中考数学一轮复习考点微专题（全国通用）考向05 乘法公式（附答案）

这是一份中考数学一轮复习考点微专题（全国通用）考向05 乘法公式（附答案），共27页。

1．乘法的平方差公式:
2．乘法的完全平方公式:
【题型探究】
题型一：运用平方差公式计算
1．（2022·河北邯郸·统考二模）若，则n的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
2．（2022·江苏扬州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·吉林松原·校考一模）小淇将（2021x+2022）2展开后得到a1x2+b1x+c1，小尧将（2022x﹣2021）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．2021B．2022C．4043D．1
题型二：平方差和几何图型问题
4．（2021·全国·九年级专题练习）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在边长a为的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图中阴影部分面积相等，可以验证（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河北·模拟预测）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：完全平方式的变形求值
7．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24B．C．D．
8．（2022·河北张家口·统考一模）若，则的值为（ ）
A．18B．C．6D．
9．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）已知、是一元二次方程－－7＝0的两个实数根，则＋4＋的值是（ ）
A．6B．2C．4D．-13
题型四：完全平方公式在几何的应用
10．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·广东梅州·统考一模）赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．（2022·贵州贵阳·统考一模）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：完全平方式
13．（2022·广东茂名·统考二模）关于 m、n 的整式 m2 + kmn + 9n 2是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．6B．- 6C．± 6D．± 18
14．（2021·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市实验学校校考一模）若，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·广东深圳·校考模拟预测）若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：乘法公式的综合问题
16．（2022·新疆·模拟预测）计算：
(1)；(2)，其中．
17．（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
18．（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
【必刷基础】
一、单选题
19．（2022·宁夏银川·校考一模）下面等式： ， ， ， ， ，，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6B．C．3D．0
21．（2022·广东东莞·校考一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022·广东东莞·校考一模）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2021·重庆开州·校考一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）三角形的三边，，满足，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【必刷培优】
一、单选题
25．（2018·山东威海·统考中考模拟）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9B．C．3D．5
26．（2021·湖南娄底·统考二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
27．（2022·山东济宁·统考二模）若二次三项式是一个完全平方式，则的可能值是（ ）
A．B．12C．6D．
28．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
29．（2021·四川眉山·校考模拟预测）已知实数a、b满足，则的值为____________．
30．（2022·四川成都·统考二模）已知，则的值是______．
31．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）已知实数a，b，c满足，，则 _____．
32．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式：______；
（2）运用（1）中的等式，计算______．
33．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，．
（1）若，则_______；
（2）若，则代数式的值是______________．
34．（2021·广西百色·一模）直接写出计算结果：
(1) ______ ；
(2) ______ ；
(3) ______ ；
(4) ______ ．
35．（2022·贵州遵义·统考一模）杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：
…
则展开式中所有项的系数和是______．
三、解答题
36．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）利用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
37．（2022·重庆·模拟预测）计算：
(1)；
(2)．
38．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
39．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
40．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
参考答案：
1．D
【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
∵
∴
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解．
【详解】解：
,
,
故选:B.
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键．
3．C
【分析】根据完全平方公式展开求出c1，c2，根据平方差公式求值即可．
【详解】解：∵（2021x+2022）2展开后得到a1x2+b1x+c1，
∴c1＝20222，
∵（2022x﹣2021）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴c2＝20212，
∴c1﹣c2
＝20222﹣20212
＝（2022+2021）×（2022﹣2021）
＝4043×1
＝4043．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，熟练掌握以上公式是解题的关键．
4．B
【分析】由面积相等列式可得答案．
【详解】解：从左图到右图的变化过程中，由面积相等可得，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列式是关键，属于基础题．
5．B
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到结果．
【详解】解：第一个图形的阴影部分的面积为：，
第二个图形阴影部分的面积为：，
则，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
6．A
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积
=（a+b）（a-b）．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
7．B
【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．
8．B
【分析】先化简原式，再将整体代入即可求解．
【详解】解：
，
将，代入上式可得：
原式，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及到完全平方公式，解题的关键是正确化简原式，理解整体思想．
9．D
【分析】根据根与系数关系定理，结合完全平方公式进行变形计算即可．
【详解】∵、是一元二次方程－－7＝0的两个实数根，
∴，
∴
=
= -13
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变形是解题的关键．
10．A
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
11．C
【分析】设直角三角形斜边上为c，根据勾股定理可得，由大正方形的面积为14，可得
，根据完全平方公式的变形可得，便可求解．
【详解】设直角三角形斜边上为c，
直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
，
大正方形的面积为14，
，
，
，
，
所以，小正方形的面积为4，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．D
【分析】由图1可得：阴影部分的面积为： 由图2可得：阴影部分的面积为： 再利用阴影部分的面积相等可得答案.
【详解】解：由图1可得：阴影部分的面积为：
由图2可得：阴影部分的面积为：
由阴影部分的面积相等可得：
故选D
【点睛】本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键.
13．C
【分析】根据完全平方式的定义：形如的式子叫做完全平方式，进行求解即可
【详解】解：∵关于 m、n 的整式 m2 + kmn + 9n2是完全平方式，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的定义是解题的关键．
14．D
【分析】由题意可知为完全平方式，可得，则，代入求解即可
【详解】解：由题意可知为完全平方式
由可得，
将代入得，则
将代入得，则
故选D
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．C
【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k的值．
【详解】由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：
kx=±2•2x•，
解得k=±．
故选：C
【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2是关键．
16．(1)
(2)，原式
【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将的值代入计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、平方差公式和完全平方公式，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．，
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可．
【详解】解：

