中考数学一轮复习专题6.2与圆有关的位置关系重难点题型讲练(5大题型，必刷149题)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题6.2与圆有关的位置关系重难点题型讲练(5大题型，必刷149题)(讲练)(原卷版+解析)，共203页。

类型1-判断点圆的位置关系
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
类型2-利用点与圆的位置求半径
（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是______.
综合训练
1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知的半径为，如果点P到圆O的距离为，那么点P与的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．不能确定
2．（2022·陕西西安·一模）如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．不能确定
3．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外B．点A在上C．点A在内D．不能确定
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3B．4或6C．2或3D．6
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆，当点在上时，的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）在一平面内，若的半径为2，点P在外，则的长度可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
10．（2021春·九年级课时练习）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（ ）
A．2B．3C．4D．1
12．（2023·安徽安庆·统考一模）在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在________（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
13．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
题型2：直线与圆的位置关系
类型-1 直线与圆的位置关系判断
（2023·江西吉安·校考模拟预测）设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
类型-2 由直线与圆的位置关系确定半径
（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）
A．6B．10C．15D．16
类型3- 与图形平移有关的计算
（2021·江苏泰州·校考一模）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为_____．
综合训练
1．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）已知的半径为5，直线l为所在平面内的一条直线，若点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ）
A．直线l与相交B．直线l与相切
C．直线l与相离D．不能确定
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
4．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为，则这条直线可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
7．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
8．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴、y轴都有两个公共点
B．与x轴、y轴都没有公共点
C．与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2021秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1或3C．3或5D．1
12．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·九年级课时练习）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
15．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
16．（2022秋·湖北鄂州·九年级校联考期末）中，，，，以为圆心所作的圆与边仅一个交点，则半径为______．
17．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为________；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为________．
18．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是______．
19．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是______.
20．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____．
21．（2022秋·九年级单元测试）已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是_____，若⊙P与相离，则r满足的条件是_____．
22．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为_______．
23．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．
24．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒．
25．（2021春·九年级课时练习）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后⊙与直线相切.
26．（2022秋·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切．
27．（2022春·九年级课时练习）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切．
28．（2018秋·江苏·九年级校考期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是_______．
29．（2022春·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
30．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：直线经过点.
（1）求的值；
（2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围.
题型3：切线的性质与判定
类型1-切线的性质
（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
类型2-切线长定理
（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A．B．C．D．
类型3-切线的判定
例1：（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
例2：（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如图，点P是外一点，与相切于A点，B，C是上的另外两点，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，，求的长．
综合训练
1．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
2．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山东·统考一模）．如图，在中，，以点为圆心，2为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，P为外一点，分别切于点A、B，是的直径，若，，则的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
5．（2023·河北邯郸·统考一模）如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．是等边三角形
7．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）如图所示，P为外一点，、分别切于A、B两点，连接、，与交于点D，连接，若，则为（ ）度．
A．28B．30C．31D．34
8．（2022秋·广东汕尾·九年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（ ）
A．6B．8C．4D．3
10．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在四边形中，，以为直径作．与相切于点E，若，则的半径长为（ ）
A．B．C．8D．2
11．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知，，则的半径为 _____．
12．（2023·广西柳州·统考一模）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是______.
13．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，是的直径，，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
14．（2023·北京海淀·人大附中校考一模）如图，是的外接圆，是的直径，交于点E，直线与相切于点A，与的延长线交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，，求AF的长．
15．（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
(1)若，求点C与点O之间距离的最小值；
(2)当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
16．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，在中，，，．O为边上一点，以O为圆心，为半径作半圆，分别于与边交于点D、E，连接．
(1)______°；
(2)当时，求的长；
(3)过点E作半圆O的切线，当切线与边相交时，设交点为F．求证：．
17．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
(1)尺规作图：求作，使得与直线相切；（保留作图痕迹）
(2)求（1）中的半径．
18．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，是延长线上一点，与相切于，过点作，垂足为．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，的半径为3，求的长．
19．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）如图，是的直径，弦与交于点E，过点A作的切线与的延长线交于点F，如果，，D为的中点．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆交于点、，为延长线上一点，连接交于点，且．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
21．（2023·陕西西安·校考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，点是上一点，连接并延长交过点的切线于点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，，的直径为，求的长．
22．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在圆上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
23．（2023·安徽亳州·校考模拟预测）如图，是的弦，半径，垂足为，点在的延长线上，与相切于点，连接，交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
24．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）已知：如图，是的切线，A为切点．
(1)过点P作的另一条切线，且B为切点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的情况下，连接，的半径为2，，求的长．
25．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考期中）如图，是的直径，直线与相切于点A，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
26．（2023秋·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求⊙O的半径．
27．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，连接、，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
28．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一三四中学校考开学考试）如图，是的直径，E为上的一点，的平分线交于点C，过点C的直线交的延长线于点P，交的延长线于点D．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，则________．
29．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
30．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
31．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，内接于，，过点A作平行线，连接并延长，交于点D，连接、．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
32．（2023·广东深圳·统考一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
33．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．
34．（2023春·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形的边长为10，对角线交于点P，以边为直径画交于点F．
(1)过点P作，垂足为E，求证：是的切线；
(2)若，求弦的长．
35．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，中，，点D为斜边的中点，以为直径作，分别与，边交于点E，F，连接，过点F作，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为，若，求的长．
36．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，内接于，，的延长线交于点．是外一点，连接，，于点．已知，，．
(1)求证：是的切线．
(2)求的长．
37．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，，，点为边上一点，且，以为直径作交的中点于，过点作于点．
(1)求证：为的切线．
(2)求的长．
38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
题型4：三角形的外接圆
类型1-三角形外心的确定与坐标
例1：（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△AED的外心B．△AEB的外心C．△ACD的外心D．△BCD的外心
例2：（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，2）
例3：（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，，O为中点，点C在线段上（不与点O，B重合）．将绕点O逆时针旋转270°后得到扇形，，分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在异侧，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长（结果保留π）；
(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围（直接写出答案）．
类型2-计算外接圆半径
（2022·河南焦作·统考一模）一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．B．5C．D．8
综合训练
1．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）直角三角形的外心在（ ）
A．直角顶点B．直角三角形内C．直角三角形外D．斜边中点
2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）若点P是直线上一动点，，则外接圆面积的最小值为( )
A．B．C．D．
4．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A．B．C．D．
5．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 _____．
6．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）设为的外心，若，则的度数为______．
7．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点____________，弧的长是____________．
8．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标为___________，外接圆⊙P的半径是___________．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P(a，b)为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为___________．
9．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是__________（填字母序号）
A． △ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
10．（2023秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________．
11．（2022春·九年级课时练习）如图，线段，C为线段上的一个动点，以为边作等边和等边连接，外接于，则半径的最小值为______．
12．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，四个格点．
(1)直接写出的度数为：____________；在平面内仅用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆；
(2)请仅用无刻度直尺作出（1）中弧的中点E和的高；
(3)请仅用无刻度直尺在上找一点，使．
13．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．设．
(1)求证：；
(2)求长度的最小值；
(3)用含α的代数式表示；
(4)若的外心在该三角形的内部时，，直接写出m，n的值．
14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上．
(1)请找出的外接圆的圆心O，并标明圆心O的位置；
(2)请以圆心O为位似中心，在点O的下方画出边放大2倍后的线段．
15．（2022秋·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)在图中作出的外接圆；
(2)（1）中所作圆的圆心坐标为___________，位于圆上在第一象限内的横纵坐标均为整数的点有___________个；
(3)在轴的正半轴上有一点，且，则点的横坐标的取值范围是___________．
16．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上．D在边AB格点上．
(1)请找出的外心O；
(2)请用无刻度直尺在边上找出所有使得与相似的点E．
17．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形为圆内接四边形，对角线、交于点E，延长、交于点F，且，．
求证：
(1)；
(2)A为的外心（即外接圆的圆心）．
18．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中．
(1)外接圆的圆心坐标是 ；
(2)外接圆的半径是 ；
(3)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
(4)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为．
19．（2022春·九年级课时练习）如图，在中，．
(1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长．
20．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到△，请在图中画出△；
