专题14 函数的值域（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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一、常见函数直接求解法
一次函数的值域为.
二次函数，当时的值域为；时的值域为.
反比例函数的值域为.
二、分离常数法
函数是对称的分式函数.
先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域.
三、均值不等式法
主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．
四、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
五、抽象函数/复合函数求值域
六、高斯函数
七、分段函数求值域
【考向精析】
考向一：常见的函数值域
1．已知函数的定义域为，则其值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义域，代入解析式，求出值域.
【详解】当时，，当时，，
故值域为.
故选：A
2．函数，的值域为________.
【答案】
【分析】依次求出各自变量对应函数值，即得值域.
【详解】因为，
，
，
所以f(x)的值域为．
故答案为：.
3．已知，函数的值域为______________
【答案】
【分析】由，可得的取值范围，再利用二次函数的单调性与对称轴求出给定区间的函数值域.
【详解】因为，所以，
又，
所以当时，单调递减，，
所以函数的值域为.
故答案为：
4．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
【答案】
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
又因为定义域和值域均为，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：
考向二：复杂的函数值域
5．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】或，
，
所以.
故选：B.
6．已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
【答案】ACD
【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到的对称中心，即可判断C、D正误.
【详解】由，则定义域为，值域为，
所以是的对称中心，则，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
7．已知集合，，则______.
【答案】
【分析】先求函数的值域，即可化简集合，再求函数的定义域，即可化简集合，最后由集合的交集运算即可得到答案.
【详解】因为，所以为函数的值域，
因为，
所以.
因为，所以为函数的定义域，
由得，即，
所以，
所以.
故答案为：
8．函数的值域为______.
【答案】
【分析】根据函数解析式直接求值域.
【详解】因为，所以，
所以函数的值域为，
故答案为: .
9．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由可得，
当时，故，当且仅当时等号成立，
而恒成立，故，
故的值域为，
故选：C
考向三：根据函数的值域求参数的值或范围
10．已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域和值域分析列式求解，进而可得集合，再根据交集运算求解.
【详解】∵，由题意可得，解得，
可得，
故.
故选：B.
11．（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】ABC
【分析】先得到函数的单调性，结合，，数形结合得到的取值范围，求出答案.
【详解】，故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
因为值域为，故，
所以的值可能是2,3,4.
故选：ABC
12．若函数的值域为，则函数的值域为____________．
【答案】
【分析】依题意可得，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：依题意要使的值域为，必有．于是，
所以，则的值域为．
故答案为：
考向四：求抽象函数的值域
13．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过函数的定义域和值域，分析四个选项的定义域和值域，即可得出正确图像.
【详解】由题意，
在中，定义域为，值域为，
选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确.
选项B，定义域，值域为，不满足定义域和值域，B错误.
选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误.
选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以故D中图象不是函数的图像，D错误.
故选：A.
14．函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，即函数的定义域.
因为函数的定义域为，值域为，又，
所以函数的值域为.
故选：C
15．已知函数可表示为
则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域是
C．的值域是D．在区间上单调递增
【答案】B
【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.
【详解】A. ，所以该选项错误；
B. 由表得的值域是，所以该选项正确；
C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；
D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.
故选：B
【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.
16．（多选）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为A，值域为,则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．值域
【答案】ACD
【分析】根据题意即可求得函数的定义域和值域，即可得出答案.
【详解】根据题意可得函数的定义域，则，故A正确；
函数的值域，故B错误，D正确；
，故C正确.
故选：ACD.
考向五：求复合函数的值域
17．函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据的定义域求出的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出.
【详解】的定义域为，
中，，解得，
即的定义域为，令，则
则，
当时，；当时，，
的值域为.
故选：B.
18．求解下列问题
(1)已知是二次函数,且满足,求.
(2)求函数的值域
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据是二次函数,设出解析式,将条件代入,用待定系数法求解即可;
(2) 对进行换元,令,即求的值域,根据定义域判断单调性,求出值域即可.
【详解】（1）解:由题知是二次函数,
不妨设,
因为,
所以,
即,
故有,
解得:,
故;
（2）由题知,
设,
则,
则,,
所以在上单调递增,上单调递减,
故,
综上: 的值域为.
19．已知，则的单调增区间为______，值域为______.
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，令，利用复合函数的单调性可得解第一空，结合二次函数性质可得，即，可得解第二空.
【详解】由题意，令
故函数的定义域为
令
由于在单调递增，为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增，单调递减
由复合函数的单调性，函数在单调递增，单调递减；
当，，故，故，因此函数的值域为
故答案为：，
20．函数的最大值为______.
【答案】
【分析】令，先利用二次函数性质得到，再由反比例函数性质得到，即得解
【详解】由题意，令
故
由反比例函数性质，
故函数的最大值为
故答案为：
考向六：根据函数的值域求定义域
21．若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论解不等式即可.
