高一数学必考分类(人教A版2019必修第一册)专题5.9三角函数(能力提升卷)(原卷版+解析)

这是一份高一数学必考分类(人教A版2019必修第一册)专题5.9三角函数(能力提升卷)(原卷版+解析)，共20页。

专题5.9 三角函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022春·辽宁铁岭·高一校联考期末）已知sinθ+2cosθsinθ−cosθ=2，则tanθ的值为（    ）A．−4 B．−2 C．2 D．42．（2022秋·云南德宏·高三统考期末）已知1−2sinαcosαcos2α−sin2α=12，则tanα=（    ）A．13 B．12 C．13或1 D．12或13．（2020·高一课时练习）函数y=sinx−π8cosx−π8的单调递减区间为（    ）A．kπ+34π,kπ+74π，k∈Z B．kπ+38π,kπ+78π，k∈ZC．kπ−14π,kπ+34π，k∈Z D．kπ−18π,kπ+38π，k∈Z4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=sinωx+φω＞0,0＜φ＜π2的相邻的两个零点之间的距离是π6，且直线x=π18是fx图象的一条对称轴，则fπ12= （    ）A．−32 B．−12 C．12 D．325．（2022·全国·高三专题练习）将函数y=cos2x+π3的图象向左平移φ个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为（    ）A．π3 B．π6 C．2π3 D．π26．（2021春·河南·高一校联考期末）已知α，β，γ都为锐角，α+β+γ=180°，2tanβ=tanα+tanγ，则tanαtanγ=（    ）A．1 B．2 C．3 D．47．（2020秋·江苏南通·高一江苏省西亭高级中学校考阶段练习）已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4，x∈R，且f(2019)=3，则f(2020)的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．68．（2021·高一单元测试）若函数f(x)=kx+1,(−2≤x<0)2sin(ωx+φ),x≥0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则（    ）A．k=−2,ω=2,φ=π3 B．k=12,ω=12,φ=π3C．k=−12,ω=12,φ=π6 D．k=12,ω=12,φ=π6多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·高一课时练习）下列各式的值为1的是（    ）A．tan20∘+tan25∘tan20∘tan25∘−1B．log627+log68−18−13C．sin72∘cos18∘−cos108∘sin18∘D．2cos222⋅5∘−110．（2022秋·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）已知cosα+β=−55，cos2α=−513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（    ）A．sin2α=1213 B．cosα−β=19565C．cosαcosβ=8565 D．tanαtanβ=11811．（2021秋·山东日照·高三校联考阶段练习）已知函数fx=sin2x+φ−π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称，则（    ）A．由fx1=fx2=12可得x1−x2是π的整数倍B．函数fx+π3为偶函数C．函数fx在π3,π2上为减函数D．函数fx在区间0,10π上有20个零点12．（2021·高一单元测试）已知函数fx=sin3x+φ−π2<φ<π2的图像关于直线x=π4对称，则（    ）A．函数fx+π12为奇函数.B．函数fx在π12,π3上单调递增.C．若fx1−fx2=2，则x1−x2的最小值为π3.D．当x∈0,π3,fx的值域是−22,22.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021春·江苏南通·高一校联考期中）3sin20°−1sin70°=__________.14．（2022·上海·高三专题练习）方程sinx1−cosx=1的解集是_________．15．（2021·北京·高三专题练习）设f(x)=cosxcos(30∘−x)，则f(1∘)+f(2∘)+⋯+f(59∘)=__________．16．（2020秋·西藏·高三山南二中校考阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的有______.（写出所有正确说法的序号）①f(x)的图象关于点(−π6,0)对称；②f(x)的图象关于直线x=−5π12对称；③f(x)的图象可由y=3sin2x−cos2x的图象向左平移π2个单位长度得到；④方程f(x)+3=0在[−π2,0]上有两个不相等的实数根.解答题（共6小题，满分70分）17．（2020春·北京顺义·高一统考期末）已知0<α<π2，sinα=45．