中考数学一轮复习4.1几何初步、相交线与平行线、命题知识点演练(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习4.1几何初步、相交线与平行线、命题知识点演练(讲练)(原卷版+解析)，共85页。试卷主要包含了种车票等内容，欢迎下载使用。

考点1：直线、线段、射线相关知识
例1．（1）．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄外国语学校校考期中）下列图形和相应语言描述错误的是（ ）
A． 过一点O可以作无数条直线
B． 点P在直线AB外
C． 延长线段BA，使AC=2AB
D． 延长线段AB至点C，使得BC=AB
（2）（2023秋·安徽芜湖·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．射线OP和射线PO是同一条射线
B．两点之间直线最短
C．将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，其原理是“两点确定一条直线”
D．线段AB就是A、B两点间的距离
（3）（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的是（ ）
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（4）（2023秋·湖南长沙·七年级湖南师大附中校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（ ）张车票.
A．10B．15C．20D．30
例2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，已知平面内有四个点A,B,C,D．根据下列语句按要求画图．
(1)作线段AB；
(2)作射线AD，并在线段AD的延长线上用圆规截取DE=AB；
(3)作直线BC，与射线AD交于点F．
观察图形发现，线段AF+BF>AB，得出这个结论的依据是：______．
（温馨提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图后要一一下结论．）
例3．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，AD=16cm，BC=7cm，CD=2AB，线段AB以每秒2cm的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段AB停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=0秒时，AB= ___________cm，CD=___________cm；
(2)当线段AB与线段CD重叠部分为2cm时，求t的值；
(3)当t=5.5秒时，线段AB上是否存在点P，使得PD=11PC？若存在，求出此时PC的长，若不存在，请说明理由．
知识点训练
1．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）针对所给图形，下列说法正确的是（ ）
A．点O在射线AB上B．点A在线段OB上
C．射线OB和射线AB是同一条射线D．点B是直线AB的一个端点
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若AP=PB，则点P是线段AB的中点
B．射线AB和射线BA表示不同射线
C．连接两点的线段叫做两点间的距离
D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形
3．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）以下关于图的表述，不正确的是（ ）
A．点A在直线BD外B．点D在直线AB上
C．射线AC是直线AB的一部分D．直线AC和直线BD相交于点B
4．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
A．点P在直线AB外B．点C在直线AB外
C．点M不经过直线ABD．点B经过直线AC
5．（2021秋·福建厦门·七年级厦门市第五中学校考期末）根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）往返于A、B两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备（ ）种车票．
A．10B．20C．6D．12
7．（2023秋·天津南开·七年级南开翔宇学校校考期末）如图所示，点A、B、C在直线l上，则下列说法正确的是（ ）
A．图中有2条线段B．图中有6条射线
C．点C在直线AB的延长线上D．A、B两点之间的距离是线段AB
8．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列说法：①连接两点之间线段的长度叫两点之间的距离；②∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角；③从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线；④平面内三条互不重合的直线的公共点个数有0个、1个、2个或3个．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2022秋·河南周口·七年级校考期末）平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上9条直线任两条相交，交点最多有a个，最少有b个，则a+b=（ ）
A．36B．37C．38D．39
10．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）两条不重合的直线最多有一个交点，三条不重合的直线最多有______个交点，100条不重合的直线最多有______个交点．
11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
(1)作射线AC；
(2)作直线BD与射线AC相交于点O；
(3)分别连接AB、AD；
(4)我们容易判断出线段AB+AD与BD的大小关系是___________，理由是___________．
(5)若∠BAC的补角是其余角的4倍，则∠BAC=___________
12．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．
(1)连接AB，并画出AB的中点P；
(2)作射线AD；
(3)作直线BC与射线AD交于点E．
13．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D，按下列要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）并解答．
(1)画射线AD，直线CD，连接AB；
(2)在线段AD的延长线上作DE=AB；
(3)在直线CD上确定一点P，使得BP+EP的值最小，并说明作图依据．
14．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：
(1)连接BD，作射线AC；
(2)过点B画AD的垂线，垂足为E；
(3)在线段BD上作一点F，使△DCF的面积为3．
15．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）已知线段AB与点C的位置如图．
(1)按下列要求画出图形：作射线CB，直线AC；延长AB至点E，使得AE=3AB；
(2)在（1）所画图形中，若AB=2cm，点M是AE的中点，求BM的长．
16．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，且AD=14厘米，BD=3厘米．
(1)图中共有几条线段；
(2)求AC的长．
17．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A，B，C是平面上三个点，按要求画出图形，并回答问题．
(1)作直线BC，射线AB，线段AC；
(2)请用适当的语句表述点A与直线BC的关系： ______；
(3)从点A到点C的所有线中，线段AC最短，其理论依据是______；
(4)若点D是平面内异于点A、B、C的点，过其中任意两点画直线，一共可以画______条．
18．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，已知B，C在线段AD上，AB=CD，AD=20cm，BC=12cm．
(1)图1中共有___________条线段；
(2)①比较线段的长短：AC ___________BD（填：“>”、“=”或“<”）；
②如图2，若M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
(3)点E在直线AB上，且EA=6cm，请直接写出BE的长．
19．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两站之间的距离AB=a−b，B、C两站之间的距离BC=2a−b，B、D两站之间的距离BD=72a−2b−1．若A、C两站之间的距离AC=90km，求C、D两站之间的距离．
20．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ；
(2)如图1，画射线PM；
(3)如图1，画直线QM；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域．
21．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）请按要求完成下列问题；
(1)在图1中作线段BC；
(2)在图1中作射线DA；
(3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小；
(4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线l1和l2相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线l3，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线l4，与直线l1、l2和l3相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点．
考点2：与角有关的知识
例4（1）（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOC
C．∠AOC=∠AOB+∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示
（2）（2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）时钟显示为4:00时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
（3）（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）已知∠α=25°，那么∠α的补角等于（ ）
A．65°B．75°C．145°D．155°
（4）（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（ ）
A．100°B．10°
C．1°D．不能确定，视放大镜的距离而定
例5.（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图为半圆形计时器，指针OM绕点O从OB开始逆时针匀速向OA旋转，速度为10°每秒，指针ON绕点O从OA开始先顺时针匀速向OB旋转，到达OB后立即按原速度逆时针匀速向OA旋转，速度为20°每秒，两指针同时从起始位置出发，当OM到达OA时，两指针都停止旋转．设旋转时间为t秒
(1)当t=3时，∠AON=______度；
(2)∠BOM=______度（用含t的代数式表示）；
(3)当t=______时，OM与ON首次重合；
(4)求∠MON的度数（用含t的代数式表示，并写出相对应的t的取值范围）；
知识点训练
1．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）已知α，β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算16α+β的结果依次是26°，50°，72°，90°，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）若∠A为锐角，∠B为直角，∠C为钝角，则16(∠A+∠B+∠C)的值可能是（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
4．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）下列关于角的说法，正确的是（ ）
A．一个周角等于360°B．锐角和钝角一定互补
C．一个角的补角一定大于这个角D．两个锐角的和一定为钝角
5．（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023秋·河北保定·七年级校联考期末）下列四个图形中，能同时用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠AOC也可用∠O来表示
D．∠β+∠AOB=∠AOC
8．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．在所有连接两点的线中，直线最短B．∠AOB与∠BAO表示的是同一个角
C．同角（或等角）的余角相等D．若AB=BC，则点B是线段AC的中点
9．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数为（ ）．
A．50°B．110°C．50°或110°D．无法确定
10．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在∠AOB=90°的情况
B．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA
D．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为40秒
11．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：______．（结果形如6点2311分）
12．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）在钟表上，当时钟显示为10:40时，时针与分针所夹锐角的大小是______．
13．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）上午8点30分，钟面上时针与分针的夹角是______．
