专题02 方程（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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在本专题中，我们主要巩固初中所学的知识，在巩固的基础上进行初高中衔接.在初中,一元二次方程的根与系数的关系(即韦达定理)虽然已经学习过了，但是学生探究得不够深刻，但在高中，韦达定理有着非常广泛的应用，是高中学生必须掌握的内容,在本讲中着重练习了这个知识点。
【知识回顾与衔接】
一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程，一般式为
二、一元二次方程
只含有一个未知数，且未知数的次数是二次的整式方程叫做一元二次方程，一般式为
1、求根公式
一元二次方程的两个根为：
2、判别式
①当时，方程有两个不相等的实数根。
②当时，方程有两个相等的实数根。
③当时，方程无实数根。
3、韦达定理（根与系数的关系）：
如果一元二次方程的两个根为，那么：
①推导过程：一元二次方程的两个根为：
所以：，

②一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．
③一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设和分别是一元二次方程，则
∴

于是有下面的结论：
若和分别是一元二次方程，则
(其中)
④用两根和与两根积来表示：
利用韦达定理,我们可以不直接求方程的根，而知其根的正、负性。当且时，方程的两根必一正一负;当且时时，方的两根同正或同负.
三、有理方程
整式方程与分式方程统称为有理方程，有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。
一元整式方程:如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,那么这个方程叫做一元整式方程。
分式方程:如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程。
比如：
解分式方程的一般步骤，可用流程图表述为
四、无理方程
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程称为无理方程。
比如等
解简单的无理方程，可以通过去根号化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤用流程图表述为
【例题精讲】
1、设抛物线与轴的两个交点的坐标为和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意、为方程的两根，即可得到，，，再代入计算可得.
【详解】依题意、为方程的两根，
所以，，，
所以，，
所以
.
故选：A
2、设关于x的方程的两根为.
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的值.
【答案】(1)3或
(2)1或5
【分析】（1）根据给定条件，利用韦达定理列式，再配方代入计算作答.
（2）借助韦达定理探讨两根的符号，再分条件去绝对值符号求解作答.
【详解】（1）依题意，，则，
由，得，即，解得或，
所以实数m的值为3或.
（2）由（1）知，，显然不可能同号，
当时，由，得，即，解得，
当时，由，得，即，解得，
所以实数m的值为1或5.
3、已知实数且满足，则______．
【答案】
【分析】由题意可得是方程的两个实数根，由利用韦达定理可得答案.
【详解】因为实数且满足，
所以是方程即的两个实数根，
可得，，所以， ，
所以，
故答案为：.
4、已知，则（ ）
A．-22B．-1C．7D．11
【答案】B
【分析】解方程求，由此可求.
【详解】因为，
所以，又，
所以，
所以或，
当时，，故，
当时，，故，
故选：B.
5、某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道米，根据题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用每天修建的盲道比原来多250米，提前2天完成，得出方程即可.
【详解】设实际每天修建盲道米，根据题意可得：
，
故选：D
6、关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，且，则的值是__________.
【答案】
【分析】由题得到韦达定理，结合已知得，解方程，再检验即得解.
【详解】由题得，（）
所以，且，
所以.
所以，
整理得，
当时，不满足，所以舍去.
当时，. 满足（）.
故答案为：5
7、的解集为_________
【答案】
【分析】令，解关于的一元二次方程，再根据的值求解关于的一元二次方程.
【详解】令，则，解得：，，
由得：，方程无解；
由得：，解得：，，
解集为.
8、如果是一元二次方程的两个根，则的值是______
【答案】
【分析】根据题意结合韦达定理可得，两式相减即可得解.
【详解】因为是一元二次方程的两个根，
所以，
两式相减得，
因为.
故答案为：.
9、（1）已知关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围；
（2）已知关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将方程变形为，要求a的取值范围，就是求的取值范围，然后运用二次函数的知识求出答案即可；
（2）不等式在上有解，等价于，由（1）知答案；
（3）不等式在上恒成立，等价于，由（1）知答案.
【详解】（1）将方程变形为，要求a的取值范围，就是求的取值范围，
即y＝(x＋)2－，0≤x≤1，所以当x＝0时，y取得最小值为－1；当x＝1时，y取得最大值为1，
所以y的取值范围是－1≤y≤1，即实数a的取值范围是
（2）不等式在上有解，等价于
由（1）知
（3）不等式在上恒成立，等价于
由（1）知
【点睛】本题考查的是方程有解及不等式恒成立问题和存在性问题，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
10、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
(1)求实数的取值范围；
(2)用含有的代数式表示
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可得解；
（2）利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为；
（2）因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
则.
11、在①，②，③这三个条件中选一个合适的条件，补充在下面问题中，并解答.问题：若满足，且_________，求出下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】解方程可求得两根，并确定两根的范围；将符合条件的根代入所求式子即可求得结果.
【详解】（1）由得：或；
若选条件①，没有满足，故无法求出；
若选条件②，则，；
若选条件③，则，.
（2）若选条件①，没有满足，故无法求出；
若选条件②，则，，
；
若选条件③，则，，
.
12、若是方程的两根，则_____________
【答案】
【分析】根据题意结合韦达定理可得，两式相减即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
两式相加得，
所以.
故答案为：.
13、表示不超过的最大整数，例如，.则方程的实数解的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据已知条件列不等式，对进行分类讨论，由此求得方程的解，进而求得正确答案.
【详解】因为，方程变形为，
则，解得，
①当时，，
原方程化为，解得（不符合，舍去）.
②当时，，
原方程化为，无解.
③当时，，
原方程化为，无解.
④当时，，
原方程化为，解得（不符合，舍去）.
⑤当时，，
原方程化为，解得（不符合，舍去）.
综上所述，方程的实数解为，共个.
故选：A
【巩固练习】
1、．设方程的两根为，则方程的根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入方程，可以得到与的关系，即可求得
的根.
【详解】方程，即
，又因为方程的两根为，
即，又因为方程可以化简为
，代入即，
即，所以方程的根为.
故答案为：B
2、（1）已知是关于的方程的两个实数根，且满足，求实数的值.
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据韦达定理即可求解；（2）配方，解方程即可求解.
【详解】（1）由根与系数的关系可得：,
又，

