高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）一课一练

这是一份高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）一课一练，共18页。

考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·全国·高三专题练习）式子m⋅3m46m5m>0的计算结果为（ ）
A．1B．m120C．m512D．m
2．（2007·福建·高考真题（文））函数f(x)=ax−b的图像如图所示，其中a， b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．00D．03．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．b+d>a+cB．b+db+cD．a+d4．（2022·全国·高三专题练习）满足函数fx=lnmx+3在−∞,1上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．−45．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知函数f(x)={ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0，满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[34,1)C．a∈(0,13]D．a∈[34,2)
6．（2022·安徽·高三阶段练习）设2a=5b=m，且1a+1b=2，则m=（ ）
A．10B．10C．20D．100
7．（2020·天津·高考真题）设a=30.7, b=13−0.8, c=lg0.70.8，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a8．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·全国·高一课时练习）在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=lgax−2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·高一单元测试）已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（ ）
A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16
C．a12+a−12=±5D．a32+a−32=25
11．（2021·全国·高一专题练习）函数fx=2x−a,x<14x−ax−2a,x≥1恰有2个零点的充分条件的a的取值范围是（ ）
A．1,2B．3,+∞C．12,1D．0,12
12．（2022·浙江杭州·高二期中）已知函数f(x)=2x−12x+1，下面说法正确的有（ ）
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的值域为−1,1
D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，fx1−fx2x1−x2<0恒成立
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·吉林·永吉县第四中学高一期中）若a>0且a≠1，则函数f(x)=ax−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．
14．（2021·全国·高一专题练习）函数y=ln4−x2+x的单调减区间是______.
15．（2021·全国·高一课时练习）若alg43=12，则3a+9a=___________；
16．（2022·全国·高一课时练习）函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））化简求值：
(1)2723+2⋅e−10+15+2−1614；
(2)lg5+lg20+lg14−lg25.
18．（2020·福建福州·高一期中）已知函数f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)，图像经过点（2，4），
（1）求a的值
（2）求函数f(x)的值域
19．（2022·全国·高一单元测试）已知a12+a−12=3，求下列各式的值.
(1)a+a−1；
(2)a2+a−2；
(3)a32+a−32+2a2+a−2+3.
20．（2021·全国·高一课时练习）设a>0且a≠1，函数f(x)=lga(1+x)+lga(3−x)的图像过点(1,2)．
（1）求a的值及f(x)的定义域；
（2）求f(x)在区间0,32上的最大值．
21．（2021·全国·高一专题练习）声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lgI10−12给出,其中I为声强(单位:Wm2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2,能听到的最低声强为10−12W/m2.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为10−6W/m2,求其声强级.
22．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2x−12x+1．
(1)判断并证明fx在其定义域上的单调性；
(2)若fk⋅3x+f3x−9x+2<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．
专题4.5 指数函数与对数函数（基础巩固卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·全国·高三专题练习）式子m⋅3m46m5m>0的计算结果为（ ）
A．1B．m120C．m512D．m
【答案】D
【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.
【详解】m⋅3m46m5=m12⋅m43m56=m12+43−56=m.
故选：D.
2．（2007·福建·高考真题（文））函数f(x)=ax−b的图像如图所示，其中a， b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．00D．0【答案】D
【分析】由函数的单调性得到a的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b的范围.
【详解】由函数f(x)=ax−b的图像可知，函数f(x)=ax−b在定义域上单调递减，∴0分析可知：
函数f(x)=ax−b图像是由y=ax向左平移所得，∴−b>0，∴b<0.故D选项正确.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．b+d>a+cB．b+db+cD．a+d【答案】B
【分析】如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.
