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高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第04课时排列与组合(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第04课时排列与组合(原卷版+解析)，共27页。
【回归教材】
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示．
3.排列数、组合数的公式及性质
【典例讲练】
题型一 排列应用题
【例1-1】（1）若，则________； （2）不等式的解集为________．
【例1-2】有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
归纳总结：
【练习1-1】若，则n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【练习1-2】某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【练习1-3】随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（ ）
A．144B．24C．72D．60
题型二 组合应用题
【例2-1】解不等式：.
【例2-2】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有5个班级，现将7个参赛名额分配给这5个班级，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法为（ ）
A．21种B．18种C．15种D．10种
【例2-3】男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.
（1）任选人
（2）男运动员名,女运动员名
（3）至少有名女运动员
（4）队长至少有一人参加
（5）既要有队长,又要有女运动员
归纳总结：
【练习2-1】在10件产品中，有8件正品，2件次品，从这10件产品中任意抽出3件.
(1)共有多少种不同抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
题型三 分组、分配问题
【例3-1】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
【例3-2】第24届冬季奥林匹克运动会在北京举办，据此，北京成为世界上第一座双奥之城，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情．现将5名志愿者分到3个不同的场所进行志愿服务，要求每个场所至少1人，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．90种C．300种D．360种
归纳总结：
【练习3-1】现有张奖券，其中有一、二、三等奖各张，其余张无奖，现将这张奖券随机分发给名同学，每人张，则恰有两人获奖的情况数是（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
【练习3-3】某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
题型四 排列组合综合题
【例4-1】现选派3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个社区的防疫工作，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的安排方法有______种（用数字填写答案）．
【例4-2】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）
A．12B．48C．72D．96
【例4-3】北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）种．
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种B．480种C．540种D．720种
【练习4-2】英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为（ ）（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
A．2520B．3360C．25200D．4530
【练习4-3】《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（ ）
A．30种B．54种C．60种D．64种
【完成课时作业（六十六）】
【课时作业（六十六）】
A组 础题巩固
1．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
2．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．32B．48C．40D．56
5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85B．86C．9D．90
6．中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种B． 种C． 种D． 种
7．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
8．年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（ ）
A．200B．240C．300D．600
9．霍庆市海军青少年航空学校招生，某服务站点需要连续五天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有5名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．48种B．60种C．76种D．96种
10．若，则________．
11．某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.
12．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有________种．
13．某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
B组 挑战自我
1．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A．540B．480C．360D．240
2．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种B．7200种C．7800种D．8400种
3．设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
4．某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝ ＝eq \f(n！,n－m！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(3)0！＝ ；Aeq \\al(n,n)＝ ！
(4)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝
第 4 课时 排列与组合
编写：廖云波
【回归教材】
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \\al(m,n)表示．
3.排列数、组合数的公式及性质
【典例讲练】
题型一 排列应用题
【例1-1】（1）若，则________；
（2）不等式的解集为________．
【答案】 3
【分析】（1）利用排列数的计算公式化简计算，再结合的取值范围即可得出答案.
（2）利用排列数的计算公式化简计算，再结合的取值范围即可得出答案.
【详解】（1）原方程可化为，
化简得，解得或或或．
由，得，且，所以．
（2）原不等式可化为，其中，，
整理得，即，所以或．
因为，，所以，，所以原不等式的解集为．
故答案为：3，.
【例1-2】有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520
(2)144
(3)3600
(4)3720
(5)840
(6)720
(7)960
(8)240
【分析】（1）根据排列即可求解，
（2）根据不相邻问题运用插空法即可求解，
（3）根据特殊元素或者特殊位置优先安排即可求解,
（4）根据分类加法计数原理即可分两类情况分别求解：一类甲在最后最右端，另一类甲在出来左右两端之外的中间5个位置中选一个，
（5）根据定序问题利用除法即可求解，
（6）先安排好甲，剩余人员全排列即可，
（7）甲乙相邻问题，然后甲乙整体与丙属于不相邻问题，分别利用捆绑法和插空法即可分步求解，
（8）根据圆桌问题，利用定序问题的除法公式即可求解.