,解得：或
当时，方程中，此时方程没有实数根，应舍去.
实数的值为.
（2）原方程可变形为：
或或,
经检验，它们均为原方程的根.
3、设自然数，且，则________．
【答案】16
【分析】依题意可得，即可得到，从而得解.
【详解】因为，即，
即，所以，
即，所以关于的方程有正整数解，
所以，
其中，解得，
所以，
又，因为、为自然数且，
所以，解得，经检验符合题意，
所以.
故答案为：
4、方程的解是（ ）
A．1B．C．D．方程无解
【答案】A
【分析】去分母解方程，并检验即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，，
整理得：，解得，
因为且，
所以，，即方程的解是
故选：A
5、已知，，则__________．
【答案】/1.6
【分析】由题意可知、是方程的两根，直接由韦达定理可得两根之积，从而可得的值.
【详解】由方程的结构可知、是方程的两根，
由韦达定理可得
故答案为：.
6、已知，则_________
【答案】23
【分析】将看成一个整体，然后利用完全平方公式化简即可.
【详解】，
，
故答案为：23
7、、是方程的两个根，则____________
【答案】/
【分析】利用韦达定理可得出、的值，可求得、的值，再利用立方差公式计算可得结果.
【详解】因为、是方程的两个根，由韦达定理可得，，
所以，，则，
，
因此，.
故答案为：.
8、在中，如果，满足，那么_____
【答案】.
【分析】根据已知条件及锐角三角函数的特殊值对应特殊角，结合三角形的内角和定理即可求解.
【详解】因为，
所以,解得，
在中，，所以 ，
在中，，所以 ，
所以.
故答案为：.
9、已知二元一次方程组，则_____，_____.
【答案】
【分析】将方程组中的两个等式别相加、相减可得结果.
【详解】将方程组中的两个等式相减可得，
将方程组中的两个等式相加可得，可得.
故答案为：；.
10、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的个数的判断方法可直接构造不等式组求得结果.
【详解】由题意得：，解得：且.
故选：C.
11、关于的一元二次方程有两个不等实根．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：对于任意，为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）一元二次方程有两个不等实根，满足△即可；
（2）利用韦达定理求得，，代入，化简即可．
【详解】（1）方程有2个不相等的实根，
，
解得：，
，．
（2）由韦达定理得，，
，
对于任意，为定值．
12、（1）已知是方程的一根，求的值；
（2）解关于的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由条件可得，即，可化为，
代入条件可得其值；
（2）变形可得，再分别在，条件下解方程.
【详解】（1）由于，则，
所以，
所以．
（2）由知可得且，
原方程可变形为
当时，
所以
故方程无解
当时，方程可变形为，
则，即，
所以，
解得，由于，所以，
综上方程的解为知识点
初中
高中
一元一次方程
一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组及其解法
通过对含字母系数的、形式意义上的一元一次、二次方程进行分类和求解的讨论，体会分类讨论的思想和周密思考问题的过程
一元二次方程
一元二次方程及其解法；
一元二次方程的求根公式
研究一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理，掌握韦达定理的证明以及它的基本运用
简单的代数方程
整式方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组；高次方程是初中九年级拓展内容,属于选修内容
把方程中的等号变为不等号,那么方程就变为整式不等式、分式不等式、无理不等式、高次不等式