数学九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系课前预习ppt课件

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第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
第5课时　一元二次方程的根与系数的关系
知识点6　一元二次方程的根与系数的关系
1.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 (        )A.x1+x2=6　　　    B.x1+x2=-6C.x1x2= 　　　    D.x1x2=7
解析　∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,∴x1+x2=6,x1x2=-7.
2.(一题多解)(2022四川乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2 x+m=0有两个根,其中一个根为x=1,则这两根之积为 (　    )A. 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.- 
解析　解法1(利用方程解的定义):∵方程的其中一个根是x= 1,∴3-2+m=0,解得m=-1,∴两根之积为- .解法2(利用根与系数的关系):设另一个实数根为x2,依题意可 得1+x2= ,解得x2=- ,∴两根之积为- .
3.(整体思想)(2023山东菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的 两根为x1,x2,则 + 的值为 (　    )A. 　　　    B.-3　　　    C.3　　　    D.- 
4.(新独家原创)张老师在整理授课素材时,不小心将两滴墨 水滴到了一道一元二次方程题上:●x2+4x+●=0.已知该方程 的正确解是x1= ,x2=- ,则该一元二次方程的二次项系数及常数项分别是　　　    .
解析　设原方程为ax2+4x+c=0,∵x1= ,x2=- ,∴x1+x2= - =-1=- ,x1x2=- = ,∴a=4,c=-3,故该一元二次方程的二次项系数及常数项分别为4,-3.
5.若一元二次方程2x2+3x-5=0的两个实数根分别是x1、x2,则  + 的值是　　　    .
6.(2024吉林长春宽城期中)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+ 2x+m2-1=0有一个根为0,则另一个根为　　　    .
解析　把x=0代入(m-1)x2+2x+m2-1=0得m2-1=0,解得m1=1,m2=-1,∵m-1≠0,∴m=-1,∴原方程为-2x2+2x=0,解得x1=0,x2=1.
7.(2024湖南衡阳蒸湘模拟)已知关于x的一元二次方程x2-6x+ 2m-1=0有两个实数根x1,x2.(1)若x1=1,求x2及m的值.(2)是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)= ?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
解析    (1)根据题意得Δ=(-6)2-4(2m-1)≥0,解得m≤5,∵x1+x2= 6,x1x2=2m-1,x1=1,∴1+x2=6,x2=2m-1,∴x2=5,m=3.(2)存在.∵(x1-1)(x2-1)= ,∴x1x2-(x1+x2)+1= ,即2m-1-6+1= ,整理得m2-8m+12=0,解得m1=2,m2=6,经检验m1=2,m2=6为方程(x1-1)(x2-1)= 的解,∵m≤5且m≠5,∴m=2.
8.(2023四川乐山中考,7,★☆☆)若关于x的一元二次方程x2-8 x+m=0的两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为 (　    )A.4　　　    B.8　　　    C.12　　　    D.16
解析　∵一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1、x2,∴x1+x2=8, ∵x1=3x2,∴x1=6,x2=2,∴x1x2=m=6×2=12.
9.(整体思想)(2023四川泸州中考,10,★★☆)若一个菱形的两 条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个 实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为 (　    )A. 　　　    B.2 　　　    C. 　　　    D.2 
解析　设该菱形的两条对角线长分别为a、b,依题意可得 ab=11,即ab=22,∵a+b=10,∴菱形的边长= = × = × =  =  = .
10.(2024吉林省实验中学模拟,8,★★☆)关于x的方程(x-1)(x+ 2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是 (　    )A.两个正根B.两个负根C.两根异号,且正根的绝对值较大D.两根异号,且负根的绝对值较大
解析　∵(x-1)(x+2)=p2,∴x2+x-2-p2=0,∴b2-4ac=1+8+4p2=9+4 p2>0,∴方程有两个不相等的实数根,∵x1x2=-2-p2<0,x1+x2=-1, ∴方程的两根异号,且负根的绝对值较大.
11.(2023四川内江中考,22,★★☆)已知a、b是方程x2+3x-4=0 的两根,则a2+4a+b-3=　　　    .
解析　∵a是方程x2+3x-4=0的根,∴a2+3a-4=0,∴a2=-3a+4,∵a、b是方程x2+3x-4=0的两根,∴a+b=-3,∴a2+4a+b-3=-3a+4+ 4a+b-3=a+b+1=-3+1=-2.
12.(易错题)(2023湖南岳阳中考,14,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1+x2+x1x2=2,则实数m=　　　    .
解析　∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2m)2-4×1×(m2 -m+2)>0,∴m>2.∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2- m+2=0的两个实数根,∴x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2,∵x1+x2+x1x2= 2,∴-2m+m2-m+2=2,解得m1=0(不符合题意,舍去),m2=3,∴实数 m=3.
易错警示    　　利用根与系数的关系求方程中未知参数的值时,未知参 数的值应使根的判别式为非负数,即保证两根的存在.
13.(2023内蒙古通辽中考,25,★★☆)阅读材料:材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数 根x1,x2和系数a,b,c,有如下关系:x1+x2=- ,x1x2= .材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n, 求m2n+mn2的值.解:∵m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根,∴m+n=1,mn =-1,则 m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)应用:一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x 2=　　　    ,x1x2=　　　    ;(2)类比:已知一元二次方程2x2+3x-1=0 的两个实数根为m,n, 求m2+n2的值;(3)提升:已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0 且s≠t,求 - 的值.
解析    (1)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根为x1,x2,∴x1+x2 =- ,x1x2=- .(2)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,∴m+n=-  ,mn=- ,∴m2+n2=(m+n)2-2mn= +1= .(3)∵实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,且s≠t,∴s,t是一元二
次方程2x2+3x-1=0的两个实数根,∴s+t=- ,st=- ,∵(t-s)2=(t+s)2-4st= -4× = ,∴t-s=± ,∴ - = = =
14.(运算能力)(2024河南南阳新野模拟)x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,若满足|x1-x2|=1,则此类方程 称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义,解决下列问 题:(1)通过计算,判断下列方程是不是“差根方程”:①x2-4x-5=0;②2x2-2 x+1=0.
(2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”,求a的值.(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方程”,请探索a与b之间的数量关系式.
解析    (1)①设x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根, 则x1+x2=4,x1x2=-5,∴|x1-x2|= = =6,∴方程x2-4x-5=0不是“差根方程”.②设x1,x2是一元二次方程2x2-2 x+1=0的两个实数根,则x1+x2= ,x1x2= ,∴|x1-x2|= = =1,∴方程2x2-2 x+1=0是“差根方程”.(2)将x2+2ax=0因式分解得x(x+2a)=0,解得x1=0,x2=-2a,∵关于x 的方程x2+2ax=0是“差根方程”,∴2a=±1,即a=± .
(3)设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)的两个 实数根,∴x1+x2=- ,x1x2= ,∵关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方程”,∴|x1-x2|= =1,即 =1,∴b2=a2+4a.
微专题3　根据一元二次方程的根与系数的关系构造方程
1.已知x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两根,求以x1+2和x2+2 为根的一个一元二次方程.
解析　根据题意得x1+x2=-3,x1x2=-5,∴x1+2+x2+2=1,(x1+2)(x2+ 2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-7,∴以x1+2和x2+2为根的一个一元二次 方程可以为x2-x-7=0(答案不唯一).