（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
归纳总结：
【练习1-1】若，则n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的运算求解即可.
【详解】由得，，
又，
所以，解得，
所以正整数n为8．
故选：B.
【练习1-2】某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【答案】(1)96
(2)48
(3)72
【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；
（2）先排A，B这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；
（3）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空.
(1)
先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(2)
先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(3)
先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.
【练习1-3】随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（ ）
A．144B．24C．72D．60
【答案】D
【分析】由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆4个空位留下5个空隙供3辆车选择即可.
【详解】由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆好4个空车位，4个空车位之间共有5个空隙可供3辆车选择停车．
因此，任何两辆车都不相邻的停车种数共有.
故选：D．
题型二 组合应用题
【例2-1】解不等式：.
【答案】
【分析】根据组合数的计算公式可得解集.
【详解】解：由题意，得，.
原不等式可化简为
，
即，解得.
又，，所以.
【例2-2】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有5个班级，现将7个参赛名额分配给这5个班级，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法为（ ）
A．21种B．18种C．15种D．10种
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用隔板法直接求解作答.
【详解】7个参赛名额分配给5个班级，每班至少1个参赛名额，名额无区别，
可将7个参赛名额视为7个球，排成一列形成6个空隙，插入4块隔板分成5份，每一份至少一个球，即至少一个名额，
所以不同分配方法为.
故选：C
【例2-3】男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.
（1）任选人
（2）男运动员名,女运动员名
（3）至少有名女运动员
（4）队长至少有一人参加
（5）既要有队长,又要有女运动员
【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191
【分析】（1）男运动员名,女运动员名,共名,任选5人的选法为:,即可求得任选5人的选法;
（2）本题是一个分步计数问题,首先选名男运动员,有种选法.再选名女运动员,有种选法.利用乘法原理,即可求得答案;
（3）至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男.分别写出这几种结果,利用分类加法原理,即可求得答案;
（4）只有男队长为种选法,只有女队长为种选法,男、女队长都入选为种选法,把所有的结果数相加,即可求得答案;
（5）当有女队长,其他人选法任意,共有种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法.其中选男队长,不含女运动员种选法,即可求得答案.
【详解】（1） 男运动员名,女运动员名,共名
任选人的选法为:
任选人,共有种选法.
（2） 选派男运动员名,女运动员名.
首先选名男运动员,有种选法,再选名女运动员,有种选法
根据分步计数乘法原理
选派男运动员名,女运动员名,共有种选法.
（3） 至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男.
由分类加法计数原理可得有:.
至少有名女运动员有种选法.
（4） 只有男队长的选法为选法,只有女队长的选法为选法
又 男、女队长都入选的选法为选法.
共有种选法.
队长至少有一人参加有:种选法.
（5） 当有女队长,其他人选法任意,共有种选法,
不选女队长时,必选男队长,共有种选法,
选男队长且不含女运动员有种选法.
不选女队长时共有种选法.
既有队长又有女运动员共有:种选法.
归纳总结：
【练习2-1】在10件产品中，有8件正品，2件次品，从这10件产品中任意抽出3件.
(1)共有多少种不同抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
【答案】(1)120
(2)56
(3)64
【分析】（1）根据组合定义可得答案；
（2）根据组合定义可得答案；
（3）根据组合定义和间接法可得答案.
(1)
从这10件产品中任意抽出3件有种.
(2)
抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有种.
(3)
抽出的3件中至少有1件次品的抽法有种.
