数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题

这是一份数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题，共41页。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123584944" 【考点1：五点法画图】 PAGEREF _Tc123584944 \h 1
\l "_Tc123584945" 【考点2：三角函数的图象变换】 PAGEREF _Tc123584945 \h 10
\l "_Tc123584946" 【考点3：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】 PAGEREF _Tc123584946 \h 13
\l "_Tc123584947" 【考点4：三角函数图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc123584947 \h 19
【考点1：五点法画图】
【知识点：五点法画图】
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，图象如图①所示．
(2)y＝cs x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，图象如图②所示．
1．（2021·全国·高一专题练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0,π2,π,3π2,2πB． 0,π4,π2,3π4,π
C． 0,π,2π,3π,4πD．0,π6,π3,π2,2π3
2．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）用“五点法”画y=2sin(2x+π3)在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是(−π6,0)，(π12,2)，(π3,0)，(7π12,−2)，_______．
3．（2022·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=csx−1，x∈−π,π；
(2)y=sinx，x∈−π2,3π2；
(3)y=−sinx，x∈0,2π．
4．（2022·高一课时练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：
(1)y=3sinx3；
(2)y=2sinx+π4；
(3)y=2sin2x+π4+1；
(4)y=2csx2+π3．
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数fx=2csx−1.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出fx在0,2π上的简图；
（2）求不等式fx≤−3−1的解集.
6．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，−π2<φ<π2）的图像．
(1)列出下表，根据表中信息．
①请求出A，ω，φ的值；
②请写出表格中a，b，c对应的值；
③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y＝f（x）一个周期内的图像；
(2)当ω=π4时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值．
【考点2：三角函数的图象变换】
【知识点：三角函数的图象变换】
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点
1．（2019秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）为了得到函数fx=sin2x−π3的图像，只要将y=sinxx∈R的图象上所有的点（ ）
A．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.
B．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.
C．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.
D．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.
2．（2023秋·北京通州·高一统考期末）将函数y=sinx的图像C向左平移π6个单位长度得到曲线C1，然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的13得到曲线C2，最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，则曲线C3对应的函数是（ ）
A．y=2sin3x−π6B．y=2sin3x−π6
C．y=2sin3x+π6D．y=2sin3x+π6
3．（2023秋·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）把函数y=fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图象，则fx=（ ）
A．sinx2−7π12B．sinx2+π12
C．sin2x−7π12D．sin2x+π12
4．（2022秋·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）将函数f(x)=cs2x的图象向左平移π6个单位后与y=gx的图象重合，则（ ）
A．g(x)=cs2x+π12B．g(x)=cs2x+π3
C．g(x)=cs2x−π6D．g(x)=cs2x+π6
5．（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）已知点Px0,32在函数fx=sinωx+φω>0的图象上，若将fx的图象向左平移π12个单位后所得图象仍然经过点P，则ω的值可以是（ ）
A．28B．24C．20D．16
6．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=3sin12x−π4．
(1)作出函数fx的大致图象；
(2)将y=sinx的图象作怎样的变换可得到fx的图象？
【考点3：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】
【知识点：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】
[方法技巧]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2)；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝eq \f(2π,T)；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，把f(x)的图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是（ ）
A．y=2sinx+π6，x∈RB．y=2sinx+π3，x∈R
C．y=2sin4x+π6，x∈RD．y=2sin4x+π3，x∈R
2．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）将函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A．y=sinx+π6B．y=sinx−π6
C．y=sin2x+π3D．y=sin2x−π3
3．（2022秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知函数fx=Asinωx+φ（其中A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移π4个单位，得到函数gx的图象，则函数gx的解析式为（ ）
A．gx=2sin13x−π4B．gx=2sin13x+π4
C．gx=2sin6x+5π12D．gx=2sin16x−π4
4．（2022秋·陕西榆林·高一校考期末）已知函数fx=2csωx+φ（ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，将函数fx图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．
5．（2022春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）已知函数fx=3sin2x+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象，如图所示.
(1)求函数fx的解析式；
(2)将函数fx的图象向右平移π3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数gx的图象，求函数gx的解析式.