【详解】
如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，
所以b+d故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）满足函数fx=lnmx+3在−∞,1上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．−4【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性，求出m的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．
【详解】解：若f(x)=ln(mx+3)在−∞,1上单调递减，
则满足m<0且m+3>0，
即m<0且m>−3，
则−3即f(x)在−∞,1上单调递减的一个充分不必要条件是−3故选：D．
5．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知函数f(x)={ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0，满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[34,1)C．a∈(0,13]D．a∈[34,2)
【答案】C
【分析】根据条件知f(x)在R上单调递减，从而得出{0【详解】∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，
∴f(x)在R上是减函数，
∴{0∴a的取值范围是(0,13]．
故选：C．
6．（2022·安徽·高三阶段练习）设2a=5b=m，且1a+1b=2，则m=（ ）
A．10B．10C．20D．100
【答案】A
【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a=lgm2，1b=lgm5，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由2a=5b=m，可得a=lg2m，b=lg5m，
由换底公式得1a=lgm2，1b=lgm5，
所以1a+1b=lgm2+lgm5=lgm10=2，
又因为m>0，可得m=10．
故选：A.
7．（2020·天津·高考真题）设a=30.7, b=13−0.8, c=lg0.70.8，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系.
【详解】因为a=30.7>1，
b=13−0.8=30.8>30.7=a，
c=lg0.70.8<，
所以c<1故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：y=ax，当a>1时，函数递增；当0（2）利用对数函数的单调性：y=lgax，当a>1时，函数递增；当0（3）借助于中间值，例如：0或1等.
8．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得a、b、c∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由b=lg85，得8b=5，结合55<84可得出b<45，由c=lg138，得13c=8，结合134<85，可得出c>45，综合可得出a、b、c的大小关系.
【详解】由题意可知a、b、c∈(0,1)，ab=lg53lg85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a由b=lg85，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<45；
由c=lg138，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>45.
综上所述，a故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·全国·高一课时练习）在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=lgax−2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分a>1和0【详解】当a>1时，y=ax在(−∞,+∞)单调递增且其图象恒过点(0,1)，
y=lgax−2在(2,+∞)单调递增且其图象恒过点(3,0)，
则选项B符合要求；
当0y=lgax−2在(2,+∞)单调递减且其图象恒过点(3,0)，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
10．（2022·全国·高一单元测试）已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（ ）
A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16
C．a12+a−12=±5D．a32+a−32=25
【答案】AD
【分析】由a+1a=3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；aa+1aa=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．
【详解】解：∵a+1a=3，
∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；
a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；
∵ (a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=5，因此C不正确；
∵aa+1aa=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=35−5=25，因此D正确．
故选：AD．
11．（2021·全国·高一专题练习）函数fx=2x−a,x<14x−ax−2a,x≥1恰有2个零点的充分条件的a的取值范围是（ ）
A．1,2B．3,+∞C．12,1D．0,12
【答案】BC
【分析】设ℎx=2x−a,gx=4(x−a)(x−2a)，当x<1时，分函数ℎx与x轴有一个交点和ℎx在x<1时与x轴无交点，两种情况讨论，结合二次函数的性质，求得a的范围，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数fx=2x−a,x<14x−ax−2a,x≥1，
设ℎx=2x−a,gx=4(x−a)(x−2a)，
若x<1时，函数ℎx与x轴有一个交点，
则a>0，且当x=1时，ℎ1=2−a>0，解得a<2，则0此时函数gx与x轴有一个交点，则2a≥1且a<1，所以12≤a<1；
若函数ℎx在x<1时与x轴无交点，则函数gx有两个交点，
当a≤0时，ℎx与x轴无交点，gx与x轴也无交点，不满足题意，舍去；
当ℎ1=2−a≤0时，即a≥2时，gx的两个交点都满足x1=a,x2=2a，都满足题意，
综上可得，实数a的取值范围是[12,1)∪[2,+∞)，
结合选项，可得BC符合题意.
故选：BC.