题型三 分组、分配问题
【例3-1】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是无序不均匀分组问题，直接利用组合数公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均匀分组问题．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．这是平均分组问题，求出组合总数除以即可．
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本，甲、乙、丙三人有序均匀分组问题．直接求出即可，
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本．这是部分平均分组问题，求出组合总数除以即可，
(1)
解：依题意，先选1本有种选法；
再从余下的5本中选2本有种选法；
最后余下3本全选有种方法，故共有种．
(2)
解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有种．
(3)
解：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复．
不妨记6本书为、、、、、，
若第一步取了，第二步取了，第三步取了，记该种分法为，，，
则种分法中还有，，、，，、，，、，，、，，，共种情况，
而这种情况仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，
故分配方式有种．
(4)
解：在（3）的基础上，还应考虑再分配，共有种．
(5)
解：无序均匀分组问题，种，
【例3-2】第24届冬季奥林匹克运动会在北京举办，据此，北京成为世界上第一座双奥之城，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情．现将5名志愿者分到3个不同的场所进行志愿服务，要求每个场所至少1人，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．90种C．300种D．360种
【答案】A
【分析】根据题意，5名志愿者去3个地方，有两种可能，根据部分分组的原理求解.
【详解】依题意，5名志愿者去3个场所，每个场所至少1人，有以下两种可能，3个场所可能分别有或名志愿者，根据部分均分的分组公式，分组的可能有：种，在把这些分组分到三个不同的场所，有种.
故选：A.
归纳总结：
【练习3-1】现有张奖券，其中有一、二、三等奖各张，其余张无奖，现将这张奖券随机分发给名同学，每人张，则恰有两人获奖的情况数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，结合分组分配的原理可得结果.
【详解】只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，
则两人中有一人分了两张奖券，故恰有两人获奖的情况数是.
故选：B.
【练习3-2】名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
【答案】(1)126种；
(2)60种；
【分析】（1）先让每位同学拿一个口罩，余下10个用隔板法求解作答.
（2）利用分步计数乘法原理从6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三个场馆列式计算作答.
(1)
个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
(2)
求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，
所以不同的安排方法有 种.
【练习3-3】某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【答案】.
【分析】将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
题型四 排列组合综合题
【例4-1】现选派3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个社区的防疫工作，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的安排方法有______种（用数字填写答案）．
【答案】36
【分析】分类根据加法原理和分步乘法原理进行计算.
【详解】设两个社区为A，，
若A社区派遣2名医生，则共有种不同的派遣方法，
若A社区派遣3名医生，则共有种不同的派遣方法，
若A社区派遣4名医生，等同社派遣2名医生，则共有种不同的派遣方法，
综合①②③得：则不同的派遣方法有，
故选：C．
【例4-2】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）
A．12B．48C．72D．96
【答案】B
【分析】此题分为物理在第一或第五个位置、物理在第二或第四个位置和物理在第三个位置，分别求出它们的总数即可求出答案.
【详解】物理在第一或第五个位置，共有：种；
物理在第二或第四个位置，共有：种；
物理在第三个位置，共有：种；
所以同一科目书都不相邻的放法种数是：.
故选：B.
【例4-3】北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）种．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.
【详解】由题意可以分为两种情况：
第一种：四人一组和两人一组，共有；
第二种：三人一组和三人一组，共有；
所以不同的方案一共有：.
故选：B.
归纳总结：
【练习4-1】某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种B．480种C．540种D．720种
【答案】A
【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.
【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，
有，总共有种.
故选：A.
【练习4-2】英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为（ ）（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
A．2520B．3360C．25200D．4530
【答案】A
【分析】排列定序问题与不相邻问题综合，先去掉排列其他个字母，再插入字母．
【详解】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，再插入个字母，共有种，所以一共有种，
故选：A．
【练习4-3】《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（ ）
A．30种B．54种C．60种D．64种
【答案】B
【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.
【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.
故选：B
【完成课时作业（六十六）】
【课时作业（六十六）】
A组 础题巩固
1．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
2．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果.
【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
故选：C.
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
4．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．32B．48C．40D．56
【答案】B
【分析】分为（3，3）两组、（2，4）两组两种情况讨论，分别计算每一组分配方法求和可得答案.
【详解】分两种情况讨论：
分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法；
分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法，
故共有种分配方法.
故选：B.
