2024陕西中考数学二轮专题训练 题型二 小几何压轴题 (含答案)

这是一份2024陕西中考数学二轮专题训练 题型二 小几何压轴题 (含答案)，共10页。


第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D、E分别在AB、BC上，且以DE为直径的圆与AC相切，则DE的最小值为________．

第2题图
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10, 对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋eq \f(1,2)PB的最小值是__________．

第3题图
4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边的中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为________．
第4题图
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝9，∠A＋∠B＝90°，以CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使得直角顶点E在AB边上，若AE＝2BE，则AD＋CB的值为________．

第5题图
6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠B＝60°，AE⊥CD于点E，点F为AB上一点，且AF＝eq \f(1,3)AB，P为AE上一点，连接PC、PD、PF，则PC与PD之间的数量关系为________，PC＋PF的最小值为________．

第6题图
类型二 与面积有关的问题
1. 如图，在等边△ABC内部有一个半径为2的动圆，则动圆不能覆盖的面积为________.
第1题图
2. 如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，AB＝8，CD＝4，点E是CD的中点，连接AE、BE，则△ABE面积的最大值为________．

第2题图
3.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点P是⊙O上一点，连接AP、BP，OE⊥AP于点E，OF⊥BP于点F，则四边形OEPF面积的最大值为________．
第3题图
4. 如图，在▱ABCD中，E、F是AD边上的两点，且AE＝DF＝eq \f(1,4)AD.点G为BC边上一点，连接EG交BF于点H.若EG平分四边形ABCD的面积，BH＝6，则BF的长为________．
第4题图
5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq \r(3)，点E、F分别是AD、CD的中点，若四边形ABCD的面积为4eq \r(3)，则△BEF的面积为________．

第5题图
6. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF＝60°，连接EF.若AB＝4，则△CEF面积的最大值为________．

第6题图
类型三 与角度有关的问题
1. 如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是正方形边上或对角线上一点，若∠BPC＝60°，则满足条件的点P的个数为________．
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，则点P到点A的距离为________．

第2题图
3. 如图，在4×4的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则tan∠ACD的值为________.

