中考数学一轮复习专题3.2函数的图象和性质题型分类练(必刷150题)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题3.2函数的图象和性质题型分类练(必刷150题)(原卷版+解析)，共158页。试卷主要包含了一次函数的图象和性质，第四象限，反比例函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。

题型1：函数的图象和性质
一、一次函数的图象和性质
例1．（1）在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−5的图象，下列说法正确的是（ ）A．函数图象经过一、二、三象限的一条直线
B．函数y的值随x值的增大而减小
C．图象与x轴的交点坐标是0,−5
D．图象与坐标轴围成的三角形面积是254
（2）（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数y=bx−k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
（3）（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当x<0时，−2C．当y>−2时，x>0D．不等式 ax+b<0的解集是x<0
（4）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x+3和y=x的图象分别为直线l1,l2，l1与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与l2交于B1，过B1作y轴的平行线与l1交于A1，过A1作x轴的平行线与l2交于B2，…，依次进行下去，则A2022B2022的长为（ ）
A．131011B．131010C．332021D．332023
例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,9，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)直接写出一次函数的函数解析式______；
(2)M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y=3x于点N，当MN=2OD时，直接写出点M的坐标______；
(3)Q为直线AB上一点，若S△OCQ=12S△OBC，Q点坐标是______．
知识点训练
1．一次函数y=4x−1的图像经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限
2．下列四个函数中，当−2A．y=12x2+4xB．y=1xC．y=−2x+5D．y=−(x+3)(x−1)
3．下列四个选项中，符合直线y=−x+2的性质的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限B．y随x的增大而增大
C．函数图象必经过点1，1D．与y轴交于点0，−2
4．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=−bx+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点Ax1,y1，Bx2,y2在直线y=kx+bk≠0上，当x1>x2时，y10，则在平面直角坐标系内，它的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．已知−2,y1,−1,y2,1,y3都在直线y=−x+2上，则y1,y2,y3的值的大小关系是（ ）
A．y1>y3>y2 B．y1y1>y2 D．y1>y2>y3
7．如果点A−3,y1和B2,y2都在直线y=−12x+3上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1y2C．y1=y2D．不确定
8．已知一次函数y=kx−3，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y=kx的描述中正确的是（ ）
A．当x>0时，y>0B．y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小D．图象在第二、第四象限
9．如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2，则关于x的方程kx+b=2x的解是（ ）
A．x=12B．x=2C．x=1D．x=4
10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义符号mina,b的含义为：当a≥b时，mina,b=b；当a−1，则关于y的函数下面说法错误的是（ ）
A．若m=1，则当y≤−2时，则x≤−3或x≥3
B．当函数图象经过0,12时，该函数图象的最高点的坐标为−14,34
C．m2,y1，m+12,y2是函数图象上的两点，则y1>y2
D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5
11．已知一次函数y=kx−b，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，对应的因变量y的取值范围是6≤y≤10，那么2k−b的值为_______．
12．已知点A2，m，点B3，n都在直线y=2−1x+2的图像上，则m___________n（填“>”、“=”或“<”）．
13．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点2，0，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式kx+b>0的解集是__________________．
14．如图，已知一次函数y=kx+b和正比例函数y=mx的图象交于点P(1,3)，则关于x的一元一次方程kx+b=mx的解是___________．
15．已知如图直线y1=x+2与y2=kx+b相交于点P(a，1)，则关于x的不等式x+2>kx+b的解集是__．
16．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图，一次函数y=−x−2与y=2x+m的图象相交于点P2，−4，则关于x的不等式组2x+m<−x−2的解集为____．
17．若二元一次方程组2x−y=mx+y=n的解为x=1y=−3，则一次函数y=2x−m与y=−x+n的图象的交点坐标为______．
18．已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P−4,−2，则二元一次方程组y=ax+by=kx的解是_____．
19．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2023的纵坐标是______，点Bn的纵坐标是______．
20．如图，点A1(2,1)在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则点C1的坐标为_________；点Cn的坐标为_________（结果用含正整数n的代数式表示）．
21．如图，一次函数y=−2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C、D．
(1)直接写出A、B两点的坐标．；
(2)点P在何处时，矩形OCPD的面积为1．
22．在直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过三点A4，0，B0，2，Cm，−3．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值；
(3)求一次函数y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．
23．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，过点A4,0的直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2：y2=x+3交于点P1,a．
(1)求直线l1对应的函数表达式；
(2)当y124．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点．
(1)点A的坐标是 ．点B的坐标是 ．
(2)若点Cm,6是直线y=−43x+4上一点，则直线OC的解析式是 ．
(3)在直线AB上是否存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△OAB的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点E是y轴上一动点，把线段AB沿着直线AE翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式．
二、二次函数的图象和性质
例3．（1）由二次函数y=2x−32+1，可知（ ）
A．顶点坐标1，−3B．其最小值为1
C．x<3，y随x的增大而增大D．其图象的对称轴为直线x=−3
（2）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点−1,0，且对称轴为直线x=1，有下列结论：（ ）
①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点4,y1与点−3,y2，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点−ca,0；⑤am2+bm+a≥0（m为任意实数），其中所有正确的结论有几个（ ）
A．2B．3C．4D．5
（3）抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点5,−2，对称轴是直线x=3，则a+b+c=______．
（4）在平面直角坐标系中，将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）.若直线y=b与新函数的图象有4个公共点，则b的取值范围是________.
例4.已知二次函数y=ax2−4ax+4的图像与x轴有唯一公共点．
(1)求a的值；
(2)当0≤x≤m时（m>0），函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是______．
例5.已知二次函数y=ax2−4ax+3a≠0．
(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点3,y1,1,y2,−1,y3,−2,y4都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 y2（用“>”“=”“<”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
知识点训练
1．关于二次函数y=x−22+3，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，y有最大值3B．当x=−2时，y有最大值3
C．当x=2时，y有最小值3D．当x=−2时，y有最小值3
2．已知A−1,y1,B1,y2,C4,y3三点都在二次函数y=−x−32+k的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为（ ）
A．y13．已知抛物线y=x−22+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为2,1D．当x<2时，y随x的增大而增大
4．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc<0B．4ac−b2>0
C．a−b+c>0D．当x=−n2−2（n为实数）时，y≥c
5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列5个结论：①abc>0；②b0；④2c<3b；⑤a+bA．5个B．4个C．3个D．2个
6．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点坐标为−1,0，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1A．1个B．2个C．3个D．4个
7．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④6a−2b+c<0；⑤若点0.5,y1，−2,y2均在抛物线上，则y1>y2，其中正确的判断是（ ）
A．②③④⑤B．②③④C．②③⑤D．②④⑤
8．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c−3=0的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
9．二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示，则满足y1>y2的x的取值范围是（ ）．
A．−31D．x<−3或x>0
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b<0；③−b2−4ac>0；④不等式ax2+b+1x+c<0的解集为−3A．1B．2C．3D．4
11．如图．抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，则不等式ax2+c>mx+n的解集为（ ）
A．x>−1B．x<3C．13
12．小明同学研究二次函数y=−x−m2−m+1（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点Ax1,y1与点Bx2,y2在函数图象上，若x12m，则y1④当−1其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．已知抛物线y=x2+2mx−4m，若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥−4B．014．如图， 拋物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=−2， 并与x轴交于A， B 两点， 若OA=5OB， 则下列结论中: ①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数， 则am2+bm≥4a−2b， 正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1，0，顶点坐标1，n与y轴的交点在0，2，0，3之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b>0；②−1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．二次函数y=−2x+12+3的最大值为______．
17．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且当−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为________．
18．二次函数y=ax2+bx+c 的部分对应值列表如下：
则一元二次方程ax2+bx+c=−5的解为x=______．
19．若抛物线y=x2−4x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是______．
20．抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标为−5和1，则不等式cx2+bx+1>0的解集是__________．
21．已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示．下列结论：
①4ac③a−b+c>0；④当y>0时，x的取值范围是−1⑤当x<0时，y随x增大而增大．其中正确的结论是__________．（填序号）
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为−3，2，若抛物线y=x−12+m在矩形ABCD内部的图象中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．
23．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A2,p,B−4,q两点，则不等式ax2−mx+c−n＞0的解集是___________．
24．已知抛物线的顶点坐标为−1,3，且经过点0,1，求该抛物线的解析式．
25．如图，二次函数的图象顶点坐标为−2，−2，且过1，0．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当−5≤x<−4时，求函数值y的取值范围．
26．已知二次函数y=x2+bx+c，若图象过点−1,0和点4,5．
(1)求该二次函数的表达式及顶点的坐标；
(2)若点Px,y是该二次函数图象上的一点，且−4≤x≤4，请求出y的取值范围．
27．已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)画出它的图象；
(2)当x_______时，y随x增大而减小；
(3)该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____________﹔
(4)当0≤x≤4时，y的取值范围是__________．
28．已知二次函数y=x2−2x，当−1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．圆圆的解答过程如下：解：当x=−1时，y=3；当x=2时，y=0；所以函数y的最小值为0，最大值为3．圆圆的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
29．已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
(2)画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值y<0时，自变量x的取值范围．
30．已知抛物线y=x2+bx+c经过A(3,0)，对称轴是直线x=1．点B(n−1,y1)，C(2n+3,y2)两点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当n取何值时，y1−y2取最大值；
三、反比例函数的图象和性质
例6 （1）若点Ax1,13，Bx2,−3，Cx3,11都在反比例函数y=−k2+1x的图像上，则x1，x2，x3的大小关系是___________．
27．已知x1,y1，x2,y2，x3,y3是反比例函数y=−4x的图像上的三个点，且x10，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3（2）关于反比例函数y=−12x ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点6,−2 D．y随x的增大而增大
（3）在如图所示的平面直角坐标系的第一象限中标出了9个整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数y=kx(x>0)的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是（ ）
A．16≤k＜21B．16＜k≤21C．21≤k＜24D．9≤k＜16
（4）如图，点P在反比例函数y=4xx>0的图像上，过点P作x轴的平行线，交反比例函数y=kxx<0的图像于点Q，连接OP，OQ．若S△POQ=234，则k的值为______．
例7.如图，正比例函数y=−23x的图像与反比例函数y=kxk≠0的图像都经过点Aa,2．
(1)求点A的坐标和反比例函数表达式．
(2)若点B在x轴上，且S△AOB=1，求点B坐标．
(3)若点Pm,n在该反比例函数图像上，且它到y轴距离大于3，请根据图像直接写出n的取值范围．
知识点训练
1．下列的各点中，在反比例函数y=1x图象上的点是（ ）
A．2,4B．1,5C．12,2D．12,13
2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kx2+2的图象（ ）
A．经过第一、二、三、四象限B．仅经过第一、二、四象限
C．仅经过第三、四象限D．仅经过第一、二象限
3．关于反比例函数y=3x，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x>−1时，y<−3
C．此函数图象关于直线y=−x对称
D．若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在图象上
4．若M(−2,a)，N(2,b)，P(5,c)三点都在函数y=m2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>aB．a>b>cC．c>a>bD．c>b>a
5．关于反比例函数y=−2x，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过1,−2B．图象位于第二、四象限
C．y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而增大
6．如图，函数y=4xx>0和y=−4xx>0的图象在同一平面直角坐标系中，则该坐标系的原点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
7．如图，反比例函数y=kxx>0的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，OD:OA=2:3，则k的值为（ ）
A．10B．254C．8D．259
8．以正方形ABCD两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y=4x的图象经过点D，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12B．16C．18D．20
9．若图中反比例函数的表达式均为y=4x，则阴影面积为2的是（ ）
A．图1B．图2C．图3D．图4
10．如图，点B，P在函数y=4x(x>0)的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（ ）
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标为(4,4)
C．y=4x的图象关于过点O与B的直线对称
D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等
11．已知点P−2,1在反比例函数y=kx的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M，则△OPM的面积为（ ）
A．8B．4C．2D．1
12．如图，已知双曲线y=kx(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为−6,4，则△BOC的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
13．已知函数y=kx的图像经过点1,4，那么k的值是____________．
14．已知正比例函数y=kx与反比例函数y=18x的图象交于点A3,m和点B，则点B的坐标为________．
15．若一次函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于两点，且其中一个交点坐标为−2,3，则另一个交点坐标为________．
16．已知点A−1，y1，B−2，y2和C3，y3都在反比例函数y=kxk>0的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______．（用“<”连接）
17．如图所示，已知反比例函数y=kx和y=1x分别过点A和点B，且AB∥x轴， S△ABC=32，点C是x轴上任意一点，则k=_____．

18．反比例函数y=kx (k>0,x>0)与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则k的取值范围为______．
19．如图，在反比例函数y=kx（x>0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4已知P1的纵坐标为10．
（1）k的值为_____；
（2）阴影部分的面积S1的值为_____；
（3）阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为_____．
20．如图，点A、C为反比例函数y=kx(x<0)图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为32时，k的值为____________．
21．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为______（n为正整数）．
22．已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(−1，−4)，求这个反比例函数的表达式，并画出它的图象．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−2与双曲线y=kx(x>0)交于点A(2,m)，且交y轴于点C．
(1)求k，m的值
(2)若点B为双曲线y=kx(x>0)上的一点，当△BOC的面积为6时，求点B的坐标．