（1）求sinα+π3的值；（2）求1+sin2αcos2α的值．18．（2021秋·宁夏中卫·高三中卫一中校考阶段练习）已知f(θ)=cos(2π−θ)sin(−θ)tan(π+θ)cos(π−θ)sinπ2−θcosπ2+θ．（1）化简f(θ)；（2）若θ为第四象限角，且cosθ=23，求f(θ)的值．19．（2022·高一单元测试）如图，OPQ是半径为2，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．20．（2021春·广东茂名·高一校联考期末）已知函数fx=2cosx3sinx+cosx−1.（1）求fx的周期和单调区间；（2）若fα=85，α∈π4,π2，求cos2α的值.21．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）fx=sin2x+π3+sin2x−π3+32cos2x−1,x∈R.(1)将函数fx化为Asinωx+φ(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的形式，并写出其最小正周期；(2)求函数fx在区间−π4,π4上的值域.22．（2021春·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）已知函数fx=2cosx·sinx−π6.（1）求fx的最小正周期和单调增区间；（2）指出该函数的图象可由y=sinxx∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若x∈−π6,π3时，函数gx=fx+m的最小值为2，试求出函数gx的最大值并指出x取何值时，函数gx取得最大值.专题5.9 三角函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022春·辽宁铁岭·高一校联考期末）已知sinθ+2cosθsinθ−cosθ=2，则tanθ的值为（    ）A．−4 B．−2 C．2 D．4【答案】D【分析】将分式化为整式后可得tanθ的值.【详解】因为sinθ+2cosθsinθ−cosθ=2，故sinθ+2cosθ=2sinθ−2cosθ即4cosθ=sinθ，若cosθ=0，则sinθ=0，与平方和为1矛盾，故cosθ≠0即tanθ=4，故选：D.2．（2022秋·云南德宏·高三统考期末）已知1−2sinαcosαcos2α−sin2α=12，则tanα=（    ）A．13 B．12 C．13或1 D．12或1【答案】A【分析】利用弦化切可得出关于tanα的等式，即可求得tanα的值.【详解】因为1−2sinαcosαcos2α−sin2α=cos2α+sin2α−2sinαcosαcos2α−sin2α=cosα−sinα2cosα+sinαcosα−sinα=cosα−sinαcosα+sinα=1−tanα1+tanα=12，解得tanα=13.故选：A.3．（2020·高一课时练习）函数y=sinx−π8cosx−π8的单调递减区间为（    ）A．kπ+34π,kπ+74π，k∈Z B．kπ+38π,kπ+78π，k∈ZC．kπ−14π,kπ+34π，k∈Z D．kπ−18π,kπ+38π，k∈Z【答案】B【解析】化简解析式得y=12sin2x−π4，利用整体法结合y=sinx减区间即可得到答案.【详解】y=sinx−π8cosx−π8=12sin2x−π4，由2kπ+π2<2x−π4<2kπ+3π2，得kπ+3π80,0<φ<π2的部分图象如图所示，则（    ）A．k=−2,ω=2,φ=π3 B．k=12,ω=12,φ=π3C．k=−12,ω=12,φ=π6 D．k=12,ω=12,φ=π6【答案】D【解析】由图象中点的坐标，可确定斜率求出k；由图象结合三角函数的周期性，求出ω，再由最小值点可求出φ.【详解】由题意可得，k=1−00−(−2)=12；由图象可得，函数f(x)=2sinωx+φ的周期为T=2πω=48π3−5π3=4π，则ω=12；所以当x≥0时，f(x)=2sin12x+φ，又f83π=−2，所以f83π=2sin12×8π3+φ=2sin4π3+φ=−2，则4π3+φ=32π+2kπk∈Z，所以φ=π6+2kπk∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6.故选：D.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·高一课时练习）下列各式的值为1的是（    ）A．tan20∘+tan25∘tan20∘tan25∘−1B．log627+log68−18−13C．sin72∘cos18∘−cos108∘sin18∘D．2cos222⋅5∘−1【答案】BC【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】tan20∘+tan25∘tan20∘tan25∘−1=−tan20∘+tan25∘1−tan20∘tan25∘=−tan20∘+25∘=−tan45∘=−1,A错误；log627+log68−18−13=3log63+3log62−2=3log63+log62−2=3log66−2=1,B对；sin72∘cos18∘−cos108∘sin18∘=sin72∘cos18∘+cos72∘sin18∘=sin72∘+18∘=sin90∘=1,C对；2cos222.5∘−1=cos45∘=22，D错误.