5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85B．86C．9D．90
【答案】B
【分析】由加法原理分类计算：第一类，男生甲入选，女生乙不入选；第二类，男生甲不入选，女生乙入选；第三类，男生甲、女生乙均入选，由此计算可得，其中第一类和第二类里计算时还需要再按男女生人数分类．
【详解】由题意，可分三类考虑：
第一类，男生甲入选，女生乙不入选，选法种数为；
第二类，男生甲不入选，女生乙入选，选法种数为；
第三类，男生甲、女生乙均入选，选法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为．
故选：B．
6．中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种B． 种C． 种D． 种
【答案】C
【分析】在排列时，相邻元素用捆绑法，特殊元素特殊安排，利用分步计数原理即可求解.
【详解】首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.
故选：C
7．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】A
【分析】由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人，剩余两人为两组，第二步把三组人安排到3个路口即可.
【详解】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，
又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组，
然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，
故选：A
8．年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（ ）
A．200B．240C．300D．600
【答案】C
【分析】由于三个0均不相邻，所以采用插空法，第一步排列两个2，两个1，一个7，第二步再把0插入其中五个空，即可得答案.
【详解】利用插空法，第一步排列两个2，两个1，一个7，共有种排法，
第二步再把0插入其中五个空，所以有种排法，
所以共有个八位数.
故选：C.
9．霍庆市海军青少年航空学校招生，某服务站点需要连续五天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有5名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．48种B．60种C．76种D．96种
【答案】B
【分析】考虑两种情况，即乙丙之间恰好安排的是甲，与乙丙之间安排的不恰好是甲两种情况，采用插空法以及捆绑法，即可求得答案.
【详解】当乙丙两人之间恰好安排的是甲时，先排甲乙丙之外的两人有种排法，
将乙甲丙三人看作一个人，但乙丙可以交换位置，插到其余两人的空位中，
此时共有种安排方案，
当乙丙之间安排的不恰好是甲时，先排甲乙丙之外的两人有种排法，再将乙丙插入到先排的两人之间的空位中，有种排法，由于甲不安排第一天，故将甲插入到排完的四人形成的后面四个空位中，
此时共有 种安排方案，
故不同的安排方案共有种安排方案，
故选：B
10．若，则________．
【答案】5
【分析】利用排列数和组合数公式直接计算可得.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：5.
11．某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.
【答案】3600
【解析】先将5辆不同型号的轿车停放好，再用插空法将空车插入5辆不同型号的轿车产生的空位中即可.
【详解】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有种不同停法，第二步，再将3个空
车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有种不同的插法，根据分步
乘法原理得不同的停放方法种.
故答案为：3600.
【点睛】本题考查计数原理中的排列问题，求解排列问题主要有以下方法：1.直接法，2.优先法，3.捆绑法，4.插空法，5.先整体后局部，6.定序问题除法处理，7.间接法等，做题时要灵活处理和运用，是一道中档题.
12．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有________种．
【答案】28
【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可．
【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有；
第二种：三人一组和三人一组，共有；
所以不同的方案一共有：．
故答案为：28
13．某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
【答案】(1)105；
(2)105；
(3)87.
【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案；
（2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案；
（3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案.
（1）
若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）.
（2）
由题意，可分为三类考虑：
第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法；
第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法；
第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法．
所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）．
（3）
张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类．
第一类，张雅参加，则有种派法，
第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法．
所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）．
B组 挑战自我
1．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A．540B．480C．360D．240
【答案】A
【分析】把6名工作人员分别分为，1，，，2，，，2，三种情况讨论，然后分别计算即可求解．
【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：种，
把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：种，
把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：种，
综上，不同的安排方式共有种，
故选：A．
2．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种B．7200种C．7800种D．8400种
【答案】D
【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.
【详解】由题意可知安排方法分三类：
第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有（种）；
第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有（种）；
第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有（种）；
故总的安排方法有（种）．
故选：D．
3．设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.
故选：A
4．某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
【答案】
【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果.