24．如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点(1,3)．
(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
(2)若y≤2.5，求自变量t的取值范围．
25．小聪在学习过程中遇到了一个函数y=3x−2，小聪根据学习反比例函数y=3x的经验，对函数y=3x−2的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．
(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；
(2)该函数图像可以看成是由y=3x的图像平移得到的，其平移方式为 ；
(3)直接写出不等式3x−2>−3的解集为 ．
题型2：待定系数法确定函数关系式
例8.已知一次函数y=kx+1的图像经过点P−2,3．
(1)求k的值；
(2)若点Qa,5在该函数图像上，求a的值．
例9.反比例函数y=kx与一次函数y=mx+b交于点A1,2k−1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
例10.已知抛物线y=2x2+bx+c经过A−5,m，B3,m，C−2,5三点．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在C点处，并写出平移后抛物线的表达式．
知识点训练
1．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB:BC=3:2，点A3，0，B0，6分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点D，则k值为（ ）
A．16B．−7C．7D．14
2．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点(0,1)的一次函数的解析式 _____．
3．反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1115的图形有一个交点B12,m，则k的值为______．
4．已知变量y与变量x之间的对应值如下表：
试求出变量y与x之间的函数关系式：______．
5．已知：y是x的反比例函数，当x=−4时，y=3，当26．已知y是x的一次函数，且当x=−2，y=6；当x=3时，y=1．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当y<1时，求自变量x的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A−2，6，且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图像相交于点C，点C的横坐标为l．
(1)求一次函数y=kx+b的函数表达式；
(2)求△BOC的面积；
(3)若点D在直线y=3x上，且满足S△BCD=32S△BOC，求点D的坐标．
8．已知一次函数解析式为y=kx+b经过点A(0,5)，B(2,1)，求此一次函数的解析式．
9．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0，2．已知点C−1，3在该图象上，连接OC．
(1)求函数y=kx+b的关系式；
(2)点P为x轴上一动点，若S△ACP=2S△AOB，求点P的坐标．
10．如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=mx的图像相较于A(2,3)，B(−3,n)两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
11．一次函数的图象过点A0,2且与正比例函数y=−x的图象交于点B，B点的横坐标是−1.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B6，0，交y轴于点C0，6，直线AB与直线OA：y=12x相交于点A，动点M在线段OA和射线AC上运动．
(1)求直线AB的解析式．
(2)求△OAC的面积．
(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的14，若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
13．已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,2)，(2,−3)，求这个二次函数的表达式和顶点坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，过点A0,4、B5,9两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)Px,y为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M，求PM的最大值？
15．已知抛物线的顶点坐标为−1,3，且经过点0,1，求该抛物线的解析式．
16．已知抛物线y=−x2+mx+n经过点A1,0，B0,−6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求此抛物线与坐标轴的另一交点坐标和对称轴．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c经过−1，0，0，−3，2，−3三点．求这条抛物线的解析式．
18．已知二次函数的图象与x轴的交点为−5,0,2,0，且图象经过3,8，求解析式．
19．在平面直角坐标系中，设函数：y1=k1x（k1是常数，k1>0，x>0）与函数，y2=k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．若点B的坐标为−1,2．
(1)求k1，k2的值；
(2)当y1≤y2时，直接写出x的取值范围．
题型3：多种函数性质的综合问题
例11. （1）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数y=−x23+4和反比例函数y=kx(k>0)的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（ ）
A．0（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=−ax+b与反比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
例12. 一次函数y=−x+2与反比例函数y=−3x有两个公共交点A和B．求：
(1)点A和点B的坐标；
(2)△ABO的面积；
(3)直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围．
知识点训练
1．若函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则函数y=ax−b和y=−cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A．B．C．D．
2．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−ax与二次函数y=ax2−a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知反比例函数y=abx的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．定义新运算：a⊕b=a+ba≤bb−a2a>b，则函数y=x⊕1的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是二次函数y=ax2+bx的大致图象，则一次函数y=(a+b)x−b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y=bx(b≠0)与一次函数y=ax+c(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知反比例函数y1=−3x与二次函数y2=ax2+bxa>0,b>0的图象交于点Pm,1，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线y=ax2+bx的对称轴位于直线x=−3和x=−2之间
B．若y10
C．当x>−3时，y1与y2均随x的增大而增大
D．关于x的方程ax2+bx+3x=0的解为x=3
11．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kx2+3的图象（ ）
A．仅经过第三、四象限B．仅经过第一、二、四象限C．经过第一、二、三、四象限D．仅经过第一、二象限
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，其对称轴为x=−1，它与x轴的一个交点的横坐标为−3，则一次函数y=ax−2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．
A．B．C．D．
13．已知P，Q两点关于y轴对称，点P在反比例函数y=1x的图象上，点Q在直线y=x+5上．若点P的坐标为（m，n），则下列关于二次函数y=(m+n)x2+mnx的说法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值是−120B．有最小值，且最小值是−120
C．有最大值，且最大值是120D．有最小值，且最小值是120
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+1的图像与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y2=kxk≠0的图像交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC=32.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△CDE的面积．
(3)当y115．如图，直线y=mx−2与x轴交于点A4，0，与反比例函数y=kxx>0的图象交于点C6，n．
(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)连接OC，在x轴上找一点M，使S△MOC=3S△AOC，请求出点M的坐标．
16．我们知道，函数y=ax−m2+na≠0，m>0，n>0的图像是由二次函数y=ax2的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数y=kx−m+nk≠0，m>0，n>0的图像是由反比例函数y=kx的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为m，n．
理解应用：
(1)函数y=kx−3+4的图像可以由函数y=6x的图像向右平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到，其对称中心坐标为___________．
拓展延伸：
(2)函数y=2x+5x+1的图像可由反比例函数y=kx的图像平移得到，求k的值；
(3)请直接写出不等式2x−m17．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常数）上．
(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在反比例函数y＝﹣8x（x＜0）的图象上，且y1＝y2，求x1＋x2的值；
(3)若当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，求a的取值范围．
题型4：反比例函数的比例系数
例13.（1）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y=kx和y=3x的图象交于A、B两点，若S△AOB=2，则k的值为______．
（2）如图，已知点A是一次函数y=13x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为12，则△ABC的面积是______．
知识点训练
1．如图，若点A是反比例函数y=2xx>0的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图所示，A，B是函数y=2x的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（ ）
A．S=2B．S=22C．12
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，点A在函数y=−5x上，点B、D在函数y=8x上，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．13B．18C．21D．26
4．已知点A、B分别在反比例函数y=2xx>0，y=−8xx>0的图像上，且OA⊥OB，则OAOB的值为（ ）
A．2B．12C．3D．3
5．如图，已知点A，B分别在反比例函数y=4xx>0，y=kxx>0的图象上，且OA⊥OB，OAOB=33，则k的值为（ ）
A．63B．−63C．12D．−12
6．若下列反比例函数的解析式均为y=6x，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是5,0，函数y=kxx>0的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB⋅AC=40，则k的值为______．
8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2xx＞0的图象和矩形OABC的边AB交于点E，且AE:EB=1:2，则矩形OABC的面积为 _____．
9．如图，若点A在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为8，k=______．
10．反比例函数y=kx与正比例函数y=mx交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．连接BC，若△ABC的面积为3，则k的值为___________．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y=kxx>0的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为25，则k的值为______．
12．如图，点P1、P2、P3、P4在反比例函数y=2x（x>0）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=______．
x
…
−3
0
1
3
5
…
y
…
6
−7
−8
−5
6
…
x
…
…
y
…
…
x
…
−1
−2
−3
−4
−5
−6
…
y
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…
专题3.2 函数的图象和性质题型分类练（必刷150题）
题型1：函数的图象和性质
一、一次函数的图象和性质
例1．（1）在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过一、二、三象限的一条直线
B．函数y的值随x值的增大而减小
C．图象与x轴的交点坐标是0,−5
D．图象与坐标轴围成的三角形面积是254
【答案】D
【分析】根据2>0,−5<0，可得函数图象经过一、三、四象限的一条直线，且函数y的值随x值的增大而增大，再由y=0，可得图象与x轴的交点坐标是52,0，再求出图象与y轴的交点坐标是0,−5，可得图象与坐标轴围成的三角形面积，即可求解．
【详解】解：∵2>0,−5<0，
∴函数图象经过一、三、四象限的一条直线，且函数y的值随x值的增大而增大，故A、B选项错误，不符合题意；
当y=0时，2x−5=0，即x=52，
∴图象与x轴的交点坐标是52,0，故C选项错误，不符合题意；
当x=0时，y=5，
∴图象与y轴的交点坐标是0,−5，
∴图象与坐标轴围成的三角形面积是12×5×52=254，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（2）（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数y=bx−k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k<0,b<0，由此可以得到−k>0，由此判断出一次函数y=bx−k的图象经过的象限，即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k<0,b<0，
∴−k>0，
∴y=bx−k的图象经过一、二、四象限，
结合函数图象得到C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+bk≠0中，当k<0,b>0时，函数的图象在第一、二、四象限是解答此题的关键．
（3）（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当x<0时，−2C．当y>−2时，x>0D．不等式 ax+b<0的解集是x<0
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数y=ax+b的图象可知，
当x<0时，y<−2，A选项错误，不符合题意；
方程 ax+b=0的解是x=1，B选项错误，不符合题意；
当y>−2时，x>0，故C正确，符合题意；
不等式 ax+b<0的解集是x<1，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
（4）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x+3和y=x的图象分别为直线l1,l2，l1与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与l2交于B1，过B1作y轴的平行线与l1交于A1，过A1作x轴的平行线与l2交于B2，…，依次进行下去，则A2022B2022的长为（ ）
A．131011B．131010C．332021D．332023
【答案】B
【分析】设直线l1与x轴交于点M，利用直线的解析式求得点A，M的坐标，进而得到线段OA,OM的长度，利用直角三角形的边角关系定理求得∠AMO=30°，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值求得线段A1B1,A2B2,A3B3，…，利用计算结果的规律得到AnBn=3×33n，利用规律化简运算即可得出结论．
【详解】解：设直线l1与x轴交于点M，如图，
令x=0，则y=3，
∴A0,3，
∴OA=3，
令y=0，则x=−33，
∴M−33,0．
∴OM=33．
∵tan∠AMO=OAOM=333=33，
∴∠AMO=30°，
∵AB1∥x轴，
∴∠A1AB1=∠AMO=30°．
∵l2的解析式为y=x，
∴l2为第一象限的平分线，
∴∠AOB1=45°，
∴AB1=OA=3．
∴A1B1=AB1⋅tan∠A1AB1=3×33=3，
同理： A1B2=A1B1=3，∠A2A1B2=∠A1AB1=30°，
∴A2B2=33A1B2=1=3×332，
同理：A3B3=33×1=33=3×333，
……，
AnBn=3×33n，
∴A2022B2022=3×332022=3×132022=3×131011=131010，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两条直线的平行或相交问题，点的坐标的规律，一次函数图象上点的坐标的特征，特殊角的三角函数值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,9，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)直接写出一次函数的函数解析式______；
(2)M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y=3x于点N，当MN=2OD时，直接写出点M的坐标______；
(3)Q为直线AB上一点，若S△OCQ=12S△OBC，Q点坐标是______．
【答案】(1)y=−2x+5
(2)(3,1)
(3)Q74,32或14,92
【分析】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值，即可求出一次函数的解析式；
（2）先确定D点坐标，设点M的横坐标为m，则M(m,−2m+5)，N(m,3m)，根据MN=2OD列出方程5m−5=10，然后求出m即可得到M点坐标；
（3）根据三角形的面积关系，得到CQ=12BC，根据中点的坐标求出点Q坐标即可．
【详解】（1）解：当x=1时，y=3x=3，
∴C点坐标为(1,3)．
直线y=kx+b经过(−2,9)和(1,3)，
则−2k+b=9k+b=3，
解得：k=−2b=5，
∴一次函数的解析式为y=−2x+5；
（2）由（1）可知，直线AB的解析式为y=−2x+5，
∴当x=0时，y=−2x+5=5，
∴D点坐标为(0,5)，
∴OD=5．
设点M的横坐标为m，
则M(m,−2m+5)，N(m,3m)，
∴MN=3m−(−2m+5)=5m−5，
∵MN=2OD，
∴5m−5=10，
解得m=3．
即M点坐标为(3,1)，
故答案为：(3,1)．
（3）在y=−2x+5中，令y=0，则x=52，
∴B52,0，
∵C(1,3)，S△OCQ=12S△OBC，
∴CQ=12BC，
当点Q在线段BC上时，Q52+12,0+32，即Q74,32；
当点Q在BC的延长线上时，
点C为点Q和74,32的中点，
∴Q1×2−74,3×2−32，即Q14,92，
综上：点Q的坐标为Q74,32或14,92．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，求出直线AB的解析式是解题的关键．
知识点训练
1．一次函数y=4x−1的图像经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式中系数符号k>0，b<0解答即可．
【详解】解：∵y=4x−1中k=4>0，
∴一次函数图象经过第一、三象限，
∵b=−1<0，
∴ 一次函数图象经过一、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象经过的象限，解题的关键是根据k和b的符号进行判断．
2．下列四个函数中，当−2A．y=12x2+4xB．y=1xC．y=−2x+5D．y=−(x+3)(x−1)
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可．
【详解】解：A．∵在二次函数y=12x2+4x中，12>0，
∴开口向上，对称轴为直线x=−4，
∴当−2B．∵在反比例函数y=1x中，k=1>0，
∴它的图象在第一象限，y随x的增大而减小，在第三象限，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
C．∵在一次函数y=−2x+5中，k=−2<0，
∴当−2D．y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3，
∵在二次函数y=−x2−2x+3中，−1<0，
∴开口向下，对称轴为直线x=−1，
∴当−2故选：A．
【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质．掌握二次函数、一次函数、正比例函数的增减性与k和a的关系是解决问题的关键．
3．下列四个选项中，符合直线y=−x+2的性质的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限B．y随x的增大而增大
C．函数图象必经过点1，1D．与y轴交于点0，−2
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质即可判断A、B；求出当x=0、x=1时的函数值即可判断C、D．
【详解】解：∵直线解析式为y=−x+2，−1<0，2>0，
∴直线经过第一、二、四选项，y随x增大而减小，故A、B不符合题意；
当x=1时，y=−1+2=1，即函数经过点1，1，故C符合题意；
当x=0时，y=2，即直线与y轴交于点0，2，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数与y轴的交点，熟知一次函数的相关知识是是解题的关键．
4．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=−bx+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题意得k>0，b>0，
∴−b<0，
∴函数y=−bx+k的图象经过第一、二、四象限，
∴四个选项中只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限， 当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
5．已知点Ax1,y1，Bx2,y2在直线y=kx+bk≠0上，当x1>x2时，y10，则在平面直角坐标系内，它的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点Ax1,y1，Bx2,y2在直线y=kx+bk≠0上，当x1>x2时，y10，可以得到k、b的情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y=kx+b经过哪几个象限．
【详解】解：∵点Ax1,y1，Bx2,y2在直线y=kx+bk≠0上，当x1>x2时，y10，
