华师大版九年级上册22.1 一元二次方程教案配套ppt课件

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第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
知识点2　用因式分解法解一元二次方程
1.(2024河南鹤壁淇滨中学月考)一元二次方程x2=3x的解是 (　    )A.x=0　　　    B.x=3C.x=-3　　　    D.x1=0,x2=3
解析　移项,得x2-3x=0,分解因式,得x(x-3)=0,解得x1=0,x2=3.
2.(2024山西临汾第一中心学校月考)方程x2-4x+4=0的根是 (　    )A.x=2　　　    B.x1=x2=2C.x=4　　　    D.x1=x2=4
解析　分解因式,得(x-2)2=0,解得x1=x2=2.
3.(2024海南临高期中)已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反 数,则x的值是(　    )A.-1或3　　　    B.1或-3C.1或3　　　    D.-1和-3
解析　∵代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,∴(3-x)+(-x2+ 3x)=0,即(3-x)+x(3-x)=0,分解因式得(3-x)(1+x)=0,解得x1=3,x2= -1,故x的值是-1或3.
4.(2022广西梧州中考)一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是　     　　　　    .
解析　∵(x-2)(x+7)=0,∴x-2=0或x+7=0,∴x1=2,x2=-7.
5.(新考向·新定义试题)(2024安徽宿州泗县期中)对于实数a、b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,则x的值为　　　    .
解析　∵a※b=a2-ab,∴(x+1)※(3x-2)=(x+1)2-(x+1)(3x-2)=3, 即2x2-x=0,∴x(2x-1)=0,解得x=0或0.5.
6.(易错题)(2024河南南阳宛城期中)一个三角形的两边长分 别为3和8,第三边的长是一元二次方程x(x-9)-13(x-9)=0的根, 则这个三角形的周长是　　　    .
解析　原方程分解因式得(x-9)(x-13)=0,解得x1=9,x2=13,分情 况求解如下:(1)当第三边的长为9时,8-3<9<8+3,能构成三角形,故这个三 角形的周长为3+8+9=20;(2)当第三边的长为13时,3+8=11<13,不能构成三角形,舍去.综上,这个三角形的周长为20.易错点:本题易因忽略考虑三角形的三边关系而发生多解的 错误.
7.解下列方程:(1)2x(x-3)=9-3x;　    (2)2x2-12x=-18;(3)(一题多解)(2024吉林长春五十二中教育集团期中)4(x+3)2 -(x-2)2=0.
解析    (1)方程整理得2x(x-3)=3(3-x),移项,得2x(x-3)+3(x-3)= 0,提公因式,得(x-3)(2x+3)=0,解得x1=3,x2=- .(2)移项,得2x2-12x+18=0,整理得x2-6x+9=0,分解因式,得(x-3)2=0,解得x1=x2=3.
(3)解法1(因式分解法):4(x+3)2-(x-2)2=0可整理得[2(x+3)]2-(x- 2)2=0,分解因式,得[2(x+3)+(x-2)][2(x+3)-(x-2)] =0,整理,得(3x+4)(x+ 8)=0,解得x1=- ,x2=-8.解法2(直接开平方法):移项,得4(x+3)2=(x-2)2,开平方,得2(x+3) =-(x-2)或2(x+3)=x-2,解得x1=- ,x2=-8.
8.(新独家原创)有一个圆形的儿童游乐场吸引了众多孩子, 为满足需求老板决定扩建,扩建后儿童游乐场的半径增加了 10 m,面积增加为原来的4倍,求儿童游乐场原来的半径.
解析　设儿童游乐场原来的半径为x m,则扩建后儿童游乐 场的半径为(x+10)m,依题意可得π(x+10)2=4πx2,整理得(x+10+ 2x)(x+10-2x)=0,解得x1=- (不合题意,舍去),x2=10,故儿童游乐场原来的半径为10 m.
