专题11 基本不等式（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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1、基本不等式原始形式
（1）若，则 （2）若，则
2、均值定理（均值不等式）
若，则，当且仅当取等号。
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若，则 （2）若，则
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若，则 (当且仅当时取“=”）
（2）若，则 (当且仅当时取“=”）
（3）若，则 (当且仅当时取“=”）
（4）若，则
（5）若，则
6、对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，故称“对勾函数”，也称“耐克函数”或“双勾函数”。
【对勾函数的图像与性质】
【考向精析】
考向一：由均值不等式求积的最大值
1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（ ）
A．B．2C．4
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】，
等号成立条件是，即时取等号，
即当且仅当时取等号，
所以ab的最大值是4.
故选：D.
2．若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
3．已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解.
【详解】由，可得，
则，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.
故选：B.
考向二：由均值不等式求和的最小值
4．若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若，则，
当且仅当即等号成立，
所以若时，有最小值为6，无最大值.
故选：B.
5．函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】B
【分析】直接根据基本不等式即可得结果.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为，
故选：B.
6．正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．3B．7C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由得，所以，
由于，
由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立，
故选：C
7．已知，若，则的最小值是（ ）
A．7B．9C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：D.
8．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】选项A，利用排除法，当时，；
选项B，由配方法，可得；
选项C，利用基本不等式，可得解；
选项D，采用换元法，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，得解．
【详解】选项A，当时，，即A不符合题意；
选项B，，即B不符合题意；
选项C，，当且仅当，即时，等号成立，即C符合题意；
选项D，令，则在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，即D不符合题意．
故选：C．
9．函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．以上都不对
【答案】B
【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，
所以当时取得最小值，
故选：B
10．下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4B．若，则的最小值是2
C．若，则的最大值为D．若正实数x，y满足，则的最小值为6
【答案】CD
【分析】A选项，分与时，利用基本不等式求解；B选项通过使用基本不等式，一正二定三相等，发现等号不成立；C选项，先判断出，，再基本不等式进行求解；D选项，1的妙用，使用基本不等式进行求解
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，
则有最大值为，当时，，当且仅当，即时取等号，
则的最小值为2，故A错误；
因为，，所以，
等号成立的条件是，即，方程无解，即最小值不为2，B错误；
若，故，，则，
当且仅当即时取等号，此时取得最大值，C正确；
正实数满足，则，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为6，D正确.
故选：CD
考向三： “1”的妙用
11．已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】/
【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
12．已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】/1.125
【分析】因为，再利用基本不等式即可得出结果.
【详解】因为，所以
，当且仅当，即最取到等号.
故答案为：.
13．设且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取得最小值．
故答案为：.
考向四： 对勾函数求最值
14．当时，的最小值为________.
【答案】3
【分析】根据对勾函数的单调性求最值.
【详解】设，则，
又由得，
而函数在上是增函数，
因此时，取得最小值，
故答案为：.
15．函数f（x）＝＋1的最小值为________．
【答案】＋1
【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值.
【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，
令，t∈[，＋∞），
则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），
则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝，
则g（t）≥，
所以函数f（x）的最小值为；
故答案为：.
16．函数取得的最小值时，的值为___________．
【答案】4
【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.
【详解】.当且仅当，即时，
等号成立.故的最小值为6.
故答案为：4
17．求的最小值．
【答案】4
【分析】根据已知可知，然后根据基本不等式，即可得出答案.
【详解】因为，
当且仅当，即时，取到最小值4.
【巩固检测】
1. ，的最大值为_________.
【答案】/
【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，所以，，由基本不等式可得
，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最大值为.
故答案为：.
2．已知，则的最大值为________.
【答案】
【分析】变形，利用基本不等式求解.
【详解】，，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
3. 若，且，求的最小值．
【答案】
【分析】根据基本不等式“1”的妙用，求解即可．
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
4．（1）已知，且，求的最小值.
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）9；（2）16
【分析】由条件可得，结合基本不等式分别求和的最小值.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，即时等号成立，
所以的最小值为.
（2）因为，，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
5.已知，求函数的最小值；
【解析】，当且仅当时等号成立，最小值为4
6.已知、．若，则的最大值是 ．
【解析】
解：，，，
，即，当且仅当时取等号，
解得，
故答案为．
7.当时，求的最大值；
【解析】当时，，当且仅当取等号，的最大值是8；
8.求函数的最大值；
【解析】依题意得：
，
当时，
此时函数取得最大值为．
故答案为：．
9.已知，，且，则的最小值为
A．1B．C．D．
【解析】
解：因为，，且，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当
即，时等号成立，故的最小值．
故选：．
10. 已知，，且，则的最小值为
A．B．3C．8D．9
【解析】
解：已知，，且，
则，
当且仅当且时取等号，
则的最小值为9．
故选：．
11.设，，若，则的最小值为
A．5B．7C．9D．11
【解析】解：，，，，，，
，
（当且仅当，即，时，等号成立），
故选：．
12. 已知正数，满足，则的最小值为
A．25B．16C．12D．
【解析】
解：正数，满足，
，
，当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为25．
故选：．
13.求函数的值域；
【解析】令则，，

，当且仅当时成立
值域为 解析式
图像
定义域
值域
特殊点
奇偶性
奇函数
奇函数
奇函数
增区间
减区间