【考点4：三角函数图象与性质的综合应用】
【知识点：三角函数图象与性质的综合应用】
[方法技巧]
三角函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
1．（2022秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）将函数fx=sinωx+π6ω>0的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，且函数fx在0,π6上单调递增，则函数fx的最小正周期为（ ）
A．π2B．πC．3π2D．2π
2．（2022·高一课时练习）已知函数fx=sin2x+φ（π2<φ<π）的图象向左平移φ个单位长度后得到函数gx的图象，若fπ8=gπ8且fx，gx的图象不重合，则（ ）
A．gx的图象关于点π4,0对称
B．gx的图象关于直线x=−3π16对称
C．gx的图象关于直线0,π2上是增函数
D．gπ8是gx的最小值
3．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考期中）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π是函数fx的图象的一条对称轴
B．函数fx的图象的对称中心为−π12+kπ2,0，k∈Z
C．函数fx在3π2,11π6上单调递增
D．将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
4．（2022秋·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到
B．直线x=−11π12是fx图象的一条对称轴
C．若fx1−fx2=2，则x1−x2=kπ2，k∈N∗
D．方程fx−12=0在区间0,103上有七个实根
5．（2022秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若把f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)=Acs(ωx+2φ)的图象，则m的值可能为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
6．（2022秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考开学考试）设函数fx=sin2x+π6的图象为曲线E，则（ ）
A．将曲线y=sin2x向左平移π12个单位长度后与曲线E重合
B．将曲线y=sinx+π6上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则与曲线E重合
C．将曲线fx向左平移π6后所得图象对应的函数为奇函数
D．若x1≠x2，且fx1=fx2=0，则x1−x2的最小值为π2
7．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数fx=2sin2x−π4，则下列说法正确的是（ ）
A．函数fx的图象可以由y=2cs2x的图象向右平移3π8个长度单位得到
B．fx1fx2=−2，则x1−x2min=π
C．fx+5π8是偶函数
D．fx在区间0,π4上单调递增
8．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）将函数fx=2sinωx-π3的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若0<ω<1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为4π
B．fx的对称中心为2kπ+2π3,0k∈Z
C．对任意的x∈R，都有fx=f2π3-x
D．gx=2sinωx+π6与fx的公共点的纵坐标为3或-3
9．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数fx=Asinωx+φω>0,φ<π2的图象如图所示，则（ ）
A．函数解析式fx=2sin2x+π3
B．将函数y=2sin2x−π6的图象向左平移π4个单位长度可得函数fx的图象
C．直线x=−1112π是函数fx图象的一条对称轴
D．函数fx在区间−π2,0上的最大值为2
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考期中）已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，将fx的图象向右平移π6个单位长度得到函数gx的图象，则下列判断错误的是（ ）
A．gx的图象关于y轴对称B．gx的最小正周期是2π
C．gx的图象关于点−π6,0对称D．gx在0,π2上单调递减
11．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图像如图所示，把函数f(−x)的图像向右平移π4个单位，得到函数g(x)的图像.
(1)当x∈R时，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)对于∀x1∈−π12,π3，是否总存在唯一的实数x2∈π6,34π，使得fx1+gx2=m成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由.x
0
π2
π
3π2
2π
fx
ωx＋φ
0
π2
π
a
2π
x
1
3
b
7
9
f（x）
0
2
0
c
0
常规
方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向
方程
思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋eq \f(π,3)解得φ＝eq \f(π,6)，向左平移eq \f(π,6)，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度
专题5.6函数y=Asin(ωx+φ)
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123584944" 【考点1：五点法画图】 PAGEREF _Tc123584944 \h 1
\l "_Tc123584945" 【考点2：三角函数的图象变换】 PAGEREF _Tc123584945 \h 10
\l "_Tc123584946" 【考点3：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】 PAGEREF _Tc123584946 \h 13
\l "_Tc123584947" 【考点4：三角函数图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc123584947 \h 19
【考点1：五点法画图】
【知识点：五点法画图】
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，图象如图①所示．
(2)y＝cs x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，图象如图②所示．
1．（2021·全国·高一专题练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0,π2,π,3π2,2πB． 0,π4,π2,3π4,π
C． 0,π,2π,3π,4πD．0,π6,π3,π2,2π3
【答案】B
【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，π2，π，32π，2π，即可解得答案.
【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，π2，π，32π，2π，
解得x＝0，π4，π2，34π，π，即为五个关键点的横坐标，
故选：B.
2．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）用“五点法”画y=2sin(2x+π3)在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是(−π6,0)，(π12,2)，(π3,0)，(7π12,−2)，_______．
【答案】(5π6,0).
【分析】根据三角函数的“五点法”作图的规则，令2x+π3=2π，即可求解.
【详解】用“五点法”画y=2sin(2x+π3)在一个周期内的简图时，
分别令2x+π3=0,π2,π,3π2,2π，当2x+π3=2π，可得x=5π6，此时f(5π6)=0，
所以五个点分别为(−π6,0)，(π12,2)，(π3,0)，(7π12,−2)，(5π6,0).
故答案为：(5π6,0).