14．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）计算：32°45'48″+21°25'14″=____________；27°14'24″=____________°；当时钟指向时间为15：30时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．
15．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）若∠α=38∘24'，则∠α的余角的度数为______°．
16．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）一个角的余角比它的补角的14大15°，则这个角的度数是______°．
17．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD为多少度？
(2)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB为多少度？
(3)过点O作射线OF，使得∠AOF与∠BOD互余，若∠AOE=4∠AOF，求∠EOF的度数．
18．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
19．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知∠AOB=90°，∠AOC为锐角，ON平分∠AOC，射线OM在∠AOB内部．
(1)图中共有多少个小于平角的角？
(2)若∠AOC=50°，∠MON=45°，求∠AOM的度数．
(3)若∠AOC=x°，∠MON=45°，请通过计算判断∠BOM与∠BOC的关系．
20．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中与∠COE互补的角是______；（把符合条件的角都写出来）
(2)若∠AOD=15∠EOF，求∠AOD的度数．
21．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC:∠BOC=1:2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON=90°．
(1)如图1，求∠CON的度数；
(2)将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
考点3：平行线与相交线
例6. （1）（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，不能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠B+∠BAD=180°B．∠1=∠2C．∠D=∠5D．∠3=∠4
（3）（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°．当∠MAC为______度时，AM与CB平行．
例7. （2022秋·河南南阳·七年级统考期末）【教材回顾】如下是华师版七年级下册教材第167页，关于同旁内角的定义．
图中∠4和∠5处于直线l的同一侧，直线a、b的中间．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
知识点训练
1．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a,c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
2．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图所示，图中同旁内角的数量共有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
3．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．以上都不是
4．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1和∠3是同旁内角B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是对顶角
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b,b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a⊥c
6．（2023春·七年级课时练习）同一平面内的四条直线a，b，c，d满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a⊥cB．b⊥dC．a⊥dD．b∥c
7．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4B．∠D+∠ACD=180°
C．∠D=∠DCED．∠1=∠2
8．（2023春·全国·七年级专题练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该过程中∠ABC+∠BCD始终等于（ ）
A．360°B．180°C．250°D．270°
9．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线c∥d的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠1=∠4D．∠4+∠5=180°
10．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．14°B．15°C．20°D．22.5°
11．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）欣欣在观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=93°，∠DCE=121°，则∠E的度数是（ ）
A．23°B．26°C．28°D．32°
12．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF=20°，则∠EOF 的度数为_________．
13．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°．
(1)写出∠DOE的所有余角________．
(2)若∠AOF=70°，求∠COE的度数．
14．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD:∠BOD=2:1．
(1)求∠BOE的度数；
(2)求∠AOF的补角的度数．
15．（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．
(1)求证：BD∥EF；
(2)求证：∠AMD=∠AGF．
16．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AB∥DE，∠BAC=90°．
(1)求证：AC⊥DE；
(2)若∠C+∠D=90°，求证：AD∥BC．
17．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）补全证明过程：（括号内填写理由）
如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试说明BD//CE．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴ ∥ ( )．
∴∠D= ( )．
又∠D=∠3，
∴ = ( )．
∴BD//CE ( )
考点4：命题有关知识
例8.（1）（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．任何一个数都有平方根
B．一个数的立方根等于本身的数有−1、0和1
C．有一组直角边相等的两个等腰直角三角形一定全等
D．斜边对应相等的两个等腰直角三角形一定全等
（2）．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B>90°
C．AB≠ACD．AB≠AC且∠B≥90°
（3）．（2023秋·福建泉州·八年级校联考期末）对于命题“若a>0，则a>a”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ）
A．a=1B．a=2C．a=4D．a=16
例9.（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，请你从下面三个条件：①CE∥AB，②∠A=∠B，③CE平分∠ACD中，选择两个作为题设，另一个作为结论，组成真命题．
(1)请问可以组成哪几个真命题，请按“☆☆⇒☆”的形式一一书写出来；
(2)请从（1）的真命题中，选择一个加以说明，并写出推理过程．
知识点训练
1．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）下列命题：①经过一点有且只有一条直线；②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；③有两边及其一角对应相等的两个三角形全等；④等腰三角形底边上的高线和中线重合．其中是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两边长是4和9，则其周长为17或22
C．三条边长之比是1:2:5的三角形是直角三角形
D．有一个内角与其相邻的外角的比为1:2的等腰三角形是等边三角形
3．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题B．互逆定理C．公理D．假命题
4．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）用反证法证明“在△ABC中，∠A、∠B对边a，b，若∠A>∠B，则a>b．”第一步应假设（ ）
A．ab
5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0B．a，b不都小于0C．a，b都不小于0D．a，b都大于0
6．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）对于命题“若a+b<0，则a<0，b<0”，下列能说明该命题是假命题的反例是（ ）
A．a=2，b=3B．a=−2，b=3C．a=2，b=−3D．a=−2，7．（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设________；
11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）能说明命题：“若两个角α，β互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是_________．
8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）探究活动
（1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A．① B．② C．③
（2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．① ④
D．② ③ E．② ④ F．③ ④
（3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．
① 已知：如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB=A'B'，BC=B'C'，CD=C'D'，DA=D'A'，∠ABC=∠A'B'C'．
求证：四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形．
② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论：
③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明）
9．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如右图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD=BC：②CF=DE；③BE∥AF．
请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）并证明．
专题4.1几何初步、相交线与平行线、命题知识点演练
考点1：直线、线段、射线相关知识
例1．（1）．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄外国语学校校考期中）下列图形和相应语言描述错误的是（ ）
A． 过一点O可以作无数条直线
B． 点P在直线AB外
C． 延长线段BA，使AC=2AB
D． 延长线段AB至点C，使得BC=AB
【答案】C
【分析】依据过一点可以做无数条直线、点和直线的位置关系、线段的概念即可作出判断．
【详解】解：C、延长线段BA应改为反向延长线段BA，故选项说法错误，符合题意，
故选：C．
（2）（2023秋·安徽芜湖·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．射线OP和射线PO是同一条射线
B．两点之间直线最短
C．将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，其原理是“两点确定一条直线”
D．线段AB就是A、B两点间的距离
【答案】C
【分析】根据射线的定义，线段的性质，两点之间的距离，两点之间线段最短逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． 射线OP和射线PO端点不同，不是同一条射线，故该选项不正确，不符合题意；
B． 两点之间线段最短，故该选项不正确，不符合题意；
C． 将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，其原理是“两点确定一条直线”，故该选项正确，符合题意；
D． 线段AB的长度就是A、B两点间的距离，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
（3）（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的是（ ）
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】根据线段的基本事实，直线的基本事实，点到直线的距离即可求解．
