九年级上册2.配方法背景图课件ppt

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第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
知识点3　用配方法解一元二次方程
一、解二次项系数为1的一元二次方程
1.(2024河南驻马店泌阳锦源中学月考)用配方法解一元二次 方程x2+3x=1时,方程两边都加上 (　    )A. 　　　    B.- 　　　    C.9　　　    D. 
解析　用配方法解一元二次方程x2+3x=1时,应当在方程的两 边同时加上 ,即 .
2.(2023内蒙古赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后 正确的是 (　    )A.(x+2)2=3　　　    B.(x+2)2=17C.(x-2)2=5　　　    D.(x-2)2=17
解析　∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5.
3.(2024福建泉州五中期末)若关于y的一元二次方程y2+4y+3 =0通过配方法可以化成(y+a)2=b的形式,则a+b=　　　    .
解析　移项得y2+4y=-3,配方得y2+4y+4=-3+4,即(y+2)2=1,∴a= 2,b=1,∴a+b=3.
4.天天设计了一款程序,当输入任意实数对(a,b)时,会得到新 的实数为a2+3b+24.若将实数对(x,-4x)输入其中,得到-3,则x= 　　　    .
解析　根据题意得x2+3×(-4x)+24=-3,整理得x2-12x+27=0,配 方得(x-6)2=9,解得x1=9,x2=3.
5.用配方法解下列方程:(1)(2024河南新乡原阳期中)x2-2x=4;(2)(2024河南南阳实验学校月考)x(x+1)=1.
解析    (1)配方,得x2-2x+12=4+12,即(x-1)2=5,开平方,得x-1=± ,即x-1= 或x-1=- ,解得x1=1+ ,x2=1- .(2)由原方程,得x2+x=1,配方,得x2+x+ =1+ ,即 = ,
开平方,得x+ =± ,解得x1= ,x2= .
6.(2024福建泉州五中月考)某数学兴趣小组四人以接龙的方 式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤.如图所 示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,这位 同学是 (　    ) 
二、解二次项系数不为1的一元二次方程
A.甲　　　    B.乙　　　    C.丙　　　    D.丁
解析    2x2+4x-1=0,移项,得2x2+4x=1,二次项系数化为1,得x2+2x= ,配方,得x2+2x+1= +1,即(x+1)2= ,开平方,得x+1=± ,即x+1= 或x+1=- ,解得x1=-1+ ,x2=-1- ,故所负责的步骤错误的同学是乙.
7.(2024河南南阳内乡期中)小刚用配方法解2x2-bx+a=0得x- =± ,则b的值为 (　    )A.-6　　　    B.-3　　　    C.6　　　    D.3
8.用配方法解下列方程:(1) x2-4x+ =0;(2)3x2-6x-2=0.
解析    (1)方程整理,得x2-12x=-4,配方,得x2-12x+36=32,即(x-6)2=32,开平方,得x-6=±4 ,解得x1=6+4 ,x2=6-4 .(2)方程整理,得x2-2x= ,配方,得x2-2x+1= +1,即(x-1)2= ,开平方,得x-1=± ,解得x1=1+ ,x2=1- .
9.(2024山西省实验中学月考)已知代数式x2+y2-2x-4y+16,用 配方法说明无论x、y取何值,此代数式的值总为正数.
证明    x2+y2-2x-4y+16=x2-2x+1+y2-4y+4+11=(x-1)2+(y-2)2+11, ∵(x-1)2≥0,(y-2)2≥0,∴(x-1)2+(y-2)2+11>0,∴无论x、y取何 值,代数式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数.
10.(2022四川雅安中考,10,★☆☆)若关于x的一元二次方程x2 +6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则c的值为 (　    )A.-3　　　    B.0　　　    C.3　　　    D.9
解析　移项得x2+6x=-c,配方得x2+6x+9=-c+9,即(x+3)2=-c+9. ∵(x+3)2=2c,∴2c=-c+9,解得c=3.
