2024陕西中考数学二轮专题训练 题型八 几何测量问题 (含答案)

这是一份2024陕西中考数学二轮专题训练 题型八 几何测量问题 (含答案)，共12页。
【类型解答】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年解答题中考查3次，分值为6分或7分．考查特点 ：设问均为底部不可及的测量问题，且都是通过在两个直角三角形中解决问题．
1. 西安奥体中心体育馆是第十四届全运会的主场馆之一，其顶部有16个角舒展绽放，像盛开的花瓣．某日，家住附近的小华和小明想测量其中一个角顶部距离地面的高度AB，由于施工，点B周围设有20米宽的禁行区域MN.如图所示，小明先在距离点M 60米远的D处用测倾器CD测得顶部A的仰角为30°，然后小华在距离点N 30米远的F处用测倾器EF测得顶部A的仰角为45°，已知测倾器的高CD＝EF＝1.5米，点D、M、B、N、F在同一条直线上，CD、EF均垂直于DF，求角顶部距离地面的高度AB.(结果用根号表示)
第1题图
2. 某广场的平面示意图大致如图所示，小明和小凯想用测量知识测量广场的南北长度．首先，他们在广场最北边选取一点A，测得建筑物最西端M位于点A南偏东37°方向，然后沿着广场边缘向东行走10 m，到达点B，测得该建筑物最东端N位于点B南偏东45°方向．已知建筑物东西长度MN为60 m，且点M、N在广场的最南端边上，求该广场的南北长度．(结果精确到1 m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq \r(2)≈1.41)
第2题图
3. [真实问题情境]如图①，是一个手动饸饹机的实物图，图②是其示意图，已知手柄的长度AB＝36 cm，BD＝4 cm，支架的高度EF＝33 cm.抬至最高时与水平方向的夹角∠ABC约为52°，A、C、E、F四点共线．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin52°≈0.79，cs52°≈0.62，tan52°≈1.28)
(1)求饸饹机手柄上的点A到水平面GF的距离；
(2)李师傅压制饸饹时，某一时刻AB与水平方向的夹角为30°，则手柄AB上点A的高度降低了多少？
第3题图
类型二 与相似三角形有关的几何测量
【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年解答题考查6次．考查特点：以利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背景，设问多为测量高度.
1. 大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B′处，请人不断测量他的影子B′C′，当他的影子B′C′和身高A′B′相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A与相应底棱中点B的距离约为22.2米，此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上，聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．
第1题图
2. 小唯想利用所学的知识测量学校旗杆的高度，一天下午，她和学习小组来到旗杆前，由于旗杆下面有旗杆台，到旗杆底部的距离无法测量到，于是她们先在旗杆周围的空地上选择一点E并放置小平面镜，小唯沿着BE方向移动到点D处，她恰好在小平面镜内看到旗杆顶端A的像，此时测得DE＝0.8 m，然后小唯拿着自制的直角三角板FMN在BE方向移动，在点G处用眼睛观察到斜边FM与点A在同一条直线上，测得DG＝7.4 m．已知直角三角板的直角边MN＝9 cm，FN＝12 cm，小唯的眼睛与地面的距离CD＝FG＝1.6 m，AB、CD、FG、MN均垂直于BG，求旗杆的高度AB.(平面镜大小忽略不计)
第2题图
3. 如图，河岸旁种植了两排平行的树，且每排每两棵树之间的距离为3 m，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在中间两棵树QP的延长线上选取一点A，恰好发现点A、树B、树C在一条直线上，然后小明后退10 m到达点D处，发现点D、树E、树F在一条直线上．已知PQ所在的直线垂直于两岸的树，且两排树均用图中的黑点表示，求河岸旁两排树之间的距离PQ.
第3题图
类型三 与全等三角形有关的几何测量
1. 如图所示，物体从一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和物体在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.