【详解】解：A选项，测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短，正确，不符合题意；
B选项，用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确，不符合题意；
C选项，测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
D选项，从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故原选项不正确，符合题意；
故选：D．
（4）（2023秋·湖南长沙·七年级湖南师大附中校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（ ）张车票.
A．10B．15C．20D．30
【答案】C
【分析】将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可．
【详解】解：如图，
图中线段的条数为4+3+2+1=10（条），
由于车票往返的不同，因此需要制作火车票的种类为10×2=20（种），
故选：C．
例2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，已知平面内有四个点A,B,C,D．根据下列语句按要求画图．
(1)作线段AB；
(2)作射线AD，并在线段AD的延长线上用圆规截取DE=AB；
(3)作直线BC，与射线AD交于点F．
观察图形发现，线段AF+BF>AB，得出这个结论的依据是：______．
（温馨提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图后要一一下结论．）
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解，两点之间，线段最短
【分析】（1）连接点A，B，根据线段的特点，有两个端点的线段；
（2）根据射线的特点，点A是端点，以点D为圆心，以AB为半径画弧，交于点E，即可求解；
（3）过点B,C的直线，根据直线的特点，向两边无限延伸，交射线AD交于点F，由此即可求解．
【详解】（1）解：连接AB，如图所示，
线段AB即为所求线段．
（2）解：以点A为端点，过点D的射线，以点D为圆心，以AB为半径画弧，交于点E，如图所示，
射线AD即为所求，DE如图所示．
（3）解：过点B,C的直线，向两边无限延伸，交射线AD交于点F，
直线BC即为所求；F点如图所示；
线段AF+BF>AB，得出这个结论的依据是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
例3．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，AD=16cm，BC=7cm，CD=2AB，线段AB以每秒2cm的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段AB停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=0秒时，AB= ___________cm，CD=___________cm；
(2)当线段AB与线段CD重叠部分为2cm时，求t的值；
(3)当t=5.5秒时，线段AB上是否存在点P，使得PD=11PC？若存在，求出此时PC的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，6
(2)t的值为4.5秒或7秒
(3)不存在，见解析
【分析】（1）根据题中条件，可得AD=AB+BC+CD=AB+BC+2AB=3AB+BC=16cm，进而可求得答案；
（2）设运动后的点A为点A'，分点A'在点C的左侧和右侧两种情况进行讨论，分别列方程即可求解；
（3）当 t=5.5秒时，可判断此时的线段AB在C、D两点之间，假设存在符合条件的点P，则有PC+PD=CD，求出PC的长度，与点P在AB上不符，即可判断．
【详解】（1）解：∵AD=AB+BC+CD=AB+BC+2AB=3AB+BC=16cm
∴AB=3cm,CD=6cm，
故答案为：3，6；
（2）解：①当B'C=2cm时，如图
则2t−2=7
解得t=4.5
②当A'D=2cm时，
2t+2=16
解得t=7
答：t的值为4.5秒或7秒．
（3）解：当t=5.5秒时，
2t=2×5.5=11>3+7
3+2t=14<16
所以，此时线段A'B'位于C，D两点之间，
若存在点P，使PD=11PC
又因为PC+PD=6
PC+11PC=6
PC=0.5所以，当t=5.5秒时，线段AB上不存在点P，使得PD=11PC．
【点睛】本题考查线段的和差倍分关系，准确画出图形，数形结合是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）针对所给图形，下列说法正确的是（ ）
A．点O在射线AB上B．点A在线段OB上
C．射线OB和射线AB是同一条射线D．点B是直线AB的一个端点
【答案】B
【分析】根据线段，射线，直线的区别与联系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 点O在射线BA上，故该选项不正确，不符合题意；
B. 点A在线段OB上，故该选项正确，符合题意；
C. 射线OB和射线AB不是同一条射线，故该选项不正确，不符合题意；
D.直线AB没有端点，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了线段，射线，直线的区别与联系，掌握线段，射线，直线的区别与联系是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若AP=PB，则点P是线段AB的中点
B．射线AB和射线BA表示不同射线
C．连接两点的线段叫做两点间的距离
D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形
【答案】B
【分析】根据线段的中点，射线的定义，两点间的距离，多边形的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、当点P在线段AB上，且AP=PB时，点P是线段AB的中点，选项说法错误，不符合题意；
B、射线AB和射线BA表示不同射线，选项说法正确，符合题意；
C、连接两点的线段的长叫做两点间的距离，选项说法错误，不符合题意；
D、由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查线段的中点，射线的定义，两点间的距离，多边形的定义．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
3．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）以下关于图的表述，不正确的是（ ）
A．点A在直线BD外B．点D在直线AB上
C．射线AC是直线AB的一部分D．直线AC和直线BD相交于点B
【答案】B
【分析】根据直线、线段、射线的定义，然后逐项进行判断即可选出答案．
【详解】解：A、点A在直线BD外，正确；
B、点D在直线AB外，故原说法错误；
C、射线AC是直线AB的一部分，正确；
D、直线AC和直线BD相交于点B，正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了直线、射线、线段，用到的知识点是直线、射线、线段的定义，点与直线、直线与直线的位置关系，熟记有关定义是本题的关键．
4．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
A．点P在直线AB外B．点C在直线AB外
C．点M不经过直线ABD．点B经过直线AC
【答案】B
【分析】结合图形，对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、点P在直线AB外，符合图形描述，选项正确；
B、点C在直线AB上，故此选项不符合图形描述，选项错误；
C、点M不经过直线AB，符合图形描述，选项正确；
D、点B经过直线AC，符合图形描述，选项正确．
故选：B．
【点睛】考查点与直线的位置关系．掌握点与直线的位置关系是解题的关键．
5．（2021秋·福建厦门·七年级厦门市第五中学校考期末）根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B”进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B，故本选项符合题意；
B．点C不在射线上，故本选项不合题意；
C．点C在直线AB上，故本选项不合题意；
D．图上不是射线BC而是射线CB，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线以及射线的定义，根据题意作出图形是解题的关键．
6．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）往返于A、B两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备（ ）种车票．
A．10B．20C．6D．12
【答案】B
【分析】先求出线段条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，求解即可．
【详解】解：此题相当于一条线段上有3个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1=10；
∴有10种不同的票价；
∵车票是要考虑顺序的，
∴需准备20种车票，
故选：B．
【点睛】此题主要考查直线、射线、线段，这里要运用数学知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法．
7．（2023秋·天津南开·七年级南开翔宇学校校考期末）如图所示，点A、B、C在直线l上，则下列说法正确的是（ ）
A．图中有2条线段B．图中有6条射线
C．点C在直线AB的延长线上D．A、B两点之间的距离是线段AB
【答案】B
【分析】根据直线，射线，线段的相关概念即可求解．
【详解】解：∵图中有3条线段，
∴选项A不正确；
∵图中有6条射线，
∴选项B正确；
∵点C在线段AB的延长线上，
∴选项C不正确；
∵A、B两点之间的距离是线段AB的长度，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念，理解和掌握直线，射线，线段的相关概念是解题的关键．
8．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列说法：①连接两点之间线段的长度叫两点之间的距离；②∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角；③从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线；④平面内三条互不重合的直线的公共点个数有0个、1个、2个或3个．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】分别利用直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义分析得出即可．
【详解】解：①连接两点之间线段的长度叫两点之间的距离，正确；
②∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角，正确；
③从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，正确；
④平面内三条互不重合的直线的公共点个数有0个、1个、2个或3个，正确；
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
9．（2022秋·河南周口·七年级校考期末）平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上9条直线任两条相交，交点最多有a个，最少有b个，则a+b=（ ）
A．36B．37C．38D．39
【答案】B
【分析】n条直线任意两条都相交，交点最多时，根据公式n(n−1)2，把直线条数代入公式求解，n条直线相交于同一个点时最少，是1个交点，据此进行求解即可．
【详解】解：平面上有9条直线相交，则这9条直线最多有9×(9−1)2=36个交点，
相交于同一个点时，最少有1个交点，
∴a=36，b=1，
∴a+b=36+1=37，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相交线的应用，代数式求值问题，解题的关键是熟练掌握相交线的计算方法．
10．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）两条不重合的直线最多有一个交点，三条不重合的直线最多有______个交点，100条不重合的直线最多有______个交点．
【答案】 3 4950
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有12n(n−1)个交点．据此即可求解．
【详解】解：根据题意，结合图形，得：
3条直线相交最多有3个交点，3=12×2×3；
4条直线相交最多有6个交点，6=12×3×4；
5条直线相交最多有10个交点，10=12×4×5；
⋯，
得到规律：n条直线相交最多有交点的个数是：12nn−1，
∴100条不重合的直线最多有12×100×100−1=4950个交点．
故答案为：3，4950．
【点睛】此题主要考查了直线相交的交点个数问题，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
(1)作射线AC；
(2)作直线BD与射线AC相交于点O；
(3)分别连接AB、AD；
(4)我们容易判断出线段AB+AD与BD的大小关系是___________，理由是___________．
(5)若∠BAC的补角是其余角的4倍，则∠BAC=___________
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)AB+AD>BD，理由是：两点之间，线段最短
(5)60°
【分析】（1）根据射线的画法画图即可；
（2）根据直线的画法画图即可；
（3）根据线段的画法画图即可；
（4）根据两点之间，线段最短进行求解即可；
（5）根据余角与补角的定义进行求解即可：如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余，如果两个角的度数之和为180度，那么这两个角互补．
【详解】（1）解：如图所示，射线AC即为所求；
（2）解：如图所示，直线BD即为所求；
（3）解：如图所示，线段AB、AD即为所求；
；
（4）解：AB+AD>BD，理由是两点之间，线段最短，
故答案为：AB+AD>BD，两点之间，线段最短；
（5）解：∵∠BAC的补角是其余角的4倍，
∴180°−∠BAC=490°−∠BAC，
∴∠BAC=60°．