(2)在（1）的条件下，求边扫过的面积；
(3)直接写出外接圆的圆心坐标： ．
21．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)若的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为________；
(2)的外接圆与x轴的另一个交点坐标是________；
(3)的外接圆的弧的长是________．
22．（2022秋·浙江嘉兴·九年级桐乡市第七中学校考期中）如图，已知正．
(1)请用直尺与圆规作正的外接圆，并保留作图痕迹；
(2)若点P是正的外接圆上的一点（不与点B，C重合），求的度数．
23．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，已知给定等边及边上点D．
(1)作经过点B，C，D的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
(2)若，求的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
24．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接，
(1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）．
(2)若，为直角三角形时，求的值．
(3)点在的内部，直接写出的取值范围．
(4)求半径的最小值．
25．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在同一平面直角坐标系中有5个点．
(1)若为的外接圆，请写出圆心P的坐标，并说明点D与的位置关系．
(2)连接，，则_________．
26．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
题型5：三角形的内切圆
类型1-三角形内心的确定
（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）小雨同学要找到到三角形的内心，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A．B．
C．D．
类型2-计算内切圆半径
（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
类型3-三角形内心的性质
例1：（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2：（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．
类型4-三角形内心与外心的综合
56．（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）如图，在中，，与的角平分线相交于点，的延长线交的外接圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)证明：点、、在以点为圆心的同一个圆上；
(3)若，，求内心与外心之间的距离．
综合训练
1．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）根据尺规作图的痕迹，可成功确定三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如图所示，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是( )
A．只有甲正确B．只有丙错误
C．乙、丙都正确D．甲、乙、丙都正确
5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
6．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6B．5.5C．5D．4
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，I为的内心，过点I作，分别交于D、E，则的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．24
8．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：
甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；
乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；
丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为；
丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为；
则下列判断正确的是（ ）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
9．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在中，点I为三角形的内心，若为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·河北衡水·九年级衡水桃城中学校考期末）如图，中，，，，I为的内心，，，则的周长为（ ）
A．6B．5C．4.8D．4
12．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）如图所示，点为三个内角平分线的交点，度，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三位同学有如下判断：
甲：度；
乙：四边形的面积是不变的；
丙：当时，周长取得最小值．
其中正确的是（ ）
A．只有丙正确B．只有甲、乙正确C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
13．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
14．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为______．
15．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，中，是边E上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为_____________．
16．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，在中，已知，，，是的内切圆，点E、F、D分别为切点，则的长为______．
17．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则__________．
18．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）如图，是的内切圆，，则的大小是____________．
20．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，点I为的内心，点O为的外心，若，则______．
21．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）如图，在中，，，，于D，E为边上的点；再作，使得，，解答：
(1)当时，证明：；
(2)求线段的最小值；
(3)若的内心在的外部，直接写出的范围．
22．（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图所示，在中，，，请你利用自己所学知识解决下列问题：
(1)请你利用尺规作出的外接圆，圆心记作O（不写作图步骤，保留作图痕迹）
(2)的外接圆半径与内切圆半径的差为__________．（不必作出内切圆，直接写出答案）
23．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
24．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，点，点，以坐标原点O为圆心，为半径作，点．请用无刻度直尺完成下列画图：
(1)画的平分线交于点；
(2)将弦绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段；
(3)画的内心，并直接写出内切圆半径的长．
25．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期末）已知如图，点为扇形弧上一动点，，，过点作，，的内心为，设，若点运动时，使得，则点的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
6.2与圆有关的位置关系重难点题型讲练
题型1：点和圆的位置关系
类型1-判断点圆的位置关系
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】A
【分析】先根据两圆外切求出圆A的半径，连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵，圆B半径为1，圆A与圆B外切，
∴圆A的半径为，
∵，
∴点D在圆内，
连接，
∵，
∴，
∴点C在圆外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
类型2-利用点与圆的位置求半径
（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是______.
【答案】
【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于．
【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，
只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外．
因为点B在圆内，所以cm．
当点A在圆上时，cm．
当点A在圆外时，cm．
因此：．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径．
综合训练
1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知的半径为，如果点P到圆O的距离为，那么点P与的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．不能确定
【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较，确定点与圆的位置关系．
【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离是，大于圆的半径，
∴点P在圆外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握此知识点是解题的关键．
2．（2022·陕西西安·一模）如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．不能确定
【答案】A
【分析】已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外，根据以上内容判断即可．
【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，
∴点在内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
则，，
点A恰在外，点B在内，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
4．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外B．点A在上C．点A在内D．不能确定
【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，，
故：，
∴点A在外，
故选：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3B．4或6C．2或3D．6
【答案】C
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径,
半径
②当点在圆外时，如图2，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径,
半径
故选：C
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】解：∵点P到圆O的距离为6，点P在圆O外，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的位置关系，点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
7．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆，当点在上时，的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先利用勾股定理可得,再根据“点在上”可得即是圆的半径．
【详解】解：在中,,,,
,
点在上,
,
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系,熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
8．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）在一平面内，若的半径为2，点P在外，则的长度可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径进行判断．
【详解】解：∵的半径为2，点P在外，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
9．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】C
【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．
【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键．
10．（2021春·九年级课时练习）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；
【详解】∵B在外，
∴AB＞2，
∴＞2，
∴b＞或b＜，
∴b可能是-1.
故选A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（ ）
A．2B．3C．4D．1
【答案】AD
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵点A是外一点，且
∴的半径小于3，
观察四个选项，选项A、D符合题意，
故选：AD．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
12．（2023·安徽安庆·统考一模）在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在________（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
【答案】圆上
【分析】先根据两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与的位置关系．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴，
∵半径为5，
∴点P在上．
故答案为：圆上．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，当点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内．
13．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
【答案】到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域
【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
由，
知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
题型2：直线与圆的位置关系
类型-1 直线与圆的位置关系判断
（2023·江西吉安·校考模拟预测）设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据直线与圆位置关系可知，若直线与圆相离，圆心与直线上的点不可能等于半径；反之，当直线与圆相交或相切时，直线上总有点到圆心的距离等于半径，从而得到答案．
【详解】解：由题意可知，当的半径为，点在直线上，且，则直线与的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系的综合运用，熟记直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系是解决问题的关键．
类型-2 由直线与圆的位置关系确定半径
（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）
A．6B．10C．15D．16
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，
∴，
∵BO＝2OA，
∴OA＝10，OB＝20，
过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，
∴，，
∴，，
∴OE＝16，OD＝6，
当⊙O过点C时，连接OC，根据勾股定理得，
如图，∵以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，
∴r＝6或10或16或，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
类型3- 与图形平移有关的计算
（2021·江苏泰州·校考一模）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为_____．
【答案】(﹣3，﹣1)或(﹣3，1)
【分析】利用图像法解决问题即可．
【详解】解：如图，观察图像可知，当A（﹣3，﹣1）或A′（﹣3，1）时⊙A上只有3个点到x轴的距离为2．
故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，1）．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图像法解决问题，属于中考常考题型．
综合训练
1．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）已知的半径为5，直线l为所在平面内的一条直线，若点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ）
A．直线l与相交B．直线l与相切
C．直线l与相离D．不能确定
【答案】A
【分析】判断圆的半径与圆心到直线的距离大小，即可判断直线与圆的关系．
【详解】解：的半径为5，点O到直线l的距离为3，
，
与直线相交．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟知相关概念是解题的关键．
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先判断图中的特殊直角三角形，画出与该直线相切时的位置，再在圆和直线相交过程中找到所有整数点即可．
【详解】在上，
令；令
Rt中
如图所示，当在P点和点时和直线相切，切点分别为M，N
当与该直线相交时，
横坐标为整数的点即线段之间的三个点．
故选：B
【点睛】此题考查圆与切线的关系，结合平面直角坐标系求点的坐标，解题关键是画出两种可能性，看图选整数点即可．
3．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
【答案】C
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，，
∵的半径是一元二次方程 的一个根，
∴或
∵ ，
∴ ，
∴直线l与的位置关系是相离，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的解一元二次方程以及直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定直线与圆的位置关系是解题的关键．
4．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
【答案】B
【分析】作于点D，求出的长，与圆的半径比较，作出判断．
【详解】如图，作于点D．
∵，,
∴,
即等于圆的半径．
∵，
∴与相切．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、含度角的直角三角形，求出边上的高的长度是解题的关键．
5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为，则这条直线可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，从而可得答案．
【详解】解：∵圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为，
而，
∴，
∴直线与圆相离，
∴这条直线与圆没有公共点，
∴这条直线可以是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
6．（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】A
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
7．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
【答案】A
【分析】过点C作于D，先根据直角三角形的性质求出CD，再根据直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】解：过点C作于D，如图，
∵，BC=4cm，
∴cm，
∵，
∴以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相交；
故选：A.