【详解】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种
故答案为：.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝eq \f(n！,n－m！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(3)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！
(4)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)
【回归教材】
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示．
3.排列数、组合数的公式及性质
【典例讲练】
题型一 排列应用题
【例1-1】（1）若，则________； （2）不等式的解集为________．
【例1-2】有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
归纳总结：
【练习1-1】若，则n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【练习1-2】某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【练习1-3】随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（ ）
A．144B．24C．72D．60
题型二 组合应用题
【例2-1】解不等式：.
【例2-2】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有5个班级，现将7个参赛名额分配给这5个班级，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法为（ ）
A．21种B．18种C．15种D．10种
【例2-3】男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.
（1）任选人
（2）男运动员名,女运动员名
（3）至少有名女运动员
（4）队长至少有一人参加
（5）既要有队长,又要有女运动员
归纳总结：
【练习2-1】在10件产品中，有8件正品，2件次品，从这10件产品中任意抽出3件.
(1)共有多少种不同抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
题型三 分组、分配问题
【例3-1】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
【例3-2】第24届冬季奥林匹克运动会在北京举办，据此，北京成为世界上第一座双奥之城，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情．现将5名志愿者分到3个不同的场所进行志愿服务，要求每个场所至少1人，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．90种C．300种D．360种
归纳总结：
【练习3-1】现有张奖券，其中有一、二、三等奖各张，其余张无奖，现将这张奖券随机分发给名同学，每人张，则恰有两人获奖的情况数是（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
【练习3-3】某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
题型四 排列组合综合题
【例4-1】现选派3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个社区的防疫工作，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的安排方法有______种（用数字填写答案）．
【例4-2】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）
A．12B．48C．72D．96
【例4-3】北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）种．
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种B．480种C．540种D．720种
【练习4-2】英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为（ ）（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
A．2520B．3360C．25200D．4530
【练习4-3】《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（ ）
A．30种B．54种C．60种D．64种
【完成课时作业（六十六）】
【课时作业（六十六）】
A组 础题巩固
1．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
2．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．32B．48C．40D．56
5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85B．86C．9D．90
6．中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种B． 种C． 种D． 种
7．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
8．年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（ ）
A．200B．240C．300D．600
9．霍庆市海军青少年航空学校招生，某服务站点需要连续五天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有5名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．48种B．60种C．76种D．96种
10．若，则________．
11．某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.
12．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有________种．
13．某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
B组 挑战自我
1．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A．540B．480C．360D．240
2．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种B．7200种C．7800种D．8400种
3．设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
4．某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝ ＝eq \f(n！,n－m！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(3)0！＝ ；Aeq \\al(n,n)＝ ！
(4)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝
第 4 课时 排列与组合
编写：廖云波
【回归教材】
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \\al(m,n)表示．
3.排列数、组合数的公式及性质
【典例讲练】
题型一 排列应用题
【例1-1】（1）若，则________；
（2）不等式的解集为________．
【答案】 3
【分析】（1）利用排列数的计算公式化简计算，再结合的取值范围即可得出答案.
（2）利用排列数的计算公式化简计算，再结合的取值范围即可得出答案.
【详解】（1）原方程可化为，
化简得，解得或或或．
由，得，且，所以．
（2）原不等式可化为，其中，，
整理得，即，所以或．
因为，，所以，，所以原不等式的解集为．
故答案为：3，.
【例1-2】有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520
(2)144
(3)3600
(4)3720
(5)840
(6)720
(7)960
(8)240
【分析】（1）根据排列即可求解，
（2）根据不相邻问题运用插空法即可求解，
（3）根据特殊元素或者特殊位置优先安排即可求解,
（4）根据分类加法计数原理即可分两类情况分别求解：一类甲在最后最右端，另一类甲在出来左右两端之外的中间5个位置中选一个，
（5）根据定序问题利用除法即可求解，
（6）先安排好甲，剩余人员全排列即可，
（7）甲乙相邻问题，然后甲乙整体与丙属于不相邻问题，分别利用捆绑法和插空法即可分步求解，
（8）根据圆桌问题，利用定序问题的除法公式即可求解.