∴k<0，b<0，
∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是判断k、b的正负．
6．已知−2,y1,−1,y2,1,y3都在直线y=−x+2上，则y1,y2,y3的值的大小关系是（ ）
A．y1>y3>y2 B．y1y1>y2 D．y1>y2>y3
【答案】D
【分析】根据k=−1<0，直线下降，y随着x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵ y=−x+2，k=−1<0，
∴直线呈下降趋势，y随着x的增大而减小，
∵−2,y1,−1,y2,1,y3都在直线y=−x+2上，−2<−1<1，
∴y1>y2>y3；
故选D．
【点睛】本题考查比较一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键．
7．如果点A−3,y1和B2,y2都在直线y=−12x+3上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1y2C．y1=y2D．不确定
【答案】B
【分析】由k=−12<0，利用一次函数的性质得出y随x的增大而减小，结合−3<2，即可得出y1>y2．
【详解】∵k=−12<0，
∴k=−12<0，
又∵点A−3,y1和B2,y2都在直线y=−12x+3上，且−3<2，
∴y1>y2，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8．已知一次函数y=kx−3，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y=kx的描述中正确的是（ ）
A．当x>0时，y>0B．y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小D．图象在第二、第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质先判断k<0，再结合反比例函数的图象在二，四象限，结合增减性逐一分析即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx−3，y随x的增大而减小，
∴k<0，
关于反比例函数y=kx，
∴当x>0时，y<0，故选项A不合题意；
每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不合题意；
每个象限内，y随x的增大而增大，故选项C不合题意；
图象在第二、第四象限，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，理解一次函数与反比例函数图象的增减性是解本题的关键．
9．如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2，则关于x的方程kx+b=2x的解是（ ）
A．x=12B．x=2C．x=1D．x=4
【答案】C
【分析】首先利用函数解析式y=2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2x的解可得答案．
【详解】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2，
∴2=2m，
∴m=1，
∴P1,2，
∴关于x的方程kx+b=2x的解是x=1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义符号mina,b的含义为：当a≥b时，mina,b=b；当a−1，则关于y的函数下面说法错误的是（ ）
A．若m=1，则当y≤−2时，则x≤−3或x≥3
B．当函数图象经过0,12时，该函数图象的最高点的坐标为−14,34
C．m2,y1，m+12,y2是函数图象上的两点，则y1>y2
D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5
【答案】D
【分析】根据min的定义求出两个函数y=−x+mx≥m−12，m>−1x+1x−1，把m=1代入再根据函数的性质求解可判断A选项；把0,12代入y=−x+m，再根据函数的性质求解可判断B选项；根据min的定义分类求解可判断C选项；计算各出y2−y1=m−12−m2=−12<0，据此可判断D选项．
【详解】解：当x+1≥−x+m时，即x≥m−12时，y=−x+m，
当x+1<−x+m时，即x∴y=−x+mx≥m−12，m>−1x+1x−1，
A．若m=1，y=−x+1x≥0，m>−1x+1x<0，m>−1，
当x≥0时，y=−x+1，y≤−2，即−x+1≤−2，解得x≥3；
当x<0时，y=x+1，y≤−2，即x+1≤−2，解得x≤−3；
∴当y≤−2时，则x≤−3或x≥3，故选项A正确；
B．当函数图象经过0，12时，将0，12代入y=−x+mx≥m−12，m>−1x+1x−1，
显然只有x≥m−12时，函数图象才能经过0，12，
∴12=−0+m，即m=12，m−12=−14，
∴y=−x+12x≥−14x+1x<−14，
∵当y=−x+12x≥−14时，y随x的增大而减少，
∴当y=x+1x<−14时，y随x的增大而增大，
∴当−x+12=x+1时，即x=−14时，函数取得最大值，此时y=34，
∴该函数图象的最高点的坐标为−14，34，故选项B正确；
C．∵m2−m−12=12>0，∴m2>m−12，
∴当x=m2时，y1=−m2+m=m2，
m+12−m−12=1>0，∴m+12>m−12，
∴当x=m+12时，y2=−m+12+m=m−12，
∵y2−y1=m−12−m2=−12<0，
∴y1>y2，故选项C正确；
D．当m−12≥1时，即x≥1，m≥3时，y=−x+m，
此时，y随x的增大而减少，
∴在1≤x≤2内，当x=1时，y最大，
∴−1+m=3，解得m=4，符合要求；
当m−12≤2时，即x≤2，m≤5时，y=x+1，
此时，y随x的增大而增大，
∴在1≤x≤2内，当x=2时，y最大，
∴2+1=3，等式成立；
综上，当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，m=4或−1故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
11．已知一次函数y=kx−b，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，对应的因变量y的取值范围是6≤y≤10，那么2k−b的值为_______．
【答案】6或10##10或6
【分析】本题分情况讨论①k>0时，x=2对应y=6；②k<0时，x=2对应y=10．
【详解】解：①k>0时，由题意得：x=2时，y=6，
∴2k−b=6；
②k<0时，由题意得：x=2时，y=10，
∴2k−b=10；
综上，2k−b的值为6或10．
故答案为：6或10．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．
12．已知点A2，m，点B3，n都在直线y=2−1x+2的图像上，则m___________n（填“>”、“=”或“<”）．
【答案】<
【分析】由直线解析式可确定其y的值随x的增大而增大，再结合题意即可确定m【详解】∵k=2−1>0，
∴直线y=2−1x+2，y的值随x的增大而增大．
∵点A2，m，点B3，n都在直线y=2−1x+2的图像上，且2<3，
∴m故答案为：<．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质．对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y的值随x的增大而增大．当k<0时，y的值随x的增大而减小；
13．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点2，0，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式kx+b>0的解集是__________________．
【答案】x<2
【分析】先根据增减性判断出k<0，再根据不等式kx+b>0的解集即为一次函数图象在x轴上方的自变量的取值范围进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点2，0，且y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴当x<2时，kx+b>0，
故答案为：x<2．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知一次函数图象的性质是解题的关键．
14．如图，已知一次函数y=kx+b和正比例函数y=mx的图象交于点P(1,3)，则关于x的一元一次方程kx+b=mx的解是___________．
【答案】x=1
【分析】当x=1时，y=mx的函数图象与y=kx+b的函数图像相交，从而可得到方程的解．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b和正比例函数y=mx的图象交于点P(1,3)，
∴当x=1时，kx+b=mx，
方程kx+b=mx的解是x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图像求解，解题的关键是数形结合．
15．已知如图直线y1=x+2与y2=kx+b相交于点P(a，1)，则关于x的不等式x+2>kx+b的解集是__．
【答案】x>−1
【分析】先把P(a，1)代入y1=x+2中求得a=−1，然后结合函数图象，写出直线y1=x+2在直线y2=kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把P(a,1)代入y1=x+2得1=a+2，
解得a=−1，
∵当x>−1时，y1>y2，
∴关于x的不等式x+2>kx+b的解集为x>−1．
故答案为：x>−1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图，一次函数y=−x−2与y=2x+m的图象相交于点P2，−4，则关于x的不等式组2x+m<−x−2的解集为____．
【答案】x<2
【分析】以交点P2，−4为分界，结合图象写出不等式2x+m<−x−2的解集即可．
【详解】∵关于x的不等式组2x+m<−x−2
∴2x+m<−x−2的解集：从图象上看y=−x−2的图象应该在y=2x+m的图象上面的部分
∵一次函数y=−x−2与y=2x+m的图象相交于点P2,−4
∴关于x的不等式2x+m<−x−2的解集为：x<2
故答案为：x<2
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是从图象上得出信息．
17．若二元一次方程组2x−y=mx+y=n的解为x=1y=−3，则一次函数y=2x−m与y=−x+n的图象的交点坐标为______．
【答案】(1,−3)
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答．
【详解】解：∵二元一次方程组2x−y=mx+y=n的解为x=1y=−3，
∴一次函数y=2x−m与y=−x+n的图象的交点坐标为(1,−3)，
故答案为：(1,−3) ．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程(组)的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
18．已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P−4,−2，则二元一次方程组y=ax+by=kx的解是_____．
【答案】x=−4y=−2
【分析】直接根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.
【详解】解：∵函数y=ax+b和y=kx的图像交于点P−4,−2，
∴点P−4,−2，满足二元一次方程组y=ax+by=kx；
∴方程组的解是x=−4y=−2．
故答案为：x=−4y=−2．
【点睛】本题考查了两函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解这一性质，从而直接求解；熟练掌握该性质解答本题的关键．
19．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2023的纵坐标是______，点Bn的纵坐标是______．
【答案】 22022 2n−1
【分析】根据题意求出B1，B2，B3，B4，B5⋯，进而找出坐标规律，进行求解即可．
【详解】当x=0时，y=0+1=1 ，
∴点A1 的坐标为0,1．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为1,1，点C1的坐标为1,0．
当x=1时，y=x+1=2，
∴点A2的坐标为1,2．
∵A2B2C2C1为正方形，
∴点B2的坐标为3,2，点C2的坐标为3,0 ，
同理，可知：点B3的坐标为7,4，点B4的坐标为15,8，
点B5的坐标为31,16，…，
∴点Bn的坐标为2n−1,2n−1（n是正整数），
∴点B2023的坐标为22023−1，22022；
故答案为：22022，2n−1
【点睛】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．同时考查了正方形的性质和一次函数的图象上的点．熟练掌握相关知识点，抽象概括出点的坐标规律，是解题的关键．
20．如图，点A1(2,1)在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则点C1的坐标为_________；点Cn的坐标为_________（结果用含正整数n的代数式表示）．
【答案】 3，1 3×32n−1,32n−1
【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到B2的坐标，即可求得A2的坐标，从而求得C1的坐标，进而得到B3的坐标，求得A3的坐标，从而求得C2的坐标，最后根据根据变换规律，求得Cn的坐标．
【详解】解：∵点A1(2,1)在直线y=kx上，
∴1=2k，解得：k=12，
∴直线为y=12x，
∵过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，
∴A1C1∥x轴，
∴B23，0，C13，1，
当x=3时，y=12x=32，即A23,32，
∴B392,0，
∴C292,32，
∴以此类推，
C3274,94（274，94），
…
Cn3×32n−1,32n−1．
故答案为：3，1；3×32n−1,32n−1．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx．
21．如图，一次函数y=−2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C、D．
(1)直接写出A、B两点的坐标．；
(2)点P在何处时，矩形OCPD的面积为1．
【答案】(1)A32,0，B0,3(2)1
【分析】（1）分别令x=0，y=0，即可求解；
（2）设Pa,−2a+3，则PD=a,PC=−2a+3，根据矩形OCPD的面积为1，可得到关于a的方程，解出即可．
【详解】（1）解：当x=0时，y=3；
当y=0时，−2x+3=0，
解得：x=32，
∴A32,0，B0,3；
（2）解：∵点P在一次函数y=−2x+3的图像上，
∴可设Pa,−2a+3，则PD=a,PC=−2a+3，
∵矩形OCPD的面积为1，
∴a⋅−2a+3=1，
即2a2−3a+1=0，
解得a1=1，a2=12，
∴−2a+3=1或−2a+3=2，
综上所述，当P1,1或P12,2时，矩形OCPD的面积为1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．熟练掌握一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式是解题的关键．
22．在直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过三点A4，0，B0，2，Cm，−3．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值；
(3)求一次函数y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)y=−12x+2
(2)m=10
(3)4
【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式，求出k、b即可；
（2）把Cm，−3代入函数解析式可得m的值；
（3）求出y=−12x+2与两坐标轴的交点，根据面积公式求得即可．
【详解】（1）解：把A4，0，B0，2代入y=kx+b中得：
4k+b=0b=2，
解得：k=−12b=2，
∴这个一次函数解析式为：y=−12x+2；
（2）解：把Cm，−3代入：y=−12x+2中得：−3=−12m+2，
∴m=10；
（3）解：当x=0时，y=2，
∴与y轴的交点坐标0，2，
当y=0时，x=4，
∴与x轴的交点坐标4，0，
∴两坐标轴所围成的三角形的面积=12×2×4=4．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
23．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，过点A4,0的直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2：y2=x+3交于点P1,a．
(1)求直线l1对应的函数表达式；
(2)当y1【答案】(1)y=−43x+163(2)x＞1
【分析】(1)先求P1,4，结合A4,0确定y1=kx+b解析式即可．
(2)根据交点坐标，结合图像确定解集即可．
【详解】（1）∵直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2：y2=x+3交于点P1,a，
∴a=1+3=4，
∴P1,4，
∵y1=kx+b过A4,0，
∴4k+b=0k+b=4，
解得k=−43b=163，
∴y=−43x+163．
（2）∵直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2：y2=x+3交于点P1,a，且y1∴x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图像求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点．
(1)点A的坐标是 ．点B的坐标是 ．
(2)若点Cm,6是直线y=−43x+4上一点，则直线OC的解析式是 ．
(3)在直线AB上是否存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△OAB的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点E是y轴上一动点，把线段AB沿着直线AE翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式．
【答案】(1)3,0；0,4
(2)y=−4x
(3)存在，6,−4
(4)y=−12x+32
【分析】（1）分别令x=0，y=0，即可求解；
（2）先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解；
（3）先求出OA=3,OB=4，设点D的坐标为a,−43a+4，根据△AOD的面积等于△OAB的面积，列出方程，即可求解；
（4）设点B的对称点为F，连接EF，BF，根据折叠的性质可得AE垂直平分BF，AB=AF=5，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：令x=0，y=4，
令y=0，x=3，
∴点A的坐标是3,0．点B的坐标是0,4；
故答案为：3,0；0,4
（2）解：∵点Cm,6是直线y=−43x+4上一点，
∴6=−43m+4，解得：m=−32，
∴点C−32,6，
设直线OC的解析式是y=kx，
把点C−32,6代入得：6=−32k，
解得：k=−4，
∴直线OC的解析式是y=−4x，
故答案为：y=−4x；
（3）解：存在，
由（1）得：点A的坐标是3,0．点B的坐标是0,4，
∴OA=3,OB=4，
设点D的坐标为a,−43a+4，
∵△AOD的面积等于△OAB的面积，
∴12×3×−43a+4=12×3×4，
解得：a=6或0（舍去），
∴点D的坐标为6,−4；
（4）解：如图，设点B的对称点为F，连接EF，BF，
根据题意得：AE垂直平分BF，AB=AF=OA2+OB2=5，
∴BE=EF，OF=AF−OA=2，
设点E的坐标为0,s，则OE=s，
∴EF=BE=4−s，
在Rt△OEF中，OE2+OF2=EF2，
∴s2+22=4−s2，
解得：s=32，
∴点E的坐标为0,32，
设直线AE的解析式为y=k1x+b1，
把点0,32，3,0代入得：
b1=323k1+b1=0，解得：k1=−12b1=32，
∴直线AE的解析式为y=−12x+32．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，图形的折叠，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
二、二次函数的图象和性质
例3．（1）由二次函数y=2x−32+1，可知（ ）
A．顶点坐标1，−3B．其最小值为1
C．x<3，y随x的增大而增大D．其图象的对称轴为直线x=−3
【答案】B
【分析】由解析式可知a>0，对称轴为直线x=3，最小值为1，顶点坐标为3，1，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=2x−32+1，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为3，1，
∴二次函数有最小值1，当x<3，y随x的增大而减小，
∴四个选项中只有选项B说法正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知二次函数y=ax−k2+ℎa≠0的对称轴为直线x=k，顶点坐标为k，ℎ是解题的关键．
（2）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点−1,0，且对称轴为直线x=1，有下列结论：（ ）
①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点4,y1与点−3,y2，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点−ca,0；⑤am2+bm+a≥0（m为任意实数），其中所有正确的结论有几个（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线y=ax2+bx+c过点3,0，当x=3时，y=9a+3b+c=0，又由a>0即可做出判断；③由对称轴为x=1，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当x=−ca时，y=a−ca2+b−ca+c=0，即可判断；⑤先推出am2+bm+c≥a+b+c，得到am2+bm≥a+b，由b=−2a，得到am2+bm+a≥2a+b，即可做出判断．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，
顶点在y轴右侧，则b<0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点−1,0，且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点3,0，
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a>0，
∴10a+3b+c>0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∵点4,y1与点−3,y2，4−1<−3−1，
∴y1当x=−ca时，y=a−ca2+b−ca+c=c2−bc+aca=cc−b+aa，
∵当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴当x=−ca时，y=a−ca2+b−ca+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点−ca,0，故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵对称轴为x=−b2a=1，
∵b=−2a，
∴2a+b=0，
∴am2+bm+a≥2a+b，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
正确的为②④⑤，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键．
（3）抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点5,−2，对称轴是直线x=3，则a+b+c=______．
【答案】−2
【分析】根据题意求得5,−2关于直线x=3对称的点的坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点5,−2，对称轴是直线x=3，
∴点5,−2，关于直线x=3对称的点的坐标为1,−2，
当x=1时，y=a+b+c=−2
∴a+b+c=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（4）在平面直角坐标系中，将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）.若直线y=b与新函数的图象有4个公共点，则b的取值范围是________.