故选：BC.10．（2022秋·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）已知cosα+β=−55，cos2α=−513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（    ）A．sin2α=1213 B．cosα−β=19565C．cosαcosβ=8565 D．tanαtanβ=118【答案】AC【分析】根据同角关系可求sin2α,sinα+β，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.【详解】因为cos(α+β)=−55，cos2α=−513，其中α，β为锐角，故α+β∈0,π所以：sin2α=1−cos22α=1213，故A正确；因为sin(α+β)=1−cos(α+β)2=255，所以cos(α−β)=cos[2α−(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(−513)×(−55)+1213×255=29655，故B错误；可得cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]=12(−55+29565)=8655，故C正确；可得sinαsinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]=12[29565−(−55)]=21655，所以tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=218，故D错误．故选:AC11．（2021秋·山东日照·高三校联考阶段练习）已知函数fx=sin2x+φ−π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称，则（    ）A．由fx1=fx2=12可得x1−x2是π的整数倍B．函数fx+π3为偶函数C．函数fx在π3,π2上为减函数D．函数fx在区间0,10π上有20个零点【答案】BCD【分析】由正弦函数图象的对称轴求得φ，然后利用正弦函数性质判断各选项．【详解】由已知2×π3+φ=kπ+π2，φ=kπ−π6,k∈Z，又−π2<φ<π2，所以φ=−π6，f(x)=sin(2x−π6)．A．当x1=π6，x2=π2时，f(x1)=f(x2)=12，但x1−x2=−π3不是π的整数倍，A错；B．f(x+π3)=sin2(x+π3)−π6=sin(2x+π2)=cos2x是偶函数，B正确；C．x∈π3,π2时，2x−π6∈π2,5π6，由正弦函数性质知它是减函数，C正确；D．T=2π2=π，在(0,π)上，2x−π6∈(−π6,11π6)，2x−π6=0或π时，f(2x−π6)=0，因此有两个零点，而(0,10π)含有10个周期，因此有20个零点，D正确．故选：BCD．12．（2021·高一单元测试）已知函数fx=sin3x+φ−π2<φ<π2的图像关于直线x=π4对称，则（    ）A．函数fx+π12为奇函数.B．函数fx在π12,π3上单调递增.C．若fx1−fx2=2，则x1−x2的最小值为π3.D．当x∈0,π3,fx的值域是−22,22.【答案】AC【分析】根据题意求出fx表达式，对于A选项：求出fx+π12表达式判断奇偶性即可；对于B选项：求出fx单调递增区间，当k=0时即可判断；对于C选项：分析可知x1−x2最小值为半个周期，即可求解；对于D选项：利用换元法令t=3x−π4,求出sint的范围即可得到函数值域；【详解】∵函数fx=sin3x+φ−π2<φ<π2的图像关于直线x=π4对称，∴fπ4=sin3×π4+φ=±1，∴3π4+φ=π2+kπk∈Z，∴φ=−π4+kπk∈Z，∵−π2<φ<π2，∴k=0时，φ=−π4，∴fx=sin3x−π4，对于A选项：∵fx=sin3x−π4,∴fx+π12=sin3x+π12−π4=sin3x， ∵sin−3x=−sin3x， ∴fx+π12为奇函数，故A选项正确；对于B选项：由−π2+2kπ<3x−π4<π2+2kπk∈Z，得−π12+2k3π0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的有______.（写出所有正确说法的序号）①f(x)的图象关于点(−π6,0)对称；②f(x)的图象关于直线x=−5π12对称；③f(x)的图象可由y=3sin2x−cos2x的图象向左平移π2个单位长度得到；④方程f(x)+3=0在[−π2,0]上有两个不相等的实数根.【答案】①②④【解析】先由图象求出函数解析式，用验证法判断①②；根据三角函数图象的变换法则判断③；解三角方程可判断④.