专题15 函数的单调性（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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1、增函数与减函数
一般地，设函数的定义域为，区间：
⑴ 增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数；
⑵ 减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；
2、单调性
如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．
3、复合函数的单调性
复合函数的单调性满足同增异减，当内层函数和外层函数的单调性相同时，整个函数体现为增函数．当内层函数和外层函数的单调性相反时，整个函数体现为减函数．
【考向精析】
考向一：根据图像判断函数的单调性
1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数D．函数在上是减函数
2．（多选）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象过原点B．的图象关于对称
C．在区间（1,+）上单调递减D．是定义域上的减函数
3．（多选）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数有最大值，无最小值B．函数有最小值，无最大值
C．函数的图象与直线有无数个交点D．函数是增函数
4．己知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有__________；函数的单调递减区间有__________．

考向二：利用定义证明单调性
5．用定义证明：函数在上是增函数．
6．已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上是增函数；
(3)求不等式的解集．
考向三：函数的单调性求参数的值
7．己知函数．
(1)若函数的单减区间是，求实数a的值；
(2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围．
8．函数在上是增函数，则实数a的值为__________．
9．“”是“函数在上函数值随自变量增大而增大”的______.（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）
考向四：求复合函数的单调区间
10．关于函数的单调性的说法，正确的是（ ）
A．在定义域内是减函数
B．在上单调递减，在上单调递增
C．在上单调递减，在上单调递减
D．在上单调递增，在上单调递减
11．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的定义域是，值域是
B．f(x)的单调减区间是(1，3)
C．f(x)的定义域是，值域是
D．f(x)的单调增区间是(-∞，1)
考向五：由分段函数单调性求参数
12．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．设p：，q：函数在上时增函数，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．已知 是上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向六：抽象函数证明单调性
16.设函数的定义域是，且对任意正实数，，都有恒成立，已知（2），且时，．
（1）求的值．
（2）判断在上的单调性并给出证明．
（3）解不等式．
【巩固检测】
1. 已知定义在区间上的函数的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
2.（多选）下列函数中，不满足“，，都有”的有
A．B．C．D．
3.判断函数，的单调性并说明理由．
4.已知．
（Ⅰ）证明：在，单调递增；
（Ⅱ）解不等式：（7）．
5.求函数的单调递增区间．
6.已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为
A．B．C．0D．1
7.已知函数 在上是减函数，则的取值范围为
A．B．，C．D．，
8.若函数在上为增函数，则实数的取值范围是 ．
9.已知函数
（1）用定义法证明在上单调递减，在上单调递增；
（2）若的最小值是6，求的值．
10.（2021秋•禅城区校级期中）已知函数．
（1）若函数在区间，上单调递减，求的取值范围；
（2）若在区间，上的最大值为，求的值．
11.（2021秋•西岗区校级期中）设函数的定义域为，且，且满足条件（4）．对任意的，，有，且当时，有．
（1）求（1）的值；
（2）如果，求的取值范围．