【点睛】本题主要考查了画直线，射线，线段，两点之间，线段最短，余角和补角的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．
(1)连接AB，并画出AB的中点P；
(2)作射线AD；
(3)作直线BC与射线AD交于点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据线段中点定义，找到点P，使得PA=PB即可；
（2）连接AD并延长，即可画出图形；
（3）连接BC并双向延长与射线AD相交，即可得到点E．
【详解】（1）解：如图所示，线段AB、点P即为所求作；
；
（2）解：如图所示，射线AD即为所求作；
；
（3）解：如图所示，直线BC、点E即为所求作．
．
【点睛】本题考查基本作图-作直线、射线、线段，熟练掌握这三个基本图形的性质和作法是解答的关键．
13．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D，按下列要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）并解答．
(1)画射线AD，直线CD，连接AB；
(2)在线段AD的延长线上作DE=AB；
(3)在直线CD上确定一点P，使得BP+EP的值最小，并说明作图依据．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析，依据：两点之间，线段最短
【分析】（1）根据直线，射线，线段的特点画图即可；
（2）在射线DE上D的右侧截取DE=AB，即可确定点E；
（3）根据两点之间，线段最短，连接BE，交CD于P即可．
【详解】（1）解：如图所示：射线AD，直线CD，线段AB，即为所求；
（2）如图所示：线段DE即为所求作的线段；
（3）如图所示：点P即为所求作的点．依据：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查的是画射线，直线，线段，作一条线段等于已知线段，两点之间线段最短，掌握“利用直线，射线，线段的特点并进行画图”是解本题的关键．
14．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：
(1)连接BD，作射线AC；
(2)过点B画AD的垂线，垂足为E；
(3)在线段BD上作一点F，使△DCF的面积为3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意，连接BD，作射线AC画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）根据平行线之间的距离相等，过点A作AF∥DC交BD于点F，则点F即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段BD，射线AC即为所求
（2）如图所示，BE即为所求；
（3）过点A作AF∥DC交BD于点F，则点F即为所求，
∵S△ADC=12×2×3=3，△FDC,△ADC，DC边上的高相等，
∴S△FDC=S△ADC=3，点F即为所求
【点睛】本题考查了画射线，线段，垂线，平行线，三角形的面积公式，平行线间的距离相等，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）已知线段AB与点C的位置如图．
(1)按下列要求画出图形：作射线CB，直线AC；延长AB至点E，使得AE=3AB；
(2)在（1）所画图形中，若AB=2cm，点M是AE的中点，求BM的长．
【答案】(1)见解析；
(2)1cm或5cm
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段的和差，线段的中点求解即可．
【详解】（1）射线CB如图所示：
直线AC如图所示：
如图所示：AE=3AB，
当点E在A点右边时，
当点E在A点左边时，如图所示：
（2）当点E在A点右边时，如图所示：
∵AB=2cm，AE=3AB，
∴AE=6cm，
又∵点M是AE的中点，
∴AM=ME=3cm，
∴BM=AM−AB=3−2=1(cm)，
当点E在A点左边时，如图所示：
∵AB=2cm，AE=3AB，
∴AE=6cm，
又∵点M是AE的中点，
∴AM=ME=3cm，
∴BM=AM+AB=3+2=5(cm)，
【点睛】本题考查了作图：线段的和差倍分，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，且AD=14厘米，BD=3厘米．
(1)图中共有几条线段；
(2)求AC的长．
【答案】(1)6条
(2)8厘米
【分析】（1）根据线段的定义，找出线段即可；
（2）利用中点平分线段，求出CD的长，再用AD−CD求出AC的长即可．
【详解】（1）解：图中的线段有：AC,AB,AD,CB,CD,BD，共6条线段；
（2）解：点B为线段CD的中点，BD=3厘米，
∴CD=2BD=6厘米，
∴AC=AD−CD=14−6=8厘米．
【点睛】本题考查线段的和差计算．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．
17．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A，B，C是平面上三个点，按要求画出图形，并回答问题．
(1)作直线BC，射线AB，线段AC；
(2)请用适当的语句表述点A与直线BC的关系： ______；
(3)从点A到点C的所有线中，线段AC最短，其理论依据是______；
(4)若点D是平面内异于点A、B、C的点，过其中任意两点画直线，一共可以画______条．
【答案】(1)见解析
(2)点A在直线BC外（或直线BC不经过点A）
(3)两点之间线段最短
(4)4或6条
【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义，作出图形即可；
（2）根据点与直线的位置关系，即可进行解答；
（3）根据“两点之间线段最短”即可进行解答；
（4）分两种情况进行讨论．
【详解】（1）如图，直线BC，射线AB，线段AC即为所求
（2）点A与直线BC的关系：点A在直线BC外（或直线BC不经过点A）；
故答案为：点A在直线BC外（或直线BC不经过点A）；
（3）从点A到点C的所有线中，线段AC最短，其理论依据是：两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短；
（4）当点D不在直线AB,BC,AC上时，可以画：3+2+2=6（条），
当点D在直线AB或BC或AC上时，可以画：6−2=4（条），
故答案为：4或6条．
【点睛】本题主要考查了直线，射线，线段，解题的关键是掌握相关定义．
18．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，已知B，C在线段AD上，AB=CD，AD=20cm，BC=12cm．
(1)图1中共有___________条线段；
(2)①比较线段的长短：AC ___________BD（填：“>”、“=”或“<”）；
②如图2，若M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
(3)点E在直线AB上，且EA=6cm，请直接写出BE的长．
【答案】(1)6；
(2)①=；②16cm；
(3)BE的长为2cm或10cm．
【分析】（1）根据图1即可得到答案；
（2）①根据AC=AB+BC，BD=CD+BC，AB=CD，即可得到结论；
②根据线段的和差以及线段中点的定义，即可求出MN的长度；
（3）先求出AB=4cm，然后进行分类讨论：①点E在线段AB的延长线上；②点E在线段BA的延长线上，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）解：以A为端点的线段：AB、AC、AD，共3条；
以B为端点的线段：BC、BD，共2条；
以C为端点的线段：CD，共1条，
∴图1中共有的线段条数为3+2+1=6，
故答案为：6；
（2）解：①∵AC=AB+BC，BD=CD+BC，
又∵AB=CD，
∴AC=BD，
故答案为：=；
②∵AD=20cm，BC=12cm，
∴AB+CD=AD−BC=20−12=8cm，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴BM=12AB，CN=12CD，
∴MN=BM+BC+CN=12AB+BC+12CD=BC+12AB+CD=12+12×8=16cm；
（3）解：∵AD=20cm，BC=12cm，
∴AB+CD=AD−BC=20−12=8cm，
∵AB=CD，
∴AB=4cm，
①如图，当点E在线段AB的延长线上时，
∵EA=6cm，
∴BE=EA−AB=6−4=2cm；
②如图，当点E在线段BA的延长线上时，
BE=EA+AB=6+4=10cm，
综上可知，BE的长为2cm或10cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系，线段中点的定义，准确找出线段之间的数量关系是解题关键，注意进行分类讨论．
19．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两站之间的距离AB=a−b，B、C两站之间的距离BC=2a−b，B、D两站之间的距离BD=72a−2b−1．若A、C两站之间的距离AC=90km，求C、D两站之间的距离．
【答案】44km
【分析】根据AC=90km，得出3a−2b=90km，根据CD=BD−BC得出CD=123a−2b−1，然后整体代入求出结果即可．
【详解】解：∵AC=AB+BC=a−b+2a−b=3a−2b=90km，
∴CD=BD−BC
=72a−2b−1−2a−b
=32a−b−1
=123a−2b−1
=12×90−1
=44km，
∴C、D之间的距离为44km．
【点睛】本题主要考查了线段之间的关系，代数式求值，解题的关键是熟练掌握线段之间的关系，求出3a−2b=90km．
20．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ；
(2)如图1，画射线PM；
(3)如图1，画直线QM；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域．
【答案】(1)点M在直线l外
(2)见解析
(3)见解析
(4)9
【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；
（2）根据射线的定义即可画射线PM；
（3）根据直线的定义即可画直线QM；
（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域．
【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外；
故答案为：M在直线l外；
（2）解：如图1，射线PM即为所求；
（3）解：如图1，直线QM即为所求；
（4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质．
21．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）请按要求完成下列问题；
(1)在图1中作线段BC；
(2)在图1中作射线DA；
(3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小；
(4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线l1和l2相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线l3，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线l4，与直线l1、l2和l3相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)45
【分析】（1）根据题意，画出线段BC即可；
（2）根据题意，画出射线DA即可；
（3）连接AC,BD交于点P，则点P即为所求；
（4）根据题意得：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有1+2=3个交点，4条直线相交最多有1+2+3=6个交点，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作线段BC即为所求；
（2）解：如图，射线DA即为所求；
（3）解：如图，连接AC,BD交于点P，则点P即为所求；
理由：∵PA+PB+PC+PD=PA+PC+PB+PD，
∴当PA+PC,PB+PD的值最小时，点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小，
此时点P位于线段AC,BD上；
（4）解：根据题意得：
2条直线相交最多有1个交点，
3条直线相交最多有1+2=3个交点，
4条直线相交最多有1+2+3=6个交点，
……，
由此发现，n条直线相交最多有1+2+3+⋯+n−1个交点，
∴10条直线相交最多有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个交点，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了画线段，射线，最短距离问题，相交线的交点问题，明确题意，熟练掌握两点之间，线段最短；（4）问中根据题意得到规律是解题的关键．
考点2：与角有关的知识
例4（1）（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOC
C．∠AOC=∠AOB+∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示
【答案】D
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项不符合题意；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选不符合题意；
C、∠AOC=∠AOB+∠BOC，正确，故本选项不符合题意；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
（2）（2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）时钟显示为4:00时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【答案】C
【分析】利用钟表表盘的特征解答．
【详解】4:00时针和分针中间相差4个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴4:00分针与时针的夹角是30∘×4=120∘．
故选C．
【点睛】本题考查了钟面角的计算，由于钟面上有12个数字，所以每两个数字之间的夹角是30°，要计算时针与分针之间的夹角，只要观察出时针与分针之间夹着的格数，然后用格数乘以30°就可以了.