（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
归纳总结：
【练习1-1】若，则n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的运算求解即可.
【详解】由得，，
又，
所以，解得，
所以正整数n为8．
故选：B.
【练习1-2】某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【答案】(1)96
(2)48
(3)72
【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；
（2）先排A，B这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；
（3）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空.
(1)
先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(2)
先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(3)
先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.
【练习1-3】随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（ ）
A．144B．24C．72D．60
【答案】D
【分析】由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆4个空位留下5个空隙供3辆车选择即可.
【详解】由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆好4个空车位，4个空车位之间共有5个空隙可供3辆车选择停车．
因此，任何两辆车都不相邻的停车种数共有.
故选：D．
题型二 组合应用题
【例2-1】解不等式：.
【答案】
【分析】根据组合数的计算公式可得解集.
【详解】解：由题意，得，.
原不等式可化简为
，
即，解得.
又，，所以.
【例2-2】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有5个班级，现将7个参赛名额分配给这5个班级，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法为（ ）
A．21种B．18种C．15种D．10种
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用隔板法直接求解作答.
【详解】7个参赛名额分配给5个班级，每班至少1个参赛名额，名额无区别，
可将7个参赛名额视为7个球，排成一列形成6个空隙，插入4块隔板分成5份，每一份至少一个球，即至少一个名额，
所以不同分配方法为.
故选：C
【例2-3】男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.
（1）任选人
（2）男运动员名,女运动员名
（3）至少有名女运动员
（4）队长至少有一人参加
（5）既要有队长,又要有女运动员
【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191
【分析】（1）男运动员名,女运动员名,共名,任选5人的选法为:,即可求得任选5人的选法;
（2）本题是一个分步计数问题,首先选名男运动员,有种选法.再选名女运动员,有种选法.利用乘法原理,即可求得答案;
（3）至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男.分别写出这几种结果,利用分类加法原理,即可求得答案;
（4）只有男队长为种选法,只有女队长为种选法,男、女队长都入选为种选法,把所有的结果数相加,即可求得答案;
（5）当有女队长,其他人选法任意,共有种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法.其中选男队长,不含女运动员种选法,即可求得答案.
【详解】（1） 男运动员名,女运动员名,共名
任选人的选法为:
任选人,共有种选法.
（2） 选派男运动员名,女运动员名.
首先选名男运动员,有种选法,再选名女运动员,有种选法
根据分步计数乘法原理
选派男运动员名,女运动员名,共有种选法.
（3） 至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男.
由分类加法计数原理可得有:.
至少有名女运动员有种选法.
（4） 只有男队长的选法为选法,只有女队长的选法为选法
又 男、女队长都入选的选法为选法.
共有种选法.
队长至少有一人参加有:种选法.
（5） 当有女队长,其他人选法任意,共有种选法,
不选女队长时,必选男队长,共有种选法,
选男队长且不含女运动员有种选法.
不选女队长时共有种选法.
既有队长又有女运动员共有:种选法.
归纳总结：
【练习2-1】在10件产品中，有8件正品，2件次品，从这10件产品中任意抽出3件.
(1)共有多少种不同抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
【答案】(1)120
(2)56
(3)64
【分析】（1）根据组合定义可得答案；
（2）根据组合定义可得答案；
（3）根据组合定义和间接法可得答案.
(1)
从这10件产品中任意抽出3件有种.
(2)
抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有种.
(3)
抽出的3件中至少有1件次品的抽法有种.