第1题图
2. (北师九下P22活动二改编)如图所示，小明与小华计划测量学校春晖楼的高度AB.小明先站在点E处，用测倾器EF测得求实楼CD的顶端D的仰角为α，然后走到点C处，用测倾器CG测得春晖楼AB的顶端B的仰角为β，发现α＋β＝90°.已知AB、EF、CD均垂直于AC，EF＝CG＝1.6 m，CE＝25.2 m，求实楼的高CD＝31.6 m，两栋楼之间的距离AC＝30 m，求春晖楼的高度AB.
第2题图
类型四 与勾股定理有关的几何测量
1. [数学文化](北师八上P15习题1.4T5改编)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺. 如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′(如图). 水深和芦苇长各多少尺？
第1题图
2.一天，小明带着弟弟去图书大厦买书，已知该图书大厦装有一个自动感应门，当人体进入感应范围内，感应门会自动打开，小明发现门打开时，自己和弟弟距离门的位置不相同，于是小明利用所学的知识计划测量该感应门的最大感应范围．小明先站在D处，门恰好自动打开，然后小明后退，让弟弟去打开门，发现当弟弟站在点F处时，门恰好自动打开，且小明发现自己与弟弟所站的位置中间相隔2个地砖．已知小明的身高CD＝1.6 m，弟弟的身高EF＝1.3 m，感应器距离地面的高度AB＝2.5 m，每个地砖的宽度为15 cm，AB、CD、EF均垂直于BD，求该感应门的最大感应距离AC(或AE)．
第2题图
参考答案
类型一 与锐角三角函数有关的几何测量
1. 解：如解图，连接CE交AB于点G，由题知，CD、EF均垂直于DF，且CD＝EF，
第1题解图
∴四边形CDFE为矩形，
∴CE＝DF＝60＋20＋30＝110.
在Rt△AGE中，∵∠AEG＝45°，
∴AG＝EG.
设AG＝EG＝x，
∵在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，
∴CG＝eq \f(AG,tan30°)＝eq \r(3)x，
∴eq \r(3)x＋x＝110，
解得x＝55eq \r(3)－55，
∵CD＝EF＝1.5，∴BG＝1.5，
∴AB＝AG＋BG＝55eq \r(3)－55＋1.5＝(55eq \r(3)－53.5)米．
答：该角顶部距离地面的高度AB为(55eq \r(3)－53.5)米．
2. 解：如解图，过点A作AE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，则四边形ABFE是矩形，
由题意可知∠EAM＝37°，∠FBN＝45°，
设FM＝x，则EM＝10＋x，FN＝60＋x，
在Rt△BFN中，∵∠FBN＝45°，
∴BF＝FN＝60＋x.
∴AE＝BF＝60＋x.
在Rt△AEM中，∵∠EAM＝37°，
∴tan∠EAM＝eq \f(EM,AE)＝eq \f(10＋x,60＋x)≈0.75，
解得x＝140，
∴AE＝60＋140＝200 m，
答：该广场的南北长度约为200 m.
第2题解图
3. (1)解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝52°，AB＝36 cm，
∴AC＝AB·sin52°≈36×0.79＝28.44 cm.
∵BD⊥DE，BD⊥BC，BC⊥AF，
∴四边形BDEC是矩形．
∴CE＝BD＝4 cm.
又∵EF＝33 cm，
∴AF＝AC＋CE＋EF＝28.44＋4＋33＝65.44≈65.4 cm.
答：饸饹机手柄上的点A到水平面GF的距离约为65.4 cm；
(2)由(1)知，AC＝28.44 cm，
当∠ABC＝30°时，AC＝AB·sin∠ABC＝36×eq \f(1,2)＝18 cm，
∴手柄AB上点A的高度降低了28.44－18≈10.4 cm.
类型二 与相似三角形有关的几何测量
1. 解：由题意可知，△POA∽△A′B′C′，
∴eq \f(PO,OA)＝eq \f(A′B′,B′C′).
∵A′B′＝B′C′，
∴OP＝OA.
∵金字塔正方形底座的边长为230，点O为正方形的对称中心，点B为正方形边上的中点，
∴OB＝115，
∴OA＝OB＋AB＝115＋22.2＝137.2，
∴OP＝137.2.