12．（2022·浙江杭州·高二期中）已知函数f(x)=2x−12x+1，下面说法正确的有（ ）
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的值域为−1,1
D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，fx1−fx2x1−x2<0恒成立
【答案】BC
【解析】判断fx的奇偶性即可判断选项AB，求fx的值域可判断C，证明fx的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】f(x)=2x−12x+1的定义域为R关于原点对称,
f(−x)=2−x−12−x+1=2−x−12x2−x+12x=1−2x1+2x=−f(x)，所以fx是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，
−2<−22x+1<0，所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为−1,1，故选项C正确；
设任意的x1则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−1−22x2+1=22x2+1−22x1+1=22x1−2x22x1+12x2+1，
因为2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以22x1−2x22x1+12x2+1<0，
即f(x1)−f(x2)<0，所以fx1−fx2x1−x2>0，故选项D不正确；
故选：BC
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1（2）作差变形：即作差，即作差f(x1)−f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差f(x1)−f(x2)的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·吉林·永吉县第四中学高一期中）若a>0且a≠1，则函数f(x)=ax−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．
【答案】(4,4)
【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.
【详解】令x−4=0，得x=4，所以f(4)=a0+3=4，所以函数f(x)=ax−4+3的图像恒过定点(4,4)．
故答案为：(4,4)
14．（2021·全国·高一专题练习）函数y=ln4−x2+x的单调减区间是______.
【答案】1,4
【分析】求出函数的定义域根据复合函数单调性的判断方法可得答案.
【详解】由4−x2+x>0得函数的定义域为x|−2y=4−x2+x=−x−12+9为开口向下、对称轴为x=1的抛物线，
又y=lnx为增函数，由复合函数单调性的判断方法得，
当x|1≤x<4时y=ln4−x2+x是减函数，
所以y=ln4−x2+x的单调减区间为1,4.
故答案为：1,4.
15．（2021·全国·高一课时练习）若alg43=12，则3a+9a=___________；
【答案】6
【分析】首先利用换底公式表示a=lg32，再代入3a+9a求值.
【详解】由条件得a=12lg34=lg32，所以3a+9a=3lg32+9lg32=3lg32+3lg34=2+4=6.
故答案为：6
16．（2022·全国·高一课时练习）函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．
【答案】(−∞,0)∪{4}
【分析】由题意f(x)仅有一个零点，令y1=kx、y2=(x+1)2，即y1、y2在f(x)定义域内只有一个交点，讨论k>0、k<0并结合函数图象，求k的范围.
【详解】由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)=0，即lg(kx)=lg(x+1)2，
∴在f(x)定义域内，y1=kx、y2=(x+1)2只有一个交点，
当k>0时，即(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；
∴仅当y1、y2相切，即x2+(2−k)x+1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k=4或k=0(舍)，
∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；
当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.
∴k∈ (−∞,0)∪{4}.
故答案为：(−∞,0)∪{4}
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））化简求值：
(1)2723+2⋅e−10+15+2−1614；
(2)lg5+lg20+lg14−lg25.
【答案】(1)7+5；(2)−1
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据对数的运算性质即可化简求值.
（1）2723+2⋅e−10+15+2−1614=3323+2+5−2−2414 =32+2+5−2−2=7+5
（2）lg5+lg20+lg14−lg25=lg5×20×14÷25=lg10×14×125=lg10−1=−1
18．（2020·福建福州·高一期中）已知函数f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)，图像经过点（2，4），
（1）求a的值
（2）求函数f(x)的值域
【答案】（1）a=2；（2）2,+∞
【分析】（1）将点代入函数fx即可求出a的取值；
（2）利用指数函数的性质可得到函数fx的单调性，再结合指数函数的值域即可求出函数fx的值域.
【详解】（1）因为函数f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)，图像经过点（2，4），
所以a+2=4
∴a=2
（2）由（1）可知，fx=2x−1+2，则fx在−∞,+∞上单调递增，
∵2x−1>0，
∴fx的值域为2,+∞.
