高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.6指数函数与对数函数(能力提升卷)(原卷版+解析)

这是一份高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.6指数函数与对数函数(能力提升卷)(原卷版+解析)，共20页。

专题4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）A．a>0，b<−1 B．a>0，−10的解集是（    ）．A．(−1,1) B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1) D．(−∞,0)∪(1,+∞)【答案】D4．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知4a=8，2m=9n=6，且1m+12n=b，则a+b=（    ）A．52 B．18 C．116 D．25．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（    ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．696．（2022·全国·高三专题练习）若a=log23，b=log34，c=log45，则a、b、c的大小关系是（    ）A．a1)的值域是[1,+∞)C．若am>an(a>0,a≠1)，则m>nD．函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图像必过定点(2,−2)11．（黑龙江省联考2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e−x−ex，实数m,n满足不等式f(3n−2m)+f(2−n)>0，则下列结论正确的是（    ）A．em>2en B．若n>−1,则n+1m+1>nmC．ln(m−n)>0 D．m2022>n202212．（2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．已知函数f(x)=ex1+ex−12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是（    ）A．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{−1,0,1}填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·全国·高一课时练习）若alog43=12，则3a+9a=___________；14．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=2x+2,x≤1,log2x−1,x>1在−∞,a上的最大值为4，则a的取值范围为________．15．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数f(x)=ln(x2−1)+2x+2−x，则使不等式f(x+1)0且a≠1）．(1)判断并证明函数fx的奇偶性；(2)若a=2，求函数y=f2x的值域．19．（2021·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m−2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a的值.（2）当a>1时，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.20．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）（1）已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点A又在函数fx=log3x+a的图像上，求不等式gx>3的解集；（2）已知−1≤log12x≤1，求函数y=14x−1−412x+2的最大值和最小值.21．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2x−12x+1．(1)判断并证明fx在其定义域上的单调性；(2)若fk⋅3x+f3x−9x+2<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=4log2x+1log2x，g(x)=m⋅4x+2x+1−m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1,+∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)+g(x2)>7成立，求实数m的取值范围. 专题4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）A．a>0，b<−1 B．a>0，−10，即b>−1又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以−130=1，0=log51c>a故选：C3．（2020·北京·高考真题）已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（    ）．A．(−1,1) B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1) D．(−∞,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.【详解】因为fx=2x−x−1，所以fx>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式fx>0的解集为：−∞,0∪1,+∞.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.4．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知4a=8，2m=9n=6，且1m+12n=b，则a+b=（    ）A．52 B．18 C．116 D．2【答案】A【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.【详解】4a=8，2m=9n=6，∴a=log48=lg8lg4=32，∴m=log26，n=log96，∴ 1m=log62，1n=log69∴b=log62+12log69=1∴a+b=52故选：A5．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（    ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】将t=t∗代入函数It=K1+e−0.23t−53结合It∗=0.95K求得t∗即可得解.【详解】∵It=K1+e−0.23t−53，所以It∗=K1+e−0.23t∗−53=0.95K，则e0.23t∗−53=19，所以，0.23t∗−53=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6．（2022·全国·高三专题练习）若a=log23，b=log34，c=log45，则a、b、c的大小关系是（    ）A．