【答案】−4b>−4
【分析】由图可知，当y=b与新函数有4个交点时，y=b在新函数的顶点D和折线之间，求出点D的坐标，即为求解．
【详解】解：原二次函数y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴顶点C1，4，
翻折后点C对应的点为D1，−4，如图，
∴当直线y=b与新函数的图象有4个公共点，则b的取值范围是−4故答案为：−4【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，翻折的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键．
例4.已知二次函数y=ax2−4ax+4的图像与x轴有唯一公共点．
(1)求a的值；
(2)当0≤x≤m时（m>0），函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是______．
【答案】(1)a=1
(2)2≤m≤4
【分析】（1）根据二次函数y=ax2−4ax+4的图像与x轴有唯一公共点即一元二次方程ax2−4ax+4=0的判别式等于0即可得到答案；
（2）配方找到对称轴，确定最小值，代入最大值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
∵二次函数y=ax2−4ax+4的图像与x轴有唯一公共点，
∴一元二次方程ax2−4ax+4=0的判别式等于0，
∴a≠0，(−4a)2−4×4a=0，
解得：a=1；
（2）解：由（1）得，
y=x2−4x+4=(x−2)2，
∴当x=2时，ymin=0，
∵当x=0时，y=4，
∴抛物线上点(0,4)的对称点为(4,4)
∵0≤x≤m时（m>0），函数的最大值为4，且最小值为0，
∴2≤m≤4．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题问题及最值问题，解题的关键是根据有唯一公共点得到判别式等于0解出a及配方找到对称轴．
例5.已知二次函数y=ax2−4ax+3a≠0．
(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点3,y1,1,y2,−1,y3,−2,y4都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 y2（用“>”“=”“<”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
【答案】(1)抛物线与y轴交点的坐标为0,3，对称轴x=2
(2)①=； ②−35≤a<−14
【分析】（1）x=0，可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；
（2）①根据题意可得点3,y1,1,y2关于直线x=2对称，即可求解；②根据题意可得点1,y2,−1,y3,−2,y4在对称轴的左侧，点3,y1在对称轴的右侧，然后分两种情况：当a>0时，当a<0时，即可求解．
【详解】（1）解：令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴交点的坐标为0,3 ．
对称轴x=−−4a2a=2．
（2）解：① ∵函数图象的对称轴为直线x=2，
∴点3,y1,1,y2关于直线x=2对称，
∴y1=y2，
故答案为：=；
②∵函数图象的对称轴为直线x=2，3>1>−1>−2，
∴点1,y2,−1,y3,−2,y4在对称轴的左侧，点3,y1在对称轴的右侧．
当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴y1=y2当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则y1=y2>y3>y4，
y1，y2，y3，y4四个函数值可以满足y1=y2>y3≥0>y4，
∴y3≥0,y4<0，
即当x=−1时，y3=a+4a+3≥0，当x=−2时，y4=4a+8a+3<0．
解得 −35≤a<−14．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
知识点训练
1．关于二次函数y=x−22+3，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，y有最大值3B．当x=−2时，y有最大值3
C．当x=2时，y有最小值3D．当x=−2时，y有最小值3
【答案】C
【分析】y=ax−ℎ2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是ℎ,k，对称轴是x=ℎ．
【详解】∵二次函数y=x−22+3，
∵1>0，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∴当x=2时，y有最小值3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数y=ax−ℎ2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质，熟练掌握二次函数y=ax−ℎ2+k的性质是解答本题的关键．
2．已知A−1,y1,B1,y2,C4,y3三点都在二次函数y=−x−32+k的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为（ ）
A．y1【答案】A
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵−1<0，
∴二次函数图象开口向上，
∵y=−x−32+k，
∴二次函数的对称轴为直线x=3，
∵抛物线y=−x−32+k的图象上有三个点A−1,y1,B1,y2,C4,y3，−1−3=4,1−3=2,4−3=1，
∴y1故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．已知抛物线y=x−22+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为2,1D．当x<2时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可一一判定．
【详解】解：∵抛物线y=x−22+1中，a=1>0，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为2,1，对称轴为直线x=2，当x<2时，y随x的增大而减小，
故A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
4．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc<0B．4ac−b2>0
C．a−b+c>0D．当x=−n2−2（n为实数）时，y≥c
【答案】D
【分析】由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，根据对称轴方程得到b>0，于是得到abc>0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点，得到b2−4ac>0，求得4ac−b2<0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=−1时，y=a−b+c<0，于是得到c−a<0，故C错误；根据函数图象可知，当x≥0或x≤−2时，y≥c，于是得到y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确．
【详解】解：由图象开口向上，可知a>0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，
又对称轴方程为x=−1，所以− b2a <0，所以b>0，
∴abc>0，故A错误；
∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故B错误；
∵− b2a =−1，
∴b=2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−2a+c<0，
∴c−a<0，故C错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c对称轴为直线x=−1．
根据函数图象可知，当x≥0或x≤−2时，y≥c，
∵−n2−2≤−2，
∴当x=−n2−2（n为实数）时，y≥c
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列5个结论：①abc>0；②b0；④2c<3b；⑤a+bA．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判断即可．
【详解】解：开口向下，a<0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b>0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0，则abc<0，所以①不正确；
当x=−1时图象在x轴下方，则y=a−b+c<0，即a+c对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0，所以③正确；
x=−b2a=1，则a=−12b，而a−b+c<0，则−12b−b+c<0，2c<3b，所以④正确；
开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，则a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)(m≠1)，所以⑤错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数的关系．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点坐标为−1,0，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为(3,0)；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，
故①正确，符合题意；
②∵x=−b2a=1，即b=−2a，
而x=−1时，y=0，即a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0．
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y>0时，x的取值范围是−1∴③正确，符合题意；
④从图象看，当x=−2时，y1<0，
当x=2时，y2>0，
∴有y1<0故④正确，符合题意；
故正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
7．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④6a−2b+c<0；⑤若点0.5,y1，−2,y2均在抛物线上，则y1>y2，其中正确的判断是（ ）
A．②③④⑤B．②③④C．②③⑤D．②④⑤
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：∵图象开口向上，
∴ a>0，
∵对称轴为直线x=−1，
∴ −b2a=−1，
∴ b=2a>0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴ c<0，
∴ abc<0，①错误；
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴ Δ=b2−4ac>0，②正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为1,0，
∴抛物线与x轴的另一个交点为−3,0，
当x=−3时，y=0，
∴ 9a−3b+c=0，③正确；
∵ 9a−3b+c=0，b=2a，
∴ c=−3a，
∴ 6a−2b+c=6a−4a−3a=−a<0，故④正确；
∵抛物线对称轴为x=−1，0.5−−1=1.5，−2−−1=1，
∴点0.5,y1比点−2,y2到对称轴的距离大，
∴ y1>y2，故⑤正确；
综上可知，正确的有②③④⑤．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．
8．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c−3=0的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【答案】D
【分析】将ax2+bx+c−3=0转化为ax2+bx+c=3即y=3，通过图像解题即可．
【详解】解：∵ax2+bx+c−3=0
∴ax2+bx+c=3即y=3，
由图可知最高为1，
∴不存在y=3，即ax2+bx+c=3无实数根，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与方程，能够熟练转化方程与图像的交点问题是解题关键．
9．二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示，则满足y1>y2的x的取值范围是（ ）．
A．−31D．x<−3或x>0
【答案】B
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，−3所以，满足y1>y2的x的取值范围是−3故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b<0；③−b2−4ac>0；④不等式ax2+b+1x+c<0的解集为−3A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据开口方向，对称轴，以及与y轴的交点，判断①②③，根据y=−x与y=ax2+bx+c交于点−1,1,−3,3，结合图象即可判断④，进而即可求解．
【详解】解：抛物线开口向上，则a>0，故①正确；
∵对称轴为直线x=−1，
∴x=−b2a=−1，即b=2a>0，故②不正确；
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0
∴b2+4ac>0，故③不正确；
∵y=−x与y=ax2+bx+c交于点−1,1,−3,3，
∴不等式ax2+b+1x+c<0的解集为−3故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
11．如图．抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，则不等式ax2+c>mx+n的解集为（ ）
A．x>−1B．x<3C．13
【答案】D
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，
由图可知：抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n上方时，x的范围是：x<−1或x>3，
即ax2+c>mx+n的解集是x<−1或x>3，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．小明同学研究二次函数y=−x−m2−m+1（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点Ax1,y1与点Bx2,y2在函数图象上，若x12m，则y1④当−1其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解：二次函数y=−x−m2−m+1（m为常数）
①∵顶点坐标为m,−m+1且当x=m时，y=−m+1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上
故结论①正确，不符合题意；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,
令y=0，得−x−m2−m+1=0，其中m≤1
解得：x=m−1−m，x=m+1−m
∵顶点坐标为m,−m+1，且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴−m+1=m−m−1−m
∴m=0或1
∴存在m=0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确，不符合题意；
③∵x1+x2>2m
∴x1+x22>m
∵二次函数y=−x−m2−m+1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1∴y1>y2
故结论③错误，符合题意；
④当−1∴m的取值范围为m≥2
故结论④正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
13．已知抛物线y=x2+2mx−4m，若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥−4B．0【答案】C
【分析】先表示出对称轴，再分两种情况讨论，当−m≤1时，当−m≥1时，求出y最小值，使y≥0分别计算即可．
【详解】对称轴为直线x=−2m2=−m，
①当−m≤1，即m≥−1时，x≥1时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y=1+2m−4m=1−2m≥0，
解得m≤12，
∴−1≤m≤12，
②当−m≥1，即m≤−1时，
当x=−m时，y=m2−2m2−4m=−m2−4m≥0，
解得−4∴−1≤m≤12，
∴m=−1，
综上，−1≤m≤12，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，最值问题，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
14．如图， 拋物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=−2， 并与x轴交于A， B 两点， 若OA=5OB， 则下列结论中: ①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数， 则am2+bm≥4a−2b， 正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向，判定a>0；对称轴的位置，判定b>0；抛物线与y轴的交点，判定c<0，从而判定abc<0；根据对称轴是直线x=−2=−b2a，确定b=4a；根据OA=5OB，设B(x0,0),A(−5x0,0)，可得到ax02+bx0+c=025ax02−5bx0+c=0，解得x0=1,x0=0（舍去），从而得到a+b+c=0，确定c=−5a，可以判定②③；计算函数的最小值为：y=4ac−b24a=4a×(−5a)−(4a)24a=−9a，从而得到am2+bm+c≥−9a，代入化简，判定④．
【详解】解：因为抛物线的开口方向，
所以a>0；
因为对称轴是直线x=−2，
所以b>0；
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，
所以c<0，
所以abc＜0；
故①错误；
因为对称轴是直线x=−2=−b2a，
所以b=4a；
因为OA=5OB，设B(x0,0),A(−5x0,0)，
所以ax02+bx0+c=025ax02−5bx0+c=0，
解得x0=1,x0=0（舍去），
所以a+b+c=0，
所以c=−5a，
所以(a+c)2−b2=(a−5a)2−(4a)2=16a2−16a2=0，
所以9a+4c=9a−20a=−11a<0，
所以②③正确；
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：y=4ac−b24a=4a×(−5a)−(4a)24a=−9a，所以am2+bm+c≥−9a，
所以am2+bm≥−9a−c=−9a+5a=−4a，
所以am2+bm+2b≥−4a+2b=−4a+8a，
所以am2+bm≥4a−2b，
所以④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质，对称轴，最值，抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
15．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1，0，顶点坐标1，n与y轴的交点在0，2，0，3之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b>0；②−1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和x轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③正确，由数形结合可得到④错误．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵抛物线顶点坐标为1，n，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴3a+b=a<0，故①错误；
∵A−1，0在抛物线上，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴c=−3a，
∵与y轴的交点在0，2，0，3之间(包含端点)，
∴2≤c≤3，
∴2≤−3a≤3，
∴−1≤a≤−23，故②正确；
∵顶点坐标1，n ，抛物线开口向下，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为n，
∴对于任意实数m，a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故③正确；
∵顶点坐标1，n，且开口向下
∴直线y=n+1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n+1没有实数根，故④错误；
故选：B．
【点睛】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．
16．二次函数y=−2x+12+3的最大值为______．
【答案】3
【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式求出顶点坐标，即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−2x+12+3，−2<0，
∴二次函数的顶点坐标为−1，3，且开口向下，
∴二次函数的最大值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数y=ax−ℎ2+ka≠0，当a>0，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值k．
17．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且当−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为________．
【答案】1
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−b2a．开口向上的抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．−2≤x≤1时，y的最大值在x=−2处取到．
【详解】解：∵y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）是二次函数式，
∴对称轴是直线x=−2a2a=−1．
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a>0．
∵−2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴把x=1代入函数式得，
y=a+2a+3a2+3=9，
移项得，3a2+3a−6=0，
∴a=1，或a=−2（不合题意舍去）．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
18．二次函数y=ax2+bx+c 的部分对应值列表如下：
则一元二次方程ax2+bx+c=−5的解为x=______．
【答案】3或−1
【分析】先求出对称轴，由表格中的数据知，当x=3时，y=−5，利用二次函数的对称性即可求解．
【详解】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x=5−32=1．
根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c=−5的解为x=3或x=−1．
故答案为：3或−1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
19．若抛物线y=x2−4x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是______．
【答案】m>4##4【分析】抛物线y=x2−4x+m与x轴没有公共点，则一元二次方程x2−4x+m=0在实数范围内没有解，则只要计算判别式，根据判别式为负即可求得m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=x2−4x+m与x轴没有公共点，
∴关于x的一元二次方程x2−4x+m=0在实数范围内没有解，
∴Δ=−42−4×1×m<0，
解得：m>4，
故答案为：m>4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，实质是一元二次方程是否有实数解，考虑判别式的符号即可，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系．
20．抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标为−5和1，则不等式cx2+bx+1>0的解集是__________．
【答案】−15【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标以及对应方程的实数根求得c、b，进而可求得方程cx2+bx+1=0的实数根，利用抛物线y=cx2+bx+1与x轴交点的横坐标，结合开口方向即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标为−5和1，
∴方程x2+bx+c=0的两个实数根为−5和1，
∴c=−5×1=−5，−b=−5+1=−4，即b=4，
∴方程−5x2+4x+1=0的两个实数根为−15和1，
∴抛物线y=−5x2+4x+1的开口向下，且与x轴交点的横坐标为−15和1，
∴不等式−5x2+4x+1>0的解集是−15故答案为：−15【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、解一元二次方程、二次函数与不等式的关系，能根据二次函数的图象与性质求解不等式的解集是解答的关键．