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质和直线与圆的位置关系，属于基础题目，熟练掌握直线与圆位置关系的判定是关键.
8．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴、y轴都有两个公共点
B．与x轴、y轴都没有公共点
C．与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【答案】D
【分析】如图，由，轴于A，轴于B，可得与y轴相切，与x轴相交，从而可得答案．
【详解】解：如图，∵，轴于A，轴于B，
∴，，
∵的半径为2，
∴与y轴相切，与x轴相交，
∴与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点，
故选D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解本题的关键．
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：设圆心到直线的距离为d，
和直线相交，
，
，
只有选项D符合条件，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离．
10．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据点到直线距离垂线段最短及圆与直线相交圆心到直线距离要小于半径即可得到答案．
【详解】解：根据点到直线距离垂线段最短及圆与直线相交圆心到直线距离要小于半径可得，
，
故选D．
【点睛】本题考查圆与直线相交的条件及点到直线距离垂线段最短，解题的关键是熟练掌握两个知识点．
11．（2021秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1或3C．3或5D．1
【答案】A
【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可．
【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．
12．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
13．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，
∴，
即直线在原有位置向下移动后与圆相切．
故选：B．
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
14．（2022春·九年级课时练习）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、；根据一次函数的性质，求得，；根据特殊角度三角函数的性质，得，结合平移的性质，推导得；同理，推导得；根据直线与圆位置关系的性质，得符合题意要求的点P坐标，即可得到答案．
【详解】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、，如下图：
∴，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点和之间
直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴，即
∵
∴
∴，即
∴符合题意要求的点P坐标为：，，，，，，
∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7
故选：C．
【点睛】本题考查了平移、一次函数、圆、三角函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握平移、直线与圆位置关系、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．
15．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．
16．（2022秋·湖北鄂州·九年级校联考期末）中，，，，以为圆心所作的圆与边仅一个交点，则半径为______．
【答案】或
【分析】要使圆与斜边有1个交点，则应满足直线和圆相切即圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高；或圆与直线相交，此时半径要大于且半径不大于．
【详解】当直线和圆相切时，圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高，
过点C作于点D，
∵，，，
∴，
∴；
当圆与直线相交，此时半径要大于且半径不大于，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确理解相切，相交的基本条件是解题的关键．
17．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为________；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为________．
【答案】 或
【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断．
【详解】解：如图，作于．
在中，∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离，
∴的取值范围为，
∵与边只有一个公共点，
∴的取值范围为或，
故答案为：，或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：过M作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，与线段有交点，
∴r的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．
19．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是______.
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，，作交于点D，以O为圆心作圆，结合图形可知： 的时候，交点为4个．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
作交于点D，以O为圆心作圆，如图：
∵，，
∴，
∴，即解得：，
结合图形可知：当半径等于3的时候，交点为3个，当半径等于5的时候，交点为A、E、F3个，当的时候，交点为4个，
∴半径r取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分析求解．
20．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键．
21．（2022秋·九年级单元测试）已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是_____，若⊙P与相离，则r满足的条件是_____．
【答案】 相离
【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可．
【详解】解：过点P作，垂足为D，则，
∵，cm，
∴．
当cm时，，
∴⊙P与相离，
即⊙P与位置关系是相离．
当⊙P与相离时，，
∴r需满足的条件是：．
故答案为：相离；．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键．
22．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为_______．
【答案】或##或
【分析】根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的的半径r的取值范围的临界值并求解即可；
【详解】解：在中，为边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴边的高，
∵与中线有且只有一个公共点，
∴的半径的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键．
23．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．
【答案】3或4##4或3
【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可．
【详解】∵直线AB⊥l，
∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，
此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s；
当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，
此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s．
故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键．
24．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒．
【答案】
【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解．
【详解】解：第一次相切如图①，
∵，，
∴，
即第一次相切圆心运动的距离为．
第二次相切如图②，
，，
第三次相切如图③，
∵，，
∴，
第三次相切圆心运动的距离为，
∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差．
25．（2021春·九年级课时练习）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后⊙与直线相切.
【答案】3或5
【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．
【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，
∴PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==3（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF=1cm，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==5（秒）．
故答案为3或5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.
26．（2022秋·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切．
【答案】或
【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间．
【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接．
∵与直线相切，
∴，
∵在中，，，
∴，
则，
∵以的速度沿由A向B的方向移动，
∴移动时与直线相切．
当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．
27．（2022春·九年级课时练习）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切．
【答案】4
【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解．
【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ ，
若l与⊙O相切，
则点 到直线l的距离等于OC=10cm，
∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于
即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
28．（2018秋·江苏·九年级校考期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是_______．
【答案】4≤d≤
【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围．
【详解】解：如图，
当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，
当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，
由正方形的性质可知：
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
所以
故答案为
【点睛】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键．
29．（2022春·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
【答案】1或5．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
30．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：直线经过点.
（1）求的值；
（2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】（1）因为直线经过点，
所以，
即，
故答案为
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示），
当时，；当时，.
所以，，即，.
在中，.
过点作于，
因为，
所以，
因为，解得.
依题意得：，
解得，
即的取值范围为.
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
题型3：切线的性质与判定
类型1-切线的性质
（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质可得，再利用余角的定义及圆周角定理可得的度数．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴和是同弧所对的圆心角、圆周角，
∴，
故选．
【点睛】本题切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键．
类型2-切线长定理
（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题．
【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P，
∵四边形是正方形，
∴，
∴分别是半圆的切线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴娱乐区的最大面积=梯形的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．
类型3-切线的判定
例1：（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）过点作于点，由切线的性质得到，再由角平分线的性质得到，由此即可证明是的切线；
（2）先由勾股定理求出，由切线长定理得到，则，设半径为，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点作于点，
∵为的切线，
∴，
又∵平分，，
∴．
∵是的半径，
∴是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
由切线长定理可得，
∴，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
例2：（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如图，点P是外一点，与相切于A点，B，C是上的另外两点，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)15
【分析】（1）连接，由圆周角定理和已知条件，得出，求出，即可得出结论；
（2）延长并延长交于D，连接，过P作于Q，由垂径定理得出，由勾股定理得出，在中，设，由勾股定理得出方程，解方程即可
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∵切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）延长并延长交于D，连接，过P作于Q，如图2所示：
∵，
∴，
∴，四边形是矩形，
，
∴，
∵是的切线，
∴，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
解得：，
即的长为15．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和垂径定理，作出辅助线是解题的关键．
综合训练
1．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】A
【分析】先由切线的性质得到，再由三角形内角和定理和对顶角相等得到，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出即可得到答案．
【详解】解：∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵分别切于C，B，
∴直径，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH的长．
3．（2023·山东·统考一模）．如图，在中，，以点为圆心，2为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由切线的性质得出，，利用解直角三角形求出，由圆周角定理求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数，继而求出的度数．
【详解】如图，连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，P为外一点，分别切于点A、B，是的直径，若，，则的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据切线的性质和切线长定理得到，进而证明是等边三角形，得到，由此利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵分别切于点A、B，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．（2023·河北邯郸·统考一模）如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由切线长定理可得，进而有，因此要得到的度数只需得到或的度数；由切线的性质可得，已知，根据即可得到的度数；接下来，在中根据三角形的内角和定理即可完成解答．
【详解】解：切于点，是半径，
，
．
，
．
、分别切于点、，
，
．
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
6．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．是等边三角形
【答案】D
【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即可判断．
【详解】解：由切线长定理可得：，，
∴，，
∴，
故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形，
故选D．
【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理的前提条件．
7．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）如图所示，P为外一点，、分别切于A、B两点，连接、，与交于点D，连接，若，则为（ ）度．
A．28B．30C．31D．34
【答案】C
【分析】连接，可求，再用圆周角和圆心角的关系可求．
【详解】解：连接，如图，
∵、分别切于、两点，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题运用了切线的性质、切线长定理和圆周角与圆心角的关系定理，运用了转化的数学思想．
8．（2022秋·广东汕尾·九年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】由切线长定理可求得，，，则可求得答案．
【详解】
解：、分别切于点、，切于点，
，，，
，
即的周长为12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查切线长定理，利用切线长定理求得、和是解题的关键．
9．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（ ）
A．6B．8C．4D．3
【答案】D
【分析】由切线长定理得．从而得到，再由的周长为22，可得到，从而得到．再由，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵与三边分别切于E，F，D三点，
∴，
∵，
∴．
∵的周长为22，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，等边三角形判定和性质，熟练掌握切线长定理，等边三角形判定和性质是解题的关键．
10．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在四边形中，，以为直径作．与相切于点E，若，则的半径长为（ ）
A．B．C．8D．2
【答案】B
【分析】先证明是的切线，由切线长定理得到，，，，再证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，
∵，为的直径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知，，则的半径为 _____．
【答案】##
【分析】设圆的半径为，连接、，过点A作，垂足为D，利用勾股定理，在中，得到，求出r即可．
【详解】解：连接、，过点A作，垂足为D，如图所示：
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
设圆的半径为，在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
12．（2023·广西柳州·统考一模）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是______.