当，时，
原式
=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式等知识点，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则．
18．(1)5
(2)47
【分析】（1）由＝、＝，进而得到﹣4x•即可解答；
（2）由＝可得=7，又＝，进而得到＝﹣2即可解答．
【详解】（1）解：∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x•
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．
19．B
【分析】①②⑥为二次根式的运算，③④⑤为整式运算，分别依据运算法则计算即可判断对错．
【详解】解：，故错误；
，故错误；
，故错误；
，故 正确；
，故错误；
，故正确，
正确的有两个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式及二次根式的运算，关键是掌握运算法则，关注计算过程，提高运算准确性．
20．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入求解即可
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，
∴，
∴
∵，且，
∴的最小值是，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
21．D
【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、 ，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．B
【分析】根据单项式乘法和同底数幂乘法法则计算并判定A；根据幂的乘方和同底数幂的除法法则计算并判定B；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定C；根据平方差公式计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握整式的运算法则计：单项式乘法和同底数幂乘法法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，积的乘方法则，平方差公式是解题词的关键．
23．B
【分析】根据整式的加减乘除运算法则进行计算，即可判断．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、2x、2y不是同类项，不能合并，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的运算，包含幂的运算，整式的加减与乘除，掌握基本的运算法则是解出此题的关键．
24．B
【分析】将所给出的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解．
【详解】解：三角形的三边，，满足，
，
，
三角形为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握将等式变形为．
25．C
【分析】计算出m−n及mn的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m−n及mn的代数式表示，整体代入即可完成求值．
【详解】∵，，
∴，mn=-1，
∴
=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值是关键．
26．D
【分析】利用完全平方公式的运算判断即可．
【详解】∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题．
27．D
【分析】根据完全平方式的概念进行判断即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴m= 2×2×3=，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方式，掌握完全平方式为或是解题关键．
28．D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．
【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．
29．
【分析】利用非负数的和为0，每个非负数均为0，求出的值，再利，求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，以及整体思想代入求值，是解题的关键．
30．4
【分析】根据，对化简，再把代入，即可．
【详解】∵
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差的知识，解题的关键是掌握平方差公式：．
31．##2.5
【分析】灵活运用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出的值即可得出答案．
【详解】解：∵，
，，
∴，
∴，
∵
，
∴
，

，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值及立方和公式，解题关键是找到相应的公式进行转换．
32． 1
【分析】根据图和图中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案；
原式可化为，再根据中的结论进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
图中阴影部分的面积为：，
图中长方形的长为，宽为，
面积为：，
则两个图形阴影部分面积相等，；
故答案为：；
（2）



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键．
33． 7 42或252##252或42
【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；
（2）利用（1）中结论得出或，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．
【详解】解：（1）∵m+n=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵m>n，
∴，
∴；
（2）
，
由（1）得或
解得：或
当m=5，时，
∵，
∴，
∴m+p=2，
∴原式
；
当，n=5时，
∵，
∴，
∴，
∴原式
；
∴代数式的值为42或252；
故答案为：①7；②42或252．
【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．
34．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式与单项式的除法运算法则计算得出答案；
逆用积的乘方法则计算得出答案；
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；
直接利用平方差公式计算得出答案．
【详解】解：；

；




；

．
故答案为：；；；．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
35．1024
【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，
当n=3时，展开式中所有项的系数和为8=23
•••
由此可知（a+b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是210=1024，
故答案为：1024．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
36．(1)9409
(2)
【分析】（1）将97写成，再利用完全平方公式计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】（1）
；
（2）

．
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，正确计算是解题的关键．
37．(1)
(2)
【分析】（1）先进行单项式乘以多项式及完全平方公式的计算，然后计算加减法即可；
（2）将分式进行化简，同时进行括号内的计算，然后再计算分式的除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】题目主要考查整式的混合运算及分式的混合运算，包括完全平方公式及平方差公式的计算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
38．(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
（1）
解：，
当时，
原式

；
故答案为：；
（2）



；
（3）
嘉淇的发现正确，理由如下：


，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
39．(1)
(2)
(3)
【分析】根据平方差公式进行计算即可；
先算括号里面的，再算除法即可；
根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
原式
；
（3）
解：原式
．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
40．(1)
(2)50
【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；
（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．
【详解】（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
，，
，
答：比多出的使用面积为50．
【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．