19．（2022·全国·高一单元测试）已知a12+a−12=3，求下列各式的值.
(1)a+a−1；
(2)a2+a−2；
(3)a32+a−32+2a2+a−2+3.
【答案】(1)7；(2)47；(3)25
【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a+a−1的值；
(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2+a−2的值；
(3)首先利用立方差公式可得a32+a−32=a12+a−12a−1+a−1，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.
（1）将a12+a−12=3两边平方，得a+a−1+2=9，
所以a+a−1=7．
（2）将a+a−1=7两边平方，得a2+a−2+2=49，
所以a2+a2=47．
（3）∵a12+a−12=3，a+a−1=7，a2+a2=47，
∴a32+a−32=a123+a−123=a12+a−12a−1+a−1=3×7−1=18，
∴a32+a−32+2a2+a−2+3=18+247+3=25．
20．（2021·全国·高一课时练习）设a>0且a≠1，函数f(x)=lga(1+x)+lga(3−x)的图像过点(1,2)．
（1）求a的值及f(x)的定义域；
（2）求f(x)在区间0,32上的最大值．
【答案】（1）a=2，定义域为−1,3；（2）最大值为2.
【分析】（1）根据函数f(x)的图像过点(1,2)得到a的值，利用真数大于零得到函数的定义域；
（2）求出内层二次函数的最大值，即可得到所求函数的最大值.
【详解】（1）∵函数f(x)=lga(1+x)+lga(3−x)的图像过点(1,2)，
∴lga(1+1)+lga(3−1)=2，
∴lga4=2，即a2=4，
又a>0且a≠1，
∴a=2，
要使f(x)=lg2(1+x)+lg2(3−x)有意义，
则1+x>03−x>0⇒−1∴fx的定义域为−1,3；
（2）f(x)=lg21+x3−x，
令t=1+x3−x=−x−12+4
∵0≤x≤32，
∴t=−x−12+4的最大时为4，此时x=1，
∴f(x)在区间0,32上的最大值为2.
21．（2021·全国·高一专题练习）声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lgI10−12给出,其中I为声强(单位:Wm2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2,能听到的最低声强为10−12W/m2.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为10−6W/m2,求其声强级.
【答案】(1)0 dB−120 dB(2)60dB
【解析】(1)分别代入I=1与I=10−12求解即可.
(2)代入I=10−6求解即可.
【详解】解:(1)10lg110−12=10×lg1012=120(dB).
10lg10−1210−12=10lg1=0(dB).
因此人听觉的声强级范围为0 dB−120 dB.
(2)L1=10lg10−610−12=10×lg106=10×6=60(dB).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
22．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2x−12x+1．
(1)判断并证明fx在其定义域上的单调性；
(2)若fk⋅3x+f3x−9x+2<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)fx在R上单调递增；证明见解析；(2)−∞,43
【分析】（1）设x2>x1，可整理得到fx2−fx1=22x2−2x12x2+12x1+1>0，由此可得结论；
（2）利用奇偶性定义可证得fx为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k（1）fx在R上单调递增，证明如下：
设x2>x1，
∴fx2−fx1=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=2x2−12x1+1−2x2+12x1−12x2+12x1+1 =22x2−2x12x2+12x1+1；
∵x2>x1，∴2x2−2x1>0，又2x2+1>0，2x1+1>0，∴fx2−fx1>0，
∴fx在R上单调递增.
（2）∵f−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−fx，∴fx为R上的奇函数，
由fk⋅3x+f3x−9x+2<0得：fk⋅3x<−f3x−9x+2=f9x−3x−2，
由（1）知：fx在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在1,+∞上恒成立；
当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在1,+∞上恒成立；
令gx=3x−23x−1，
∵y=3x在1,+∞上单调递增，y=23x在1,+∞上单调递减，
∴gx在1,+∞上单调递增，∴gx≥g1=3−23−1=43，∴k<43，
即实数k的取值范围为−∞,43.