【答案】
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接，由切线长定理得出，，根据可得答案．
【详解】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示：
由切线长定理知，平分，
∴，
在中，，
∴光盘的直径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
13．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，是的直径，，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用得到；
（2）连接，先根据圆周角定理得到，根据得到，求出，利用勾股定理即可得到结果．
【详解】（1）解：证明：连接，如图，
为切线，C为切点,
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理和解直角三角形,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
14．（2023·北京海淀·人大附中校考一模）如图，是的外接圆，是的直径，交于点E，直线与相切于点A，与的延长线交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证，而，从而可证，即可得出结论；（2）过A点作，设长为a，根据勾股定理可解出AF的长．
【详解】（1）∵直线与相切于点A
∴
∴
∵
∴
∵是的直径，是的外接圆
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）
过A点作，则
∴
∵，
∴
∵，
∴、
设长为a，则
∵根据（1）
∴
∴
在中根据勾股定理有
即
解得或（舍去负值）
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
15．（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
(1)若，求点C与点O之间距离的最小值；
(2)当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小，求出则可得出答案；
（2）连接，由切线的性质得出，代入弧长公式可得答案．
【详解】（1）解：如图，当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小，
∵，
∴，
即点C与点O之间距离的最小值为；
（2）如图，连接，
∵
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，解题的关键是掌握添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，在中，，，．O为边上一点，以O为圆心，为半径作半圆，分别于与边交于点D、E，连接．
(1)______°；
(2)当时，求的长；
(3)过点E作半圆O的切线，当切线与边相交时，设交点为F．求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意，得出是半圆的直径，再根据直径所对的圆周角为直角，即可得出答案；
（2）根据勾股定理，得出，再根据相似三角形的判定，得出，再根据相似三角形的性质，得出，然后代入数据，计算即可；
（3）连接，根据切线的性质，得出，进而得出，再根据（1）的结论，得出，进而得出，再根据，得出，再根据圆的半径相等，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据等角对等边，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵O为边上一点，以O为圆心，为半径作半圆，分别于与边交于点D、E，
∴是半圆的直径，
∴；
故答案为：
（2）解：∵，，，
在中，根据勾股定理，得．
∵为直径，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，
即，
∴；
（3）证明：连接，
∵为半圆O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
17．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
(1)尺规作图：求作，使得与直线相切；（保留作图痕迹）
(2)求（1）中的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的平分线交于点D，再过D点作垂线交于P点，然后以P点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设切点为，连接，根据切线的性质推出，接着证明，再结合题目条件和两个相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，即为所求作的圆
（2）设切点为，连接
与直线相切于
又
又
即的半径为．
【点睛】本题考查了作图，解决此类问题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为基本作图，逐步操作，也考查了切线的判定与性质和相似三角形．
18．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，是延长线上一点，与相切于，过点作，垂足为．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，的半径为3，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可；
（2）根据勾股定理求出，再由平行线分线段成比例，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是的平分线；
（2）解：∵的半径为3，
∴，
∵，，
∴，
由（1）得：，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）如图，是的直径，弦与交于点E，过点A作的切线与的延长线交于点F，如果，，D为的中点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）连接，，利用切线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆周角定理，等量代换可证明即可．
（2）过C作，垂足为G，证明，利用锐角函数定义即可求出的长．
【详解】（1）连接，．
∵是的切线，
∴，即，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴；
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）过C作，垂足为G，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
中，，
设，
则，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
20．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆交于点、，为延长线上一点，连接交于点，且．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆的性质，等腰三角形的性质和可得，可证得，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质即可得证；
（2）由勾股定理可得，得出，再证明，由相似三角形的性质可求出，，由勾股定理可求出，然后利用圆内接四边形的性质可证明，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点是的圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的边所在的直线是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，
∵的半径是，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
∴，，
∴，
在中，，
∵四边形内接于，
∴，
∵经过圆心并与圆交于点、，
∴是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质．通过作辅助线利用切线的性质和构造相似三角形是解题的关键．
21．（2023·陕西西安·校考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，点是上一点，连接并延长交过点的切线于点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，，的直径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到的长，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
即，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在圆上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）结合切线的性质以及，利用等角的余角相等可得是等腰三角形，即可证明；
（2）添加辅助线构造直角三角形，然后利用三角函数值解直角三角形，结合勾股定理求出，最后利用勾股定理求出的长．
【详解】（1）证明：连接
是的切线
又
（2）解：过点作于点
设
解得：
【点睛】本题主要考查切线的性质，余角的性质，三角函数值解直角三角形以及勾股定理，通过添加辅助线构造直角三角形并灵活运用三角函数值和勾股定理解直角三角形是解决本题的关键．
23．（2023·安徽亳州·校考模拟预测）如图，是的弦，半径，垂足为，点在的延长线上，与相切于点，连接，交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)8；
(2)见解析．
【分析】（1）连接，，可得为等边三角形，即可得的长度；
（2）由题意可知，由切线的性质可得，，由，可得，利用等角的余角相等和对顶角相等，可得，进而可证．
【详解】（1）解：连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵与相切于点，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理及切线的性质定理，等边三角形的判定及性质，连接圆上的点与圆心构造等腰三角形和垂直是解决问题的关键．
24．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）已知：如图，是的切线，A为切点．
(1)过点P作的另一条切线，且B为切点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的情况下，连接，的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，垂足为I，以I为圆心，以为直径作圆，交于B，过点P、B作直线即可；
（2）连接，连接交于E，由切线长定理与切线的性质得，，由勾股定理可求得，再证明垂直平分，则，，易得，，即，可求出，从而求得长．
【详解】（1）解：如图，直线即为所作，
连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的的切线．
（2）解：连接，连接交于E，如图，
∵、是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，即，
∴
∴．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的作法以及判定与性质是解题的关键．
25．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考期中）如图，是的直径，直线与相切于点A，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，再根据可得，即可求证；
（2）易证，则，根据，，可得，进而得到，再根据切线长定理可得，即可求证．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线与相切于点A，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）∵直线、直线是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法以及从圆外一点可以作圆的两条切线，这两条切线长度相等．
26．（2023秋·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求⊙O的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数；
(2)连接，根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵是⊙O的切线，
∴，即．
∴．
∵，是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴．
（2）连接，
∵，且，
∴是等边三角形，
∴，．
∵为直径，
∴，
在中，
由勾股定理：，可得，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
27．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，连接、，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据切线长定理得出，，根据三线合一得出，根据是的直径，得出，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出，进而得出，证明得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵是的直径
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
28．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一三四中学校考开学考试）如图，是的直径，E为上的一点，的平分线交于点C，过点C的直线交的延长线于点P，交的延长线于点D．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，则________．
【答案】(1)见解析；
(2)2
【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证；
（2）设，证明，可得，推出，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，设，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知， ，
∴，
，
，
，
是直径，
，
，
∴，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
29．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，易得，证明，即可得证；
（2）连接，利用，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
在中，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
30．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角证明，证明，根据，说明，即可证明结论；
（2）由（1）可知，根据勾股定理求出，证明，得出，即，求出，最后根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
由题可知，
