初中数学3.公式法课文配套ppt课件

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第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
第4课时　公式法与根的判别式
知识点4　用公式法解一元二次方程
1.(2024重庆铜梁巴川中学月考)用公式法解一元二次方程3x2 =2x-3时,首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是 (        )A.a=3,b=2,c=3　　　    B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3　　　    D.a=3,b=-2,c=3
解析　移项得3x2-2x+3=0,∴a=3,b=-2,c=3.
2.(新独家原创)如果多项式2m-3与m+1的积为-2,那么m= (　    )A.1　　　    B.-1或- C.1或- 　　　    D.- 
3.(2024福建泉州五中月考)若一元二次方程x2+bx+4=0的两 个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b+ = (　    )A.m　　　    B.-m　　　    C.2m　　　    D.-2m
4.(2024吉林长春宽城模拟)用公式法解一元二次方程,得x=  ,则该一元二次方程的一般式为　　　　    .
解析　依题意可知a=3,b=-5,c=1,∴该一元二次方程为3x2-5x +1=0.
5.(2024湖南衡阳石鼓期中)如图,点A在数轴的负半轴,点B在数轴的正半轴,且点A表示的数是2x-1,点B表示的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为　　　    .  
解析　根据题意得x2+x-(2x-1)=5,整理得x2-x-4=0,∴a=1,b=-1, c=-4,∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-4)=17>0,∴x= = ,∴x1= ,x2= ,∵点A在数轴的负半轴,∴2x-1<0,即x< ,∴x= .
方法解读　利用求根公式解一元二次方程的步骤先将方程化为一般形式,然后计算b2-4ac的值,当b2-4ac的值大 于或等于零时,再代入求根公式求解.
6.(2024福建泉州一模)小明在解方程x2-5x=-3的过程中出现 了错误,其解答如下:解:∵a=1,b=-5,c=-3, 第一步∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-3)=37, 第二步∴x= , 第三步∴x1= ,x2= . 第四步(1)小明的解答是从第　　　    步开始出错的;(2)请写出本题正确的解答.
解析    (1)一.(2)化为一般式得x2-5x+3=0,∴a=1,b=-5,c=3,∴b2-4ac=(-5)2-4×1×3=13>0,∴x= = ,∴x1= ,x2= .
7.用公式法解下列方程:(1)(2024四川成都郫都期末)2x2-9x+8=0;(2)(2024甘肃天水清水八中期中)x2- x- =0;(3)(x+2)(x+4)=-3.
解析    (1)∵a=2,b=-9,c=8,∴Δ=(-9)2-4×2×8=17>0,∴x= = ,∴x1= ,x2= .(2)∵a=1,b=- ,c=- ,∴Δ=(- )2-4×1× =3>0,∴x= ,∴x1= ,x2= .
(3)∵(x+2)(x+4)=-3,∴x2+6x+11=0,∴a=1,b=6,c=11,∴Δ=62-4×1×11=-8<0,∴此方程无解.
8.(2024河南驻马店二中月考)选用合适的方法解方程:(1)2(x+1)2-49=1;(2)x2-3x-1=0;(3)3(x-5)2=2(5-x);(4)(x+1)(x-1)=2 x.
解析    (1)∵2(x+1)2-49=1,∴(x+1)2=25,∴x+1=±5,∴x1=4,x2=- 6.(2)∵a=1,b=-3,c=-1,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13>0,∴x=  ,解得x1= ,x2= .(3)移项得3(x-5)2-2(5-x)=0,∴3(x-5)2+2(x-5)=0,因式分解得(x- 5)[3(x-5)+2]=0,∴x-5=0或3(x-5)+2=0,解得x1=5,x2= .(4)将方程化为一般形式得x2-2 x-1=0,∵a=1,b=-2 ,c=-1,
∴b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=12,∴x= = ± ,∴x1= + ,x2= - .
方法解读　选用合适的方法解一元二次方程若方程易化为(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,则选用直接开平 方法;若方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则选用配 方法;若将方程整理后右边为0,且左边能进行因式分解,则选 用因式分解法;若用直接开平方法、配方法、因式分解法都 不简便,则选用公式法.
知识点5　一元二次方程根的判别式
9.(2023吉林中考)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是  (　    )A.33　　　    B.23　　　    C.17　　　    D. 
解析　∵a=1,b=-5,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×2=25-8=17.
10.(2023河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情 况是 (　    )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根
解析　∵Δ=m2-4×1×(-8)=m2+32>0,∴方程有两个不相等的实 数根.
11.(新考法)(2024河南洛阳第二外国语学校月考)对于一元二 次方程x2-3x+c=0,当c= 时,方程有两个相等的实数根.若将c的值在 的基础上减小,则此时方程根的情况是(　    )A.没有实数根　　　    B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定
解析　由题意可知Δ=9-4c,当c< 时,9-4c>0,∴此时方程根的情况是有两个不相等的实数根.
12.(2023北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个 相等的实数根,则实数m的值为 (　    )A.-9　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.9
13.(2023上海中考)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没 有实数根,那么a的取值范围是　　　    .
解析　∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,∴Δ <0,即62-4a<0,解得a>9.