3．（2022·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=csx−1，x∈−π,π；
(2)y=sinx，x∈−π2,3π2；
(3)y=−sinx，x∈0,2π．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）（2）（3）在坐标系中描出相应的五点，在用平滑的曲线连起来.
(1)
按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
(2)
按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
(3)
按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
4．（2022·高一课时练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：
(1)y=3sinx3；
(2)y=2sinx+π4；
(3)y=2sin2x+π4+1；
(4)y=2csx2+π3．
【答案】(1)函数图象见解析
(2)函数图象见解析
(3)函数图象见解析
(4)函数图象见解析
【分析】根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象；
(1)
解：因为y=3sinx3，取值列表：
描点连线，可得函数图象如图示：
(2)
解：因为y=2sinx+π4，取值列表：
描点连线，可得函数图象如图示：
(3)
解：因为y=2sin2x+π4+1，取值列表：
描点连线，可得函数图象如图示：
(4)
解：因为y=2csx2+π3，取值列表：
描点连线，可得函数图象如图示：
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数fx=2csx−1.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出fx在0,2π上的简图；
（2）求不等式fx≤−3−1的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）5π6+2kπ,7π6+2kπ(k∈Z).
【分析】（1）结合特殊角的三角函数值，可完成表格，进而求得函数fx在0,2π的大致图象；
（2）由fx≤−3−1，得到csx≤−32，当x∈0,2π时，求得x∈5π6,7π6，结合余弦函数的周期，即可求解.
【详解】（1）由函数fx=2csx−1，可得完成表格如下：
可得fx在0,2π的大致图象如下：
（2）由fx≤−3−1，可得2csx−1≤−3−1，即csx≤−32，
当x∈0,2π时，由csx≤−32，得x∈5π6,7π6.
又由函数y=csx的最小正周期为2π，
所以原不等式的解集为5π6+2kπ,7π6+2kπ(k∈Z).
6．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，−π2<φ<π2）的图像．
(1)列出下表，根据表中信息．
①请求出A，ω，φ的值；
②请写出表格中a，b，c对应的值；
③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y＝f（x）一个周期内的图像；
(2)当ω=π4时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值．
【答案】(1)①2，π4，−π4；②3π2，5，−2；③图象见解析；
(2)A=2或A=23.
【分析】（1）根据表格代入，利用待定系数法求解即可；
（2）根据点的坐标，写出向量，利用向量求解即可.
(1)
①由表格可知，A=2，
由ω+φ=03ω+φ=π2，解得ω=π4，φ=−π4，
②∵ω⋅b+φ=π4b−π4=π，∴b=5，
当x=7时，a=7×π4−π4=3π2，c=2sin3π2=−2，
③作出一个周期的图象，如图，
(2)
∵ω=π4，∴T=2ππ4=8，则B(x0,0),C(x0+2,A),E(x0+6,−A)，
当△BCE为直角三角形时，BC→⋅CE→=(2,A)⋅(4,−2A)=8−2A2=0，解得A=2.
BC→⋅BE→=(2,A)⋅(6,−A)=12−A2=0，解得A=23，
CE→⋅BE→=(6,−A)⋅(4,−2A)=24+2A2≠0，
综上，A=2或A=23.
【考点2：三角函数的图象变换】
【知识点：三角函数的图象变换】
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点
1．（2019秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）为了得到函数fx=sin2x−π3的图像，只要将y=sinxx∈R的图象上所有的点（ ）
A．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.
B．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.
C．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.
D．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.
【答案】A
【分析】根据平移变换和伸缩变换，求出变换后的解析式，判断出A正确.
【详解】A选项，y=sinxx∈R向右平移π3个单位长度，得到y=sinx−π3，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y=sin2x−π3，A正确；
B选项，向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin12x−π3，B错误；
C选项，向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y=sin2x−π6，C错误；
D选项，向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin12x−π6，D错误.
故选：A
2．（2023秋·北京通州·高一统考期末）将函数y=sinx的图像C向左平移π6个单位长度得到曲线C1，然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的13得到曲线C2，最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，则曲线C3对应的函数是（ ）
A．y=2sin3x−π6B．y=2sin3x−π6
C．y=2sin3x+π6D．y=2sin3x+π6
【答案】C
【分析】利用图像变换方式计算即可.