（3）（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）已知∠α=25°，那么∠α的补角等于（ ）
A．65°B．75°C．145°D．155°
【答案】D
【分析】根据补角的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵∠α=25°，
∴∠α的补角=180°−25°=155°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了补角的定义，解题的关键是掌握：相加等于180°的两个角互为补角．
（4）（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（ ）
A．100°B．10°
C．1°D．不能确定，视放大镜的距离而定
【答案】C
【分析】根据角的定义判断即可．
【详解】放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．所以，拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角仍为1°．
故选C．
【点睛】本题考查角的定义．掌握角是从同一点引出的两条射线组成的图形，它的大小与图形的大小无关，只与两边的开叉程度有关是解题关键．
例5.（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图为半圆形计时器，指针OM绕点O从OB开始逆时针匀速向OA旋转，速度为10°每秒，指针ON绕点O从OA开始先顺时针匀速向OB旋转，到达OB后立即按原速度逆时针匀速向OA旋转，速度为20°每秒，两指针同时从起始位置出发，当OM到达OA时，两指针都停止旋转．设旋转时间为t秒
(1)当t=3时，∠AON=______度；
(2)∠BOM=______度（用含t的代数式表示）；
(3)当t=______时，OM与ON首次重合；
(4)求∠MON的度数（用含t的代数式表示，并写出相对应的t的取值范围）；
【答案】(1)60
(2)10t
(3)6
(4)当0≤t≤6时，∠MON=180−30t°；当6【分析】（1）利用角的旋转定义可得答案；
（2）利用角的旋转定义可得答案；
（3）OM与ON首次重合时∠BOM=10t，∠AON=20t，由∠BOM与∠AON互补，得关于t的方程，即可求解；
（4）分三种情况：①OM、ON首次相遇之前；②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前；③ON到达OB之后三种情况讨论即可；
【详解】（1）解：当t=3时，∠AON=3×20°=60°．
（2）∠BOM=10t°，
（3）OM与ON首次重合时∠BOM=10t，∠AON=20t，
∠BOM与∠AON互补，
∴10t+20t=180，
∴t=6．
（4）分三种情况：
①OM、ON首次相遇之前，如图：
此时，∠BOM=10t，∠AON=20t，
即0≤t≤6时，∠MON=180°−10t°−20t=180−30t°；
②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前，如图：
∠BOM=10t，∠AON=20t，
即6③ON到达OB之后，如图：
∠BOM=10t°，∠BON=20t−180°，
当9综上：当0≤t≤6时，∠MON=180−30t°；当6【点睛】本题考查的是角的旋转定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：A选项中，∠AOB，∠O，∠1三种表示方法可以表示同一个角，故符合题意；
B选项中，∠AOB，∠1两种表示方法可以表示同一个角，不能用∠O表示一个角，故不符合题意；
C选项中，∠AOB， ∠1不是同一个角，不能用∠O表示一个角，故不符合题意；
D选项中，∠AOB，∠1两种表示方法可以表示同一个角，不能用∠O表示一个角，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的表示方法是解本题的关键．
2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）已知α，β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算16α+β的结果依次是26°，50°，72°，90°，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】先根据α，β都是钝角求出16α+β的取值范围，再看哪个同学所求结果在范围内即可．
【详解】∵α，β都是钝角，
∴90°+90°<α+β<180°+180°，
即180°<α+β<360°，
∴30°<16α+β<60°，
在甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果中，只有乙同学的结果在范围内，
故选B．
【点睛】本题考查了钝角的定义，解题的关键是根据钝角的取值范围求出90°+90°<α+β<180°+180°．
3．（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）若∠A为锐角，∠B为直角，∠C为钝角，则16(∠A+∠B+∠C)的值可能是（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出16(∠A+∠B+∠C)的范围，选择合适的可能值即可．
【详解】解：∵∠A为锐角，∠B为直角，∠C为钝角，
∴0°<∠A<90°，∠B=90°，90°<∠C<180°，
∴160°+90°+90°<16∠A+∠B+∠C<1690°+90°+180°，
即30°<16∠A+∠B+∠C<60°，
∴值可能是45°，
故选B．
【点睛】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键．
4．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）下列关于角的说法，正确的是（ ）
A．一个周角等于360°B．锐角和钝角一定互补
C．一个角的补角一定大于这个角D．两个锐角的和一定为钝角
【答案】A
【分析】根据角的相关定义，补角的定义对各项进行分析．
【详解】解：A、一个周角等于360°，故此选项正确，符合题意；
B、锐角和钝角不一定互补，故此选项错误，不符合题意；
C、一个角的补角不一定大于这个角，故此选项错误，不符合题意；
D、两个锐角的和可以是锐角，也可以是直角，还可以是钝角，故此选项错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了补角、角的相关定义，解题的关键是对角的相关定义及补角的定义的掌握．
5．（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可．
【详解】解：图1中，角的顶点为A，应表示为∠CAB；
图2表示正确；
图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角；
图4表示正确．
所以表示正确的个数为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
6．（2023秋·河北保定·七年级校联考期末）下列四个图形中，能同时用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误，不合题意；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误，不合题意；
C、图中∠α、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确，符合题意；
D、图中的∠AOB不能用∠α表示，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
7．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠AOC也可用∠O来表示
D．∠β+∠AOB=∠AOC
【答案】C
【分析】根据角表示方法、角的和差进行判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，故选项正确，不符合题意；
B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，故选项正确，不符合题意；
C．∠AOC不可用∠O来表示，故选项错误，符合题意；
D．∠β+∠AOB=∠AOC，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了角，熟练掌握角的表示方法、角的和差是解题的关键．
8．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．在所有连接两点的线中，直线最短B．∠AOB与∠BAO表示的是同一个角
C．同角（或等角）的余角相等D．若AB=BC，则点B是线段AC的中点
【答案】C
【分析】利用线段的性质、角的概念、余角的性质及线段中点的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、在所有连接两点的线中，线段最短，故原说法错误，故本选项不合题意；
B、∠AOB与∠BAO表示的不是同一个角，故原说法错误，故本选项不合题意；
C、同角（或等角）的余角相等，说法正确，故本选项符合题意；
D、若AB=BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的性质，角的概念、余角的性质，中点的定义，是基础题，熟记概念和性质是解题的关键．
9．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数为（ ）．
A．50°B．110°C．50°或110°D．无法确定
【答案】C
【分析】分OB在∠AOC内部或外部两种情况讨论画出图形计算即可得到答案；
【详解】解：①当OB在∠AOC内部时，如图所示，
∵∠AOB=80°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°，
②当OB在∠AOC外部时，如图所示，
∵∠AOB=80°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=80°−30°=50°，
故选C．
【点睛】本题考查角度运算，解题的关键是注意分类讨论．
10．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在∠AOB=90°的情况
B．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA
D．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知∠MOA=2t°，∠NOA=180°−2t°；当0≤t≤45时，∠NOB=4t°；当45【详解】解：由题意知∠MOA=2t°，∠NOA=180°−2t°；当0≤t≤45时，∠NOB=4t°；当45令∠AOB=∠NOA−∠NOB=90°，即180°−2t°−4t°=90°，解得t=15秒，
∴存在∠AOB=90°的情况；
故A错误，不符合题意；
令∠AOB=∠NOA−∠NOB=60°，即180°−2t°−4t°=60°，解得t=20秒，
令∠AOB=∠NOB−∠NOA=60°，即4t°−180°−2t°=60°，解得t=40秒，
∴当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B、D错误，不符合题意；
当t=36时，∠MOA=72°，∠NOA=108°，∠NOB=144°，
∴∠AOB=∠NOB−∠NOA=144°−108°=36°，
∵∠AOB=12∠MOA，
∴射线OB恰好平分∠MOA，
故C正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
11．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：______．（结果形如6点2311分）
【答案】6点16011分或6点56011
【分析】设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，根据时针与分针的角度差为100°，分时针与分针重合前以及重合后分别列出方程即可求解．
【详解】解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转30°60=0.5°，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，依题意得
分时针与分针重合前，0.5m+180−6m=100，
解得：m=16011
分时针与分针重合后，6m−0.5m+180=100，
解得：m=56011
故答案为：6点16011分或6点56011．
【点睛】本题考查了钟面角的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
12．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）在钟表上，当时钟显示为10:40时，时针与分针所夹锐角的大小是______．
【答案】80°##80度
【分析】由于钟面被分成12大格，每格为30°，而10:40时，钟面上时针指向数字10与11之间，分针指向数字8，则它们所夹的角为2×30°+812×30°．
【详解】解：10:40时，钟面上时针指向数字10与11的中间，分针指向数字8，
所以时针与分针所成的角等于2×30°+812×30°=80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动(112)°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
13．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）上午8点30分，钟面上时针与分针的夹角是______．
【答案】75°##75度
【分析】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，结合钟面被分成12大格，每大格30°可计算出30分钟时针与分针所转的角度，所以此时钟面上时针与分针夹角的度数=2×30°+15°=75°．
【详解】解：30分钟，钟面上时针从8开始转的度数为30×0.5°=15°，
所以此时钟面上时针与分针夹角的度数=2×30°+15°=75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了钟面角：掌握“钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°”是解本题的关键．
14．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）计算：32°45'48″+21°25'14″=____________；27°14'24″=____________°；当时钟指向时间为15：30时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．
【答案】 54°11'2″ 27.24° 75
【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据1'=160°、1″=160'进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转30°，一分钟转0.5°，分针一分钟转6°，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案．
【详解】解：①32°45'48″+21°25'14″=53°70'62″=54°11'2″，
故答案为：54°11'2″；
②27°14'24″=27°+14'+24″，
24×160'=0.4'，
14.4×160°=0.24°，
∴27°14'24″=27.24°，
故答案为：27.24°；
③当时钟指向时间为15：30时，时针走过3.5小时，分钟走过30分钟，
时针与0点的夹角为30°×3.5=105°，
分针与0点的夹角为6°×30=180°，
∴钟表上的时针与分针的夹角为180°−105°=75°，
故答案为：75．
【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转30°，一分钟转0.5°，分针一分钟转6°．
15．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）若∠α=38∘24'，则∠α的余角的度数为______°．
【答案】51°36'
【分析】根据余角的性质进行计算可得答案.
【详解】解:∵∠α=58°25'，
∴∠α的余角=90°− 38°24 = 51°36'
故答案为：51°36'.