14.(新考向·开放型试题)(2023山东济南中考)关于x的一元二 次方程x2-4x+2a=0有实数根,则a的值可以是　　　     (写出一个即可).
解析　∵关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根,∴Δ=16 -8a≥0,解得a≤2,则a的值可以是1(答案不唯一).
15.(新考向·开放型试题)(2023浙江杭州中考)设一元二次方 程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使 这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
解析　∵使方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac> 0,即b2>4c,∴选②③均可.选②解方程,则这个方程为x2+3x+1= 0,解得x= = ,∴x1= ,x2= .若选③,则x1= ,x2= .
16.(易错题)(2023辽宁锦州中考,6,★☆☆)若关于x的一元二 次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,则k的取值范围是 (　    )A.k< 　　　    B.k≤ C.k< 且k≠0　　　    D.k≤ 且k≠0
解析　∵关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,∴k≠0,Δ=(-2)2-4k×3≥0,∴k的取值范围是k≤ 且k≠0.易错点:本题易因忽略二次项系数不为0而致错.
17.(新考法)(2023广东广州中考,10,★★☆)已知关于x的方程 x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则 -( )2的化简结果是 (　    )A.-1　　　    B.1　　　    C.-1-2k　　　    D.2k-3
解析　本题将一元二次方程根的判别式和二次根式的化简 求值完美结合在一起,命题角度新颖.∵关于x的方程x2-(2k-2) x+k2-1=0有两个实数根,∴Δ=[-(2k-2)]2-4×1×(k2-1)≥0,整理得-8k+8≥0,解得k≤1,∴k-1≤0,2-k>0,∴ -( )2=-(k-1)-(2-k)=-1.
18.(2024河南周口项城一中二模,8,★★☆)关于x的一元二次方程2x2-mx+8=0有两个相等的实数根,则方程的根为 (       )A.x1=x2=2 　　　    B.x1=x2=-2C.x1=x2=2或x1=x2=-2 　　　    D.x1=x2=1或x1=x2=-2
解析　∵关于x的一元二次方程2x2-mx+8=0有两个相等的实 数根,∴Δ=0,即m2-4×2×8=0,解得m=±8.当m=8时,方程为2x2-8x +8=0,解得x1=x2=2;当m=-8时,方程为2x2+8x+8=0,解得x1=x2=-2.
19.(新考向·新定义试题)(2024四川绵阳涪城二模,10,★★☆) 定义新运算:对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max {a,b}表示a,b中的较大值,如:max{1,3}=3,max{-1,-3}=-1.按照 这个规定,若max{x,-x}= ,则x的值是 (　    )A.-1　　　    B.-1或2+ C.2+ 　　　    D.1或2- 
解析　若x>-x,即x>0,则x= ,∴x=2+ (负值舍去);若x<-x,即x<0,则-x= ,∴x=-1(正值舍去).综上,x的值是-1或2+ .
20.(2024福建漳州一中二模,16,★★☆)若方程x2+mx+1=0和x2 +x+m=0有公共根,则常数m的值是　　　    .
解析　设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t,则t2+mt+1 =0①,t2+t+m=0②,①-②得(m-1)t=m-1,分情况求解如下:(1)如果m=1,那么两个方程均为x2+x+1=0,Δ=12-4×1×1=-3<0, 不符合题意;(2)如果m≠1,那么t=1,把t=1代入①,得1+m+1=0,解得m=-2.综上所述,常数m的值为-2.
21.(整体思想)(2024四川成都七中实验学校一模,17,★★★)方程x2-3|x|-2=0的较小根的倒数是　　　    .
解析　方程整理得|x|2-3|x|-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,∴b2-4ac=9+8 =17>0,∴|x|= (负值舍去),解得x1= ,x2=- ,∴较小根为- ,则该方程较小根的倒数是- =- =-  = .
22.(教材变式·P36T9)(2024吉林长春第二实验中学二模,17, ★★☆)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根为负数,求m的取值范围.
解析    (1)证明:∵a=1,b=-(m+1),c=m,∴Δ=b2-4ac=[-(m+1)]2-4× 1×m=m2+2m+1-4m=m2-2m+1=(m-1)2≥0,∴方程总有两个实数 根.(2)∵x2-(m+1)x+m=0,∴(x-m)(x-1)=0,∴x1=m,x2=1.∵方程有一个根为负数,∴m<0.
23.(新考向·新定义试题)(2024河南洛阳新安二模,23,★★☆) 如果a2+b2=c2,那么把形如ax2+ cx+b=0(a≠0)的方程称为“勾系方程”.(1)当a=3,b=4时,写出相应的“勾系方程”:　　　　　        ;(2)求证:关于x的“勾系方程”ax2+ cx+b=0(a≠0)必有实数根.
解析    (1)3x2+5 x+4=0或3x2-5 x+4=0.(2)证明:∵a≠0,Δ=( c)2-4ab=2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0,∴关于x的“勾系方程”ax2+ cx+b=0(a≠0)必有实数根.
24.(运算能力)(2024重庆江津实验中学一模)设m为整数,且4< m<40,方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个不相等的整数根, 求m的值及方程的根.