9.(新考法)(2024河南南阳镇平二模,6,★☆☆)若实数k、b是 一元二次方程(x+3)(x-1)=0的两个根,且k解析　本题将一元二次方程的求解和一次函数的性质结合 考查,命题设计新颖.∵实数k、b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0 的两个根,且k10.(新考法)(2024甘肃天水二中一模,6,★★☆)如图,已知A,B, C是数轴上异于原点O的三个点,且点O为AB的中点,点B为 AC的中点.若点B表示的数是x,点C表示的数是x2-3x,则x=     　　    . 
解析　∵O是原点,且是AB的中点,∴OA=OB,∵B点表示的数 是x,∴A点表示的数是-x.∵B是AC的中点,∴AB=BC,∴(x2-3x) -x=x-(-x),∴x2-6x=0,∴x(x-6)=0,解得x1=0,x2=6.∵B异于原点,∴x≠0,∴x=6.
11.(2024湖南衡阳成章实验中学二模,18,★★☆)解方程(x+1)2-5(x+1)+6=0时,我们可以将x+1看成一个整体,设x+1=y,则原 方程可化为y2-5y+6=0,解得y1=2,y2=3.当y=2时,x+1=2,解得x= 1;当y=3时,x+1=3,解得x=2,所以原方程的解为x1=1,x2=2.利用 这种方法求得方程(2x-1)2-4(2x-1)+3=0的解为　　　　　    .
解析　设2x-1=m,则原方程可化为m2-4m+3=0,∴(m-1)(m-3)= 0,∴m-1=0或m-3=0,解得m1=1,m2=3.当m=1时,2x-1=1,解得x=1; 当m=3时,2x-1=3,解得x=2,故原方程的解为x1=1,x2=2.
12.(教材变式·P45T6)(2024河南新乡卫辉一模,19,★★☆)一 个直角三角形三条边的长为连续正整数,求此直角三角形的 周长.
解析　设该直角三角形三条边的长分别为x-1,x,x+1(x>1),依 题意可得x2+(x-1)2=(x+1)2,整理得x2-4x=0,分解因式得x(x-4)= 0,解得x1=0(舍去),x2=4,∴x-1=3,x+1=5,故此直角三角形的周 长为3+4+5=12.
13.(新考向·过程性学习试题)(2024吉林长春宽城二模,23,★ ★☆)小丽与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下:
(1)你认为她们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”; 若错误请在框内打“×”,并写出你的解答过程.(2)请结合上述题目总结:形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程 的一般解法.
解析    (1)她们的解法都不正确,正确的解答过程如下:移项, 得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,所以x-3=0或6-x=0,解得x1=3,x2=6.(2)形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的一般解法:移项,得ax2- bx=0,提取公因式,得x(ax-b)=0,所以x=0或ax-b=0,解得x1=0,x2= .
14.(新考向·规律探究试题)(2024吉林长春第二实验中学一 模,24,★★☆)某天延时课上,闻老师带领同学们利用棋子构 图研究数字规律.将一些棋子按如图所示的规律摆放: 第1个图中有7个棋子,第2个图中有11个棋子,第3个图中有17 个棋子,……,按此规律依次递增.
(1)第5个图中有　　　    个棋子;第n个图中有　　　    个棋 子.(2)第n个图中的棋子个数能是115吗?如果能,求出n的值;如 果不能,请说明理由.
解析    (1)由规律可得,第4个图中有25个棋子,第5个图中有3 5个棋子,第n个图中有n(n+1)+5=(n2+n+5)个棋子.(2)能,令n2+n+5=115,整理得,(n+11)(n-10)=0,解得n1=-11(舍 去),n2=10,∴第10个图中的棋子个数为115.
15.(运算能力)(2024河南周口商水月考)我们知道可以用公式 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)来分解因式解一元二次方程.例如:x2+6x+5=0,方程分解为　　　　    =0,x2-2x-15=0,方程分解为　　　　    =0.爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助 此方法解一元二次方程.
(2)请利用此方法解方程2x2+3x-5=0;(3)请利用此方法解关于x的一元二次方程3x2-(6+a)x+2a=0.
例如:3x2-7x+2=0.解:方程分解为(x-2)(3x-1)=0,从而可以快速求出方程的解.(1)补全题中空白部分的内容;