初中数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程22.1 一元二次方程课前预习课件ppt

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第22章　一元二次方程
22.1　一元二次方程
知识点1　一元二次方程的定义
1.(2024河南周口项城期中)下列方程,是一元二次方程的是  (　    )A.x2- =1　　　     B.3x2+x=26C.2x2-3xy+4=0　　　    D.ax2+bx+c=0
2.(易错题)(教材变式·P20T1)(2023福建漳州东盛教育集团期中)若方程(m-2) -2x-4=0是关于x的一元二次方程,则m=    　　 .
易错警示    　　要使一个方程为一元二次方程,除了要保证未知数的最 高次数是2,还要保证二次项系数不为0.
知识点2　一元二次方程的一般形式
3.(2024吉林长春农安期中)一元二次方程3x2-x-2=0的二次项 系数,一次项系数,常数项分别是 (　    )A.3,-1,-2　　　    B.3,1,-2C.3,-1,2　　　    D.3,1,2
解析　方程3x2-x-2=0的二次项系数,一次项系数,常数项分别 是3,-1,-2.
4.(2024湖南邵阳期中)将一元二次方程(2x-1)(x+2)=3化成一 般形式正确的是 (　    )A.2x2+3x-5=0　　　    B.2x2+3x+1=0C.2x2-3x-5=0　　　    D.2x2+3x-2=3
解析    (2x-1)(x+2)=3,去括号得2x2+4x-x-2=3,移项得2x2+4x-x- 2-3=0,合并同类项得2x2+3x-5=0.
知识点3　一元二次方程的根
5.(2024河南开封火电中学月考)若x=1是方程x2-2x+a=0的根, 则a的值为 (　    )A.1　　　    B.-1　　　    C.0　　　    D.-2
解析　∵x=1是方程x2-2x+a=0的根,∴1-2+a=0,∴a=1.
6.(整体思想)(2023山东枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-bx =6的解,则2 023-6a+2b的值为　　　    .
解析　把x=3代入方程ax2-bx=6得9a-3b=6,即3a-b=2,则原式= 2 023-2(3a-b)=2 023-4=2 019.
7.(一题多解)(2024河南驻马店西平人和中学月考)已知x=a是 一元二次方程x2-2 023x+1=0的一个根,试求a2-2 022a- 的值.
解析　解法1(整体代入法):将x=a代入方程x2-2 023x+1=0得a2 -2 023a+1=0,变形得a2+1=2 023a,a2=2 023a-1,∴a2-2 022a-  =2 023a-1-2 022a- =a-1-a=-1.解法2(变化待求式子):将x=a代入方程x2-2 023x+1=0得a2-2 02 3a+1=0,∴a2-2 022a- =a2-2 023a+1+a-1- =a-1- = = = =-1.
知识点4　由实际问题列一元二次方程
8.(2024河南周口西华二模)下图是某公司去年8—12月的生 产成本统计图,设9—11月每个月生产成本的下降率都为x,根 据图中信息,得到x所满足的方程是 (　    ) 
A.15(1+x)2=30　　　    B.30(1-2x)2=15C.30(1-x)2=15　　　    D.15(1+2x)2=30
解析    9—11月每个月生产成本的下降率都为x,∵该公司9 月、11月的生产成本分别为30万元、15万元,∴x所满足的 方程为30(1-x)2=15.
方法解读　求增长率(或降低率)的数学模型　　设a是变化前的量,b是变化后的量,x表示每次的平均变 化率(x>0),若x表示增长率,n表示增长的次数,则a(1+x)n=b;若x 表示降低率,n表示降低的次数,则a(1-x)n=b.
9.(跨学科·语文)(2024河南新乡辉县期中)读诗词,列方程:大 江东去浪淘尽,千古风流人物;而立之年督东吴,早逝英年两 位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符.(大意:周瑜英年早 逝,逝世时的年龄是一个两位数,十位上的数字比个位上的数 字小3,个位上的数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄),设周 瑜逝世时年龄个位上的数字为x,则列出的方程正确的是 (　    )A.10x+(x-3)=x2　　B.10(x-3)+x=x2
C.10x+(x-3)=(x-3)2D.10(x-3)+x=(x-3)2
解析　∵周瑜逝世时年龄个位上的数字为x,且十位上的数 字比个位上的数字小3,∴周瑜逝世时年龄十位上的数字为(x -3),根据题意得10(x-3)+x=x2.