∵为直径，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵和是圆的半径，
∴，
∴，
即，
∴是的切线．
（2）解：由（1）可知，
在中，，
∴，
又∵在和中有：，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明．
31．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，内接于，，过点A作平行线，连接并延长，交于点D，连接、．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长交于点，易得，利用，得到，即可得证；
（2）证明，得到，设，则：，利用勾股定理求出的值，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点，
∵内接于，，
∴，为的半径，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：或（舍掉），
∴．
即：圆的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并运用，是解题的关键．
32．（2023·广东深圳·统考一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立；
（2）设的半径为，在中，利用勾股定理得，求得， 在中，利用勾股定理得，进而即可求得，于是即可得解．
【详解】（1）证明： 为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，，
，
，（舍去），
，
在中，，
，
，
的值为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对圆周角是直角，求余弦值，等边对等角以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
33．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可；
（2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
即，
又是半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
，
以为边的圆内接正六边形的周长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提．
34．（2023春·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形的边长为10，对角线交于点P，以边为直径画交于点F．
(1)过点P作，垂足为E，求证：是的切线；
(2)若，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据菱形的性质和三角形的中位线性质得到，进而可证明，根据切线的判定即可证得结论；
（2）连接，则，利用可求得，，设，则，利用勾股定理得到列方程求解x即可．
【详解】（1）解：连接，
∵四边形是菱形，边长为10，
∴，，，，
又∵O为的中点，
∴，
∵，
∴，又为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，∵是的直径，∴，
∵，，
∴，又，
∴，则，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查圆与四边形的综合应用，涉及菱形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定定理、勾股定理、解直角三角形以及圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
35．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，中，，点D为斜边的中点，以为直径作，分别与，边交于点E，F，连接，过点F作，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接OF，根据D为斜边的中点，可得，再根据，等量代换，则，即可得到，即可求证；
（2）连接DF，通过证明四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OF，
∵点D为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切．
（2）连接．
∵为的直径，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形．
∴，，
∴中，．
∴．
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了切线的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质并灵活运用．
36．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，内接于，，的延长线交于点．是外一点，连接，，于点．已知，，．
(1)求证：是的切线．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，，可得，即可得到，则，再根据，得到，即可求证；
（2）连接、，根据，可得垂直平分弦，通过证明，可得，求出，即可得出的长度．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接、，
由勾股定理，得．
∵，，
∴垂直平分弦．
∵，
∴是的中点，．
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法以及相似三角形的判定定理．
37．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，，，点为边上一点，且，以为直径作交的中点于，过点作于点．
(1)求证：为的切线．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，点是的中点，点是的中点，可得，根据，可得，由此即可求证；
（2）如图2，连接，可证，求得，根据，，可求出的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点在上，
∴是的切线．
（2）解：如图2，连接，
∵是的直径，
∴，
∵点是的中点，即，
在，中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，，
在中，．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，直角三角形勾股定理的运用是解题的关键．
38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)15，
【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可．
（2）利用角平分线及圆周角定理得出是的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出为直角，即可证明．
（3）先证明，然后利用勾股定理计算得出的长，再利用平行线所截线段成比例求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴ ，
∴；
（2）证明：
连接，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是的半径，
∴是的切线；
（3）解：
如图，设的半径为，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：，
∴的半径为15；
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，由勾股定理，得 ，
即，
解得，
∴ ，
∵，
∴，即 ，
∴．
方法二：
∵ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴的半径为15；
求长的步骤同上．
【点睛】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
题型4：三角形的外接圆
类型1-三角形外心的确定与坐标
例1：（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△AED的外心B．△AEB的外心C．△ACD的外心D．△BCD的外心
【答案】B
【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OA，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．
【详解】解：
连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OA，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
A、OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，故本选项不符合题意；
B、OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，故本选项符合题意；
C、OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
D、OB＝OC≠OD，即O不是△BCD的外心，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
例2：（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，2）
【答案】B
【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心，
由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
例3：（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，，O为中点，点C在线段上（不与点O，B重合）．将绕点O逆时针旋转270°后得到扇形，，分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在异侧，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长（结果保留π）；
(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围（直接写出答案）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，利用证明即可得出结论；
（2）证明，可得，，，，则优弧所对的圆心角为：，再代入弧长公式即可；
（3）设点M为的外心，则M为的中点，由的外心在扇形的内部，可得出，根据、的长度可得出的取值范围．
【详解】（1）证明：连接，
∵，分别于 相切，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，O为中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴优弧所对的圆心角为：，
∴优弧的长度为：．
（3）设点M为的外心，
则M为的中点，
∵，
∴，
∴当的外心在扇形的内部时，，
∴OC的取值范围为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，锐角三角函数的应用，三角形的外心等知识，明确直角三角形的外心在斜边的中点是解题的关键．
类型2-计算外接圆半径
（2022·河南焦作·统考一模）一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．B．5C．D．8
【答案】C
【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答．
【详解】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即，
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键．
综合训练
1．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）直角三角形的外心在（ ）
A．直角顶点B．直角三角形内C．直角三角形外D．斜边中点
【答案】D
【分析】根据三角形外心的定义即可进行解答．
【详解】解：∵三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，
∴直角三角形的外心在斜边中点，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是熟练掌握三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形的外心在三角新内，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形在外心在三角形外．
2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】连接，，延长交于D，
∵等边三角形是，
∴，，，
∴，
∴
由勾股定理得：，
∴
则的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
3．（2023·全国·九年级专题练习）若点P是直线上一动点，，则外接圆面积的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意设，可得，当时，最小值是2，要使外接圆面积最小，半径最小，然后利用圆的面积公式即可解决问题．
【详解】解：如图，切圆O于点M，
，
，
是外接圆的直径，
∵点P是直线上一动点，
∴设，
，
当时，最小值是2，
，
要使外接圆面积最小，则半径最小，
外接圆面积的最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的动点问题，切线的性质，三角形外接圆，已知两点的坐标求距离，二次函数的最值问题，解题的关键是表示出的长．
4．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：设的外心为M，
、，
M必在直线上，
由图可知，线段的垂直平分线经过点，
，
如图，过点M作于点D，连接，
中，，，
由勾股定理得：，
即外接圆半径的长为．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键．
5．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 _____．
【答案】．
【分析】依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求，
所以的外心坐标为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．
6．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）设为的外心，若，则的度数为______．
【答案】或
【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，是圆心角，可得出的度数．
【详解】解：当三角形是锐角三角形
∵是的外心，
∴圆心角与圆周角所对弧是同弧，
∴．
．
当三角形是钝角三角形，
同理可得：．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点____________，弧的长是____________．
【答案】 D
【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此可找到圆心；利用勾股定理求得的长，根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，据此即可解答．