21．已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示．下列结论：
①4ac③a−b+c>0；④当y>0时，x的取值范围是−1⑤当x<0时，y随x增大而增大．其中正确的结论是__________．（填序号）
【答案】①②④⑤
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则可对②进行判断；根据抛物线过点(−1,0)，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点(−1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3，所以②正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，所以③错误；
④∵抛物线与x轴的两点坐标为(−1,0)，(3,0)，
∴当−10，所以④正确；
⑤∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为−3，2，若抛物线y=x−12+m在矩形ABCD内部的图象中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．
【答案】−18＜m≤−6
【分析】求出抛物线经过C，B两点时，m的值，可得结论．
【详解】解：由题意，A的坐标为−3，2，
∴C3，−2，B−3，−2，
当抛物线y=x−12+m经过点C3，−2时，−2=3−12+m，
∴m=−6．
当抛物线y=x−12+m经过点B−3，−2时，−2=−3−12+m，
∴m=−18，
观察图象可知满足条件m的值为−18＜m≤−6．
故答案为：−18＜m≤−6．
【点睛】本题考查矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用数形结合思想．
23．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A2,p,B−4,q两点，则不等式ax2−mx+c−n＞0的解集是___________．
【答案】−4【分析】根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解．
【详解】解∶∵A2,p,B−4,q
∴当−4∴ax2+c>mx+n的解集为−40的解集为−4故答案为∶−4【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式ax2−mx+c−n>0转化为图象问题．
24．已知抛物线的顶点坐标为−1,3，且经过点0,1，求该抛物线的解析式．
【答案】y=−2x2−4x+1
【分析】已知顶点坐标，根据顶点式y=a(x−ℎ)2+k，设抛物线的解析式，把点0,1代入即可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+3，
把点0,1代入得，a(0+1)2+3=1，
∴a=−2，即y=−2(x+1)2+3=−2x2−4x+1，
∴抛物线的解析式为y=−2x2−4x+1．
【点睛】本题主要考查待定系数法解二次函数，掌握二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
25．如图，二次函数的图象顶点坐标为−2，−2，且过1，0．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当−5≤x<−4时，求函数值y的取值范围．
【答案】(1)y=29x+22−2
(2)−109≤y<0
【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y=ax+22−2，将点1，0代入上式即可求解；
（2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围．
【详解】（1）解：由抛物线顶点式表达式得：y=ax+22−2，
x＝1时，y=a1+22−2=0，
解得：a=29，
故抛物线的表达式为：y=29x+22−2；
（2）当x=−5时，y=29−5+22−2=0，
当x=−4时，y=29−4+22−2=−109，
∵当x<−2时，y随x的增大而减小，
∴当−5≤x<−4时，函数值y的取值范围是﹣109≤y＜0．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，根据图象的增减性求函数值y的取值范围，理解待定系数法和二次函数的增减性是解题的关键．
26．已知二次函数y=x2+bx+c，若图象过点−1,0和点4,5．
(1)求该二次函数的表达式及顶点的坐标；
(2)若点Px,y是该二次函数图象上的一点，且−4≤x≤4，请求出y的取值范围．
【答案】(1)y=x2−2x−3，1,−4
(2)−4≤y≤21
【分析】（1）直接将图象上点的坐标代入解析式求解，再将解析式化为顶点式即可写出顶点坐标．
（2）先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据x的范围，即可确定在顶点处y取最小值，在x=−4时取最大值．
【详解】（1）解：将−1,0和点4,5代入解析式可得：
1−b+c=016+4b+c=5，
∴b=−2c=−3，
∴该二次函数的表达式为y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴顶点的坐标为1，−4；
（2）解：∵y=x2−2x−3的图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当−4≤x≤4时，ymax=−42−2×−4−3=21，ymin=−4，
∴−4≤y≤21．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和抛物线顶点式解析式、已知横坐标的范围求函数值的范围等知识，解题关键是掌握抛物线的图象与性质．
27．已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)画出它的图象；
(2)当x_______时，y随x增大而减小；
(3)该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____________﹔
(4)当0≤x≤4时，y的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)<1
(3)y=−x2+2x+3
(4)−4≤y≤5
【分析】（1）根据列表法作出函数图象；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）根据轴对称的性质即可求解．
（4）根据函数图象即可得出结论；
【详解】（1）解：列表如下，
描点，连线如图所示：
（2）解：由图象得，当x<1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为：<1；
（3）解：y=x2−2x−3=x−12−4，二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−4)，
∴该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是:
y=−x−12+4=−x2−2x+3，
故答案为：y=−x2+2x+3；
（4）解：当x=0时，y=−3；当x=4时，y=5，当x=1时，y=−4，
∴当0≤x≤4时，y的取值范围是−4≤y≤5，
故答案为：−4≤y≤5．
【点睛】本题考查画二次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．
28．已知二次函数y=x2−2x，当−1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．圆圆的解答过程如下：解：当x=−1时，y=3；当x=2时，y=0；所以函数y的最小值为0，最大值为3．圆圆的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程不正确，正确的解答过程见解析
【分析】根据二次函数的性质可判断圆圆的求解过程是否正确，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：圆圆的解答过程不正确．正确的解答过程为：
根据题意知，二次函数y=x2−2x的图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∵−1≤x≤2，
∴当x=1时，y取得最小值，此时y=1−2=−1，
当x=−1时，y取得最大值，此时y=1+2=3，
∴当−1≤x≤2时，函数y的最小值为−1，最大值为3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答的关键是熟练掌握二次函数性质，特别要注意x的取值范围．
29．已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
(2)画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值y<0时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为1,−4，与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)；
(2)图见解析；−1【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令y=0，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求y<0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴下方时x的取值范围，再结合图像即可解答．
【详解】（1）解：二次函数y=x2−2x−3化为顶点式为：y=(x−1)2−4，
∴该二次函数图像的顶点坐标为(1,−4)．
令y=0，则0=x2−2x−3，
解得：x1=−1，x2=3，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)；
（2）令x=0，则y=−3；令x=2，则y=−3；
∴该二次函数还经过点(0,−3)和(2,−3)，
∴在坐标系中画出图象如下：
求y<0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，
∴当−1∴当y<0时，自变量x的取值范围是−1【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
30．已知抛物线y=x2+bx+c经过A(3,0)，对称轴是直线x=1．点B(n−1,y1)，C(2n+3,y2)两点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当n取何值时，y1−y2取最大值；
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)n=−2
【分析】（1）由题意可得0=9+3b+c①，−b2=1②，联立方程组可求b，c，可求解析式．
（2）分别把点B，点C的坐标代入求得y1−y2，由二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：由题可得，
0=9+3b+c−b2=1，
解得：b=−2c=−3，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−3；
（2）∵点B(n−1,y1)，C(2n+3,y2)两点在抛物线上，
∴y1=(n−1)2−2(n−1)−3=n2−4n，
y2=(2n+3)2−2(2n+3)−3=4n2+8n
∴y1−y2=−3n2−12n=3(n+2)2+12，
∵−3<0，
∴当n=−2时，y1−y2取最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，会求二次函数的最值是本题的关键．
三、反比例函数的图象和性质
例6 （1）若点Ax1,13，Bx2,−3，Cx3,11都在反比例函数y=−k2+1x的图像上，则x1，x2，x3的大小关系是___________．
【答案】x3【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y=−k2+1x中，−k2+1<0，
∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵−3<0<11<13，
∴A、C两点在第二象限，B点在第四象限，
∴x3故答案为：x3【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
27．已知x1,y1，x2,y2，x3,y3是反比例函数y=−4x的图像上的三个点，且x10，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据x10，则y1，y2，y3的大小关系即可．
【详解】∵反比例函数y=−4x中k=−4<0，
∴函数图像在二、四象限，
∴在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵x1∴0∵x3>0，
∴y3<0，
∴y3故选：A
【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图像在二、四象限是解答此题的关键．
（2）关于反比例函数y=−12x ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点6,−2 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
【详解】解：反比例函数y=−12x ，k=−12<0 ，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、x=6 时，y=−2 ，故本选项说法正确；
D、当k<0 ，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数y=kx （k≠0 ）的图象是双曲线；当k>0 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
（3）在如图所示的平面直角坐标系的第一象限中标出了9个整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数y=kx(x>0)的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是（ ）
A．16≤k＜21B．16＜k≤21C．21≤k＜24D．9≤k＜16
【答案】A
【分析】画出图象，通过数形相结合观察即可求解．
【详解】解：当反比例函数y=kxx＞0的图象经过点2，8和8，2时，k=2×8=16，此时，反比例函数y=kxx＞0的图象的上方有5个整点，
当反比例函数y=kxx＞0的图象经过点3，7和7，3时，k=3×7=21，此时，反比例函数y=kxx＞0的图象的上方有3个整点，
由图象可知，若反比例函数y=kxx＞0的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是16≤k＜21，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，区域整数点；能够根据已知点求相应的函数解析式，并能画出图象，利用数形相结合解题是关键．
（4）如图，点P在反比例函数y=4xx>0的图像上，过点P作x轴的平行线，交反比例函数y=kxx<0的图像于点Q，连接OP，OQ．若S△POQ=234，则k的值为______．
【答案】−152
【分析】令QP与y轴的交点为D，由PQ∥x轴得∠QDO=∠PDO=90°，从而可得S△QPO=S△QDO+S△PDO=12k+12×4=234，即可求得k的值．
【详解】解：令QP与y轴的交点为D，如图所示，
∵PQ∥x轴，
∴PQ⊥y轴，
∴∠QDO=∠PDO=90°，
∴S△QPO=S△QDO+S△PDO=12k+12×4=234，
解得：k=±152，
∵k<0，
∴k=−152，
故答案为：−152．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于k的一半，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
例7.如图，正比例函数y=−23x的图像与反比例函数y=kxk≠0的图像都经过点Aa,2．
(1)求点A的坐标和反比例函数表达式．
(2)若点B在x轴上，且S△AOB=1，求点B坐标．
(3)若点Pm,n在该反比例函数图像上，且它到y轴距离大于3，请根据图像直接写出n的取值范围．
【答案】(1)A−3,2，y=−6x
(2)1,0或−1,0
(3)0【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）设点B坐标为b,0，根据S△AOB=1，列出方程，解之可得结果；
（3）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【详解】（1）解：把Aa,2的坐标代入y=−23x，即2=−23a，
解得：a=−3，
∴A−3,2，
又∵点A−3,2是反比例函数y=kxk≠0的图象上，
∴k=−3×2=−6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x；
（2）设点B坐标为b,0，
∵S△AOB=1，
∴12×2×b=1，
解得：b=±1，即点B坐标为1,0或−1,0；
（3）∵点Pm,n在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，
∴m<−3或m>3，
当m=−3时，n=−6−3=2，当m=3时，n=−63=−2，
由图象可知，
若点Pm,n在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，
则n的取值范围为0【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
知识点训练
1．下列的各点中，在反比例函数y=1x图象上的点是（ ）
A．2,4B．1,5C．12,2D．12,13
【答案】C
【分析】利用图象上的点的横纵坐标的乘积等于1，进行判断即可．
【详解】解：A、2×4=8≠1，点不在函数图象上，不符合题意；
B、1×5=5≠1，点不在函数图象上，不符合题意；
C、12×2=1，点在函数图象上，符合题意；
D、12×13=16≠1，点不在函数图象上，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点．熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积等于k，是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kx2+2的图象（ ）
A．经过第一、二、三、四象限B．仅经过第一、二、四象限
C．仅经过第三、四象限D．仅经过第一、二象限
【答案】A
【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合二次函数的图象和性质即可作答．
【详解】解：由图可知，反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
∴y=kx2+2，开口向下，与y轴的交点为(0,2),
∴经过一、二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及二次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．关于反比例函数y=3x，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x>−1时，y<−3
C．此函数图象关于直线y=−x对称
D．若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在图象上
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数y=3x，k=3，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项A正确，不符合题意；
当−1＜x＜0时，y＜−3，当x＞0时，y＞0，故选项B错误，符合题意；
函数y=3x的图象关于直线y=−x对称，故选项C正确，不符合题意；
若点(a,b)在它的图象上，则ab=3，则(b,a)也在图象上，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4．若M(−2,a)，N(2,b)，P(5,c)三点都在函数y=m2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>aB．a>b>cC．c>a>bD．c>b>a
【答案】A
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵k=m2+1>0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
又∵M(−2,a)，N(2,b)，P(5,c)三点都在函数y=m2+1x的图象上，且−2<0<2<5，
∴M(−2,a)在第三象限，N(2,b)，P(5,c)在第一象限，
∴a<0，b>c>0，
故a、b、c的大小关系为b>c>a．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．关于反比例函数y=−2x，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过1,−2B．图象位于第二、四象限
C．y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵1×−2=−2=k，故图象经过1,−2，因此A选项不符合题意；
B、∵k=−2<0；
∴它的图象在第二、四象限，因此B选项不符合题意；
C、∵k=−2<0；
∴它的图象在第二、四象限，当x<0或x>0时，y随x的增大而增大，因此C选项符合题意；
D、∵k=−2<0；
∴它的图象在第二、四象限，当x>0时，y随x的增大而增大，因此D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．如图，函数y=4xx>0和y=−4xx>0的图象在同一平面直角坐标系中，则该坐标系的原点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质，即可求解．
【详解】解：在函数y=4xx>0和y=−4xx>0中，
∵4>0,−4<0，
∴函数y=4xx>0的图象在第一象限，函数y=−4xx>0的图象在第四象限，
∴该坐标系的原点是点N，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交，．
7．如图，反比例函数y=kxx>0的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，OD:OA=2:3，则k的值为（ ）
A．10B．254C．8D．259
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥x轴，交x轴于点E，则△ODE和△OBC的面积相等，均为k2k>0，由DE⊥x轴，∠ABO=90°，得△ODE∽△OAB，由OD:OA=2:3，得S△ODES△OAB=232=49，从而即可求出k的值．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴，交x轴于点E，如图所示，
则△ODE和△OBC的面积相等，均为k2k>0，
∵ △OAC的面积为5，
∴△OAB的面积=△OAC+△OBC=5+k2，
∵ DE⊥x轴，∠ABO=90°，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∵ OD:OA=2:3，
∴S△ODES△OAB=232=49，
即k25+k2=49，
解得k=8，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
8．以正方形ABCD两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y=4x的图象经过点D，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
【详解】解：∵双曲线y=4x经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是4，
∴正方形ABCD的面积是4×4=16．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握：过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k．
9．若图中反比例函数的表达式均为y=4x，则阴影面积为2的是（ ）
A．图1B．图2C．图3D．图4
【答案】B
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】选项A中，阴影面积=xy=4≠2，故选项A不符合题意；
选项B中，阴影面积为12xy=12×4=2，故选项B符合题意；
选项C中，阴影面积为2×12xy=2×12×4=4，故选项C不符合题意；
选项D中，阴影面积为4×12xy=4×12×4=8，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
10．如图，点B，P在函数y=4x(x>0)的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（ ）
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标为(4,4)
C．y=4x的图象关于过点O与B的直线对称
D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】A、因为点B、点P为反比例函数上的点，所以BC×AB=PF×PE=4，则四边形COAB和四边形FOEP面积相等，所以长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等．所以A选项不符合题意；
B、点B坐标对应x、y值相乘的积为4，所以点B的坐标为2,2，所以B选项符合题意；
C、因为四边形COAB为正方形，所以OB为正方形对角线，也是反比例函数的对称轴．所以C选项不符合题意；
D、因为点B、点P为反比例函数上的点，所以BC×AB=PF×PE=4，则四边形COAB和四边形FOEP面积相等．所以D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义．