【详解】由题得C1：y=sinx+π6，所以C2：y=sin3x+π6，得到C3：y=2sin3x+π6
故选：C
3．（2023秋·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）把函数y=fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图象，则fx=（ ）
A．sinx2−7π12B．sinx2+π12
C．sin2x−7π12D．sin2x+π12
【答案】B
【分析】根据反向平移，先将y=sinx−π4的图象先向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍即可得到fx．
【详解】将y=sinx−π4的图象先向左平移π3个单位长度得到y=sinx−π4+π3=sinx+π12，
再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到y=sinx2+π12，
所以fx=sinx2+π12．
故选：B．
4．（2022秋·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）将函数f(x)=cs2x的图象向左平移π6个单位后与y=gx的图象重合，则（ ）
A．g(x)=cs2x+π12B．g(x)=cs2x+π3
C．g(x)=cs2x−π6D．g(x)=cs2x+π6
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】函数f(x)=cs2x的图象向左平移π6个单位后得到gx=cs2x+π6=cs2x+π3.
故选：B
5．（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）已知点Px0,32在函数fx=sinωx+φω>0的图象上，若将fx的图象向左平移π12个单位后所得图象仍然经过点P，则ω的值可以是（ ）
A．28B．24C．20D．16
【答案】ABC
【分析】求出平移后的函数解析式，可得出ωx0+φ=π3+2k1π或ωx0+φ=2π3+2k1πk1∈Z，ωx0+φ+πω12=π3+2k2π或ωx0+φ+πω12=2π3+2k2πk2∈Z，作差可得出ω的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】由已知可得sinωx0+φ=32，则有ωx0+φ=π3+2k1π或ωx0+φ=2π3+2k1πk1∈Z，
设平移后的函数为gx，则有gx=sinωx+φ+πω12，则gx0=sinωx0+φ+πω12=32，
所以，ωx0+φ+πω12=π3+2k2π或ωx0+φ+πω12=2π3+2k2πk2∈Z，
所以，πω12=2k2−k1π，可得ω=24k2−k1，其中k1、k2∈Z，
或πω12=±π3+2k2−k1π，可得ω=24k2−k1±4，其中k1、k2∈Z，
所以，ω的可能取值有28、24、20，
故选：ABC.
6．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=3sin12x−π4．
(1)作出函数fx的大致图象；
(2)将y=sinx的图象作怎样的变换可得到fx的图象？
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）采用五点法即可作出函数的大致图象；
（2）根据三角函数图象的变换规律，即可得到答案.
【详解】（1）由题意函数f(x)=3sin12x−π4，列表：
由此作出函数f(x)=3sin12x−π4的大致图象：
（2）将y=sinx的图象向右平移π4，得到函数y=sin(x−π4)的图象，
再将函数y=sin(x−π4)图象上所有点的横坐标扩大到原来得2倍，纵坐标不变，
得到y=sin(12x−π4)的图象，
再将函数y=sin(12x−π4)图象上所有点的纵坐标变为原来3倍，横坐标不变，
即得到fx的图象.
【考点3：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】
【知识点：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】
[方法技巧]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2)；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝eq \f(2π,T)；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，把f(x)的图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是（ ）
A．y=2sinx+π6，x∈RB．y=2sinx+π3，x∈R
C．y=2sin4x+π6，x∈RD．y=2sin4x+π3，x∈R
【答案】D
【分析】首先根据函数图象得到f(x)=2sin2x+π6，x∈R，再根据函数的图象变换即可得到答案.
【详解】由题中函数图象可知：fxmax=A=2.
最小正周期为T=4×5π12−π6=π，所以ω=2ππ=2，fx=2sin2x+φ，
将点π6,2代入函数解析式中，得2sinπ3+φ=2，
所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=π6+2kπ，k∈Z.
因为φ<π2，所以φ=π6，故f(x)=2sin2x+π6，x∈R.
把fx的图象上所有的点向左平移π12个单位长度，
得到函数图象的解析式为y=2sin2x+π12+π6=2sin2x+π3，x∈R；
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），
得到函数图象的解析式为y=2sin4x+π3，x∈R.
故选：D
2．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）将函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A．y=sinx+π6B．y=sinx−π6
C．y=sin2x+π3D．y=sin2x−π3
【答案】C
【分析】依题意可得，ω×7π12+πω6=3π2+2kπ,k∈Z，从而可求得ω，结合平移后的函数图象可确定ω的取值范围，继而可得ω的值，最后得函数的解析式．
【详解】解：∵函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位，为y=sinωx+π6=sinωx+ωπ6，
∴由图象得：ω×7π12+πω6=3π2+2kπ,k∈Z①，
解得：ω=2+83k,k∈Z，又有图可知，最小正周期T=2πω满足12⋅2πω<7π1234⋅2πω>7π12，即127<ω<187②
结合①②得：ω=2
∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：y=sin2x+π3.