【详解】解：根据题意可知，点D是外心．
连接，
∵，，，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴弧的长是，
故答案为：D，．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长公式，掌握“三角形的外心是三边的垂直平分线的交点”是解题的关键．
8．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标为___________，外接圆⊙P的半径是___________．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P(a，b)为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为___________．
【答案】 (0，－2) ，
【分析】（1）外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，作AB和BC的垂直平分线即可求解；根据勾股定理即可得⊙P的半径．
（2）根据位似图形的做法，以O为位似中心分别找出A、B、C三点的对称点，然后连接各位似点即可得到位似图形，以及变换后的对应点的坐标．
【详解】（1）①如图，作AB和BC的垂直平分线相交与点P
即P点坐标为(0，－2)
②半径AP=
（2）作图如下图所示：
△A1B1C1和△ABC的位似比为
∴点P(a，b)对应点P1坐标为，
【点睛】本题主要考查了利用位似图形变换作图，正确理解并画出位似图像是解题关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的各关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
9．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是__________（填字母序号）
A． △ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
【答案】B
【分析】结合图形、根据外心、内心的概念和性质进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
点O在线段AC的垂直平分线上，点O也在线段BC的垂直平分线上，
∴点O是△ABC的外心，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心是一个三角形的两条边的垂直平分线的交点是解题的关键．
10．（2023秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________．
【答案】
【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解．
【详解】∵一个直角三角形的两条直角边长分别为和，
∴直角三角形的斜边长，
∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，
∴这个三角形的外接圆的直径长为．
∴这个三角形的外接圆的半径长为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及直角三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，是解题的关键．
11．（2022春·九年级课时练习）如图，线段，C为线段上的一个动点，以为边作等边和等边连接，外接于，则半径的最小值为______．
【答案】
【分析】分别作的角平分线，交点为P，由等边三角形的性质可知为的中垂线．再根据三角形外接圆的性质可知点P与点O重合．连接，若半径最短，则．易得出，从而得出，．最后根据解直角三角形即可求出的长，即半径的最小值．
【详解】如图，分别作的角平分线，交点为P，
∴、均为等边三角形，
∴为的中垂线．
∵的圆心O在的中垂线上，
∴点P与点O重合．
如图，连接，若半径最短，则，
∵，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
∴半径的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题为圆的综合题．涉及等边三角形“三线合一”的性质，三角形外接圆圆心为三角形三条边线段垂直平分线的交点，垂线段最短以及解直角三角形等知识点．正确地作出辅助线，并利用数形结合思想是解题关键．
12．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，四个格点．
(1)直接写出的度数为：____________；在平面内仅用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆；
(2)请仅用无刻度直尺作出（1）中弧的中点E和的高；
(3)请仅用无刻度直尺在上找一点，使．
【答案】(1)，作图见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格得出是等腰直角三角形，根据网格的特点找到，的垂直平分线的交点，以为圆心，的长为半径作圆，则是的外接圆；
（2）作以为的对角线的矩形的另一条对角线，交于点，则为的中点，连接并延长，交于点，则，根据垂径定理可得为所求，取，连接并延长交于点，即为所求；
（3）如图所示，取，则，则是等腰三角形，连接并延长交于点，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
如图所示，根据网格的特点找到，的垂直平分线的交点，以为圆心，的长为半径作圆，则是的外接圆；
（2）解：如图所示，作以为的对角线的矩形的另一条对角线，交于点，则为的中点，
连接并延长，交于点，
则，
∴，点即为所求，
取，连接并延长交于点，即为所求，
则，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴即为所求；
（3）解：如图所示，取，
则，则是等腰三角形，
连接并延长交于点，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，作三角形的外接圆，垂径定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
13．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．设．
(1)求证：；
(2)求长度的最小值；
(3)用含α的代数式表示；
(4)若的外心在该三角形的内部时，，直接写出m，n的值．
【答案】(1)证明过程见解析．
(2)当时，AD的长度最小，长度的最小值是3．
(3)
(4)，．
【分析】（1）由全等三角形的判定证明即可；
（2）当时，的长度最小，在中求出即可；
（3）由，分别求出，即可求解；
（4）当时，的外接圆的圆心在上，此时，当时，的外接圆的圆心在上，此时，则时，的外心在该三角形的内部．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵，
∴
（2）解：当时，的长度最小
∵，
∴
∴
∴长度的最小值是3
（3）解：由（2）可知，
∵
∴
∵
，
（4）解：当，的外接圆的圆心在上
此时
当时，的外接圆的圆心在上
此时
时，的外心在该三角形的内部
，
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，外接圆的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上．
(1)请找出的外接圆的圆心O，并标明圆心O的位置；
(2)请以圆心O为位似中心，在点O的下方画出边放大2倍后的线段．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）利用网格的特点，找到线段的中点O，则点O为的外接圆的圆心；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点P，Q即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求．
；
（2）解：如图所示，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图-位似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
15．（2022秋·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)在图中作出的外接圆；
(2)（1）中所作圆的圆心坐标为___________，位于圆上在第一象限内的横纵坐标均为整数的点有___________个；
(3)在轴的正半轴上有一点，且，则点的横坐标的取值范围是___________．
【答案】(1)作图见解析
(2)；
(3)
【分析】（1）作出线段，的垂直平分线的交点，以为圆心，为半径作即可作出图形；
（2）在平面直角坐标系中利用两点之间的距离公式，列出方程，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等和外角的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所作图形；
（2）解：如（1）中图所示，圆心坐标为，
设位于圆上在第一象限内的横纵坐标均为整数的点坐标为，
，
解得：，，，，
这样的点有4个，
故答案为：；4；
（3）解：如图所示：
圆心坐标为，点的坐标为，
与轴的另一个交点为，
当点与点或点重合时，，
①当时，设交于点，连接，如上图，
是的一个外角，
，
；
②当时，设交于点，连接，如上图，
是的一个外角，
，
；
③当时，延长交于，连接，如上图，
，，
；
综上所述：当时，，
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查作图-复杂作图，涉及作三角形外接圆、外接圆性质、平面直角坐标系中两点之间距离公式、外角性质及圆周角定理等知识，熟练掌握圆的性质及分类讨论思想解决问题是解答本题的关键．
16．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上．D在边AB格点上．
(1)请找出的外心O；
(2)请用无刻度直尺在边上找出所有使得与相似的点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据外心的定义可知，直角三角形的外心就是直角三角形斜边的中点，即可找到的外心.
（2）分两种情况①；②，分别找出E点即可.
【详解】（1）如图，取边中点即为的外心O.
（2）如图当时，∽；当时，∽.
点和点即为所求.
【点睛】本题主要考查了三角形外心的定义和相似三角的判定方法.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心就是斜边中点.掌握三角形外心的定义以及相似三角形的判定方法是解题的关键.
17．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形为圆内接四边形，对角线、交于点E，延长、交于点F，且，．
求证：
(1)；
(2)A为的外心（即外接圆的圆心）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出，根据三角形的内角和得出，根据等边对等角得出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，故， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，根据同弧所对的圆周角相等得出， 所以，根据等角对等边得出；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角及对顶角相等得出，故，根据等角对等边得出，又，故，即A是三角形的外心．
【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：四边形内接于圆，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即A是三角形的外心．
【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，以及三角形的外心．熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角相等，等边对等角，是解题的关键．
18．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中．
(1)外接圆的圆心坐标是 ；
(2)外接圆的半径是 ；
(3)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
(4)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；
（3）根据位似变换和位似中心的概念解答；
（4）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答．
【详解】（1）解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点，连接，根据网格的特点可知；
故答案为：
（2）解：根据题意得：，
△ABC外接圆的半径是，
故答案为：
故答案为：；
（3）解：如图，连接，交于点，即位似中心，根据网格的特点可知，
故答案为：；
（4）解：
，且相似比为．
根据网格的特点作出，如图，
即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查的是格点正方形、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．
19．（2022春·九年级课时练习）如图，在中，．
(1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆即可求解；
（2）连接，勾股定理求得，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，从而得出是等腰直角三角形，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆，为所作；
（2）连接，如图，
，，，
，
，
为的直径，
，
平分，
，
，
为等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了作垂线，画圆，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
20．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到△，请在图中画出△；
(2)在（1）的条件下，求边扫过的面积；
(3)直接写出外接圆的圆心坐标： ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）按照旋转的方式，分别旋转，得到对应的点， 因为点为旋转中心，所以点即为，连线即可得解；
（2）边扫过的图形是以点为圆心，长为半径，圆心角为的扇形，计算扇形面积即可；
（3）分别作的垂直平分线，直线交点即为外接圆的圆心．
【详解】（1）解：如图，△即为所求；
（2）解：根据题意，边扫过的图形是以点为圆心，长为半径，圆心角为的扇形，
，
扫过的面积为；
（3）解：如图，分别作的垂直平分线，直线相交于点，则点为外接圆的圆心，坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中旋转作图、求扇形面积、求三角形外接圆圆心坐标，掌握相关知识并正确作图是解题关键．
21．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)若的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为________；
(2)的外接圆与x轴的另一个交点坐标是________；
(3)的外接圆的弧的长是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别作出，的垂直平分线，交点即为所求；