11．已知点P−2,1在反比例函数y=kx的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M，则△OPM的面积为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】D
【分析】先根据待定系数法求得k的值，然后根据反比例函数k的几何意义即可得出：S△OPM=12k，代入求值即可．
【详解】解：∵点P−2,1在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=1×−2=−2，
根据反比例函数k的几何意义可得：S△OPM=12k=12×−2=1．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数的几何意义，属于基础题，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k，且保持不变．
12．如图，已知双曲线y=kx(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为−6,4，则△BOC的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由点D为OA的中点即可求得其坐标，从而求得反比例函数的比例系数k，再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得结果．
【详解】解：∵点A的坐标为−6,4，且边OA的中点为D，
∴D(−3,2)，
则k=3×(−2)=−6，
由反比例函数比例系数的几何意义知：S△BOC=12k=12×6=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握这一几何意义是解题的关键．
13．已知函数y=kx的图像经过点1,4，那么k的值是____________．
【答案】4
【分析】根据反比例函数的定义，k=xy，将点代入即可求得k的值．
【详解】解：依题意：
把1,4代入y=kx得：
4=k1
解得：
k=4
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握图像上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
14．已知正比例函数y=kx与反比例函数y=18x的图象交于点A3,m和点B，则点B的坐标为________．
【答案】−3,−6
【分析】点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据中心对称的性质，求得另一个交点B的坐标．
【详解】解：把A3,m代入y=18x，得
m=183=6，
∴A3,6，
∵正比例函数y=kx与反比例函数y=18x的图象交于点A3,m和点B，
∴点A3,6和点B关于原点对称，
∴B−3,−6．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识．
15．若一次函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于两点，且其中一个交点坐标为−2,3，则另一个交点坐标为________．
【答案】2，−3
【分析】根据反比例函数的图像关于原点对称，即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=k1x的图像与反比例函数y=k2x的图象相交于两点，其中一个交点坐标为−2,3，且反比例函数y=k2x的图象关于原点对称，
∴另一个交点坐标为2，−3．
故答案为：2，−3
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
16．已知点A−1，y1，B−2，y2和C3，y3都在反比例函数y=kxk>0的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______．（用“<”连接）
【答案】y1【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为y=kxk>0，
∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵−2<−1<3，
∴y1故答案为：y1【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．如图所示，已知反比例函数y=kx和y=1x分别过点A和点B，且AB∥x轴， S△ABC=32，点C是x轴上任意一点，则k=_____．

【答案】−2
【分析】设AB与y轴交于点D，连接AO，BO，即得出S△ABO=S△ABC=32，再根据S△ABO=S△ADO+S△BDO，结合反比例函数k的几何意义即得出32=k2+12，解出k的值，最后根据y=kx的图象位于第二、四象限，即可确定k的值．
【详解】如图，设AB与y轴交于点D，连接AO，BO．
由图可知S△ABO=S△ABC=32．
∵S△ABO=S△ADO+S△BDO，S△ADO=k2，S△BDO=12，
∴32=k2+12，
解得：k=±2．
∵y=kx的图象位于第二、四象限，
∴k=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上任取一点，向一条坐标轴作垂线，连接这一点和原点，构成三角形的面积是k2．
18．反比例函数y=kx (k>0,x>0)与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则k的取值范围为______．
【答案】4【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当k=5时，是8个整点，满足条件．
【详解】解：如图，

当k=4时，是5个整点，当k=5时，是8个整点．
∴4故答案为：4【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键．
19．如图，在反比例函数y=kx（x>0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4已知P1的纵坐标为10．
（1）k的值为_____；
（2）阴影部分的面积S1的值为_____；
（3）阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为_____．
【答案】 20 10 16
【分析】（1）把P1代入反比例函数解析式求解即可；
（2）由P1，P2在反比例函数y=20x（x>0）上，求得BC，P1C即可求解；
（3）过P1，P2，P3，P4，P5作x轴、y轴的垂线，阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为S矩形P1AFK，由P1，P5的坐标求得FK,P1K，即可求解．
【详解】（1）点P1的横坐标为2，P1的纵坐标为10，点P1在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，
∴10=k2，
∴k=20，
故答案为：20；
（2）如图，
∵点P2在反比例函数y=20x（x>0）的图象上，点P2的横坐标为4，
∴y=204=5，
∴P2的纵坐标为5，
∴P2H=5．
∵四边形P2CGH为矩形，
∴CG=P2H=5，
∵点P1的横坐标为2，P1的纵坐标为10，
∴P1G=10，OG=2，
∴P1C=10−5=5，
∵四边形P1AOG和四边形BOGC为矩形，
∴BC=OG=2，
∴S1=P1C⋅BC=5×2=10，
故答案为：10；
（3）∵点P1，P2，P3，P4，P5其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，
∴S2=S矩形BDMC，S3=S矩形DENM，S4=S矩形EFKN，
∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为S矩形P1AFK．
∵点P5在反比例函数y=20x（x>0）的图象上，点P5的横坐标为10，
∴y=2010=2，
∴P5的纵坐标为2，
∴P5P=2，
∵四边形FOPP5为矩形，
∴KG=P5P=2，
∴P1K=P1G−KG=10−2=8，
∴S矩形P1AFK==P1K⋅FK=8×2=16．
∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
20．如图，点A、C为反比例函数y=kx(x<0)图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为32时，k的值为____________．
【答案】−4
【分析】设点C的坐标为(m,km)，则点E(12m，k2m)，A(12m，2km)，根据三角形的面积公式可得出SΔAEC=−38k=32，由此即可求出k值．
【详解】
解：设点C的坐标为(m,km)，则点E(12m，k2m)，A(12m，2km)，
∵S△AEC=12BD⋅AE=12(12m−m)⋅(2km−k2m)=−38k=32，
∴k=−4．
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标表示出A、E点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
21．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为______（n为正整数）．
【答案】3n
【分析】结合图象，根据反比例函数系数k的几何意义，即可得答案．
【详解】解：∵过双曲线y=6x上任一点引x轴垂线和原点连线与x轴所围成的直角三角形面积是个定值，S=12k=3，
∴S1=12OA1⋅A1P1=S=3，
∵OA1=A1A2=A2A3=……，
∴S2=12A1A2⋅A2P2=12×12OA2⋅A2P2=12S=32，
S3=12A2A3⋅A3P3=12×13OA3⋅A3P3=13S=1，
S4=12A3A4⋅A4P4=12×14OA4⋅A4P4=14S=34，
S5=12A4A5⋅A5P5=12×15OA5⋅A5P5=15S=35，
……
以此类推，Sn=3n，
故答案为：3n．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kx k≠0的系数k的几何意义，即过双曲线上任一点引x轴，y轴垂线，所得矩形面积为k，利用数形结合的思想，正确理解k的几何意义是解题关键．
22．已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(−1，−4)，求这个反比例函数的表达式，并画出它的图象．
【答案】反比例函数的表达式为y=4x；图象见解析
【分析】根据待定系数法即可求得．
【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(−1，−4)，
∴−4=k−1，
∴k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
列表，
描点、连线，画出函数的图象如图：
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−2与双曲线y=kx(x>0)交于点A(2,m)，且交y轴于点C．
(1)求k，m的值
(2)若点B为双曲线y=kx(x>0)上的一点，当△BOC的面积为6时，求点B的坐标．
【答案】(1)k=4，m=2
(2)6,23
【分析】（1）把点A(2,m)代入直线y=2x−2，可求出m的值，再把求出的点A代入曲线y=kx(x>0)，即可求解；
（2）如图所示（见详解），直线y=2x−2交y轴于点C，可求出点C的坐标，即OC的长度，由（1）可知双曲线方程，设△BOC的高，即点B到y轴的距离为a，当△BOC的面积为6时，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线y=2x−2与双曲线y=kx(x>0)交于点A(2,m)，
∴m=2×2−2=2，
∴A(2,2)，把点A(2,2)代入双曲线y=kx(x>0)，
∴2=k2，解得，k=4，即双曲线解析式为y=4x，
∴k=4，m=2．
（2）解：直线y=2x−2交y轴于点C，
∴C(0,−2)，
∴OC=2，
∵点B为双曲线y=4x上的一点，
∴设点Ba,4a，如图所示，
∴点B到y轴的距离为a，
当△BOC的面积为6时，
∴S△BOC=12·OC·a，即12×2·a=6，
∴a=6，
∴点B的坐标为6,23．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，三角形的面积，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的变换是解题的关键．
24．如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点(1,3)．
(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
(2)若y≤2.5，求自变量t的取值范围．
【答案】(1)y=3t(t>0)
(2)t≥1.2
【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可．
（2）先求出y=2.5时对应的t的值，再根据反比例函数图像特征写出y≤2.5时，自变量x的相应的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为y=ktk≠0，
将(1,3)代入y=ktk≠0，得k=3，
∴该曲线所表示的函数的解析式y=3t(t>0)；
（2）把y=2.5代入y=3t得，t=32.5=1.2，
由图像得，当y≤2.5时，t≥1.2．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围．
25．小聪在学习过程中遇到了一个函数y=3x−2，小聪根据学习反比例函数y=3x的经验，对函数y=3x−2的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．
(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；
(2)该函数图像可以看成是由y=3x的图像平移得到的，其平移方式为 ；
(3)直接写出不等式3x−2>−3的解集为 ．
【答案】(1)见详解
(2)向下平移2个单位长度
(3)x<−3或x>0
【分析】（1）根据画函数图像的步骤画出图像即可；
（2）根据反比例函数的性质解答即可；
（3）根据反比例函数y=3x的图像与性质，结合画出的函数图像即可得出结论．
【详解】（1）解：画出函数图像如下：
（2）解：该函数图像可以看成是由y=3x的图像平移得到的，其平移方式为向下平移2个单位长度．
故答案为：向下平移2个单位长度；
（3）解：由图像可得，不等式3x−2>−3的解集为x<−3或x>0．
故答案为：x<−3或x>0．
【点睛】本题只要考查了反比例函数的知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
题型2：待定系数法确定函数关系式
例8.已知一次函数y=kx+1的图像经过点P−2,3．
(1)求k的值；
(2)若点Qa,5在该函数图像上，求a的值．
【答案】(1)k=−1；
(2)a=−4．
【分析】（1）把P−2,3点坐标代入y=kx+1中得到关于k的方程，然后解方程求出k；
（2）由（1）得到函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征，把Qa,5代入一次函数解析式中可求出a的值．
【详解】（1）解：把P−2,3点坐标代入y=kx+1中得，
3=−2k+1，
解得：k=−1；
（2）由（1）得一次函数解析式为，
y=−x+1，
把Qa,5代入一次函数解析式中得，
5=−a+1，
解得a=−4．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、解一元一次方程；解题的关键是依据点在图像上带入并正确求解方程．
例9.反比例函数y=kx与一次函数y=mx+b交于点A1,2k−1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
【答案】(1)y=1x
(2)y=−15x+65或y=17x+67
【分析】（1）根据反函数经过点A列出一元一次方程求出k的值；
（2）根据点A的坐标和三角形的面积得出点B的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式．
【详解】（1）解：由已知可得：k1=2k−1，k=2k−1，
解得：k=1，
∴反比例函数的解析式为：y=1x；
（2）解：点A1,1，点A到x轴的距离为1，
由已知可得：S△AOB=12×OB×1=3，
∴OB=6，
∴B(−6,0)或(6,0)，
①当一次函数过A(1,1)和(6,0)时，
得：m+b=16m+b=0，
解得：m=−15b=65，
∴一次函数的解析式为y=－15x+65；
②当一次函数过A(1,1)和B(−6,0)时，
得：m+b=1−6m+b=0，
解得：m=17b=67，
∴一次函数的解析式为y=17x+67，
综上所述，一次函数解析式为y=－15x+65或y=17x+67．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式以及反比例函数的解析式，掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键．
例10.已知抛物线y=2x2+bx+c经过A−5,m，B3,m，C−2,5三点．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在C点处，并写出平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)y=2x2+4x+5，−1,3
(2)把抛物线向左平移1个单位，向上平移2个单位平移后抛物线的顶点落在C点处；y=2(x+2)2+5
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）根据顶点坐标和C的坐标即可得出把抛物线向左平移一个单位，向上平移2个单位平移后抛物线的顶点落在C点处，进而得到平移后抛物线的表达式为y=2(x+2)2+5．
【详解】（1）解：∵抛物线y=2x2+bx+c经过A−5,m，B3,m，C−2,5三点，而A、B两点的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线x=−5+32=−1，
∴−b2×2=−1，即b=4，
把C的坐标代入y=2x2+4x+c得2×4+4×−2+c=5，
解得c=5，
∴抛物线的表达式为y=2x2+4x+5，
∵y=2x2+4x+5=2x+12+3，
∴顶点坐标为−1,3；
（2）解：∵抛物线的顶点为−1,3，C−2,5，
∴把抛物线向左平移1个单位，向上平移2个单位平移后抛物线的顶点落在C点处，
∴平移后抛物线的表达式为y=2x+22+5．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
知识点训练
1．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB:BC=3:2，点A3，0，B0，6分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点D，则k值为（ ）
A．16B．−7C．7D．14
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥x轴，由同角的余角相等可得出∠OBA=∠EAD，结合∠AOB=∠DEA=90°可得出△AOB∽△DEA，根据相似三角形的性质结合点A、B的坐标，即可得出AE、DE的长度，进而可得出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥x轴，交x轴于点E，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠EAD=90°，
∴∠OBA=∠EAD，
∵∠AOB=∠DEA=90°，
∴△AOB∽△DEA，
∴DEAO=AEBO=ADBA，
∵四边形ABCD为矩形，点A3，0，B0，6，AB:BC=3:2，
∴DE=23OA=2，AE=23BO=4，
∴OE=OA+AE=3+4=7，
∴点D坐标为7，2，
∵反比例函数y=kx的图象经过点D，
∴k=7×2=14，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出点D的坐标是解题的关键．
2．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点(0,1)的一次函数的解析式 _____．
【答案】y=−x+1（答案不唯一）
【分析】先确定一次函数y=kx+b中k，b的范围，再结合直线经过点(0,1)求出b值，然后讨论k的值得出关系式即可．
【详解】设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
∵直线y=kx+b经过点(0,1)，得b=1，
若k取−1，则一次函数解析式为y=−x+1．
故答案为：y=−x+1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，掌握一次函数图象经过的象限与函数的系数之间的关系是解题的关键．
3．反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1115的图形有一个交点B12,m，则k的值为______．
【答案】23
【分析】先把点B12,m代入一次函数y=815x+1615求出m的值，然后代入y=kx，即可求出k的值．
【详解】根据题意，
先把点B12,m代入一次函数y=815x+1615，
∴m=815×12+1615=43，
∴点B12,43，
把点B12,43代入y=kx，
∴k=12×43=23，
故答案为：23
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点B的坐标．
4．已知变量y与变量x之间的对应值如下表：
试求出变量y与x之间的函数关系式：______．
【答案】y=−6x
【分析】由表中x与y的对应值可看出y是x的反比例函数，由一般式代入一对值用待定系数法即可求解．
【详解】观察图表可知，每对x，y的对应值的积是常数−6，
∴xy=−6，即y=−6x，
∴变量y与x之间的函数关系式：y=−6x，
故答案为：y=−6x
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，对定义的正确认识是解题的关键．
5．已知：y是x的反比例函数，当x=−4时，y=3，当2【答案】−6y>−6
【分析】首先设出函数解析式，再利用待定系数法把x=−4，y=3代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的取值范围，求得y的取值范围即可．
【详解】解：设函数解析式为：y=kx，
把x=−4，y=3代入，得k=−12，
∴反比例函数的解析式为：y=−12x．
把x=2代入y=−12x中得， y=−122=−6；
把x=3代入y=−12x中得， y=−123=−4；
∵k=−12<0，
∴在每个象限内y随x增大而增大，
∴当2故答案为：−6【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，求反比例函数函数值的确定范围，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
6．已知y是x的一次函数，且当x=−2，y=6；当x=3时，y=1．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当y<1时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的表达式为y=−x+4(2)x＞3
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据y<1得到−x+4<1，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将x=−2，y=6和x=3，y=1分别代入上式得
−2k+b=63k+b=1，
解得k=−1b=4，
∴这个一次函数的表达式为y=−x+4；
（2）解：当y<1时，即−x+4<1，
解得x＞3．
∴当y<1时，求自变量x的取值范围是x＞3．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，熟知待定系数法求函数解析式的一般步骤，理解一次函数与不等式的关系是解题关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A−2，6，且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图像相交于点C，点C的横坐标为l．
(1)求一次函数y=kx+b的函数表达式；
(2)求△BOC的面积；
(3)若点D在直线y=3x上，且满足S△BCD=32S△BOC，求点D的坐标．
【答案】(1)y=−x+4；
(2)6；
(3)52，152或−12，−32．
【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；
（3）设D（x，3x），分类讨论，当D在第一象限或第三象限时，分别求出D点坐标即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数y=3x的图象经过点C，点C的横坐标为1．
∴当x=1时，y=3，
∴C（1，3），
把点C（1，3），D（−2，6）代入y=kx+b得−2k+b=6k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=−x+4；
（2）∵一次函数为y=−x+4，
当x=0时，y=4，
∴B（0，4），
∴S△BOC=12×4×3=6；
（3）∵D在直线y=3x上，
设D（x，3x），
∵S△BOC=6
∴S△BCD=32S△BOC=9；
①当点D在第一象限时，即x>0时；
∵S△BCD=S△BOD−S△BOC，
∴S△BOD=S△BCD+S△BOC=15，
∴S△BOD=12×4×3x=15，
解得：x=52，
∴点D的坐标为52，152，
②当点D在第三象限时，即x<0时；
∵S△BCD=S△BOD+S△BOC，，
∴S△BOD=S△BCD−S△BOC=3，
∴S△BOD=12×4×3x=3，
解得：x=−12，
∴点D的坐标为−12，−32，
综上所述点D的坐标为52，152或−12，−32．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数基础知识，并灵活运用分类讨论思想．
8．已知一次函数解析式为y=kx+b经过点A(0,5)，B(2,1)，求此一次函数的解析式．