故选：C．
3．（2022秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知函数fx=Asinωx+φ（其中A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移π4个单位，得到函数gx的图象，则函数gx的解析式为（ ）
A．gx=2sin13x−π4B．gx=2sin13x+π4
C．gx=2sin6x+5π12D．gx=2sin16x−π4
【答案】B
【分析】先根据函数图像求出函数fx的解析式，再由三角函数的变换过程求解gx即可
【详解】由图知：A=2且3T4=11π12−π6=3π4，则T=π，故ω=2，
则fx=2sin2x+φ，
由fπ6=2sinπ3+φ=2，则π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，
所以φ=π6+2kπ，k∈Z，
又φ<π2，故φ=π6，
综上，fx=2sin2x+π6，
将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到y=2sinx3+π6，再向左平移π4个单位得到gx=2sin13x+π4+π6=2sinx3+π4，
故选：B
4．（2022秋·陕西榆林·高一校考期末）已知函数fx=2csωx+φ（ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，将函数fx图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．
【答案】y=2csx
【分析】根据图象求得fx=2cs2x−π6，将函数fx图象上所有的点向左平移π12个单位长度，得y=2cs2x+π12−π6=2cs2x，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得y=2csx，即可解决.
【详解】由题知，函数fx=2csωx+φ（ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，
所以14T=π3−π12=π4，即T=π
所以ω=2，
所以fx=2cs2x+φ，
因为图象经过点π12,2，
所以fπ12=2csπ6+φ=2，
所以π6+φ=0+2kπ,k∈Z，
因为φ<π2，
所以φ=−π6，
所以fx=2cs2x−π6，
将函数fx图象上所有的点向左平移π12个单位长度，
得y=2cs2x+π12−π6=2cs2x，
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得y=2csx，
所以所得函数图象的解析式为y=2csx，
故答案为：y=2csx
5．（2022春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）已知函数fx=3sin2x+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象，如图所示.
(1)求函数fx的解析式；
(2)将函数fx的图象向右平移π3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数gx的图象，求函数gx的解析式.
【答案】(1)fx=3sin2x+π3
(2)gx=3sin4x−π3
【分析】（1）观察图像，由最值得到A=3，由周期求得ω=2，再代入π3,0求得φ，从而求得fx的解析式；
（2）利用三角函数图像变换的性质即可求得gx的解析式.
【详解】（1）依题意，观察图像，可知fx的最大值为3，又A>0，所以A=3，
因为12T=5π6−π3=π2，所以T=π，故2πω=π，又ω>0，所以ω=2，
所以fx=3sin2x+φ，
因为fx过点π3,0，所以3sin2π3+φ=0，即sin2π3+φ=0，
因为|φ|<π2，即−π2<φ<π2，则π6<2π3+φ<7π6，
所以2π3+φ=π，则φ=π3，
所以fx=3sin2x+π3.
（2）将函数fx的图象向右平移π3个单位后，可得y=3sin2x−π3+π3=3sin2x−π3的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y=3sin4x−π3的图象，
所以gx=3sin4x−π3.
【考点4：三角函数图象与性质的综合应用】
【知识点：三角函数图象与性质的综合应用】
[方法技巧]
三角函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
1．（2022秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）将函数fx=sinωx+π6ω>0的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，且函数fx在0,π6上单调递增，则函数fx的最小正周期为（ ）
A．π2B．πC．3π2D．2π
【答案】B
【分析】求出平移后的解析式，根据对称性得到ω=2+6k，k∈Z，再结合函数fx在0,π6上单调递增，得到ωπ6+π6∈π6,π2，求出ω∈0,2，列出不等式，求出ω=2，得到最小正周期.
【详解】fx=sinωx+π6的图像向左平移π6个单位长度后，
得到gx=sinωx+π6ω+π6，
则gx=sinωx+π6ω+π6关于y轴对称，
所以π6ω+π6=π2+kπ，k∈Z，解得：ω=2+6k，k∈Z，
因为ω>0，故当x∈0,π6时，ωx+π6∈π6,ωπ6+π6，
因为函数fx在0,π6上单调递增，
所以ωπ6+π6∈π6,π2，解得：ω∈0,2，
故ω=2+6k∈0,2，
解得：k∈-13,0，
因为k∈Z，
所以k=0，
故ω=2，
则函数fx的最小正周期为T=2πω=2π2=π.
故选：B
2．（2022·高一课时练习）已知函数fx=sin2x+φ（π2<φ<π）的图象向左平移φ个单位长度后得到函数gx的图象，若fπ8=gπ8且fx，gx的图象不重合，则（ ）
A．gx的图象关于点π4,0对称
B．gx的图象关于直线x=−3π16对称
C．gx的图象关于直线0,π2上是增函数
D．gπ8是gx的最小值
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象变换及fπ8=gπ8且fx，gx的图象不重合，可得φ的值，从而可得gx的解析式，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断.