第3题图
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝eq \r(6)，则∠ABC的大小为________．
第4题图
5.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E是AD边上一点，连接BE、CE，过点B作BF⊥CE于点F，当∠EBF最小时，AE的长为________，BF的长为________．
第5题图
参考答案
类型一 与线段有关的问题
1. 6eq \r(3)
2. eq \f(12,5) 【解析】如解图，设切点为P，连接BP，过点B作BH⊥AC于点H，由垂线段最短可知BP≥BH，∵DE是该圆的直径，∴DE≥BP≥BH，即DE的最小值为BH的长．∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)AC·BH，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5，∴BH＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(12,5).即DE的最小值为eq \f(12,5).
第2题解图
3. eq \f(7\r(3),2) 【解析】如解图，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq \f(1,2)BP，∴MP＋eq \f(1,2)PB＝MP＋PQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MP＋PQ取得最小值，最小值为MN的长．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝eq \f(\r(3),2)CM＝eq \f(7\r(3),2)，∴MP＋eq \f(1,2)PB的最小值为eq \f(7\r(3),2).
第3题解图
4. 9 【解析】如解图，分别作点A关于DE的对称点A′，点B关于CE的对称点B′，连接A′D，A′E，B′C，B′E，A′B′，则A′D＝AD＝3，A′E＝AE＝3，B′C＝BC＝3，B′E＝BE＝3，∠A′ED＝∠AED，∠B′EC＝∠BEC，∵∠CED＝120°，∴∠AED＋∠BEC＝180°－∠CED＝60°，∴∠A′ED＋∠B′EC＝60°，∴∠A′EB′＝∠DEC－(∠A′ED＋∠B′EC)＝60°.∵A′E＝B′E＝3，∴△A′EB′是等边三角形，∴A′B′＝A′E＝3.由两点之间线段最短可得DC≤A′D＋A′B′＋B′C＝9，∴DC长度的最大值为9.
第4题解图
5. 3eq \r(5) 【解析】∵AB＝9，AE＝2BE，∴AE＝6，BE＝3.∵ED＝EC，∠DEC＝90°，∴如解图，将△ECB绕点E逆时针旋转90°得到△EDF，∴EF＝EB＝3，DF＝BC，∠EDF＝∠ECB.∵∠A＋∠B＝90°，∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠ADE＋∠ECB＝180°，∴∠ADE＋∠EDF＝180°，∴A、D、F三点共线，∴AD＋CB＝AD＋DF＝AF.在Rt△AEF中，AF＝eq \r(AE2＋EF2)＝3eq \r(5)，∴AD＋CB的值为3eq \r(5).
第5题解图
6. PC＝PD，4eq \r(13) 【解析】如解图，连接AC，FD，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴△ADC为等边三角形．∵AE⊥CD，∴点C关于PE的对称点为点D，∴PC＝PD，∴PC＋PF＝PD＋PF≥FD，∴当F，P，D三点共线时，PC＋PF的值最小，最小值为FD的长．过点F作FH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠B＝60°，∴∠HAF＝60°.∵AB＝12，AF＝eq \f(1,3)AB，∴AF＝4，∴AH＝2，FH＝2eq \r(3)，∴DH＝14.在Rt△DHF中，FD＝eq \r(FH2＋DH2)＝eq \r(（2\r(3)）2＋142)＝4eq \r(13)，∴PC＋PF的最小值为4eq \r(13).
第6题解图
类型二 与面积有关的问题
1. 12eq \r(3)－4π 【解析】如解图，图中阴影部分面积即为动圆不能覆盖的面积，由题意知⊙O与AC，AB两边相切，切点分别为点E，F，连接OE，OF，AO，则∠EAO＝∠FAO＝30°，∠EOF＝120°，∴在Rt△AOE中，AE＝eq \r(3)OE＝2eq \r(3)，∴S△AOE＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).∵S扇形EOF＝eq \f(120π×22,360)＝eq \f(4π,3)，∴动圆不能覆盖的面积＝3(2×2eq \r(3)－eq \f(4π,3))＝12eq \r(3)－4π.
第1题解图
2. 8eq \r(3) 【解析】如解图，连接OC、OE，∵点E为CD的中点，∴CE＝eq \f(1,2)CD＝2，OE⊥CD.∵OC＝eq \f(1,2)AB＝4，∴OE＝ eq \r(OC2－CE2)＝2eq \r(3).过点E作EH⊥AB于点H，则S△ABE＝eq \f(1,2)AB·EH＝4EH.∵EH≤OE，∴当EH＝OE，即当OE⊥AB时，△ABE的面积最大，最大值为8eq \r(3).
第2题解图
3. eq \f(25,2) 【解析】如解图，连接OP，过点P作PH⊥AB于点H，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∵OE⊥AP，OF⊥BP，∴四边形OEPF为矩形，AE＝PE＝eq \f(1,2)AP，BF＝PF＝eq \f(1,2)BP，∴S四边形OEPF＝PE·PF＝eq \f(1,2)AP·eq \f(1,2)BP＝eq \f(1,4)AP·BP＝eq \f(1,4)AB·PH＝eq \f(1,4)×10PH＝eq \f(5,2)PH.∴当PH最大时，四边形OEPF的面积最大，∵PH≤OP，∴当PH＝OP，即当OP⊥AB时，四边形OEPF的面积最大，此时PH＝OP＝eq \f(1,2)AB＝5，S四边形OEPF最大＝eq \f(5,2)PH最大＝eq \f(25,2)，即四边形OEPF面积的最大值为eq \f(25,2).