【点睛】本题考查的是余角的概念：若两个角的和等于90度，则这两个角互余．掌握余角的概念是解题的关键．
16．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）一个角的余角比它的补角的14大15°，则这个角的度数是______°．
【答案】40
【分析】设这个角的度数为x度，它的余角度数为(90−x)度，它的补角度数为(180−x)度，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x度，
90−x−14180−x=15，
去分母，得：490−x−180−x=60，
去括号，得：360−4x−180+x=60，
移项合并，得：−3x=−120，
化系数为1，得：x=40．
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查余角与补角的含义，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解．
17．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD为多少度？
(2)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB为多少度？
(3)过点O作射线OF，使得∠AOF与∠BOD互余，若∠AOE=4∠AOF，求∠EOF的度数．
【答案】(1)70°
(2)40°
(3)90°或者150°
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BOC=∠AOB=40°，∠DOC=∠DOE=30°，再根据角度之间的关系求出∠BOD的度数即可；
（2）先根据角平分线的定义，∠COD=30°，得出∠COE=2∠COD=60°，根据∠AOE=140°，求出∠AOC=80°，根据角平分线的定义即可得出答案；
（3）设∠AOF=α，即有∠AOE=4∠AOF=4α，∠EOF=∠AOE−AOF=3α，根据∠AOF与∠BOD互余，可得∠BOD=90°−α，根据OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，可得∠BOD=12∠AOE=2α，即有90°−α=2α，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠DOC=∠DOE=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠DOC=40°+30°=70°．
（2）解：∵OD是∠COE的平分线，∠COD=30°，
∴∠COE=2∠COD=60°，
∵∠AOE=140°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=80°，
∵OB为∠AOC的平分线，
∴∠AOB=12∠AOC=40°．
（3）设∠AOF=α，
∵∠AOE=4∠AOF，
∴∠AOE=4∠AOF=4α，
∵∠AOF与∠BOD互余，
∴∠BOD=90°−α，
∵OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠BOC=12∠AOC，∠DOC=12∠COE，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=12∠AOC+12∠COE=12∠AOE，
∴∠BOD=12∠AOE=2α，
∵∠BOD=90°−α，
∴90°−α=2α，
解得：α=30°，
当OF在∠AOE内部时，∠EOF=∠AOE−AOF=3α=90°，
当OF在∠AOE外部时，∠EOF=∠AOE+AOF=5α=150°，
故答案为：90°或者150°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
18．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
【答案】(1)9；
(2)155°；
(3)OE平分∠BOC，见解析．
【分析】（1）根据角的定义及平角的定义，即可得图中小于平角的角的个数；
（2）根据角平分线定义求出∠AOD，再根据平角定义求出∠BOD即可；
（3）分别通过计算求出∠COE、∠BOE，即可说明OE平分∠BOC．
【详解】（1）解：图中小于平角的角有：
∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB、∠EOB一共9个，
故图中有9个小于平角的角；
（2）解：∵ ∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC=12∠AOC=25°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−25°=155°；
故∠BOD的度数为155°；
（3）解：∵ ∠DOE=90°，∠DOC=25°，
∴∠COE=90°−25°=65°，
∵∠BOD=155°，
∴∠BOE=155°−90°=65°，
∴∠COE=∠BOE，
∴CE平分∠BOC．
【点睛】此题考查了角度的计算与角的相关概念，熟练掌握角平分线的定义、平角的定义是解答此题的关键．
19．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知∠AOB=90°，∠AOC为锐角，ON平分∠AOC，射线OM在∠AOB内部．
(1)图中共有多少个小于平角的角？
(2)若∠AOC=50°，∠MON=45°，求∠AOM的度数．
(3)若∠AOC=x°，∠MON=45°，请通过计算判断∠BOM与∠BOC的关系．
【答案】(1)10个
(2)∠AOM=20°
(3)∠AOC=2∠BOM
【分析】（1）分别以OC，ON，OA，OM为始边，数出小于平角的角，即可求解；
（2）根据角平分线的性质得出∠AON=25°，根据∠MON=45°，∠AOM=∠MON−∠AON，即可求解．
（3）根据角平分线的性质得出∠AON=12x°，根据∠MON=45°，∠BOM=∠AOB−∠AOM，∠AOC=∠AOB+∠AOC，即可得出结论．
【详解】（1）解：以OC为始边的角有：∠CON,∠COA,∠COM,∠COB，
以ON为始边的角有：∠NOA,∠NOM,∠NOB，
以OA为始边的角有：∠AOM,∠AOB，
以OM为始边的角有：∠MOB，
∴图中共有4+3+2+1=10个小于平角的角，
（2）∵ON平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴∠AON=∠CON=12∠AOC=25°，
∵∠MON=45°，
∴∠AOM=∠MON−∠AON=45°−25°=20°
（3）∵ON平分∠AOC，∠AOC=x°，
∴∠AON=∠CON=12∠AOC=12x°，
∵∠MON=45°，
∴∠AOM=∠MON−∠AON=45−12x°
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM=∠AOB−∠AOM=90°−45−12x°=45+12x°，
∵∠AOB=90°,∠AOC=x°，
∴∠AOC=∠AOB+∠AOC=90+x°，
∴∠AOC=2∠BOM．
【点睛】本题考查了角的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
20．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中与∠COE互补的角是______；（把符合条件的角都写出来）
(2)若∠AOD=15∠EOF，求∠AOD的度数．
【答案】(1)∠EOD，∠AOF
(2)∠AOD=30°．
【分析】（1）根据互补的两个角的和等于180°，结合图形找出与∠COE的和等于180°的角即可；
（2）设∠AOC=x，可以得到∠EOF=5x，根据对顶角相等得到∠BOD=x，然后根据周角定义列式求解即可．
【详解】（1）∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠EOD与∠COE互补，
∵∠EOC+∠BOC=90°，∠FOB+∠BOC=90°，
∴∠EOC=∠FOB，
又∠FOB+∠AOF=180°，
∴∠FOB与∠AOF互补，
∴∠EOC与∠AOF互补，
∴与∠COE互补的角是：∠EOD，∠AOF
（2）设∠AOD=x，则∠EOF=5x，
∵∠AOD=∠BOC=x(对顶角相等)，
又∵∠EOC=∠FOB
∴∠EOF=∠EOC+∠BOF+∠BOC=5x，
∴2∠EOC=4x，
∠EOC=2x，
又∵∠EOC+∠BOC=90°，
即3x=90°，
解得∠AOD=x=30°．
【点睛】本题考查了补角的概念，角的计算，需要注意根据对顶角相等的性质找出相等的角，避免漏解而导致出错．
21．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC:∠BOC=1:2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON=90°．
(1)如图1，求∠CON的度数；
(2)将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
【答案】(1)150°
(2)40s或10s
【分析】（1）先求出∠AON=90°，再求出∠AOC=13∠AOB=60°，即可得出答案；
（2）分两种情况画出图形，求出∠MON旋转的角度即可得出答案．
【详解】（1）解：∵O为直线AB上一点，
∴∠AOC+∠BOC=180°，∠AON+∠BON=180°，
∵∠MON=90°，
∴∠AON=90°，
∵∠AOC:∠BOC=1:2，
∴∠AOC=13∠AOB=60°，
∴∠CON=∠AOC+∠AON=90°+60°=150°．
（2）解：由图2题意可知，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，
①如图（1）所示：
直线ON平分∠AOC，则∠AOP=∠POC=30°，
∴∠COM=60°，
又∵∠BOC=2∠AOC=120°，
∴∠BOM=60°，
则OM沿逆时针旋转的度数为60°，
∴∠MON所运动的时间t=60÷6=10s；
②如图（2）所示：
∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AON=∠NOC=30°，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM=60°，
∴ON沿逆时针旋转的度数为180°+60°=240°，
∴∠MON所运动的时间t=240°÷6°=40s；
综上所述：∠MON所运动的时间t为40s或10s．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，画出相关图形．
考点3：平行线与相交线
例6. （1）（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行公理，平行线的判定，平面内两直线的位置关系逐项分析判断即可求解．
【详解】解：（1）若a∥b，b∥d，则a∥d，故（1）正确；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；
（3）同一平面内，两条直线不相交就平行，故（3）不正确；
（4）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故（4）不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理，平行线的判定，平面内两直线的位置关系，掌握以上知识是解题的关键．
（2）（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，不能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠B+∠BAD=180°B．∠1=∠2C．∠D=∠5D．∠3=∠4
【答案】D
【分析】分别利用同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行得出答案即可．
【详解】解：A、∵∠B+∠BAD=180°，∴BC∥AD，本选项不合题意；
B、∵∠1=∠2，∴BC∥AD，本选项不合题意；
C、∵∠D=∠5，∴AD∥BC，本选项不符合题意；
D、∵∠3=∠4，∴AB∥CD，不能得到AD∥BC，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
（3）（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°．当∠MAC为______度时，AM与CB平行．
【答案】66
【分析】根据AB∥CD得出∠ABC=∠BCD=60°，根据三角形内角和定理得出∠ACB=66°，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠BCD=60°
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∵∠BAC=54°，
∴∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−60°−54°=66°
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB=66°，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
例7. （2022秋·河南南阳·七年级统考期末）【教材回顾】如下是华师版七年级下册教材第167页，关于同旁内角的定义．
图中∠4和∠5处于直线l的同一侧，直线a、b的中间．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
【类比探究】
(1)如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
(2)如图②，已知∠1+∠2=180°时，试说明直线a∥b．
(3)如图③，直线a∥b，当∠1=125°时，直接写出∠2的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)55°．
【分析】（1）根据题意在图中标记即可；
（2）根据邻补角的定义及平行线的判定定理求解即可；
（3）根据邻补角的定义及平行线的性质定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，∠3与∠4互为同旁外角；
（2）如图：
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b．
（3）如图：
∵a∥b，∠1=125°，
∴∠1=∠3=125°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°−125°=55°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a,c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】画出图形，根据平行线的判定方法和垂线的定义分析即可．
【详解】解：在同一个平面内，
如图1，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，故①正确；
如图2，如果b∥a,c∥a，那么b∥c，故②正确；