【详解】解：由题意得gx=sin2x+φ+φ=sin2x+3φ，
fπ8=sinπ4+φ，gπ8=sinπ4+3φ，
由fπ8=gπ8且fx，gx的图象不重合，
可知π4+φ+π4+3φ=2kπ+π（k∈Z），所以φ=12kπ+π8（k∈Z）．
因为π2<φ<π，所以φ=5π8.
所以gx=sin2x+15π8=sin2x−π8．
由2×π4−π8≠kπ（k∈Z），即gπ4≠0可得A错误；
令2×−3π16−π8=π2+kπ（k∈Z），得k=−1，可得B正确；
当0因为y=sinx在−π8,π2上单调递增，在π2,7π8上单调递减，
所以gx在0,π2上不单调，故C错误；
gπ8=sin2×π8−π8=sinπ8≠−1，故D错误．
故选:B．
3．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考期中）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π是函数fx的图象的一条对称轴
B．函数fx的图象的对称中心为−π12+kπ2,0，k∈Z
C．函数fx在3π2,11π6上单调递增
D．将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【答案】B
【分析】先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解.
【详解】由函数图象可知，A=2，最小正周期为T=4×(5π12−π6)=π，所以ω=2ππ=2.将点(π6,2)代入函数解析式中，得2=2sin(π3+φ).又因为φ<π2，所以φ=π6，故fx=2sin(2x+π6).
对于A，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π6+kπ2，k∈Z，令π6+kπ2=π，则k∉Z，故A错误；
对于B，令fx=2sin(2x+π6)=0，则2x+π6=kπ，k∈Z，所以x=−π12+kπ2，k∈Z，即函数fx的图象的对称中心为(−π12+kπ2,0)，k∈Z，故B正确；
对于C，令2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
因为x∈3π2,11π6，所以函数fx在3π2,5π3上单调递减，
在5π3,11π6上单调递增，故C错误；
对于D，将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到gx=2sin2(x+π12)+π6=2sin(2x+π3)的图象，该函数不是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．（2022秋·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到
B．直线x=−11π12是fx图象的一条对称轴
C．若fx1−fx2=2，则x1−x2=kπ2，k∈N∗
D．方程fx−12=0在区间0,103上有七个实根
【答案】B
【分析】y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到y=sin(2x+2π3)，f(−11π12)=1，可判断直线x=−11π12是fx图象的一条对称轴，若fx1−fx2=2，则x1−x2=π2+kπ，k∈N， 函数fx=sin2x+π3与直线y=12在0,103上有两个交点.
【详解】由图可知：14T=π12+π6=π4，
所以T=π，故ω=2ππ=2，又因为图像经过(π12,1)，
所以sin2×π12+φ=1，得π6+φ=π2+2kπ，
又φ<π2，所以φ=π3,k=0.
所以fx=sin2x+π3.
y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到y=sin(2x+2π3)，A错误；
f(−11π12)=sin(−3π2)=1，故直线x=−11π12是fx图象的一条对称轴，B正确；
若fx1−fx2=2，则x1−x2=π2+kπ，k∈N，C错误；
令sin2x+π3=12，解得x1=π4,x2=1112π，
如图所示：
函数fx=sin2x+π3与直线y=12在0,103上有两个交点，
即方程fx−12=0在区间0,103上有两个实根，D错误.
故选：B
5．（2022秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若把f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)=Acs(ωx+2φ)的图象，则m的值可能为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
【答案】C
【分析】先根据图像求出参数值，进而得到f(x)和gx的解析式，然后根据图像的平移求解出含有m的gx的解析式，根据诱导公式求解m取值，结合选项确定答案.
【详解】由图可知，A=3，因为图像过π6,3，5π12,0，所以T4=5π12−π6=π4，
解得T=π，则ω=2πT=2，
根据图像可知f0=3sinφ=1.5且|φ|<π2，解得φ=π6，
所以fx=3sin2x+π6，gx=3cs2x+π3；
把f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数gx=3sin2x+2m+π6=3cs2x+π3，
根据诱导公式可得2m+π6−π3=2kπ+π2k∈Z，
解得m=kπ+π3k∈Z，当k=0时，m=π3.
故选：C.