【详解】由函数图象可得A=2,14×2πω=π3−π12，解得ω=2，则函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ)，将点(π12,2)代入，得2sin(2×π12+φ)=2解得φ=π3+2kπ,k∈Z，∵|φ|<π2,∴φ=π3所以f(x)=2sin(2x+π3)，① 因为f(−π6)=2sin(−2×π6+π3)=0所以点(−π6,0)是f(x)图象的对称中心，即f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，故①正确；②因为f(−5π12)=2sin(−2×5π12+π3)=−2所以直线x=−5π12是f(x)图象的对称轴即f(x)的图象关于直线x=−5π12对称，故②正确；③y=3sin2x−cos2x=2(32sin2x−12cos2x) =2sin(2x−π6)将y=2sin(2x−π6)的图象向左平移π2个单位长度得到函数y=2sin[2(x+π2)−π6]=2sin(2x+5π6)，所以f(x)的图象不可由y=3sin2x−cos2x的图象向左平移π2个单位长度得到，故③不正确；④当x∈[−π2,0]时，2x+π3∈[−2π3,π3]方程f(x)+3=0，即sin(2x+π3)=−32，解得2x+π3=−π3或2x+π3=−2π3，即x=−π3或x=−π2，故方程f(x)+3=0在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，故④正确，故答案为：①②④【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性、三角函数的图象变换法则，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.解答题（共6小题，满分70分）17．（2020春·北京顺义·高一统考期末）已知0<α<π2，sinα=45．（1）求sinα+π3的值；（2）求1+sin2αcos2α的值．【答案】（1）4+3310；（2）−7.【解析】(1)由平方关系先求cosα的值，再根据两角和的正弦公式代入即可；(2)先求tanα的值，根据平方关系和二倍角公式把1+sin2αcos2α化成关于tanα的表达式，然后代入即可.【详解】解：0<α<π2，sinα=45，cosα=1−sin2α=1−452=35，（1）sinα+π3=sinαcosπ3+cosαsinπ3=4+3310；（2）tanα=sinαcosα=43，1+sin2αcos2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαcos2α−sin2α=tan2α+1+2tanα1−tan2α=432+1+2×431−432=−7【点睛】关键点点睛：本题考查已知三角函数值求函数值，方法是利用三角函数的恒等变形，中档题.18．（2021秋·宁夏中卫·高三中卫一中校考阶段练习）已知f(θ)=cos(2π−θ)sin(−θ)tan(π+θ)cos(π−θ)sinπ2−θcosπ2+θ．（1）化简f(θ)；（2）若θ为第四象限角，且cosθ=23，求f(θ)的值．【答案】（1）f(θ)=−sinθ；（2）73【分析】（1）利用诱导公式化简即可.（2）利用同角三角函数的基本关系可得sinθ=−1−cos2θ=−73，即求.【详解】解：（1）由三角函数诱导公式可知：f(θ)=cosθ(−sinθ)tanθ(−cosθ)cosθ(−sinθ)=−tanθcosθ=−sinθ．（2）由题意，sinθ=−1−29=−73，可得f(θ)=73．19．（2022·高一单元测试）如图，OPQ是半径为2，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．【答案】（1）S =2sinθ+2sin(π3−θ)(θ∈(0,π3))（2）当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，S最大，且最大值为2.【分析】（1）四边形的面积可以看成是ΔPOC和ΔQOC的面积之和．因为∠COP=θ，则∠QOC=π3−θ，根据三角形的面积公式即可得出S=2sinθ+2sinπ3−θθ∈0,π3；（2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：S=2sinθ+π3，根据θ∈0,π3，得θ=π6时，S最大，且最大值为2．【详解】（1）S=SΔPOC+SΔODC=12OP⋅OC⋅sin∠POC+12OQ⋅OC⋅sin∠QOC =2sinθ+2sinπ3−θθ∈0,π3（2）由（1）知S=2sinθ+2sinπ3−θ=2sinθ+3cosθ−sinθ=sinθ+3cosθ =212sinθ+32cosθ =2sinθ+π3θ∈0,π3，因为θ∈0,π3，所以θ+π3∈π3,2π3故当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，S最大，且最大值为2．考点：三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质.20．（2021春·广东茂名·高一校联考期末）已知函数fx=2cosx3sinx+cosx−1.（1）求fx的周期和单调区间；（2）若fα=85，α∈π4,π2，求cos2α的值.【答案】（1）周期为π，增区间为−π3+kπ,π6+kπ k∈Z，减区间为π6+kπ,2π3+kπ k∈Z；（2）4−3310.