题型三 分组、分配问题
【例3-1】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是无序不均匀分组问题，直接利用组合数公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均匀分组问题．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．这是平均分组问题，求出组合总数除以即可．
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本，甲、乙、丙三人有序均匀分组问题．直接求出即可，
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本．这是部分平均分组问题，求出组合总数除以即可，
(1)
解：依题意，先选1本有种选法；
再从余下的5本中选2本有种选法；
最后余下3本全选有种方法，故共有种．
(2)
解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有种．
(3)
解：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复．
不妨记6本书为、、、、、，
若第一步取了，第二步取了，第三步取了，记该种分法为，，，
则种分法中还有，，、，，、，，、，，、，，，共种情况，
而这种情况仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，
故分配方式有种．
(4)
解：在（3）的基础上，还应考虑再分配，共有种．
(5)
解：无序均匀分组问题，种，
【例3-2】第24届冬季奥林匹克运动会在北京举办，据此，北京成为世界上第一座双奥之城，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情．现将5名志愿者分到3个不同的场所进行志愿服务，要求每个场所至少1人，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．90种C．300种D．360种
【答案】A
【分析】根据题意，5名志愿者去3个地方，有两种可能，根据部分分组的原理求解.
【详解】依题意，5名志愿者去3个场所，每个场所至少1人，有以下两种可能，3个场所可能分别有或名志愿者，根据部分均分的分组公式，分组的可能有：种，在把这些分组分到三个不同的场所，有种.
故选：A.
归纳总结：
【练习3-1】现有张奖券，其中有一、二、三等奖各张，其余张无奖，现将这张奖券随机分发给名同学，每人张，则恰有两人获奖的情况数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，结合分组分配的原理可得结果.
【详解】只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，
则两人中有一人分了两张奖券，故恰有两人获奖的情况数是.
故选：B.
【练习3-2】名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
【答案】(1)126种；
(2)60种；
【分析】（1）先让每位同学拿一个口罩，余下10个用隔板法求解作答.
（2）利用分步计数乘法原理从6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三个场馆列式计算作答.
(1)
个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
(2)
求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，
所以不同的安排方法有 种.
【练习3-3】某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【答案】.
【分析】将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
题型四 排列组合综合题
【例4-1】现选派3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个社区的防疫工作，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的安排方法有______种（用数字填写答案）．
【答案】36
【分析】分类根据加法原理和分步乘法原理进行计算.
【详解】设两个社区为A，，
若A社区派遣2名医生，则共有种不同的派遣方法，
若A社区派遣3名医生，则共有种不同的派遣方法，
若A社区派遣4名医生，等同社派遣2名医生，则共有种不同的派遣方法，
综合①②③得：则不同的派遣方法有，
故选：C．
【例4-2】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）
A．12B．48C．72D．96
【答案】B
【分析】此题分为物理在第一或第五个位置、物理在第二或第四个位置和物理在第三个位置，分别求出它们的总数即可求出答案.
【详解】物理在第一或第五个位置，共有：种；
物理在第二或第四个位置，共有：种；
物理在第三个位置，共有：种；
所以同一科目书都不相邻的放法种数是：.
故选：B.
【例4-3】北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）种．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.
【详解】由题意可以分为两种情况：
第一种：四人一组和两人一组，共有；
第二种：三人一组和三人一组，共有；
所以不同的方案一共有：.
故选：B.
归纳总结：
【练习4-1】某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种B．480种C．540种D．720种
【答案】A
【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.
【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，
有，总共有种.
故选：A.
【练习4-2】英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为（ ）（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
A．2520B．3360C．25200D．4530
【答案】A
【分析】排列定序问题与不相邻问题综合，先去掉排列其他个字母，再插入字母．
【详解】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，再插入个字母，共有种，所以一共有种，
故选：A．
【练习4-3】《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（ ）
A．30种B．54种C．60种D．64种
【答案】B
【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.
【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.
故选：B
【完成课时作业（六十六）】
【课时作业（六十六）】
A组 础题巩固
1．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
2．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果.
【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
故选：C.
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
4．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．32B．48C．40D．56
【答案】B
【分析】分为（3，3）两组、（2，4）两组两种情况讨论，分别计算每一组分配方法求和可得答案.
【详解】分两种情况讨论：
分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法；
分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法，
故共有种分配方法.
故选：B.