a1,b>1，c>1，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出a,c的大小关系，a,b分别与中间值32比较，得出a>32>b>1，b,c分别与中间值54比较，得出b>54>c，综合即可选出答案.【详解】解：由题意，log23>log22=1，log34>log33=1，log45>log44=1，即a>1,b>1，c>1，∵c=log45=log225=12log25=log2512=log25，而a=log23>log25，所以a>c>1，∵a=log23>log222=32，而b=log3432>b>1，又∵54=log3354=log3435，b=log34=log3444，而44>35，则log3444>log3435，即b>54，同理，∵54=log4454=log4445，c=log45=log4454，而45>54，则log4445>log4454，即54>c，综上得：a>32>b>54>c>1，所以c0.因为a+a−1+2=a122+a−122+2a12a−12=a12+a−122=16，所以a12+a12=4，故C错误.对选项D，4(4−23)2+2log23⋅log94=4(1−3)4+2log23⋅log32=1−3+2=3+1，故D正确.故选：ABD10．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）下列结论中，正确的是（    ）A．函数y=2x−1是指数函数B．函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)C．若am>an(a>0,a≠1)，则m>nD．函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图像必过定点(2,−2)【答案】BD【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得y=2x−1不是指数函数，故A 不正确.选项B. 当a>1时，y=ax2+1≥1，故B正确.选项C. 当0an，则m0，则下列结论正确的是（    ）A．em>2en B．若n>−1,则n+1m+1>nmC．ln(m−n)>0 D．m2022>n2022【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到m>n+1，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】fx的定义域为R，f−x=ex−e−x=−fx，所以fx是奇函数．因为y=e−x=1ex，y=−ex在R上都单调递减，所以fx在R上是减函数．又f3n−2m+f2−n>0，则f3n−2m>−f2−n，即f3n−2m>fn−2，所以3n−2mn+1．因为y=ex在R上是增函数，所以em>en+1>2en，故A正确；因为n>−1，所以m+1>m>n+1>0，所以n+1m+1−nm=mn+1−nm+1mm+1=m−nmm+1>0，故B正确；因为y=lnx在0,+∞上是增函数，所以lnm−n>ln1，即lnm−n>0，故C正确；取m=1，n=−3，满足m>n+1，但m2022>n2022不成立，故D错误．故选:ABC．12．（2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．已知函数f(x)=ex1+ex−12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是（    ）A．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{−1,0,1}【答案】BC【解析】计算g(−1),g(1)得出g(1)≠g(−1),g(1)≠−g(−1)判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证f(x)是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出f(x)在R上是增函数，判断选项C正确；由y=ex的范围，利用不等式的关系，可求出−120，∴1+ex>1，0<11+ex<1,−1<−11+ex<0， ∴−121在−∞,a上的最大值为4，则a的取值范围为________．【答案】1,17【分析】根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出fx=4时x的值，即可得解.【详解】解：因为fx=2x+2,x≤1,log2x−1,x>1，当x∈−∞,1时，易知fx=2x+2在−∞,1上单调递增，当x∈1,+∞时，fx=log2x−1在1,+∞上单调递增．作出fx的大致图象，如图所示．由图可知，f1=4，f17=log217−1=4，因为fx在−∞,a上的最大值为4，所以a的取值范围为1,17．故答案为：1,1715．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数f(x)=ln(x2−1)+2x+2−x，则使不等式f(x+1)0，解得：x<−1或x>1，故函数的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，又f−x=ln−x2−1+2−x+2x=lnx2−1+2−x+2x=fx，∴fx为(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数；当x>1时，y=lnx2−1单调递增，设t=2x>2，∴2x+2−x=t+1tt>2，∵y=t+1t在2,+∞上单调递增，∴y=2x+2−x在1,+∞上单调递增，∴fx在1,+∞上单调递增，又fx为偶函数，∴fx在(−∞,−1)上单调递减；由f(x+1)12x>1，解得x∈(−∞,−2)∪(1,+∞)． 故答案为：(−∞,−2)∪(1,+∞).【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.16．（2022·上海·高一专题练习）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=______.【答案】1【分析】先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【详解】解：BM=MN=NA，点A(1,0)，B(0,1)，所以M13,23N23,13，分别代入y=xα，y=xβα=log2313, β=log1323αβ=log1323⋅log2313=1故答案为：1.解答题（共6小题，满分70分）17．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝ax−1ax+1(a＞0，且a≠1)．（1）若f(2)＝35，求f(x)解析式；（2）讨论f(x)奇偶性．【答案】（1）fx=2x−12x+1；（2）奇函数．【分析】（1）根据f2=35，求函数的解析式；（2）化简f−x，再判断函数的奇偶性.【详解】解：（1）∵fx=ax−1ax+1，f2=35．即a2−1a2+1=35，∴a=2．即fx=2x−12x+1．（2）因为f(x)的定义域为R，且f−x=a−x−1a−x+1=1−ax1+ax=−fx，所以f(x)是奇函数．18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数fx=logax+1x−1（a>0且a≠1）．