使得
C．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
D．若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2
38．（2022·全国·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．离心率为D．的最小值为3
39．（2022·广东·中山纪念中学）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．的最大值为1
D．以线段为直径的圆与直线相切
三、填空题
40．（2022·河南南阳·高二阶段练习）已知椭圆C：，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是______．
41．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.
42．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
43．（2022·全国·高二单元测试）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为； ②存在点A使得；
③若，则； ④面积的最大值为12．
四、解答题
44．（2022·辽宁·高二）设椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点任作一条直线交椭圆于两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某条定直线上.
45．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2022·江苏省清江中学高二）已知、是椭圆的左、右两个焦点，其中，为坐标原点．
(1)以线段为直径的圆与直线相切，求的离心率；
(2)设为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点．若椭圆的焦距为，且，求的值．
47．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，求直线的斜率．
48．（2022·河北省唐县第一中学高二）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
49．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