11.(2024河南洛阳汝阳二模,8,★★☆)已知多项式P= x-2,Q=x2- x(x为任意实数),试比较多项式P与Q的大小 (　    )A.无法确定　　　    B.P>QC.P=Q　　　    D.P12.(2024江苏宿迁沭阳一模,17,★☆☆)若方程x2-4 096 576=0 的根为±2 024,则方程x2-2x-4 096 575=0的两根为　　　   　　　　　     .
x1=2 025,x2=-2 023
解析　将方程x2-2x-4 096 575=0移项得x2-2x=4 096 575,配方 得x2-2x+1=4 096 576,即(x-1)2=4 096 576.∵方程x2-4 096 576= 0,即x2=4 096 576的根为±2 024,∴x-1=±2 024,解得x1=2 025,x2 =-2 023.
13.(易错题)(2024山西晋城一中二模,16,★★☆)已知等腰△ ABC的三边长为a,b,c,其中a,b满足a2+b2=6a+12b-45,则△ABC 的周长是　　　    .
解析　∵a2+b2=6a+12b-45,∴a2-6a+b2-12b+45=0,∴a2-6a+9+b 2-12b+36=0,∴(a-3)2+(b-6)2=0,∵(a-3)2≥0,(b-6)2≥0,∴a-3=0,b -6=0,∴a=3,b=6,分情况求解如下:(1)当△ABC三边长为3,3,6时,∵3+3=6,∴三角形不存在;(2)当△ABC三边长为6,6,3时,∵6-3<6<6+3,∴三角形存在,此时三角形的周长为6+6+3=15.
14.(2024江苏无锡梁溪江南中学一模,22,★★☆)阅读并回答 问题:小亮是一名刻苦学习的同学.一天他在解方程x2=-1时, 突发奇想:x2=-1在实数范围内无解,如果存在一个数i,使i2=-1, 那么当x2=-1时,有x=±i,从而x=±i是方程x2=-1的根.据此解答下 列问题:(1)i可以运算,例如:i3=i2·i=-1×i=-i,则i4=　　　    ;(2)解方程x2-6x+10=0.(方程的根用i表示).
解析    (1)i4=i2·i2=(-1)×(-1)=1.(2)移项,得x2-6x=-10,配方,得x2-6x+9=-10+9,即(x-3)2=-1,开方,得x-3=±i,解得x1=3+i,x2=3-i.
15.(推理能力)(2024山西长治模拟)阅读材料:利用配方法可以把多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式.例 如,x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1.观察上式可以发现,当x-2取任意一对互为相反数的值时,多 项式x2-4x+3的值是相等的.例如,当x-2=±1,即x=3或1时,x2-4x+ 3的值均为0;当x-2=±2,即x=4或0时,x2-4x+3的值均为3.我们给出如下定义:
对于关于x的多项式,若当x+m取任意一对互为相反数的值时, 该多项式的值相等,则称该多项式关于x=-m对称,称x=-m是它的对称轴.例如,x2-4x+3关于x=2对称,x=2是它的对称轴.请根据上述材料解决下列问题:(1)多项式x2+2x+1的对称轴是　　　    ;(2)将多项式x2-6x+5变形为(x+m)2+n的形式,并求出它的对称 轴;(3)若关于x的多项式2x2+4ax-1关于x=-2对称,求a的值.
解析    (1)∵x2+2x+1=(x+1)2,∴多项式x2+2x+1的对称轴是x=- 1.(2)x2-6x+5=x2-6x+9-9+5=(x-3)2-4,∴对称轴是x=3.(3)2x2+4ax-1=2 =2 x2+2ax+a2-a2-  =2 =2(x+a)2-2a2-1,∵关于x的多项式2x2+4ax-1关于x=-2对称,∴a=2.
微专题2　利用配方法求解最值问题
　求代数式y2+6y+12的最小值.
解析    y2+6y+12=y2+6y+9+3=(y+3)2+3,∵(y+3)2≥0,∴(y+3)2+3 ≥3,∴代数式y2+6y+12的最小值为3.
变式【代数求值→代数证明→实际应用】
1.证明:2x2-4x+5的值不小于3.
证明　∵2x2-4x+5=2(x-1)2+3,2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2+3≥3,故2x2- 4x+5的值不小于3.
2.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长为15 m)的空地上建一 个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅 栏围成.如图,设AB=y m,当y取何值时,花园的面积最大?最大 是多少?