中考数学第一轮专题复习真题分点透练(全国通用)第十九讲矩形、菱形、正方形(原卷版+解析)

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A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AB＝ACD．AC＝BD
2．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝ ．
4.（2021•邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为 ．
5．（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
6．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：OF＝EC；
（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．
命题点2 菱形的相关证明与计算
7．（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
8．（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（ ）
A．4B．2C．2D．
9．（2022•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
10．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）
11．（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 cm2．
12．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
13.（2022•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．
14．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
命题点3 正方形的相关证明与计算
15．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
16.（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
（1）求证：△ABE≌△FMN；
（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
17．（2022•遵义）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
（1）求证：△ADE≌△CDG；
（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．
第十九讲 矩形、菱形、正方形
命题点1 矩形的相关证明与计算
1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AB＝ACD．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D．∵▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，
∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝ ．
【答案】
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，
∵AF＝AC，
∴AF＝AO，
∴点F为AO中点，
又∵点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝BD＝．
故答案为：．
4.（2021•邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠ADE，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵sin∠ADE＝，
∴＝，
∴AC＝＝＝5，
由勾股定理得，AB＝＝＝3，
故答案为：3．
∴S平行四边形AGCH＝CG•AB＝3×2＝6．
5．（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）如图，
（2）AE＝CF，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF．
6．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：OF＝EC；
（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠OFC＝90°，
∴∠OFC＝∠C＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OF＝EC；
（2）解：∵BD＝2，
∴OE＝1，
∵∠A＝30°，OE⊥AC，
∴AO＝2OE＝2，
∴AD＝AO﹣OD＝2﹣1＝1．
命题点2 菱形的相关证明与计算
7．（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【答案】D
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D
8．（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（ ）
A．4B．2C．2D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝2，
∴AO＝＝2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，
∴OE＝AD＝2，
故选：C
9．（2022•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，
故A、B、D正确，无法得出AC＝BD，
故选：C．
10．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
11．（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 cm2．
【答案】24
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是＝24（cm2），
故答案为：24．
12．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．
13.（2022•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：设菱形的边长为x，
∵AB＝CD＝x，CF＝2，
∴DF＝x﹣2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x﹣2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
AE2+BE2＝AB2，
即42+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝5，
∴菱形的边长是5．
14．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
命题点3 正方形的相关证明与计算
15．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
16.（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
（1）求证：△ABE≌△FMN；
（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，
又∵MF∥AD，
∴四边形AMFD为矩形，
∴∠MFD＝∠MFN＝90°，
∴AD＝MF，
∴AB＝MF，
∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，
∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，
∴∠FMN＝∠MBO，
在△ABE和△FMN中，
∴△ABE≌△FMN（ASA）；
（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，
∴△BOM∽△BAE，
∴OM：AE＝BO：BA，
∵AB＝8，AE＝6，
∴BE＝＝10，
∴OM：6＝5：8，
∴OM＝，
∵△ABE≌△FMN，
∴NM＝BE＝10，
∴ON＝MN﹣MO＝．
17．（2022•遵义）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
（1）求证：△ADE≌△CDG；
（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，
∴AD＝CD，ED＝GD，∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDG中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL）；
（2）解：过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE+BE＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，
∴EQ＝BQ，
∵BE＝2，
∴2EQ2＝22，
∴EQ＝BQ＝（负数舍去），
在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝DE＝2，
∴QF＝＝＝3，
∴BF＝QF﹣QB＝3﹣＝2．