答：金字塔的高度约为137.2 米．
2. 解：如解图，延长FN交AB于点H，则FH⊥AB，
∴四边形FGBH是矩形，
由题意可知△ABE∽△CDE，△MFN∽△AFH，
∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(BE,DE)，eq \f(AH,FH)＝eq \f(MN,FN)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4).
设AB＝x，则AH＝x－1.6，
则eq \f(x,1.6)＝eq \f(BE,0.8)，
∴BE＝0.5x，
∴FH＝BG＝GD＋DE＋BE＝7.4＋0.8＋0.5x＝8.2＋0.5x，
∴eq \f(x－1.6,8.2＋0.5x)＝eq \f(3,4)，
解得x＝12.4，
答：旗杆的高度AB为12.4 m.
第2题解图
3. 解：设AP＝x，
由题意可知，BP＝3，PE＝6，CQ＝6，FQ＝9，EP∥FQ，
∴△APB∽△AQC，△DPE∽△DQF，
∴eq \f(AP,AQ)＝eq \f(BP,CQ)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
∴AQ＝2AP＝2x，
∴DP＝x＋10，DQ＝2x＋10，
∴eq \f(DP,DQ)＝eq \f(PE,FQ)，即eq \f(x＋10,2x＋10)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3)，
解得x＝10，
∴PQ＝10，
答：河岸旁两排树之间的距离PQ为10 m.
类型三 与全等三角形有关的几何测量
1. 解：如解图，过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥OM于点F，
∵∠AOE＋∠BOF＝∠BOF＋∠OBF＝90°，
∴∠AOE＝∠OBF.
在△AOE和△OBF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OEA＝∠BFO,∠AOE＝∠OBF，,OA＝OB))
∴△AOE≌△OBF(AAS)，
∴OE＝BF，AE＝OF，
∴OE＋OF＝AE＋BF＝CD＝17，
∴2EO＋EF＝17.
∵EF＝EM－FM＝AC－BD＝10－3＝7，
∴EO＝5，∴AE＝12，
∴在Rt△AOE中，OA＝eq \r(OE2＋AE2)＝13.
∵OM＝OE＋EM＝15，
∴MN＝15－13＝2.
答：旗杆的高度OM为15米，物体在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
第1题解图
2. 解：如解图，延长GF交AB于点H，
∵AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，EF＝CG，
∴四边形AEFH、四边形EFGC、四边形ACGH均为矩形．
∴HG＝AC，∠BHG＝∠FGD＝90°.
∴α＋∠FDG＝90°.
∵α＋β＝90°，∴∠FDG＝β.
即∠D＝∠BGH.
又∵EF＝CG＝1.6 m，CD＝31.6 m，AC＝30 m，
∴HG＝30 m，GD＝CD－CG＝30 m，
∴HG＝GD.
在△BHG和△FGD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BHG＝∠FGD,HG＝GD,∠BGH＝∠D))，
∴△BHG≌△FGD(ASA)．
∴BH＝FG＝CE＝25.2 m.
∴AB＝BH＋AH＝BH＋EF＝26.8 m.
答：春晖楼的高度AB为26.8 m.
第2题解图
类型四 与勾股定理有关的几何测量
1. 解：设水深x尺，则芦苇长(x＋1)尺．
由题意得x2＋52＝(x＋1)2.
解得x＝12.
∴x＋1＝13.
答：水深12尺，芦苇长13尺．
2. 解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
则四边形EFBH和四边形CDBG是矩形，
由题意可知DF＝30 cm＝0.3 m，GH＝CD－EF＝0.3 m，AC＝AE，
设BF＝x，则BD＝CG＝0.3＋x，
在Rt△AEH中，∵AH＝2.5－1.3＝1.2 m，
∴AE2＝x2＋1.22，
在Rt△ACG中，∵AG＝2.5－1.6＝0.9 m，
∴AC2＝(0.3＋x)2＋0.92.
∵AC＝AE，
∴(0.3＋x)2＋0.92＝x2＋1.22，
解得x＝0.9，
∴AC＝1.5 m，
答：该感应门的最大感应距离AC(或AE)为1.5 m.
第2题解图