【答案】y=−2x+5
【详解】解：∵一次函数y=kx+b经过点A(0,5)，B(2,1)，
∴ b=52k+b=1，
解得：k=−2b=5，
∴这个一次函数的解析式为y=−2x+5．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，难度不大，关键是要掌握待定系数法的运用．
9．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0，2．已知点C−1，3在该图象上，连接OC．
(1)求函数y=kx+b的关系式；
(2)点P为x轴上一动点，若S△ACP=2S△AOB，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−x+2
(2)143，0或−23，0
【分析】（1）把B0，2、C−1，3代入到y=kx+b中进行求解即可；
（2）设点P的坐标为m，0，求出点A2，0，进而得到AP=m−2，OA=OB=2，再求出S△ACP=4得到32m−2=4，由此求解即可．
【详解】（1）解：把B0，2、C−1，3代入到y=kx+b中得：−k+b=3b=2，
∴k=−1b=2，
∴函数y=kx+b的解析式为y=−x+2；
（2）解：设点P的坐标为m，0，
令y=0，则x=2，
∴A2，0，
∴AP=m−2，OA=OB=2，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×2×2=2，
∵S△ACP=2S△AOB，
∴S△ACP=4，
∴12AP⋅yC=4，
∴32m−2=4，
∴m=143或m=−23，
∴点P的坐标为143，0或−23，0．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
10．如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=mx的图像相较于A(2,3)，B(−3,n)两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
【答案】(1)y=x+1；y=6x
(2)5
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出BC=−2=2，BC边上的高是−3+2，代入三角形的面积公式即可．
【详解】（1）∵点A(2,3)）在y=mx的图像上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x，
∴n=6−3=−2
∵点A(2,3)在y=x+b的图像上，
∴2+b=3，
∴b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，
∴S△ABC=12×2×5=5，
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
11．一次函数的图象过点A0,2且与正比例函数y=−x的图象交于点B，B点的横坐标是−1.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)y=x+2(2)1
【分析】（1）根据点B在函数y=−x上，点B的横坐标为−1，可以求得点B的坐标；再根据A、B的坐标运用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据A、B的坐标求出OA的长度以及△AOB中OA边上的高，然后根据三角形面积即可求得．
【详解】（1）∵点B在函数y=−x上，点B的横坐标为−1，
∴y=1，
∴点B的坐标是−1,1
设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A （0，2），B （−1，1）代入，
得：b=2−k+b=1
解得：k=1b=2，
∴这个一次函数的解析式为y=x+2．
（2）∵A （0，2），B （−1，1），
∴OA=2，OA边上的高为1，
∴△AOB的面积=12×2×1=1．
【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B6，0，交y轴于点C0，6，直线AB与直线OA：y=12x相交于点A，动点M在线段OA和射线AC上运动．
(1)求直线AB的解析式．
(2)求△OAC的面积．
(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的14，若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=−x+6
(2)12
(3)1，12或1，5或−1，7
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）先求出点A的坐标，再根据S△OAC=12OC⋅xA进行求解即可；
（3）先根据已知条件结合三角形面积公式求出xM=1，然后分xM=1，xM=−1两种情况代入相应的函数解析式中即可求得M的坐标．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：b=66k+b=0，
解得：k=−1b=6，
∴直线AB的解析式是：y=−x+6；
（2）解：联立y=−x+6y=12x，解得x=4y=2，
∴点A的坐标为4，2，
∴S△OAC=12OC⋅xA=12×6×4=12；
（3）解：∵△OMC的面积是△OAC的面积的14，
∴S△OMC=12OC⋅xM=12×14=3
∴xM=1，
当xM=1时，
在y=12x中，当x=1时，y=12，则M的坐标是1，12；
在y=−x+6中，当x=1则y=5，则M的坐标是1，5．
∴M的坐标为1，12或1，5；
当xM=−1时，
在y=−x+6中，当x=−1时，y=7，则M的坐标是−1，7；
综上所述：M的坐标为M的坐标为1，12或1，5或−1，7．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出是解题关键．
13．已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,2)，(2,−3)，求这个二次函数的表达式和顶点坐标．
【答案】表达式为y=−x2−2x+5，顶点坐标为：(−1,6)
【分析】利用待定系数法求出解析式，然后化为顶点式即可确定顶点坐标．
【详解】解：将点(1,2)，(2,−3)代入y=−x2+bx+c得：
2=−1+b+c−3=−4+2b+c，
解得：b=−2c=5，
∴这个二次函数的表达式为y=−x2−2x+5，
化为顶点式为：y=−(x+1)2+6，
∴顶点坐标为：(−1,6)．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式及化为顶点式的方法，熟练掌握待定系数法是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，过点A0,4、B5,9两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)Px,y为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M，求PM的最大值？
【答案】(1)y=x−22
(2)2,0
(3)254
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2，然后把点A(0,4)、B(5,9)代入关系式进行计算即可解答；
（2）把y=0代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；
（3）先求出AB解析式，然后计算当x=1，x=2，x=4，PM的长度，然后设P(n,n+4)，M(n,n2−4n+4)，表示出PM的值，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2，
把点A(0,4)、B(5,9)代入y=a(x−ℎ)2中可得：
a(0−ℎ)2=4a(5−ℎ)2=9，
解得：ℎ=−10（舍去）或ℎ=2，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=(x−2)2；
（2）把y=0代入y=(x−2)2中可得：
(x−2)2=0，
∴x=2，
∴点C的坐标为(2,0)；
（3）设AB的解析式为：y=kx+b，
把点A(0,4)、B(5,9)代入y=kx+b中可得：
b=45k+b=9，
解得：k=1b=4，
∴AB的解析式为：y=x+4，
∵点P为线段AB上一点，点M为抛物线y=(x−2)2上一点，且1≤x≤4，PM∥y轴，
∴当x=1时，P(1,5)，M(1,5)，
∴PM=5−1=4，
当x=4时，P(4,8)，M(4,4)，
∴PM=8−4=4，
当x=2时，P(2,6)，M(2,0)，
∴PM=6−0=6，
设P(n,n+4)，M(n,n2−4n+4)，
∴PM=n+4−(n2−4n+4)
=−n2+5n
=−(n−52)2+254，
∴当n=52时，PM的最大值为：254．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．已知抛物线的顶点坐标为−1,3，且经过点0,1，求该抛物线的解析式．
【答案】y=−2x2−4x+1
【分析】已知顶点坐标，根据顶点式y=a(x−ℎ)2+k，设抛物线的解析式，把点0,1代入即可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+3，
把点0,1代入得，a(0+1)2+3=1，
∴a=−2，即y=−2(x+1)2+3=−2x2−4x+1，
∴抛物线的解析式为y=−2x2−4x+1．
【点睛】本题主要考查待定系数法解二次函数，掌握二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
16．已知抛物线y=−x2+mx+n经过点A1,0，B0,−6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求此抛物线与坐标轴的另一交点坐标和对称轴．
【答案】(1)y=−x2+7x−6
(2)6,0，直线x=72
【分析】（1）把A，B的坐标利用待定系数法代入y=−x2+mx+n中，求出m，n的值，从而求出抛物线的解析式．
（2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性可得抛物线与坐标轴的另一交点．
【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+mx+n经过点A1,0，B0,−6，
∴0=−1+m+n−6=n，解得：m=7n=−6，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+7x−6．
（2）∵抛物线y=−x2+7x−6的对称轴是直线x=−72×−1=72，点A1,0，
∴由对称性可得抛物线与坐标轴的另一交点为：72×2−1,0，即6,0．
【点睛】本题主要考查了抛物线的轴对称性和待定系数法求抛物线解析式，熟悉抛物线的轴对称性和抛物线解析式的求法是解决问题的关键．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c经过−1，0，0，−3，2，−3三点．求这条抛物线的解析式．
【答案】y=x2−2x−3
【分析】用待定系数法求解即可．
【详解】解：把点−1，0，0，−3，2，−3代入y=ax2+bx+c得：a−b+c=0c=−34a+2b+c=−3，
解得：a=1b=−2c=−3，
∴这条抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．已知二次函数的图象与x轴的交点为−5,0,2,0，且图象经过3,8，求解析式．
【答案】y=x2+3x−10
【分析】根据题意设二次函数的解析式为y=ax+5x−2，再将3,8代入，求出a的值，即可确定解析式．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为−5,0,2,0，
∴设二次函数的解析式为y=ax+5x−2，
∵图象经过3,8，
∴8=a3+53−2，
解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=x+5x−2=x2+3x−10．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，准确计算是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，设函数：y1=k1x（k1是常数，k1>0，x>0）与函数，y2=k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．若点B的坐标为−1,2．
(1)求k1，k2的值；
(2)当y1≤y2时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)k1的值为2，k2的值为2
(2)x≥1
【详解】（1）∵点B−1,2，
∴点A1,2，
把A1,2代入y1=k1x得k1=2，
把A1,2代入y2=k2x得k2=2，
∴k1的值为2，k2的值为2
（2）由图象可知：x≥1
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象，求出点的坐标，进而求出关系式．
题型3：多种函数性质的综合问题
例11. （1）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数y=−x23+4和反比例函数y=kx(k>0)的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（ ）
A．0【答案】C
【详解】解：如图，当x=3时，y=−x23+4=1，
∴3,1在y=−x23+4的图像上，
∵当x=1时，y=−13+4=113>3；
当x=2时，y=−43+4=83>2；
∴在第一象限内，在二次函数y=−x23+4的图像上和图像下方的整点有6个，
坐标为1,1、1,2、1,3、2,1、2,2，3,1．
∵1×1=1，1×2=2×1=2，且在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图像上和上方的整点有5个，
∴整点1,1不在区域内，
∴1故选C．
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=−ax+b与反比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴直线y=−ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y=cx图象分布在第二、四象限，
∴A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故选：A．
例12. 一次函数y=−x+2与反比例函数y=−3x有两个公共交点A和B．求：
(1)点A和点B的坐标；
(2)△ABO的面积；
(3)直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围．
【答案】(1)A−1,3，B3,−1；
(2)4
(3)−13
【详解】（1）解：∵一次函数y=−x+2与反比例函数y=−3x有两个公共交点A和B，
∴y=−x+2y=−3x，
解得x1=−1，y1=3或x2=3，y2=−1，
∴点A−1,3，点B3,−1；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴−k+b=33k+b=−1，
解得：k=−1b=2，
∴直线AB的解析式为y=−x+2，
令x=0，得y=2，
∴C0,2，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12×1×2+12×2×3=4；
（3）根据图象可知：当−13时，反比例函数的值大于一次函数的值．
知识点训练
1．若函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则函数y=ax−b和y=−cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，得出a<0，与y轴交点在y轴的正半轴，得出c>0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b<0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∴ a<0，
∵二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，
∴ c>0，
∵对称轴x=−b2a<0，
∴ b<0，
∵ a<0，b<0，
∴一次函数y=ax−b经过一、二、四象限，
∵ c>0，
∴反比例函数y=−cx位于二、四象限，
观察四个选项可知，只有C选项符合要求，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象得出a，b，c的正负是解题的关键．
2．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−ax与二次函数y=ax2−a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据各选项图象判断a的取值范围求解即可得到答案．
【详解】解：A.由直线可知a>0，由抛物线开口向上，a>0，抛物线与y轴的交点得出a<0，故选项不符合题意；
B.由直线可知a>0，由抛物线开口向下，a<0，故选项不符合题意；
C.由直线可知a<0，由抛物线开口向上，a>0，故选项不符合题意；
D. 由直线可知a<0，由抛物线开口向下，a<0，抛物线与y轴的交点得出a<0，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系．
3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据两个函数图象都过−ba,0点，以及a,b的符号相同，进行判断即可．
【详解】解：y=ax+b，当y=0时， ax+b=0，解得：x=−ba，
∴一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点为：−ba,0，
y=ax2+bx，当当y=0时， ax2+bx=0，解得：x=−ba或x=0，
∴抛物线过0,0,−ba,0，
∴直线和抛物线交于一点−ba,0，
当a>0时，直线上升，抛物线开口向上，当a<0时，直线下降，抛物线开口向下；
∴A,C,D不符合题意；B符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数图象综合．熟练掌握一次函数和二次函数的性质，是解题的关键．
4．已知反比例函数y=abx的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象得出ab<0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴ab<0，
A．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴c<0，b<0，a>0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故A错误；
B．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴c>0，b<0，a>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，故B错误；
C．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴c>0，b>0，a<0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，故C错误；
D．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴c>0，b>0，a<0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
5．直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据二次函数图像的特点判断a，b的值，再根据系数判断直线的位置，可得答案．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
所以A错误；
∵二次函数y=ax2+bx+2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a＞0，b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，
所以B正确；
∵二次函数y=ax2+bx+2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，
所C错误；
∵二次函数y=ax2+bx+2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
所以D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像，一次函数图像与系数的关系，准确的观察图像得出系数的大小是解题的关键．
6．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．
【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知a<0，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b>0，此时直线y=ax+b应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
B．由二次函数图象的开口方向可知a<0，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b>0，此时直线y=ax+b应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
C．由二次函数图象的开口方向可知a>0，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b<0，此时直线y=ax+b应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
D．由二次函数图象的开口方向可知a>0，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b<0，此时直线y=ax+b应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求；
故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负．
7．定义新运算：a⊕b=a+ba≤bb−a2a>b，则函数y=x⊕1的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．
【详解】解：根据新定义运算可知，y=x⊕1=x+1x≤11−x2x>1，
当x>1时，此函数解析式为y=−x2+1，函数图象在第四象限的抛物线；
当x≤1时，此函数解析式为y=x+1，图象在一、二象限．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．如图是二次函数y=ax2+bx的大致图象，则一次函数y=(a+b)x−b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、−b、a+b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，即可求解．
【详解】解：由二次函数的图象可知，a<0，对称轴在y轴的左边，则x=−b2a<0，
∴b<0，
∴a+b<0，−b>0，
∴一次函数y=(a+b)x−b的图象在第一、二、四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数图象的性质，一次函数图象的性质．
9．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y=bx(b≠0)与一次函数y=ax+c(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定a<0，b>0，由抛物线与y轴的交点位置确定c=0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且过原点，
∴b>0，c=0，
∴反比例函数y=bx(b≠0)的图象必在一、三象限，
一次函数y=ax+c(a≠0)的图象必经二、四象限，过原点，
故选项A，C，D不符合题意，B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10．如图，已知反比例函数y1=−3x与二次函数y2=ax2+bxa>0,b>0的图象交于点Pm,1，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线y=ax2+bx的对称轴位于直线x=−3和x=−2之间
B．若y10
C．当x>−3时，y1与y2均随x的增大而增大
D．关于x的方程ax2+bx+3x=0的解为x=3
【答案】B
【分析】把点P的纵坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，再根据函数图象写出抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：A．∵点Pm,1在反比例函数y1=−3x图象上，
∴1=−3m，
∴m=−3，
∴P−3,1，
把P−3,1代入y=ax2+bx得：9a−3b=1，
即b=3a−13，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−3a−132a=−32+16a，
∵a>0，
∴−32+16a>−32，
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴位于直线x=−32右侧，不可能位于直线x=−3和x=−2之间，故A错误；
B．由图象可知，当x<−3或x>0，反比例函数y1=−3x的图象在二次函数y2=ax2+bxa>0,b>0的图象下方，
∴y10，故B正确；
C．观察图象，当−30时，在每个象限内y1随x的增大而增大，当x>−3时，y2随x的增大先减小，然后增大，故C错误；
D．关于x的方程ax2+bx+3x=0可变为ax2+bx=−3x，根据图象可知，ax2+bx=−3x的解为x=−3，
即关于x的方程ax2+bx+3x=0的解为x=−3，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kx2+3的图象（ ）
A．仅经过第三、四象限B．仅经过第一、二、四象限C．经过第一、二、三、四象限D．仅经过第一、二象限