【解析】（1）利用三角恒等变换思想可得出fx=2sin2x+π6，利用周期公式可求出函数y=fx的周期，分别解不等式−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ k∈Z和π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ k∈Z，可得出该函数的增区间和减区间；（2）由fα=85可得出sin2α+π6=45，利用同角三角函数的平方关系求出cos2α+π6的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos2α的值.【详解】（1）∵fx=2cosx3sinx+cosx−1=23sinxcosx+2cos2x−1 =3sin2x+cos2x=2sin2x+π6，所以，函数y=fx的周期为T=2π2=π，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ k∈Z；令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ k∈Z.因此，函数y=fx的增区间为−π3+kπ,π6+kπ k∈Z，减区间为π6+kπ,2π3+kπ k∈Z；（2）∵fα=2sin2α+π6=85，∴sin2α+π6=45，∵α∈π4,π2，∴2α+π6∈2π3,7π6，∴cos2α+π6=−1−sin22α+π6=−35，∴cos2α=cos2α+π6−π6=cos2α+π6cosπ6+sin2α+π6sinπ6 =−35×32+45×12=4−3310.【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查运算求解能力，属于中等题.21．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）fx=sin2x+π3+sin2x−π3+32cos2x−1,x∈R.(1)将函数fx化为Asinωx+φ(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的形式，并写出其最小正周期；(2)求函数fx在区间−π4,π4上的值域.【答案】(1)fx=2sin2x+π3，最小正周期T=π(2)−1,2【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简fx的解析式，并求得最小正周期.（2）根据三角函数值域的求法，求得函数fx在区间−π4,π4上的值域.【详解】（1）fx=sin2x+π3+sin2x−π3+32cos2x−1=12sin2x+32cos2x+12sin2x−32cos2x+3cos2x=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3.所以fx的最小正周期T=2π2=π.（2）由于−π4≤x≤π4,−π2≤2x≤π2,−π6≤2x+π3≤5π6，所以sin2x+π3∈−12,1,2sin2x+π3∈−1,2，所以fx在区间−π4,π4上的值域为−1,2.22．（2021春·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）已知函数fx=2cosx·sinx−π6.（1）求fx的最小正周期和单调增区间；（2）指出该函数的图象可由y=sinxx∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若x∈−π6,π3时，函数gx=fx+m的最小值为2，试求出函数gx的最大值并指出x取何值时，函数gx取得最大值.【答案】（1）T=π；单调增区间为kπ−π6，kπ+π3k∈Z.（2）答案见解析；（3）x=π3时函数gx取得最大值为4.【分析】（1）化简fx= sin2x−π6−12，由周期公式、正弦函数的单调性可得答案；（2）由（1）知fx=sin2x−π6−12，根据图象平移规律可得答案；（3）函数gx=sin2x−π6−12+m，由x的范围得到sin2x−π6−12+m的范围，由gx的最小值为2得m，同得到gx的最大值和取得最大值时x的值 .【详解】（1）fx=2cosx⋅sinx−π6=2cosx⋅sinxcosπ6−cosxsinπ6=32sin2x−cos2x2−12=sin2x−π6−12，所以最小正周期为T=2π2=π；由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2k∈Z得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z，fx的单调增区间为kπ−π6，kπ+π3k∈Z.（2）由（1）知fx=sin2x−π6−12，由y=sinx的图象向右平移π6个单位得到fx=sinx−π6的图象，把fx=sinx−π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变得到fx=sin2x−π6的图象，再把fx=sin2x−π6的图象向下平移12单位得到fx=sin2x−π6−12的图象.（3）函数gx=fx+m=sin2x−π6−12+m x∈−π6,π3，因为x∈−π6,π3， −π2≤2x−π6≤π2，所以−32+m≤sin2x−π6−12+m≤12+m，因为gx的最小值为2，所以−32+m=2，解得m=72，得到gx的最大值为4，即sin2x−π6=1时， 解得x=π3，即x=π3时函数gx取得最大值，最大值为4.