如图 3，如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故③不正确，④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及垂线的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
2．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图所示，图中同旁内角的数量共有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：直线AB、CD被射线PE所截，可以得到两对同旁内角，∠DQP与∠BPQ，∠QPO与∠PQO；
直线AB、射线PE被直线CD所截，可以得到两对同旁内角，∠EQC与∠AOD，∠QOP与∠PQO；
直线CD、射线PE被直线AB所截，可以得到一对同旁内角，∠QOP与∠QPO；
因此共有5对同旁内角，
故选：C．
【点睛】本题考查同旁内角的定义，同旁内角就是在截线的同一旁，在两条被截线之间的两个角．
3．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可得出答案．
【详解】解：∠1的同位角是∠3，
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F “形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键．
4．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1和∠3是同旁内角B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是对顶角
【答案】C
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角，对顶角的定义结合图形逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ∠1和∠3是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；
B． ∠2和∠3是内错角，故该选项正确，不符合题意；
C． ∠2和∠5是同位角，故该选项不正确，符合题意；
D． ∠3和∠5是对顶角，故该选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角，对顶角的定义，掌握以上定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角，两直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且截线之内的两角，叫做同旁内角；一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b,b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a⊥c
【答案】A
【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可．
【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题．
6．（2023春·七年级课时练习）同一平面内的四条直线a，b，c，d满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a⊥cB．b⊥dC．a⊥dD．b∥c
【答案】C
【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．
【详解】∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线及垂线的性质，关键是根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行解答．
7．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4B．∠D+∠ACD=180°
C．∠D=∠DCED．∠1=∠2
【答案】D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由∠3=∠4可根据内错角相等，两直线平行判断DB∥AC ，不能判断AB∥CD，故此选项不符合题意；
B、由∠D+∠ACD=180°可根据同旁内角互补，两直线平行判断DB∥AC ，不能判断AB∥CD，故此选项不符合题意；
C、由∠D=∠DCE可根据内错角相等，两直线平行判断DB∥AC ，不能判断AB∥CD，故此选项不符合题意；
D、由∠1=∠2可根据内错角相等，两直线平行判断AB∥CD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该过程中∠ABC+∠BCD始终等于（ ）
A．360°B．180°C．250°D．270°
【答案】D
【分析】过点B作BG∥CD，由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°，从而证出BG∥CD∥AE，然后根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠ABG=90°，∠CBG+∠BCD=180°，从而求出结论．
【详解】解：如图，过点B作BG∥CD，由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°，
∴BG∥CD∥AE，
∴∠ABG=180°−∠BAE=90°，∠CBG+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABG+∠CBG+∠BCD=90°+180°=270°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解本题的关键．
9．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线c∥d的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠1=∠4D．∠4+∠5=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠3，无法判定直线c∥d，不符合题意；
B、∠2=∠3，无法判定直线c∥d，不符合题意；
C、∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴c∥d；符合题意；
D、∠4+∠5=180°，无法判定直线c∥d，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
10．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．14°B．15°C．20°D．22.5°
【答案】B
【分析】平行线之间的拐点向右，如图所示（见详解），则∠1+∠CAB+∠CEF=∠ABE，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点B作BM∥AD，
∵AD∥EF，∠CAB=45°，∠ABC=∠ABE=90°，∠CEF=30°，
∴AD∥EF∥BM，
∴∠1+∠CAB=∠ABM，∠CEF=∠EBM=30°，
∴∠1+∠CAB+∠CEF=∠ABE，
∴∠1=∠ABE−∠CAB−∠CEF=90°−45°−30°=15°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
11．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）欣欣在观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=93°，∠DCE=121°，则∠E的度数是（ ）
A．23°B．26°C．28°D．32°
【答案】C
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=93°，可得∠CFE=93°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE−∠CFE．
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵ AB∥CD，∠BAE=93°，
∴∠CFE=∠BAE=93°，
又∵∠DCE=121°，
∴∠E=∠DCE−∠CFE=121°−93°=28°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的性质，解决问题的关键是添加恰当的辅助线.
12．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF=20°，则∠EOF 的度数为_________．
【答案】115°##115度
【分析】先证明∠AOC=90°=∠BOC，再结合角平分线的定义与角的和差关系求解∠EOC=45°，∠COF=90°−20°=70°，从而可得答案．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴∠AOC=90°=∠BOC，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=45°，
∵∠BOF=20°，
∴∠COF=90°−20°=70°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+70°=115°．
故答案为：115°．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，垂直的定义，角的和差运算，理解题意，熟练的运用角的和差关系解题是关键．
13．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°．
(1)写出∠DOE的所有余角________．
(2)若∠AOF=70°，求∠COE的度数．
【答案】(1)∠BOD、∠AOC、∠EOF
(2)∠COE=110°
【分析】（1）先求得∠BOE和∠FOD为直角，然后依据余角的性质、对顶角的性质进行解答即可；
（2）先依据余角的性质得到∠AOC的度数，然后再由∠COE=∠AOE+∠AOC求解即可．
【详解】（1）∵∠AOE=90°，
∴∠EOB=90°，
∴∠DOE与∠BOD互余．
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠DOE与∠AOC互余．
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=90°，
∴∠DOE与∠EOF余角，
故答案为：∠BOD，∠AOC，∠EOF；
（2）∵∠AOF=70°，∠AOE=∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−70°=20°，
∴∠COE=∠AOE+∠AOC=90°+20°=110°．
【点睛】本题主要考查的是余角的定义，对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD:∠BOD=2:1．
(1)求∠BOE的度数；
(2)求∠AOF的补角的度数．
【答案】(1)30°
(2)135°
【分析】（1）根据邻补角的和等于180° 求出∠BOD 的度数，然后根据角平分线的定义解答；
（2）先求出∠COE 的度数，再根据角平分线的定义求出∠COF ，然后根据对顶角相等求出∠AOC ，再根据∠AOF=∠AOC+∠COF ，代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）解：∵∠AOD:∠BOD=2:1，∠AOD+∠BOD=180° ，
∴∠BOD=12×180°=60° ，
∵OE 平分∠BOD ，
∴∠BOE=12∠BOD=12×60°=30° ；
（2）∠COE=∠COD−∠DOE=180°−30°=150° ，
∵OF 平分∠COE ，
∴∠COF=12∠COE=12×150°=75° ，
∵∠AOC=∠BOD=60° （对顶角相等），
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135° ．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．
15．（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．
(1)求证：BD∥EF；
(2)求证：∠AMD=∠AGF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得出∠CFE=∠CDB=90°，进而可得出结论；
（2）根据BD∥EF可得出∠2=∠CBD，再由∠1=∠2得出GF∥BC，根据MD∥BC可知MD∥GF，据此可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠CFE=∠CDB=90°，
∴BD∥EF；
（2）∵BD∥EF，
∴∠2=∠CBD．
∵∠1=∠2，
∴∠CBD=∠1，
∴GF∥BC．
∵MD∥BC，
∴MD∥GF
∴∠AMD=∠AGF．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
16．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AB∥DE，∠BAC=90°．
(1)求证：AC⊥DE；
(2)若∠C+∠D=90°，求证：AD∥BC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行线的性质证明∠EFC=90°，再根据垂直的定义可得答案；
（2）根据三角形的内角和定理结合∠C+∠D=90°，证明∠CED=∠D，从而可得结论．
【详解】（1）证明：设AC与DE交于点F，
∵AB∥DE，
∴∠EFC=∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠EFC=90°，即AC⊥DE．
（2）由（1）可得：∠EFC=90°，
∴∠C+∠CED=90°，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠CED=∠D，
∴AD∥BC．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定并灵活运用是解本题的关键．
17．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）补全证明过程：（括号内填写理由）
如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试说明BD//CE．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴ ∥ ( )．
∴∠D= ( )．
又∠D=∠3，
∴ = ( )．
∴BD//CE ( )
【答案】AD，BE，内错角相等，两直线平行；∠DBE，两直线平行，内错角相等；∠3，∠DBE，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】由∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行，可证得AD//BE，继而证得∠D=∠DBE，又由∠3=∠D，可证得∠3=∠DBE，继而证得BD//CE．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠DBE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3=∠D（已知），