6．（2022秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考开学考试）设函数fx=sin2x+π6的图象为曲线E，则（ ）
A．将曲线y=sin2x向左平移π12个单位长度后与曲线E重合
B．将曲线y=sinx+π6上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则与曲线E重合
C．将曲线fx向左平移π6后所得图象对应的函数为奇函数
D．若x1≠x2，且fx1=fx2=0，则x1−x2的最小值为π2
【答案】AD
【分析】选项A：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项B：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项C：根据正弦型函数图象变换的规律结合奇偶性的判断方法即可判断；选项D：根据正弦型函数的零点进行判断即可；
【详解】选项A：将曲线y=sin2x向左平移π12个单位长度后可得y=sin2(x+π12)=sin(2x+π6).所以平移后图象与曲线E重合，故选项A正确.
选项B：将曲线y=sinx+π6上各点的横坐标扩大到原来的2倍，
纵坐标不变可得y=sinx2+π6≠fx，故B不正确.
选项C：将曲线fx向左平移π6后可得
y=sin2x+π6+π6=sin2x+π2=cs2x，为偶函数，故C不正确.
选项D：由fx=sin2x+π6=0，可得2x+π6=kπ,k∈Z，
解得x=−π12+kπ2,k∈Z，由fx1=fx2=0，
所以x1=k1π2−π12,k1∈Z，x2=k2π2−π12,k2∈Z，
所以x1−x2=π2k1−k2，由k1，k2∈Z，可得x1−x2的最小值为π2，故D正确.
故选：AD
7．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数fx=2sin2x−π4，则下列说法正确的是（ ）
A．函数fx的图象可以由y=2cs2x的图象向右平移3π8个长度单位得到
B．fx1fx2=−2，则x1−x2min=π
C．fx+5π8是偶函数
D．fx在区间0,π4上单调递增
【答案】AD
【分析】根据函数平移可判断A,根据最值点的与周期的关系可判断B,根据偶函数的特征可判断C,整体代入验证法可判断D.
【详解】对于A,y=2cs2x的图象向右平移3π8个长度单位得到y=2cs2x−3π4=2sin2x−π4，故A正确，
对于B，因为fxmax=2,fxmin=−2，由fx1fx2=−2可知fx1，fx2为最值，又T=π,故x1−x2min=π2,故B错误，
对于C,fx+5π8=2sin2x+5π4−π4=2sin2x+π=−2sin2x为奇函数，故错误，
对于D,∵x∈0,π4,∴2x−π4∈−π4,π4⊆−π2,π2，故fx在区间0,π4上单调递增，正确，
故选：AD
8．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）将函数fx=2sinωx-π3的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若0<ω<1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为4π
B．fx的对称中心为2kπ+2π3,0k∈Z
C．对任意的x∈R，都有fx=f2π3-x
D．gx=2sinωx+π6与fx的公共点的纵坐标为3或-3
【答案】AB
【分析】利用平移后得函数是奇函数求出ω=12，则fx的最小正周期为2π12=4π，故A正确；令12x-π3=kπk∈Z判断B正确；由fπ3=-1判断C错误；令fx=g(x)分析得到公共点的纵坐标为2或-2，判断D错误.
【详解】将函数fx=2sinωx-π3的图像向左平移2π3个单位，可得ℎ(x)=2sinω(x+2π3)-π3，ℎ(x)为奇函数，则ℎ(0)=0，
即2π3ω-π3=kπ，ω=12+32k,k∈Z，
因为0<ω<1，所以k=0，ω=12，则fx=2sin12x-π3，
所以fx的最小正周期为2π12=4π，故A正确；
令12x-π3=kπk∈Z，得x=2kπ+2π3，fx的对称中心为2kπ+2π3,0k∈Z，故B正确；
fπ3=2sin(12×π3-π3)=-1，所以x=π3不是对称轴，故C错误；
令fx=g(x)，即sin12x-π3=sin12x+π6，
∵sin12x+π6=sin12x-π3+π2=cs12x-π3，
∴sin12x-π3=sin12x+π6=±22，
gx=2sinωx+π6与fx的公共点的纵坐标为2或-2，
故D错误；
故选：AB.
9．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数fx=Asinωx+φω>0,φ<π2的图象如图所示，则（ ）
A．函数解析式fx=2sin2x+π3
B．将函数y=2sin2x−π6的图象向左平移π4个单位长度可得函数fx的图象
C．直线x=−1112π是函数fx图象的一条对称轴
D．函数fx在区间−π2,0上的最大值为2
【答案】ABC
【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.