【答案】C
【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合二次函数的图象和性质即可作答．
【详解】解：由图可知，反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
∴y=kx2+3，开口向下，与y轴的交点为0,3，
∴经过一、二、三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及二次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，其对称轴为x=−1，它与x轴的一个交点的横坐标为−3，则一次函数y=ax−2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据二次函数图像开口向下可得a<0，根据二次函数图像的对称轴可知b=2a<0，然后由二次函数图像经过y轴正半轴可知c>0，利用a与b和c的关系求得一次函数和反比例函数是否有交点，再利用排除法即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下，
∴a<0，
∵二次函数y=ax2+bx+c图像对称轴为x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵次函数y=ax2+bx+c图像经过y轴正半轴，
∴c>0，
由a<0，b<0可知：直线y=ax−2b经过第一、二、四象限，由c>0可知：反比例函数y=cx图像经过第一、三象限，
∵二次函数y=ax2+bx+c图像过−3,0，
∴9a−3b+c=0，即c=−3a，
令cx=ax−2b，即ax2−2bx−c=0，
∵Δ=4b2−4a×−c=4×2a2−4a×3a=16a2−12a2=4a2>0，
∴一次函数y=ax−2b与反比例函数y=cx有交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质、反比例函数图像与性质，解题的关键是熟练掌握以上函数图像与性质．
13．已知P，Q两点关于y轴对称，点P在反比例函数y=1x的图象上，点Q在直线y=x+5上．若点P的坐标为（m，n），则下列关于二次函数y=(m+n)x2+mnx的说法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值是−120B．有最小值，且最小值是−120
C．有最大值，且最大值是120D．有最小值，且最小值是120
【答案】B
【分析】先求出点Q坐标，再将点P及点Q坐标分别代入y=1x及y=x+5两个函数中，求得关于m ，n的关系式，再代入二次函数y=(m+n)x2+mnx中，最后再化为顶式式即可解答．
【详解】解：∵P，Q两点关于y轴对称，P（m，n），
∴Q（-m，n），
∵点P在反比例函数y=1x的图象上，
∴mn=1，
∵点Q在直线y=x+5上，
∴n=-m+5，即：m+n=5，
∴二次函数y=(m+n)x2+mnx=5x2+x=5(x+110)2−120，
∵a=5＞0，
∴二次函数y=(m+n)x2+mnx有最小值，且最小值是−120，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数的点的坐标特征、二次函数的最值，解题本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+1的图像与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y2=kxk≠0的图像交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC=32.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△CDE的面积．
(3)当y1【答案】(1)y2=6x
(2)152
(3)x<−3或0【分析】（1）根据一次函数的解析式可以得出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，结合AC=32求出AE=CE=3，进而求出A点坐标，得到OE的长，进而求出点C坐标，即可求得反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数，求出交点D的坐标，再用12乘以AE乘以C、D两点的纵坐标之差即可求得△CDE的面积．
（3）结合图形，根据反比例函数的图像与性质即可正确解答．
【详解】（1）∵一次函数y1=x+1的图像与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，
∴当x=0时，y=1，
∴B(0,1)，
∴0B=1
当当y=0时，x=−1，
∴A(−1,0)，
∴OA=1，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵CE⊥x轴于点E，
∴∠AEC=90°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴AE2+CE2=AC2，且AE=CE，
∴2AE2=(32)2，
∴AE2=9，
∴AE=3，
∴OE=AE−OA=3−1=2，CE=AE=3，
∴C(2,3)，
∵点C在反比例函数y2=kxk≠0的图像上，
∴3=k2，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y2=6x
（2）y1=x+1y2=6x，
解得：x=2y=3或x=−3y=−2，
D(−3,−2)，
∴S△CDE=12×3×3−(−2)=152
（3）由（1）（2）可知D(−3,−2)，C(2,3)，
结合图形可知y1故答案为：x<−3或0【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数的解析式，解一元二次方程，求三角形的面积，解题时要注意结合坐标系中的图形作答是解题的关键．
15．如图，直线y=mx−2与x轴交于点A4，0，与反比例函数y=kxx>0的图象交于点C6，n．
(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)连接OC，在x轴上找一点M，使S△MOC=3S△AOC，请求出点M的坐标．
【答案】(1)直线解析式为y=12x−2，反比例函数解析式为y=6xx>0
(2)12，0或−12，0
【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求解即可；
（2）设点M的坐标为m，0，根据S△MOC=3S△AOC可得OM=3OA，则m=12，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：把点A4，0代入y=mx−2中得：0=4m−2，
∴m=12，
∴直线解析式为y=12x−2，
把点C6，n代入y=12x−2中得：n=12×6−2=1，
∴点C的坐标为6，1，
把点C6，1代入y=kxx>0中得：1=k6，即k=6，
∴反比例函数解析式为y=6xx>0；
（2）解：设点M的坐标为m，0，
∵A4，0，
∴OA=4，OM=m，
∵S△MOC=3S△AOC，
∴12OM⋅yC=3×12OA⋅yC，
∴OM=3OA，即m=12，
∴m=±12，
∴点M的坐标为12，0或−12，0．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．我们知道，函数y=ax−m2+na≠0，m>0，n>0的图像是由二次函数y=ax2的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数y=kx−m+nk≠0，m>0，n>0的图像是由反比例函数y=kx的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为m，n．
理解应用：
(1)函数y=kx−3+4的图像可以由函数y=6x的图像向右平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到，其对称中心坐标为___________．
拓展延伸：
(2)函数y=2x+5x+1的图像可由反比例函数y=kx的图像平移得到，求k的值；
(3)请直接写出不等式2x−m【答案】(1)3，4，3，4
(2)k=3
(3)−2+m2+m
【分析】（1）根据题目中给出的平移规律即可求解；
（2）y=2x+5x+1转化成y=3x+1+2，根据题目中给出的平移规律即可求解；
（3）先求得反比例函数y=2x的图像与直线y=x的交点坐标，求得不等式2x2，再根据题目中给出的平移规律即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
函数y=kx−3+4的图像可以由函数y=6x的图像向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，其对称中心坐标为3，4．
故答案为：3，4，3，4；
（2）解：∵y=2x+5x+1=2x+2+3x+1=3x+1+2，
∴函数y=2x+5x+1的图像可由反比例函数y=3x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
∴k=3；
（3）解：解方程2x=x得x=±2，
∴反比例函数y=2x的图像与直线y=x的交点坐标为2，2和−2，−2，
∴不等式2x2；
∵函数y=2x−m的图像可由反比例函数y=2x向右平移m个单位得到，
函数y=x−m的图像可由反比例函数y=x向右平移m个单位得到，
∴不等式2x−m2+m．
【点睛】此题主要考查了图象的平移，反比例函数与一次函数的交点问题，注意熟悉反比例函数的图像和性质是解决问题的关键．
17．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常数）上．
(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在反比例函数y＝﹣8x（x＜0）的图象上，且y1＝y2，求x1＋x2的值；
(3)若当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，求a的取值范围．
【答案】(1)a＜0
(2)x1+x2＝﹣4
(3)a≤0或a＝1
【分析】（1）先将抛物线解析式化成顶点式，求出抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2），再根据第二象限内点的坐标特征得出不等式组a<0−a+2>0，求解即可；
（2）将抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2）代入反比例函数解析式即可求得a=-2，从而得出抛物线顶点坐标（﹣2，4），再利用抛物线的对称性和中点坐标公式求解即可；
（3）根据当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，得出不等式组a<1−1+2a−a2−a+2≤1或方程组a=1−a+2=−1+2−a2−a+2，求解即可．
（1）
解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2＝﹣（x﹣a）2﹣a+2，
∴抛物线y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2的顶点为（a，﹣a+2），
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴a<0−a+2>0，
解得a＜0；
（2）
解：∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标为(a,-a+2)，
又∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标在反比例函数y=﹣8x（x＜0）的图象上，
∴a（﹣a+2）＝﹣8，
解得a＝4或a＝﹣2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴顶点为（﹣2，4），
∵y1＝y2，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝﹣2对称，
∴x1+x22＝﹣2，
∴x1+x2＝﹣4；
（3）
解：∵当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴a<1−1+2a−a2−a+2≤1或a=1−a+2=−1+2−a2−a+2，
解得a≤0或a＝1，
故a的取值范围为a≤0或a＝1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
题型4：反比例函数的比例系数
例13.（1）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y=kx和y=3x的图象交于A、B两点，若S△AOB=2，则k的值为______．
【答案】−1
【分析】由直线l∥x轴，得到AM⊥y轴，BM⊥y轴，于是得到S△AOM=12k，S△BOM=12×3=32，再根据S△AOB=S△AOM+S△BOM即可求得k的值．
【详解】解：∵直线l∥x轴，
∴ AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴ S△AOM=12k，S△BOM=12×3=32，
∵ S△AOB=S△AOM+S△BOM，S△AOB=2，
∴12k+32=2，
解得：k=±1，
∵k<0，
∴k=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kxk≠0系数k的几何意义：从反比例函数y=kxk≠0图象上任意一点向x轴或y轴作垂线，与原点形成的三角形的面积等于12k．
（2）如图，已知点A是一次函数y=13x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为12，则△ABC的面积是______．
【答案】8
【分析】过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，设AB=2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE=AE=CE=a，设A(x,13x)，则B(x,13x+2a)，C(x+a,13x+a)，因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=AE=CE，
设AB=2a，则BE=AE=CE=a，
设A(x,13x)，则B(x,13x+2a)，C(x+a,13x+a)，
∵B，C在反比例函数的图象上，
∴x(13x+2a)=(x+a)(13x+a)，
解得x=32a，
∵S△OAB=12AB⋅DE=12⋅2a⋅x=12，
∴ax=12，
∴32a2=12，
∴a2=8，
∵S△ABC=12AB⋅CE=12⋅2a⋅a=a2=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
知识点训练
1．如图，若点A是反比例函数y=2xx>0的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】设点A的坐标为a,2a，将AB长和点C到AB的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为a,2a，
∵AB⊥x轴，
∴AB=2a，
∵点C在y轴上，
∴点C到AB的距离为a，
∴S△ABC=12⋅a⋅2a=1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质．
2．如图所示，A，B是函数y=2x的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（ ）
A．S=2B．S=22C．12
【答案】B
【分析】设出点A的坐标，可得点B的坐标．易得△ABC为直角三角形，面积等于12×AC×BC，把相关数值代入求值即可．
【详解】解：设点A的坐标为x,y，点A在反比例函数解析式上，
∴点B的坐标为−x,−y，k=xy=2，
∵AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴△ABC的直角三角形，
∴AC=2y，BC=2x，
∴S=12×2y×2x=2xy=22，
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，点A在函数y=−5x上，点B、D在函数y=8x上，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．13B．18C．21D．26
【答案】C
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，DH⊥x轴于H，由平行四边形的性质可得S平行四边形ABCD=AB·AE+DH=AG·AE+OF·BF+CD·DH，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，DH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴S平行四边形ABCD=AB·AE+DH
=AB·AE+AB·DH
=AG+BG·AE+CD·DH
=AG·AE+OF·BF+CD·DH
=5+8+8
=21．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
4．已知点A、B分别在反比例函数y=2xx>0，y=−8xx>0的图像上，且OA⊥OB，则OAOB的值为（ ）
A．2B．12C．3D．3
【答案】B
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，如图所示，根据“一线三垂直”模型，可知△ACO∽△ODB，根据相似三角形性质得到ACOD=COBD=OAOB，再根据点A、B分别在反比例函数y=2xx>0，y=−8xx>0的图像上，得到S△ACO=1,S△OBD=4，从而得到OAOB2=S△ACOS△OBD=14，即可得到答案．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，如图所示：
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵ OA⊥OB，
∴∠AOC+∠CAO=90°,∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴ △ACO∽△ODB，
∴ ACOD=COBD=OAOB，
∵点A、B分别在反比例函数y=2xx>0，y=−8xx>0的图像上，得到S△ACO=1,S△OBD=4，
∴OAOB2=S△ACOS△OBD=14，
∴ OAOB=12，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，“一线三垂直”证相似是解决问题的关键．
5．如图，已知点A，B分别在反比例函数y=4xx>0，y=kxx>0的图象上，且OA⊥OB，OAOB=33，则k的值为（ ）
A．63B．−63C．12D．−12
【答案】D
【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，则△AOM∽△OBN，根据相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数k的几何意义可求解问题．
【详解】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，如图所示：
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵OAOB=33，
∴S△AOMS△OBN=OAOB2=13，
∵点A在反比例函数y=4xx>0上，
∴由反比例函数k的几何意义可知S△AOM=12×4=2，
∴S△OBN=3S△AOM=6，
∴k=2S△OBN=12，
∵反比例函数y=kxx>0在第四象限，
∴k=−12，
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
6．若下列反比例函数的解析式均为y=6x，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】A．阴影面积=−x·−y=xy=6
B．阴影面积=−x·−y·12+x·y·12=xy=6
C．阴影面积=12xy=12×6=3
D．阴影面积=2×12xy=2×12×6=6
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴，y轴垂线，所得矩形面积为k．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是5,0，函数y=kxx>0的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB⋅AC=40，则k的值为______．
【答案】−12
【分析】过点C作CD⊥OA，根据点A的坐标，求出菱形的边长，根据OB⋅AC=40，求出菱形的面积，进而求出CD的长，再利用勾股定理求出OD的长，进而求出C点坐标，利用横纵坐标之积，即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CD⊥OA，
∵点A的坐标是5,0，四边形OABC为菱形，
∴OC=OA=5，
∵OB⋅AC=40，
∴OA⋅CD=12OB⋅AC=20，
∴CD=4，
∴OD=OC2−DC2=3，
∴C3,−4，
∴k=3×−4=−12；
故答案为：−12．
【点睛】本题考查根据图形面积求k值．熟练掌握菱形的性质，求出C点坐标，是解决本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2xx＞0的图象和矩形OABC的边AB交于点E，且AE:EB=1:2，则矩形OABC的面积为 _____．
【答案】6
【分析】设E点的坐标是a,b，根据题意得到ab=2,AE=a,BE=2a，进而得到OA=b,AB=3a，即可求出矩形OABC的面积是OA·AB=3ab=6．
【详解】∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，
设E点的坐标是a,b，
∵双曲线y=2xx＞0与矩形OABC的AB交于点E，且AE:EB=1:2，
∴ab=2,AE=a,BE=2a，
∴OA=b,AB=3a，
∴矩形OABC的面积是OA·AB=b·3a=3ab=3×2=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，整体代入法，熟知反比例函数图象上的点的坐标之积为比例系数k是解题关键．
9．如图，若点A在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为8，k=______．
【答案】−16
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12k．
【详解】解：因为△AMO的面积为8，
所以k=2×8=16．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k=−16．
故答案为：−16．
【点睛】主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10．反比例函数y=kx与正比例函数y=mx交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．连接BC，若△ABC的面积为3，则k的值为___________．
【答案】3
【分析】结合题意可知A、B两点关于原点对称，所以O是AB中点，S△ABC=2S△AOC求出S△AOC，根据题意S△AOC=12k，求解即可．
【详解】反比例函数y=kx与正比例函数y=mx交于A、B两点，
所以A、B两点关于原点对称，
所以O是AB中点，
∴S△ABC=2S△AOC=3
∴S△AOC=32
过点A作AC⊥x轴于点C
∴S△AOC=12k=32
解得：k=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了根据图形面积求反比例函数的比例系数,会运用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，以及图形面积和比例系数的关系是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y=kxx>0的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为25，则k的值为______．
【答案】4
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为25，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y=kxx>0的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴Ak4，4，Bk2，2，
∴AE=2，BE=12k−14k=14k，
∵菱形ABCD的面积为25，
∴BC×AE=25，即BC=5，
∴AB=BC=5，
在Rt△AEB中，BE=AB2−AE2=1，
∴14k=1，
∴k=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
12．如图，点P1、P2、P3、P4在反比例函数y=2x（x>0）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=______．
【答案】32
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征确定P11，2、P44，12，再利用平移把阴影部分转化为一个矩形的面积，然后利用两矩形的面积差求解．
【详解】解：根据题意得：
当x=1时，y=21=2，则P11，2，
当x=4时，y=24=12，则P44，12，
∴S1+S2+S3=1×2−12×1=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这个一点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值k，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
x
…
−3
0
1
3
5
…
y
…
6
−7
−8
−5
6
…
x
…
…
y
…
…
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
5
…
x
⋯
−4
−2
−1
⋯
1
2
4
⋯
y
⋯
−1
−2
−4
⋯
4
2
1
⋯
x
…
−1
−2
−3
−4
−5
−6
…
y
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…