（2）作出外接圆即可找到与x轴的另一个交点坐标；
（3）先根据条件求出弧所对的圆心角度数，再求出外接圆半径的长度，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）
解：如图所示，是的垂直平分线，直线是的垂直平分线，直线与线段交于点
故答案为：
（2）解：如（1）图，连接，以点M为圆心，以长为半径作圆，交轴于另一点，
故答案为：
（3）解：如（1）图所示，连接，作，垂足为点，，垂足为点，
在和中，
∴
∴
∵
∴
∵
∴弧的长为
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形外接圆、求弧长，确定三角形外接圆圆心是解题关键．
22．（2022秋·浙江嘉兴·九年级桐乡市第七中学校考期中）如图，已知正．
(1)请用直尺与圆规作正的外接圆，并保留作图痕迹；
(2)若点P是正的外接圆上的一点（不与点B，C重合），求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点，点即为外接圆的圆心，即可得解；
（2）分点当在优弧上时，当在上时，分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）如图，
∵是等边三角形，
∴，
当在优弧上时，，
当在上时，，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了画三角形的外接圆，等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．
23．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，已知给定等边及边上点D．
(1)作经过点B，C，D的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
(2)若，求的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（ 1）根据线段垂直平分线的作图方法，分别作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧，即可得所求的．
（ 2）设线段的垂直平分线交于点E，线段的垂直平分线交于点F，可得，根据等边三角形的性质可得，点A，O，E在同一条直线上，则，，在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）设线段的垂直平分线交于点E，线段的垂直平分线交于点F，
∴，
∵为等边三角形，
∴，点A，O，E在同一条直线上，
∴，
∴，
设，则，
∴
解得：
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、等边三角形的性质、三角形的外接圆与外心、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
24．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接，
(1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）．
(2)若，为直角三角形时，求的值．
(3)点在的内部，直接写出的取值范围．
(4)求半径的最小值．
【答案】(1)外心、不变
(2)2或4
(3)
(4)
【分析】（1）根据三角形的外接圆的定义，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解；
（3）求出当圆心O在边上时，当圆心O在边上时，x的值，即可求解；
（4）分别作的平分线交于点P，可得点O与点P重合，连接，当时，最小，然后根据直角三角形的性质求出，即可求解．
【详解】（1）解：的外接圆的圆心是的外心（外心或内心）；
如图，分别作的平分线交于点P，
∵和都是等边三角形，
∴垂直平分，垂直平分，，
∵外接，
∴点O在和的垂直平分线上，
∴点O与点P重合，
∴点的位置是不变；
故答案为∶ 外心、不变；
（2）解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
即，
∵，
∴，
即；
当时， ，
∴，即，
∵，
∴，
即；
（3）解：当圆心O在边上时，，
由（2）得：此时；
当圆心O在边上时，，
由（2）得：此时；
∴点在的内部，的取值范围为；
（4）解：如图, 连接，
由（1）得：当时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
即半径的最小值为．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂径定理，熟练掌握三角形的外接圆的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
25．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在同一平面直角坐标系中有5个点．
(1)若为的外接圆，请写出圆心P的坐标，并说明点D与的位置关系．
(2)连接，，则_________．
【答案】(1)，D在上
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，求出圆心P的坐标，利用两点间的距离公式求出的长度，进而得到点D与的位置关系；
（2）过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
∵为的外接圆，
∴为的直径，
∴为的中点，即：，的半径为：；
∵，
∴，
∴D在上；
（2）解：过点作，交的延长线于点，如图：
此时，均为正方形的对角线，
由图可知：，
∴ ；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，三角形的外接圆，点与圆的位置关系，以及解直角三角形．熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
26．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
【答案】(1)外接圆的圆心见解析图；
(2)．
【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心；
（2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心；
（2）连接，
∵，
∴一个网格的长为1，
∴，即的半径为．
【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图．
题型5：三角形的内切圆
类型1-三角形内心的确定
（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）小雨同学要找到到三角形的内心，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵三角形的内心是三角形内角的平分线的交点，
∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，不符合题意，
选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；
选项C中的作图作的是两个内角的平分线，符合题意，
选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；
故选:C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．
类型2-计算内切圆半径
（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解；
（2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．
【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r．
∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．
在中，，，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴的半径为1；
（2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．，，．
∴四边形为正方形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴．
∵Q是的外心，
∴，
∴．
在中，，即，
解得（负值舍去）．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
类型3-三角形内心的性质
例1：（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接、，如图：
，
，
是的内切圆，与、分别相切于点、，
，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
例2：（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．
【答案】12
【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果．
【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴的面积为：
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．
类型4-三角形内心与外心的综合
56．（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）如图，在中，，与的角平分线相交于点，的延长线交的外接圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)证明：点、、在以点为圆心的同一个圆上；
(3)若，，求内心与外心之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用角平分线，得到，利用圆周角定理，得到，即可得出；
（2）连接，根据，得到，得到，根据角平分线，得到，再根据，得到，得到，从而得到，即可得证；
（3）连接，设与相交于点，利用等腰三角形三线合一，求出的长，垂径定理求出的长，进而求出的长，利用圆周角定理以及勾股定理求出的长，进而得到的长，用的长减去的长，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点、、在以点为圆心的同一个圆上；
（3）解：连接，设与相交于点，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
解得：，即：，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵与的角平分线相交于点，
∴点为的内心，
∴的长即为内心与外心之间的距离，
∴内心与外心之间的距离为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理，是解题的关键．
综合训练
1．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）根据尺规作图的痕迹，可成功确定三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本作图结合内心的定义判断即可．
【详解】解：如图：，
∴，
∴是等腰三角形，
由作图痕迹可得：作的是的垂直平分线，的角平分线，
∴的垂直平分线与的平分线重合，
再根据内心是内角平分线的交点，可得选项C能成功找到三角形内心，
故选： C．
【点睛】本题考查作图基本作图，三角形的内心等知识，解题的关键是理解内心是三角形的角平分线的交点．
2．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接，
∵与相切，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
设，
中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】连接、、，根据切线长定理可得，、，，可得四边形为正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】连接、、，
根据切线长定理可得，、，，
又∵，
∴四边形为正方形，即，
在中，，
∵，，
∴，，，
∴
解得，（舍去）
∴的半径为1，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键．
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如图所示，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是( )
A．只有甲正确B．只有丙错误
C．乙、丙都正确D．甲、乙、丙都正确
【答案】B
【分析】过点作，于点，，证明，根据全等三角形的性质即可判断甲、乙的说法，根据的周长，即可判断丙的说法，据此即可求解．
【详解】解：如图，过点作，于点，，
点为的内心，
是的平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
所以甲的判断正确；
连接，
，
四边形的面积，
点的位置固定，
四边形的面积是定值，
所以乙的判断正确；
如图，过点作于点，
，，
，
，
的周长，
当最小时，即当时，的周长最小值，
此时，不垂直于，所以丙的判断错误．
综上所述：说法正确的是甲、乙．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
【答案】B
【分析】分别求出各三角形的内切圆半径，比较即可．
【详解】如图，任意一个三角形的内心O，分别过O作三边的垂线，垂足为D、E、F，连接，
∴
∴
∴三角形内切圆半径
A、∵三角形是等边三角形
∴
∴三角形内切圆半径；
B、如图，中，，过A作于D，
∴，
∴，
∴
∴三角形内切圆半径；
C、如图，中，，过A作于D，
设，
∵
∴
解得，
∴
∴三角形内切圆半径；
C、中，，
∴
∴是直角三角形
∴
∴三角形内切圆半径；
∵
∴内切圆半径最小的是4，10，10，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理，掌握内切圆半径与三角形周长和面积的关系是解题的关键．
6．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6B．5.5C．5D．4
【答案】A
【分析】如图，连接、，根据三角形内心的性质得平分，平分，再根据平移的性质和平行线的性质证明，，所以，，则．
【详解】解：如图，连接、，
点为的内心，
平分，平分，
，，
平移使其顶点与重合，
，，
，，
，，
，，
，
即图中阴影部分的周长为6．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了平行线的性质．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，I为的内心，过点I作，分别交于D、E，则的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．24
【答案】B
【分析】连接，根据内心定义得到，，利用平行线的性质得到，，推出，证得，即可求出答案．
【详解】解：连接
∵I为的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形内心的定义，平行线的性质，熟练掌握三角形内心的定义得到平分，平分是解题的关键．
8．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：
甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；
乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；
丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为；
丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为；
则下列判断正确的是（ ）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中；设图2中正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知；在图3中，设半圆的半径为r,根据切线长定理可求得；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得，；根据以上计算的值进行比较即可判断．
【详解】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，；
图2中，设正方形的边长为x，则，，；
图3中，设半圆的半径为r，则，，；
图4中，设三角形的内切圆半径为R，则，解得：，；
根据以上计算的值进行比较，，在，，，中，最小，所以正确的是②③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广．
9．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形内心的性质得，分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．
【详解】解：连接，，如图，
点O是的内心，，
，，
，
，
点O是的外心，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．
10．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在中，点I为三角形的内心，若为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点I为三角形的内心，可得，再由三角形内角和定理可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵点I为三角形的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的内心及性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，难度不大，熟悉三角形基本性质是解答关键．
11．（2023秋·河北衡水·九年级衡水桃城中学校考期末）如图，中，，，，I为的内心，，，则的周长为（ ）
A．6B．5C．4.8D．4
【答案】B
【分析】先解直角三角形得到，连接、，如图，利用三角形的内心的性质得到，再证明得到，同理可得，所以的周长．
【详解】解：，，，
，
连接、，如图，
为的内心，
平分，
即，
，
，
，
，
同理可得，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
12．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）如图所示，点为三个内角平分线的交点，度，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三位同学有如下判断：
甲：度；
乙：四边形的面积是不变的；
丙：当时，周长取得最小值．
其中正确的是（ ）
A．只有丙正确B．只有甲、乙正确C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
【答案】D
【分析】过点O作于点，根据三角形内心可得，然后证明，可得，根据得到四边形的面积=2，根据点D的位置固定，可得四边形的面积是定值，过点O作于点F，根据，可得，所以的周长= ，可得当最小时，即当时，的周长取得最小值，据此解题．
【详解】解：如图，过点O作于点，连接，
点是的内心，
是的平分线，
在与中，
∴，
，
，
，故甲的判断正确；
四边形的面积＝四边形DOEB的面积
点D的位置固定，
四边形OMBN的面积是定值，故乙的判断正确；
如图，过点O作于点F，
的周长=
当最小时，即当的周长取最小值，即此时，故丙的判断正确，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆于内心、等腰三角形的判定、余弦、全等三角形的判定与性质，有点难度，掌握相关知识是解题关键．
13．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，由三角形内角和定理可得出答案．
【详解】解：截的三条边所得的弦长相等，
到三角形三条边的距离相等，即是的内心，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是内心的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
14．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为______．
【答案】4
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．
【详解】如图，连接、，
在中，，
设内切圆半径为r，、为的切线，
∴，，
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
由切线长定理得，，，，，
∴，解得，
则的周长为
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．
15．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，中，是边E上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为_____________．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，由三角形内切圆圆心到三条边的距离相等以及三角形的面积公式求出两个圆的半径，再求出面积比即可．
【详解】解：在中，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
设的半径为，的半径为，则
，
即，
，
同理，
与的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，掌握勾股定理以及三角形内切圆的圆心到三角形三边距离相等是正确解答的前提．
16．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，在中，已知，，，是的内切圆，点E、F、D分别为切点，则的长为______．
【答案】
【分析】先由勾股定理求得，再根据三角形的内切圆性质证得四边形是正方形，再利用等面积法求得、，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵是的内切圆，点E、F、D分别为切点，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
连接，，
∵，
∴，
解得：，则，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内切圆、正方形的判定与性质、勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的内切圆和正方形的判定与性质，作辅助线，利用等面积法求解是解答的关键．
17．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则__________．
【答案】1
【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵圆O是的内切圆，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．
18．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）如图，是的内切圆，，则的大小是____________．
【答案】
【分析】是的内切圆，即O是的内心，求得，然后利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵是的内切圆，即O是的内心，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确证明是关键．
19．（2022春·九年级课时练习）如图，为的内切圆，的延长线交于点D，，则的半径等于________．
【答案】##
【分析】设圆O与的切点为M，与的切点为点N， 如图，连接，，，则，，根据，即可求解．
【详解】解：设圆O与的切点为M，与的切点为点N， 如图，连接，，，
则，，
设圆的半径为r，，
∵，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，解答本题的关键是作出辅助线，，，根据求出半径．
20．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，点I为的内心，点O为的外心，若，则______．
【答案】160
【分析】根据内心的性质求出，进而可求出的值，然后根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵点I为的内心，
∴分别是的平分线，
∴，
∴，
∵点O为的外心，作的外接圆，如图，在上取一点D，连接、．
∴，
∴．
故答案为：160．
【点睛】此题考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键，记住钝角三角形的外心在三角形外．
21．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）如图，在中，，，，于D，E为边上的点；再作，使得，，解答：
(1)当时，证明：；
(2)求线段的最小值；
(3)若的内心在的外部，直接写出的范围．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）先利用等腰三角形的“三线合一”性质证明，即可得到证明；
（2）先在中，由三角函数求得，判断出当时，最短，最小；
（3）当内心恰好落在上时，设内心为N，连接，利用三角形的内心性质证明是等边三角形，从而可知，结合，即可得到答案；
【详解】（1）证明：当时，
∵于D，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
当最小时，最小，即，此时，点E与点D重合，
在中，，，
∴，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
即的最小值为；
（3）解：当内心恰好落在上时，设内心为N，连接，如图：
∵N是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵E为上的一点，不与B、C重合，
由（1）可知，
∴当的内心在的外部时，．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理及其综合运用是解题的关键．
22．（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图所示，在中，，，请你利用自己所学知识解决下列问题：
(1)请你利用尺规作出的外接圆，圆心记作O（不写作图步骤，保留作图痕迹）
(2)的外接圆半径与内切圆半径的差为__________．（不必作出内切圆，直接写出答案）
【答案】(1)图见详解，
(2)3
【分析】（1）根据外接圆的定义可得，圆心是垂直平分线的交点，分别做两边的垂直平分线交于一点即为O点；
（2）根据直角三角形斜边是中线等于斜边一半即可得到圆心在斜边中点即可得到外接圆半径，根据内心为角平分线交点设半径为r，表示，根据勾股定理即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，分别作与的垂直平分线，，交点即为圆心，如图所示，
（2）解：∵，
∴外接圆圆心在斜边中点，
由勾股定理可得，
，
∴，
根据内切圆圆心是角平分线交点可得，如图所示，过O作三边的垂线分别交于点D、E、F，
根据角平分线性质可得，，，
∵，
∴，
又∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
【点睛】本题考查作三角形外接圆圆心，勾股定理，内接圆圆心的性质，解题的关键是熟练掌握内外心．
23．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，易得边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质可得答案；
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，，类比阅读材料，可得，即可得出答案；
（3）由（1）（2）的结论，类比分析即可得出答案；
【详解】（1）∵，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r= =2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r= .
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立
【点睛】本题主要被考查学生根据阅读材料，结合课本知识，分析、解决问题的能力，认真阅读材料，理清题意是解此类题的关键．
24．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，点，点，以坐标原点O为圆心，为半径作，点．请用无刻度直尺完成下列画图：
(1)画的平分线交于点；
(2)将弦绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段；
(3)画的内心，并直接写出内切圆半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析，
【分析】（1）找到点，根据坐标系可得，继而根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）根据旋转的性质作出旋转后的线段即可求解；
（3）根据垂径定理作的垂线交于点，则是的角平分线，结合（1）的结论得出内心，根据面积法和直角三角形的内切圆半径的定义，直接求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为的平分线；
∵
∴即为的平分线；
（2）如图所示，线段即为所求，
（3）如图所示，找到格点，连接并延长，交于点，交于点，连接交于点，点即为所求；
理由如下，如图，
∵,，
∴，
则，
∴
∴，
∴，
即是的角平分线，
∵是的角平分线，
∴是的内心，
∵点，点，点，
∴,,，
∵是的直径，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，找三角形内切圆的圆心，勾股定理，垂径定理，求直角三角形的内切圆的半径，掌握以上知识是解题的关键．
25．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期末）已知如图，点为扇形弧上一动点，，，过点作，，的内心为，设，若点运动时，使得，则点的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接交分别为，连接，证明在线段上运动，根据，得出两个端点，进而根据对称性可得是等腰直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接交分别为，连接，
∵，，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵的内心为，
∴，
设,
则，，
∵的内心为，
∴
∴
∴
∴，
∴在上运动，
∵，如图，当时，重合，
则
当时，如图，
同理可得，
∴，
根据对称性可得是等腰直角三角形，
过点作于点，如图，
∴在中，，，，
∴在中，．
即点的运动路径长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形内心的性质，找到点的运动轨迹是解题的关键．