5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85B．86C．9D．90
【答案】B
【分析】由加法原理分类计算：第一类，男生甲入选，女生乙不入选；第二类，男生甲不入选，女生乙入选；第三类，男生甲、女生乙均入选，由此计算可得，其中第一类和第二类里计算时还需要再按男女生人数分类．
【详解】由题意，可分三类考虑：
第一类，男生甲入选，女生乙不入选，选法种数为；
第二类，男生甲不入选，女生乙入选，选法种数为；
第三类，男生甲、女生乙均入选，选法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为．
故选：B．
6．中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种B． 种C． 种D． 种
【答案】C
【分析】在排列时，相邻元素用捆绑法，特殊元素特殊安排，利用分步计数原理即可求解.
【详解】首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.
故选：C
7．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】A
【分析】由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人，剩余两人为两组，第二步把三组人安排到3个路口即可.
【详解】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，
又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组，
然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，
故选：A
8．年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（ ）
A．200B．240C．300D．600
【答案】C
【分析】由于三个0均不相邻，所以采用插空法，第一步排列两个2，两个1，一个7，第二步再把0插入其中五个空，即可得答案.
【详解】利用插空法，第一步排列两个2，两个1，一个7，共有种排法，
第二步再把0插入其中五个空，所以有种排法，
所以共有个八位数.
故选：C.
9．霍庆市海军青少年航空学校招生，某服务站点需要连续五天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有5名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．48种B．60种C．76种D．96种
【答案】B
【分析】考虑两种情况，即乙丙之间恰好安排的是甲，与乙丙之间安排的不恰好是甲两种情况，采用插空法以及捆绑法，即可求得答案.
【详解】当乙丙两人之间恰好安排的是甲时，先排甲乙丙之外的两人有种排法，
将乙甲丙三人看作一个人，但乙丙可以交换位置，插到其余两人的空位中，
此时共有种安排方案，
当乙丙之间安排的不恰好是甲时，先排甲乙丙之外的两人有种排法，再将乙丙插入到先排的两人之间的空位中，有种排法，由于甲不安排第一天，故将甲插入到排完的四人形成的后面四个空位中，
此时共有 种安排方案，
故不同的安排方案共有种安排方案，
故选：B
10．若，则________．
【答案】5
【分析】利用排列数和组合数公式直接计算可得.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：5.
11．某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.
【答案】3600
【解析】先将5辆不同型号的轿车停放好，再用插空法将空车插入5辆不同型号的轿车产生的空位中即可.
【详解】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有种不同停法，第二步，再将3个空
车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有种不同的插法，根据分步
乘法原理得不同的停放方法种.
故答案为：3600.
【点睛】本题考查计数原理中的排列问题，求解排列问题主要有以下方法：1.直接法，2.优先法，3.捆绑法，4.插空法，5.先整体后局部，6.定序问题除法处理，7.间接法等，做题时要灵活处理和运用，是一道中档题.
12．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有________种．
【答案】28
【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可．
【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有；
第二种：三人一组和三人一组，共有；
所以不同的方案一共有：．
故答案为：28
13．某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
【答案】(1)105；
(2)105；
(3)87.
【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案；
（2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案；
（3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案.
（1）
若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）.
（2）
由题意，可分为三类考虑：
第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法；
第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法；
第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法．
所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）．
（3）
张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类．
第一类，张雅参加，则有种派法，
第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法．
所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）．
B组 挑战自我
1．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A．540B．480C．360D．240
【答案】A
【分析】把6名工作人员分别分为，1，，，2，，，2，三种情况讨论，然后分别计算即可求解．
【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：种，
把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：种，
把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：种，
综上，不同的安排方式共有种，
故选：A．
2．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种B．7200种C．7800种D．8400种
【答案】D
【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.
【详解】由题意可知安排方法分三类：
第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有（种）；
第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有（种）；
第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有（种）；
故总的安排方法有（种）．
故选：D．
3．设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.
故选：A
4．某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
【答案】
【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果.
【详解】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种
故答案为：.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝eq \f(n！,n－m！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(3)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！
(4)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)
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