(1)判断并证明函数fx的奇偶性；(2)若a=2，求函数y=f2x的值域．【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)0,+∞.【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.（1）函数fx是奇函数，依题意，x+1x−1>0，解得x<−1或x>1，即fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞， 又f−x=loga−x+1−x−1=logax−1x+1=logax+1x−1−1=−logax+1x−1=−fx，所以函数fx是奇函数．（2）当a＝2时，fx=log2x+1x−1，y=f2x=log22x+12x−1=log21+22x−1，显然2x>1，则有22x−1∈0,+∞，即1+22x−1∈1,+∞，而y=log2x在0,+∞上递增，因此log21+22x−1∈0,+∞，所以y=f2x的值域是0,+∞.19．（2021·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m−2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a的值.（2）当a>1时，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）a=30；（2）m>0.【分析】（1）由题设可得F(x)=loga[x(2x+4)]，讨论a>1、00，再由对数函数的单调性可得m>−2x+x+2，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.【详解】（1）m=6，g(x)=loga(2x+4)，则F(x)=f(x)+g(x)=loga[x(2x+4)]，x∈[1,3].当a>1时，[F(x)]max=F(3)=loga30=2，所以a=30；当00，解得m>0.由f(x)<2g(x)，即logax1，∴x<(2x+m−2)2，即x<2x+m−2，得m>−2x+x+2.令t=x，t∈[1,3]，记ℎ(t)=−2t2+t+2，对称轴t=14，∴[ℎ(t)]min=ℎ(3)=3−4，故m>3−4.综上，m>0.20．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）（1）已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点A又在函数fx=log3x+a的图像上，求不等式gx>3的解集；（2）已知−1≤log12x≤1，求函数y=14x−1−412x+2的最大值和最小值.【答案】（1）3,+∞；（2）ymin=1，ymax=54.【分析】（1）结合指数函数性质首先求a的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设t=12x，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A的坐标为2,2，∴2=log32+a解得a=1.∴gx=2x−2+1.∴由gx>3得，2x−2+1>3.∴2x−2>2.∴x−2>1.∴x>3.∴不等式gx>3的解集为3,+∞.（2）由−1≤log12x≤1得12≤x≤2令t=12x，则14≤t≤22，y=4t2−4t+2=4t−122+1.∴当t=12，即12x=12，x=1时，ymin=1，当t=14，即12x=14，x=2时，ymax=54.【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．21．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2x−12x+1．(1)判断并证明fx在其定义域上的单调性；(2)若fk⋅3x+f3x−9x+2<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)fx在R上单调递增；证明见解析；(2)−∞,43【分析】（1）设x2>x1，可整理得到fx2−fx1=22x2−2x12x2+12x1+1>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得fx为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为kx1，∴fx2−fx1=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=2x2−12x1+1−2x2+12x1−12x2+12x1+1 =22x2−2x12x2+12x1+1；∵x2>x1，∴2x2−2x1>0，又2x2+1>0，2x1+1>0，∴fx2−fx1>0，∴fx在R上单调递增.（2）∵f−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−fx，∴fx为R上的奇函数，由fk⋅3x+f3x−9x+2<0得：fk⋅3x<−f3x−9x+2=f9x−3x−2，由（1）知：fx在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在1,+∞上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在1,+∞上恒成立；令gx=3x−23x−1，∵y=3x在1,+∞上单调递增，y=23x在1,+∞上单调递减，∴gx在1,+∞上单调递增，∴gx≥g1=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为−∞,43.22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=4log2x+1log2x，g(x)=m⋅4x+2x+1−m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1,+∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)+g(x2)>7成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)最小值为4；(2)答案见解析；(3)−3+527−fxmax，然后结合（2）求得答案.（1）当x∈1,+∞时，log2x>0，所以4log2x+1log2x≥24log2x⋅1log2x=4，当且仅当4log2x=1log2x，即x=2时，等号成立，所以，函数fx在区间1,+∞上的最小值为4.（2）gx=m⋅4x+2x+1−m=m2x2+2⋅2x−m，x∈1,2，令2x=t，则上述函数化为yt=mt2+2t−m， t∈2,4.因为m<0，所以对称轴t=−1m>0，当−1m≤2，即m≤−12时，函数yt在2,4上单调递减，所以当t=2时，ymax=3m+4；当2<−1m<4，即−127成立，等价于gx2>7−fx1成立，即gxmax>7−fxmax，由（1）可知，当x∈1,+∞时，7−fxmax=7−fxmin，因此，只需要gxmax>3.所以当−14≤m<0时，15m+8>3，解得m>−13，所以−14≤m<0；当−123，解得m<−3−52或−3+523，解得m>−13，此时解集为空集；综上，实数m的取值范围为−3+52