华东师大版初中数学九年级上册专项素养巩固训练卷(七)求锐角三角函数值的三种常用方法练课件

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专项素养巩固训练卷(七)　求锐角三角函数值的三种常用方法(练方法)
1. (2023山东泰安新泰月考,12,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=30°,E为AC上一点, 且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB于F,连结FC,则tan∠CFB的值为 (　    ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　C　如图,作CD⊥AB,垂足为D,则EF∥CD, ∵AE∶EC=3∶1,∴设EC=x,AE=3x,∵sin A=sin 30°=EF∶AE=1∶2,∴EF= x,∵cs A=cs 30°=AF∶AE= ,∴AF= x.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD, = =3,∴ = = ,FD= = x,∴CD= EF=2x,∴tan∠CFB= = .故选C.
2. [易错题](2023云南文山丘北一模,16,★★☆)在Rt△ABC中,若AB=2AC,则cs B=　　　    .
3. (★☆☆)如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的 值. 解析　设AE=x,则BE=3AE=3x,∴AB=AE+BE=x+3x=4x,∵四边形ABCD为正方 形,∴AB=BC=CD=AD=4x,∵M是AD的中点,∴AM=DM=2x,∴EC= =5x,EM= = x,CM= =2 x,∴EM2+CM2=CE2,
4. (★★☆)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b,c满足等式b2=(c +a)(c-a),且5b-4c=0,求sin A+sin B的值.解析　∵b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∵5b-4c=0,∴ = ,设b=4k,则c=5k,∴a= = =3k,∴sin A+sin B= + = + = + = .
5. (2023江苏苏州工业园区期中,5,★☆☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果 BD=9,DC=5,cs B= ,E为AC的中点,那么sin∠EDC的值为 (　    ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　C　在Rt△ABD中,cs B= = ,BD=9,∴AB=15,由勾股定理得AD= = =12,在Rt△ADC中,由勾股定理得AC= = =13,∵E为AC的中点,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴sin∠EDC=sin C= = .故选C.
6. (★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若AD∶CD=4∶3,则 tan B=　　　    .  `
7. (2023内蒙古乌兰察布集宁模拟,18,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC= 8.若∠BPC= ∠BAC,则tan∠BPC=　　　    . 
 解析　如图,过点A作AE⊥BC于点E, ∵AB=AC=5,∴BE= BC= ×8=4,∠BAE= ∠BAC,∵∠BPC= ∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE= = =3,∴tan∠BPC=tan∠BAE= = .
8. (2023江苏扬州邗江一模,17,★★☆)如图所示的是由边长均为1的小正方形组 成的网格,A,B,C,D四点均在正方形网格的格点上,线段AB,CD相交于点E,则tan ∠DEB=　　　    . 
解析　如图,过点D作DF∥AB,连结CF. ∵DF∥AB,∴∠DEB=∠FDC.∵DF= = =2 ,CD= = =2 , CF= = =4 ,(2 )2+(4 )2=(2 )2,∴DF2+CF2=CD2,∴∠DFC=90°.在Rt△CDF中,tan∠FDC= = =2,∴tan∠DEB=tan∠FDC=2.
9. (2023湖北黄冈浠水二模,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 的中点,连结CD,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E.若AC=30,cs A= ,则cs∠DBE=　　　    . 
 解析　如图,过点C作CF⊥AB,垂足为F, 在Rt△ABC中,AC=30,cs A= ,∴AB= = =50,∴BC= = =40,∵D是AB的中点,∴CD= AB=25,∵△ABC的面积= AB·CF= AC·CB,∴AB·CF=AC·CB,∴50CF=30×40,∴CF=24,在Rt△CDF中,cs∠DCF=  = ,∵BE⊥CE,∴∠E=90°,∴∠EDB+∠EBD=90°,∵∠FCD+∠CDF=90°,∠CDF=∠BDE,∴∠EBD=∠DCF,∴cs∠DBE=cs∠DCF= .
10. (2023江苏常州期末,16,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中 点,CE⊥AD,垂足为E,连结BE.若tan∠CAD= ,则sin∠BED=　　　    . 
 解析　∵CE⊥AD,∴∠CED=∠ACB=90°,∵∠CDE=∠ADC,∴△CDE∽△ADC,∴ = ,∴CD2=DE·AD,∵D是BC的中点,∴BD=CD,∴BD2=DE·AD,∴ = ,又∵∠ADB=∠BDE,∴△BDE∽△ADB,∴∠BED=∠ABC.∵tan∠CAD= ,∴ = ,∵D是BC的中点,∴CB=2CD,∴ = ,设AC=4x,则CB=3x,∴AB= =5x,∴sin∠BED=sin∠ABC= = = .
方法三　构造直角三角形法
11. (2022山东济宁泗水二模,9,★★☆)如图,延长Rt△BAD的斜边BD到点C,使 DC= BD,连结AC,若tan∠ADB= ,则tan∠CAD的值为 (　    ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　B　如图,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于E, 在Rt△BAD中,tan∠ADB= ,∴ = ,∴可设AB=3a,AD=4a,则BD= = =5a,∵CE⊥AD,BA⊥AD,∴BA∥CE,∴△BAD∽△CED,∴ = = ,∵DC= BD,∴DE= AD=2a,CE= AB= a,
∴AE=AD+DE=6a,∴tan∠CAD= = = .故选B.
12. (2023浙江绍兴嵊州期末,8,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6, AC=8,点D是AC上一点,且 = ,则sin∠DBC的值为 (　    ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　B　如图,过D作DE⊥BC,垂足为E, ∵ = ,∴AD=3CD,∵AC=AD+CD,∴8=3CD+CD,∴CD=2,∴AD=6,∵AB=6,∠BAC=90°,∴BD= =6 .在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC= =10,∵sin C= = ,∴ = ,∴DE= ,∴sin∠DBC= = = .故选B.
13. (2022辽宁沈阳皇姑期中,15,★★☆)如图所示的是由6个形状、大小完全相 同的菱形组成的网格,菱形的顶点称为格点,已知菱形的一个角(如∠O)为60°,点 A、B、C都在格点上,则sin∠ABC的值是　　　    . 
解析　如图,连结EA,EC, 设组成网格的小菱形的边长为a,由题意可得∠AEF=30°,∠CEF=60°,易得AE=2 cs 30°·a= a,EC=a,∠AEC=90°,∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°,∴∠ECB=180°,∴E、C、B三点共线,在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AE= a,BE=2CE=2a,∴AB= = a,∴sin∠ABC= = = .
14. (2022上海浦东新区期中,21,★★☆)如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,AE 是BC边上的中线,已知AD=8,BD=4,cs∠ABC= .(1)求CD的长.(2)求tan∠EAB的值.