【详解】由函数的值域是，
所以当时，，
当时，
即，解得，
所以函数的定义域为：，
故选：D
22．若函数在区间上的值域是，则点位于图中的（ ）
A．线段或线段上
B．线段或线段上
C．线段或线段上
D．线段或线段上
【答案】A
【分析】根据二次函数图象，结合值域分析定义域区间端点满足的特征，即可得解.
【详解】作出函数的图象，由题在区间上的值域是，
所以或，
即点位于图中的线段或线段上.
故选：A
【点睛】此题考查根据函数值域判断定义域特征，并用平面直角坐标系内的点表示满足条件的有序数对，其关键在于熟练掌握二次函数的图像和性质.
23．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】分别令，，解方程解得，设定义域为，根据图象得到或，然后判断即可.
【详解】令，解得，令，解得或-2，
可作出函数图象如图：
设定义域为，所以或，故AD正确，BC错.
故选：AD.
24．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】，
当时，若，即，解得或；
当时，若，即，解得或，此时.
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；
当时，区间的长度取最大值.
所以，区间的长度的取值范围是.
故选：BC.
【巩固检测】
1.已知函数，，，则函数的值域为 ．
【解析】解：函数，
故函数的对称轴为，，
所以函数的最大值为（3），
的最小值为（1），
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
2.函数的值域为 ．
【解析】因为，所以.
3.函数的值域是
A．B．
C．，，D．
【解析】故，故值域为，，，选C
4.函数的值域
A．B．
C．D．
【解析】
解：函数，
由于，故函数的值域为，
故选：．
5.设函数在区间，上的最大值和最小值分别为，，则
A．4B．6C．10D．24
【解析】解：因为，
所以在，上是减函数．
所以（4），（3）．
所以．
故选：．
6.（多选）下面关于函数的性质，说法正确的是
A．的定义域为，，
B．的值域为
C．在定义域上单调递减
D．点是图象的对称中心
【解析】
解：对于，函数的定义域为，，，故正确；
对于，由函数，得，
互换，，得，，
的值域为，，，故错误；
对于，函数，在定义域上不是单调递减函数，故错误；
对于，设函数图象的对称中心是，
则与是同一个函数，
解得，，
点是图象的对称中心，故正确．
故选：．
7.已知函数，．求函数的值域．
【解析】，，值域为
，，值域为
综上，值域为
8.函数的值域为 ．
【解析】
解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
9.函数的值域为
A．，B．C．，D．
【解析】
解：时，，当且仅当，即时取等号，此时函数取得最小值2，
所以函数的值域为，．
故选：．
10.函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：设，则，则，
则函数等价为，
对称轴为，
则当时，函数取得最大值，
即，即函数的值域为，，
故选：．
11. 的值域是
A．B．C．D．
【解析】解：由得，
则为减函数，为增函数，为增函数，
，
即函数的值域为，，
故选：．
12.下列函数中，最小值为2的函数是
A．B．
C．D．
【解析】解：对于，当时，，故错误；
对于，的最小值为，故错误；
对于，是关于的二次函数，在，上为增函数，
则其最小值为3，故错误；
，
当且仅当，即时取等号，故正确．
故选：．
13.函数的值域是，，则函数的值域为
【解析】解：由函数的值域是，，
得，
则，
函数的值域为，．
故答案为：，．
14.函数的定义域是 ，值域是 ．
【解析】解：要使函数有意义，则，
解得，
函数的定义域为，，
，，
函数的值域为，．
故答案为：，；，．
15.函数的值域为 ．
【解析】解：函数，
令
，那么，则，
得原函数的值域为，．
故答案为：，．
16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为
A．B．，2，C．，1，2，D．，1，
【解析】解：．
对称轴．
函数在上单调递减，在上单调递增．
，又，所以．
，所以
故选：．
17.定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为 ．
【解析】解：当，时，，；
当，时，，；
当，时，．
取并集得：函数的值域为．
18.设，用表示不超过的最大整数．则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则的值域为 ．
【解析】解：当为整数时，，
当不是整数且时，，，
当不是整数且时，，，
故函数的值域为，．
故答案为：，．
19.函数的值域为 ．
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
20.若函数，则的值域为
A．B．C．D．
【解析】
解：当时，在，上单调递增，此时值域为，
当时，在上递增，在上递减，此时值域为；
故所求函数的值域为．
故选：．
21.函数的定义域为，，则函数的值域为
A．B．C．D．
【解析】解：的定义域为，，中，，解得，
即的定义域为，，令，则，，
则，
当时，；当时，，
的值域为．
故选：．1
2
3
4