∴∠3=∠DBE（等量代换），
∴BD//CE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AD，BE，内错角相等，两直线平行；∠DBE，两直线平行，内错角相等；∠3，∠DBE，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
考点4：命题有关知识
例8.（1）（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．任何一个数都有平方根
B．一个数的立方根等于本身的数有−1、0和1
C．有一组直角边相等的两个等腰直角三角形一定全等
D．斜边对应相等的两个等腰直角三角形一定全等
【答案】A
【分析】根据平方根的性质，立方根的性质，全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、负数没有平方根，原命题为假命题，符合题意；
B、一个数的立方根等于本身的数有−1、0和1，是真命题，不符合题意；
C、有一组直角边相等的两个等腰直角三角形一定全等，是真命题，不符合题意；
D、斜边对应相等的两个等腰直角三角形一定全等，是真命题，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握平方根的性质，立方根的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．
（2）．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B>90°
C．AB≠ACD．AB≠AC且∠B≥90°
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设∠B≥90°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
（3）．（2023秋·福建泉州·八年级校联考期末）对于命题“若a>0，则a>a”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ）
A．a=1B．a=2C．a=4D．a=16
【答案】A
【分析】把数值代入逐一判断即可解题．
【详解】解：A.当a=1时，a=1， a=a，故符合题意；
B.当a=2时，a=2， a>a，故不符合题意；
C.当a=4时，a=2， a>a，故不符合题意；
D.当a=16时，a=4， a>a，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查命题，说明一个命题是假命题可以举反例即可．
例9.（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，请你从下面三个条件：①CE∥AB，②∠A=∠B，③CE平分∠ACD中，选择两个作为题设，另一个作为结论，组成真命题．
(1)请问可以组成哪几个真命题，请按“☆☆⇒☆”的形式一一书写出来；
(2)请从（1）的真命题中，选择一个加以说明，并写出推理过程．
【答案】(1)有3种真命题，①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①
(2)见解析
【分析】（1）将三个命题进行组合，并根据平行线的性质与判定，角平分线的性质与判定，来判断是否符合题意；
（2）选择①②⇒③加以说明，根据平行线的性质可知∠B=∠ECD，∠A=∠ACE，结合∠A=∠B可知∠ECD=∠ACE，进而可证明CE平分∠ACD．
【详解】（1）解：可以组成三个真命题,即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①；
（2）选择①②⇒③加以说明：
解：∵CE∥AB，
∴∠B=∠ECD，∠A=∠ACE
∵∠A=∠B，
∴∠ECD=∠ACE，
∴CE平分∠ACD．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的性质与判定，能够熟练运用角平线的性质与判定是解决本题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）下列命题：①经过一点有且只有一条直线；②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；③有两边及其一角对应相等的两个三角形全等；④等腰三角形底边上的高线和中线重合．其中是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据直线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定、等腰三角形的性质逐个判断即可得．
【详解】解：①经过一点有无数条直线；则这个命题是假命题；
②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；则这个命题是真命题；
③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；则这个命题是假命题；
④等腰三角形底边上的高线和中线重合；则这个命题是真命题；
综上，是真命题的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
2．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两边长是4和9，则其周长为17或22
C．三条边长之比是1:2:5的三角形是直角三角形
D．有一个内角与其相邻的外角的比为1:2的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，原命题是真命题，故选项不符合题意；
B、等腰三角形的两边长是4和9，当腰是4时，4+4<9，不能组成三角形；当腰是9时，9+4>9，能组成三角形，所以周长为：9+9+4=22，原命题是假命题，故选项符合题意；
C、三条边长之比是1:2:5的三角形，由12+22=52，所以三角形是直角三角形，原命题是真命题，故选项不符合题意；
D、有一个内角与其相邻的外角的比为1:2的等腰三角形是等边三角形，原命题是真命题，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题B．互逆定理C．公理D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
4．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）用反证法证明“在△ABC中，∠A、∠B对边a，b，若∠A>∠B，则a>b．”第一步应假设（ ）
A．ab
【答案】C
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a>b不成立，即a≤b．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0B．a，b不都小于0C．a，b都不小于0D．a，b都大于0
【答案】A
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解：用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设a，b都小于0
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）对于命题“若a+b<0，则a<0，b<0”，下列能说明该命题是假命题的反例是（ ）
A．a=2，b=3B．a=−2，b=3C．a=2，b=−3D．a=−2，b=−3
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则，一次判断各个选项即可．
【详解】解：A、当a=2，b=3时，a+b=5>0，不满足a+b<0，故A不符合题意；
B、当a=−2，b=3时，a+b=1>0，不满足a+b<0，故B不符合题意；
C、当a=2，b=−3时，a+b=−1<0，满足a+b<0，不满足“a<0，b<0”，故C是返利，符合题意；
D、当a=−2，b=−3，满足“若a+b<0，则a<0，b<0”，故D不是反例，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．注意反例满足条件但是不满足结论．
7．（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设________；
【答案】圆的切线不垂直于过切点的半径
【分析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即可求解．
【详解】解： 用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设：圆的切线不垂直于过切点的半径，
故答案为：圆的切线不垂直于过切点的半径．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）能说明命题：“若两个角α，β互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是_________．
【答案】α=90°，β=90°
【分析】举出一个反例即可．
【详解】解：若两个角α，β互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角，
如α=90°，β=90°，
故答案为：α=90°，β=90°．
【点睛】本题考查了说明命题是假命题的方法，证明一个命题是假命题举出一个反例是解决此类题的关键．
8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）探究活动
（1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A．① B．② C．③
（2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．① ④
D．② ③ E．② ④ F．③ ④
（3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．
① 已知：如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB=A'B'，BC=B'C'，CD=C'D'，DA=D'A'，∠ABC=∠A'B'C'．
求证：四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形．
② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论：
③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明）
【答案】（1）C；（2）E（3）①见解析；②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；结论：这两个四边形全等；③在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB=A'B'，BC=B'C'，∠BAD=∠B'A'D'，∠BCD=∠B'C'D'，∠ABC=∠A'B'C'．
则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形；
【分析】（1）根据SAS分析即可求解；
（2）根据（1）的结论，找到能确定一条边2个角的三角形，即可求解；
（3）①连接AC,A'C'，证明△ABC≌△A'B'C'SAS，得出AC=A'C'，证明△ADC≌△A'D'C' SSS，即可求解．
②根据①的命题，写出题设与结论即可求解．
③ 根据①结论写出真命题，进而根据全等三角形的方法进行证明即可求解．
【详解】（1）解：依题意，③玻璃碎片，含有1条边，2个角，依据SAS可得两个三角形全等，
故选：C；
（2）解：带②④，理由如下，
如图，
∵根据碎片的形状，可以确定AB长度的长度，且碎片②④保留了2个角，以AB为边的左右两边的两个三角形的两个角确定了，
根据（1）的结论可得出2对全等三角形，
∴带②④，
故选：E．
（3）①证明：如图，连接AC,A'C'
∵在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB=A'B'，BC=B'C'， ∠ABC=∠A'B'C'．
∴△ABC≌△A'B'C'SAS，
∴AC=A'C'
又CD=C'D'，DA=D'A'，
∴△ADC≌△A'D'C' SSS
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形；
②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；
结论：这两个四边形全等；
③如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB=A'B'，BC=B'C'，∠BAD=∠B'A'D'，∠BCD=∠B'C'D'，∠ABC=∠A'B'C'．
则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形；
证明：如图，
∵AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'SAS，
∴AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，∠BCA=∠B'C'A'，
∵∠BAD=∠B'A'D'，∠BCD=∠B'C'D'，
∴∠DAC=∠D'A'C'，∠DCA=∠D'C'A'
∴△ADC≌△A'D'C' ASA
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形；
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如右图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD=BC：②CF=DE；③BE∥AF．
请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）并证明．
【答案】如果①，③，那么②；证明见解析．（或如果②，③，那么①；证明见解析）
【分析】对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD=∠BEC，因为AD=BC，∠A=∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF=CE，即得到DE=CF；
对于如果②，③，那么①，先根据平行线的性质证明∠AFD=∠BEC，再根据CF=DE证明DF=CE，根据AAS判定△ADF≌△BCE，得出AD=BC即可．
【详解】解：如果①，③，那么②，证明如下：∵BE∥AF，
∴∠AFD=∠BEC，
∵AD=BC，∠A=∠B，
∴△ADF≌△BCEAAS
∴DF=CE，
∴DF−EF=CE−EF，
即DE=CF．
如果②，③，那么①，证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD=∠BEC，
∵CF=DE，
∴CF+CD=DE+CD，
即DF=CE，
∵∠A=∠B，
∴△ADF≌△BCEAAS
∴AD=BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．