【详解】由题图知：函数fx的最小正周期T=43×5π6−π12=π，
则ω=2ππ=2，A=2，所以函数fx=2sin2x+φ．
将点π12,2代入解析式中可得2=2sinπ6+φ，
则π6+φ=π2+2kπk∈Z，得φ=π3+2kπk∈Z，
因为φ<π2，所以φ=π3，
因此fx=2sin2x+π3，故A正确．
将函数y=2sin2x−π6的图像向左平移π4个单位长度可得函数fx=2sin2x+π3的图像，故B正确.
fx=2sin2x+π3，当x=−11π12时，fx=2，故C正确.
当x∈−π2,0时，2x+π3∈ −2π3,π3，所以fx∈−2,3，即最大值为3，
故D错误．
故选：ABC．
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考期中）已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，将fx的图象向右平移π6个单位长度得到函数gx的图象，则下列判断错误的是（ ）
A．gx的图象关于y轴对称B．gx的最小正周期是2π
C．gx的图象关于点−π6,0对称D．gx在0,π2上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据题目图像先求出fx=2cs2x+π6，再求得gx=2cs2x−π6即可解决.
【详解】由图可知A=2，fx的图象关于直线x=0+5π62=5π12对称，
所以fx的最小正周期T=4×5π12−π6=π，所以ω=2πT=2，
则fx=2cs2x+φ.
由五点作图法可知2×π6+φ=π2φ<π2，
所以φ=π6，所以fx=2cs2x+π6.
将fx的图象向右平移π6个单位长度得到gx的图象，则gx=2cs2x−π6+π6=2cs2x−π6，则A，B错误.
令2x−π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2+π3，k∈Z，当k=−1时，x=−π6，则C正确.
令2kπ≤2x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，则D错误.
故选：ABD.
11．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图像如图所示，把函数f(−x)的图像向右平移π4个单位，得到函数g(x)的图像.
(1)当x∈R时，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)对于∀x1∈−π12,π3，是否总存在唯一的实数x2∈π6,34π，使得fx1+gx2=m成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由
【答案】(1)单调递增区间为−512π+kπ,kπ+π12（k∈Z）
(2)存在，m∈1,3
【分析】(1)由函数图像求出f(x)解析式，再由图像变换求出g(x)，整体代入法求单调递增区间.
（2）分别求fx1和gx2的取值范围，由fx1+gx2=m和x2的唯一性，求实数m的取值范围.
【详解】（1）由函数图像可知，A=2，
T2=512π−−π12=π2，∴T=π=2πω，ω=2，
∴f(x)=2sin(2x+φ)，当x=−π12时，f(x)=0，
∴sin−π6+φ=0，由|φ|<π2得φ=π6，∴f(x)=2sin2x+π6.
由f(−x)=2sin−2x+π6，得g(x)=2sin−2x−π4+π6=2cs2x−π6
由−π+2kπ≤2x−π6≤2kπ，解得−512π+kπ≤x≤kπ+π12，
∴函数g(x)的单调递增区间为−512π+kπ,kπ+π12（k∈Z）
（2）由fx1+gx2=m，得gx2=m−fx1，
由，−π12≤x1≤π3得0≤2x1+π6≤56π，∴0≤sin2x1+π6≤1，
∴m−fx1∈[m−2,m]，
又π6≤x2≤34π，得π6≤2x2−π6≤4π3，所以−1≤cs2x2−π6≤32，
由x2的唯一性可得：−12由[m−2,m]⊆(−1,3]，得m−2>−1m≤3，解得1所以当m∈1,3时，使fx1+gx2=m成立.x
−π
−π2
0
π2
π
csx
−1
0
1
0
1
csx−1
−2
−1
0
−1
−2
x
−π2
0
π2
π
3π2
sinx
−1
0
1
0
−1
x
0
π2
π
3π2
2π
sinx
0
1
0
−1
0
−sinx
0
−1
0
1
0
x
0
3π2
3π
9π2
6π
x3
0
π2
π
3π2
2π
y
0
3
0
−3
0
x
−π4
π4
3π4
5π4
7π4
x+π4
0
π2
π
3π2
2π
y
0
2
0
−2
0
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
2x+π4
0
π2
π
3π2
2π
y
1
3
1
−1
1
x
−2π3
π3
4π3
7π3
10π3
x2+π3
0
π2
π
3π2
2π
y
2
0
−2
0
2
x
0
π2
π
3π2
2π
fx
x
0
π2
π
3π2
2π
fx
1
−1
−3
−1
1
ωx＋φ
0
π2
π
a
2π
x
1
3
b
7
9
f（x）
0
2
0
c
0
常规
方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向
方程
思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋eq \f(π,3)解得φ＝eq \f(π,6)，向左平移eq \f(π,6)，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度
x
π2
3π2
5π2
7π2
9π2
fx
0
3
0
−3
0