高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题31指数幂及其运算(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题31指数幂及其运算(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了分数指数幂的意义，有理数指数幂的运算性质，无理数指数幂，已知，则化为，将化成分数指数幂为，化简的结果是，用有理指数幂的形式表示下列各式等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：(1)分数指数幂a eq \s\up15( eq \f (m,n)) 不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a－b＝eq \f(1,ab)(a>0，b是正无理数)．
(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
题型一 根式与分数指数幂的互化
1．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
2．式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
3．将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
5．将化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
6．化简(其中，)的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．的分数指数幂表示为____________
8．已知，则___________.
9．化简，将结果用有理指数幂的形式表示为______．
10．用有理指数幂的形式表示下列各式（其中）：
（1）______； （2）______．
11．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
12．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中，均为正数）：
(1)；(2)；(3)．
题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求解
1．化简结果为（ ）
A．aB．bC．D．
2．计算：
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．计算： =____________.
5．计算=________________.
6．(a>0，b>0)＝________.
7．已知，则 ______.
8．化简．
9．化简下列各式：
(1)；(2)．
10．计算下列各式（式中字母均为正数）：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)；(8)．
11．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
12．计算：
(1)；(2) (a＞0，b＞0)．
13．计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)求值：
题型三 指数幂运算中的条件求值
1．若则（ ）
A．10B．15C．D．
2．设a，b为正实数，，，则（ ）
A．1B．3C．9D．27
3．设，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
4．已知，，则______．
5．设，则___________.
6．已知,，则的值为______.
7．，则_______．
8．若为方程x2－3x＋a＝0的两根，则________．
9．已知，则___________.
10．已知，且，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
11．已知，求的值．
12．（1）已知，计算：；
（2）设，，求的值．
13．求解下列问题：
(1)已知，且，求.
(2)已知，求和的值.
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq \s\up5(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－eq \s\up5(\f(m,n))＝eq \f(1,aeq \s\up5(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义
专题31 指数幂及其运算
1．分数指数幂的意义
温馨提示：(1)分数指数幂a eq \s\up15( eq \f (m,n)) 不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a－b＝eq \f(1,ab)(a>0，b是正无理数)．
(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
题型一 根式与分数指数幂的互化
1．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
[解析]由负分数指数幂的意义可知，，
所以，即，因此的取值范围是．故选：C.
2．式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
[解析].故选：D.
3．将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
[解析].故选：C.
4．已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
[解析]，.故选：C．
5．将化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
[解析]．故选：B.
6．化简(其中，)的结果是（ ）
A． B． C． D．
[解析]因，，所以.故选：C
7．的分数指数幂表示为____________
[解析]
8．已知，则___________.
[解析]，则，因此，.
9．化简，将结果用有理指数幂的形式表示为______．
[解析]
10．用有理指数幂的形式表示下列各式（其中）：
（1）______； （2）______．
[解析]（1）；（2）.
11．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
[解析]（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
=====
解法二：从外向里化为分数指数幂.
=====
12．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中，均为正数）：
(1)；(2)；(3)．
[解析] (1)；
(2)；
(3).
题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求解
1．化简结果为（ ）
A．aB．bC．D．
[解析]根据实数指数幂的运算公式，可得：.故选：A.
2．计算：
[解析]2+22+1＝7．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
[解析]根据题意得，，
因为，所以.故选：D.
4．计算： =____________.
[解析]
5．计算=________________.
[解析]由题得，，，
原式=.
6．(a>0，b>0)＝________.
[解析]原式＝＝.
7．已知，则 ______.
[解析].
8．化简．
[解析]
9．化简下列各式：
(1)；(2)．
[解析] (1)
．
(2)
．
10．计算下列各式（式中字母均为正数）：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)；(8)．
[解析] (1)由指数幂的运算公式，可得.
(2)由指数幂的运算公式，可得.
(3)由指数幂的运算公式，可得.
(4)由指数幂的运算公式，可得.
(5)由指数幂的运算公式，可得.
(6)由指数幂的运算公式，
可得.
(7)由指数幂的运算公式，
可得.
(8)由指数幂的运算公式，可得.
11．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
[解析] (1)原式；
(2)原式；
(3)原式；
(4)原式.
12．计算：
(1)；(2) (a＞0，b＞0)．
[解析] (1)
.
(2).
13．计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)求值：
[解析](1)
(2)
(3)原式
.
(4)
题型三 指数幂运算中的条件求值
1．若则（ ）
A．10B．15C．D．
[解析]因为两边平方得，
即，所以原式，故选：C
2．设a，b为正实数，，，则（ ）
A．1B．3C．9D．27
[解析]因为，所以，即，
∴，，∴，故选：C．
3．设，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
[解析]∵，，∴，∴，故选：B
4．已知，，则______．
[解析]因为，，所以．
5．设，则___________.
[解析]由.
6．已知,，则的值为______.
[解析]由，得，即，所以，则.
7．，则_______．
[解析]因为，且，所以.
8．若为方程x2－3x＋a＝0的两根，则________．
[解析]因为为方程x2－3x＋a＝0的两根，所以
所以＝3×(32－3)＝18，
x2＋x-2＝＝(32－2)2－2＝47，
所以.
9．已知，则___________.
[解析].
10．已知，且，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
[解析] (1)因为，且，所以；
(2)因为，所以，则，
因为，所以舍去）；
(3).
11．已知，求的值．
[解析]因为，
故.
12．（1）已知，计算：；
（2）设，，求的值．
[解析]（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，即，所以，
所以．
（2）因为，所以，即．
又，所以，即，由，解得，
故的值为27．
13．求解下列问题：
(1)已知，且，求.
(2)已知，求和的值.
[解析] (1)，，
，.
(2)，.
，，.
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq \s\up5(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－eq \s\up5(\f(m,n))＝eq \f(1,aeq \s\up5(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义