第3题解图
4. 10 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC.∵AE＝DF＝eq \f(1,4)AD，∴EF＝eq \f(1,2)AD.∵EG平分▱ABCD的面积，∴AE＝CG＝eq \f(1,4)AD.∴BG＝eq \f(3,4)AD.∵AD∥BC，∴eq \f(BH,FH)＝eq \f(BG,EF)＝eq \f(3,2)，∴eq \f(BH,BF)＝eq \f(3,5).∵BH＝6，∴BF＝10.
5. eq \f(3\r(3),2) 【解析】如解图，连接BD，在△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).∵四边形ABCD的面积为4eq \r(3)，∴S△ADC＝2eq \r(3).∵E为AD的中点，F为DC的中点，∴S△ABE＝S△DBE，S△CFB＝S△DFB，∴S四边形EBFD＝S△EBD＋S△FBD＝eq \f(1,2)S四边形ABCD＝2eq \r(3).∵E、F分别为AD、CD的中点，∴EF＝eq \f(1,2)AC，EF∥AC，∴eq \f(S△DEF,S△DAC)＝(eq \f(EF,AC))2＝(eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4).∵S△DAC＝2eq \r(3)，∴S△DEF＝eq \f(1,4)×2eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，∴S△BEF＝S四边形EBFD－S△DEF＝2eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
第5题解图
6. eq \r(3) 【解析】∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF＝∠B＝60°，∴∠BAC＝∠ACF＝∠B＝60°，AB＝BC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，△ABC是等边三角形，∴∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，S△ACF＝S△ABE，∴△AEF是等边三角形，S四边形AECF＝S△ABC，∴S△CEF＝S△ABC－S△AEF.∵AB＝4，△ABC是等边三角形，∴S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×42＝4eq \r(3)，∴当S△AEF最小时，S△CEF最大．∵当AE⊥BC时，AE＝4sin60°＝2eq \r(3)，S△AEF最小，∴S△AEF最小＝eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(3))2＝3eq \r(3)，∴S△CEF最大＝4eq \r(3)－3eq \r(3)＝eq \r(3)，即△CEF面积的最大值为eq \r(3).
类型三 与角度有关的问题
1. 4个 【解析】如解图，在正方形内部作∠M＝120°，且BM＝MC，以点M为圆心，BM为半径画圆，⊙M与正方形ABCD各边及对角线的交点即为满足条件的点P，共4个．
第1题解图
2. 2或8 【解析】如解图，∵BC＝10，∠BPC＝90°.∴取BC的中点O，则OB＞AB.∴以点O为圆心，OB长为半径作半圆O，半圆O一定与AD相交于P1、P2两点，连接P1B、P1O、P1C.∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外，∴△BPC的顶点P在eq \(BP,\s\up8(︵))1或eq \(CP,\s\up8(︵))2上．显然，当顶点P在P1或P2位置时，△BPC的面积最大．过点P1作P1E⊥BC，垂足为E，则P1E＝4，∴OE＝eq \r(52－42)＝3，∴AP1＝BE＝OB－OE＝5－3＝2.由对称性，得AP2＝8；综上所述，点P到点A的距离为2或8.
第2题解图
3. eq \f(1,3) 【解析】如解图，连接BD交AC于点O，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可知：AC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，BD＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，AB＝BC＝CD＝AD＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，在Rt△OCD中，tan∠OCD＝eq \f(OD,OC)＝eq \f(\f(1,2)BD,\f(1,2)AC)＝eq \f(\f(1,2)×\r(2),\f(1,2)×3\r(2))＝eq \f(1,3)，∴tan∠ACD＝eq \f(1,3).
第3题解图
4. 60° 【解析】如解图，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，使得AD与AB重合，得到△ABE，则∠ABE＝∠ADC，∠DAC＝∠EAB，AC＝AE.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∠EAC＝∠BAD＝90°，∴∠ABE＋∠ABC＝180°，∴C、B、E三点共线．过点A作AF⊥CE于点F，在Rt△ACE中，∵AE＝AC＝eq \r(6)，∴∠E＝45°，∴AF＝eq \r(3).在Rt△ABF中，∵AB＝2，AF＝eq \r(3)，∴∠ABC＝60°.
第4题解图
5. 4，eq \f(16\r(5),5) 【解析】在Rt△BEF中，要求∠EBF最小时，BF的长，即求∠BEF最大时，BF的长．如解图，过点B、C作⊙O，与AD相切于点E，此时∠BEF最大．连接EO并延长，交BC于点G，则EG垂直平分BC，∴AE＝eq \f(1,2)AD＝4，CG＝eq \f(1,2)BC＝4，∴CE＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5)，∴eq \f(1,2)×8×8＝eq \f(1,2)×4eq \r(5)×BF，解得BF＝eq \f(16\r(5),5).
第5题解图