10.(新独家原创)中国目前是世界上高铁运营里程最长、在 建规模最大、运行速度最快的国家,中国高铁也成为中国人 引以为傲的国家名片.高铁某交通路线从北京出发,停靠站点 依次为北京西站—涿州站—高碑店站—保定站—……—成 都西站,若从北京西站到成都西站共设计了56种往返车票,这 条线路共有多少个站点?设这条线路共有x个站点,则x满足的 方程的一般形式为　　　　　　    .
解析　由题意列方程得x(x-1)=56,整理成一般形式为x2-x-56= 0.
11.(2024河南南阳实验学校二模,5,★☆☆)若关于x的一元二 次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含常数项,则m的值是 (　    )A.2　　　    B.-2C.4　　　    D.-4
解析　整理方程(x+2)2=m(2x+1)可得x2+(4-2m)x+4-m=0,因为 关于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含常数项,所以4-m =0,解得m=4.
12.(2024河南洛阳新安一模,8,★★☆)春意复苏,洛阳绿化工 程正在如火如荼地进行着,某工程队计划将一块长64 m,宽40 m的矩形场地建设成绿化广场(如图),广场内部修建三条宽 相等的小路,其余区域进行绿化.若使绿化区域的面积为广场 总面积的80%,求小路的宽,设小路的宽为x m,则可列方程为  (　    ) 
A.(64-2x)(40-x)=64×40×80% 　　　    B.(40-2x)(64-x)=64×40×80%C.64x+2×40x-2x2=64×40×80% 　　　    D.64x+2×40x=64×40×(1-80%)
解析　经平移后,绿化区域为长(64-2x)米,宽(40-x)米的矩形, 根据矩形的面积公式和绿化区域的面积为广场总面积的8 0%可列方程为(64-2x)(40-x)=64×40×80%.
13.(2022四川遂宁中考,9,★★☆)已知m为方程x2+3x-2 022=0 的根,那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为 (　    )A.-2 022　　　    B.0C.2 022　　　    D.4 044
解析　∵m为方程x2+3x-2 022=0的根,∴m2+3m-2 022=0,∴m2 +3m=2 022,∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)- (m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.
14.(新考向·开放型试题)(2022湖南岳阳华容模拟,13,★☆☆) 构造一个一元二次方程,要求:①常数项不为0;②有一个根为 -1.这个一元二次方程可以是　　　　　 　     (写出一个即可).
答案不唯一,如x2-1=0
15.(2022海南海口一中期中,13,★☆☆)已知关于x的一元二 次方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个公共根,则此公共根是 x=　　　    ,m=　　　    .
解析　设两方程的公共根为t,则t2+mt+2=0①,t2+2t+m=0②,① -②整理得(m-2)t=m-2,由题意得m-2≠0,∴t=1,即x=1,把t=1代 入①得1+m+2=0,解得m=-3.故x=1,m=-3.
16.(情境题·数学文化)(2024北京七中二模改编,15,★★☆)我 国古代数学著作《增删算法统宗》中记载有“圆中方形” 问题:“今有圆田一段,中间有个方池.丈量田地待耕犁,恰好 三分在记,池面至周有数,每边三步无疑.内方圆径若能知,堪 作算中第一.”其大意:有一块圆形的田,中间有一块正方形 水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步,从 水池边到圆周,每边相距3步远.如果你能求出正方形的边长 和圆的直径,那么你的计算水平就是第一了.如图,设正方形 的边长是x步,则列出的方程是　　　　　　　    .
17.(2024河南新乡封丘县二模,23,★★☆)已知关于x的一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).(1)若a+c=-b,求证:x=1必是该方程的一个根;(2)若方程必有一根是x=-1,求此时a,b,c之间的关系.
解析    (1)证明:由a+c=-b得a+b+c=0,故当x=1时,ax2+bx+c=a× 12+b×1+c=a+b+c=0,所以x=1必是该方程的一个根.(2)当x=-1时,代入方程得,a-b+c=0,∴当a,b,c之间的关系满足a -b+c=0时,方程必有一根是x=-1.
18.(运算能力)阅读下列材料:设m(m≠0)是方程x2-3x+1=0的一个根,则m2-3m+1=0.两边同 乘 得m-3+ =0,即m+ =3,故m2+ = -2=32-2=7.解答下列问题:(1)若n(n≠0)是方程x2+4x+1=0的一个根,求n+ 和n2+ 的值;(2)若t(t≠0)是方程2x2-7x+2=0的一个根,求t+ 和t2+ 的值.