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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题34对数的概念(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题34对数的概念(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了对数的定义，常用对数与自然对数，指数与对数的互化，对数的基本性质，若lg有意义，求x的取值范围等内容，欢迎下载使用。
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
4．对数的基本性质
(1)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即lga1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①对数恒等式：algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
题型一 对数的概念
1．使对数lg2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
2．使对数lga(5－a)有意义的a的取值范围为( )
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)
C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)
3．使lg(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
4．函数f(x)＝eq \f(lg x＋1,x－1)中x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
5．若lg(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围．
6．若对数lg(2a－1)(6－2a)有意义，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,3)
7．对于a＞0，且a≠1，下列说法中，正确的是( )
①若M＝N，则lgaM＝lgaN；②若lgaM＝lgaN，则M＝N；
③若lgaM2＝lgaN2，则M＝N；④若M＝N，则lgaM2＝lgaN2.
A．①③ B．②④ C．② D．①②③④
题型二 指数式与对数式的互化
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；(3)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(4)lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6.
2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 32＝－5；(5)lg0.001＝－3.
3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2)4－2＝eq \f(1,16)；(3)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3；(4)lg3eq \f(1,27)＝－3.(5)lg 1 000＝3；(6)ln x＝2.
4．(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝eq \f(1,32)；34＝81；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n；
(2)将下列对数式改写成指数式：lg5125＝3；lgeq \f(1,2)16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3.
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln1＝0 B．8 eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3) C．lg39＝2与9 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝3 D．lg77＝1与71＝7
6．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．lg3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
7．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5cB．b5＝ac
C．b＝5acD．b＝c5a
8．若lgxeq \r(7,y)＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
9．若a＝lg23，则2a＋2－a＝________；
10．若xlg23＝1，则3x＋9x的值为( )
A．6B．3
C．eq \f(5,2) D．eq \f(1,2)
11．若a＝lg 2，b＝lg 3，则100的值为________．
12．若lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，lgeq \f(1,4)y＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
题型三 对数的计算
1．lg3 eq \f(1,81)＝
2．已知lgx16＝2，则x等于
3．已知lnx＝2，则x等于
4．若lg3x＝3，则x＝
5．已知lgeq \s\up4(\f(1,2))x＝3，则xeq \s\up5(\f(1,3))＝________.
6．方程2lg3x＝eq \f(1,4)的解是
7．方程lg3(2x2－1)＝1的解为x＝________.
8．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若lg25x＝eq \f(1,2)，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．lg33＋3lg32＝________.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－lg2x＋1，x≥0，,2x－1，x＜0，))则f(f(3))＝________.
11．求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)； (2)lgx 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
12．求下列各式中x的值：
(1)若lg3 eq \f(1＋2x,3)＝1，求x的值；
(2)若lg2019(x2－1)＝0，求x的值．
13．计算：(1)lg9 27；(2)lgeq \r(4,3) 81；(3)lgeq \r(3,54)625.
14．求下列各式中的x的值：
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；(3)lgx(3＋2eq \r(2))＝－2；(4)lg5(lg2x)＝0；(5)x＝lg27eq \f(1,9).
题型四 对数性质的应用
1．若lg3(lg x)＝0，则x的值等于________．
2．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.
3．求下列各式中x的值：
①lg2(lg5x)＝0；②lg3(lg x)＝1；③lg eq \s\d8((eq \r(2)－1)) (eq \r(2)－1)＝x；④3x＋3＝2.
4．若lg2(x2－7x＋13)＝0，求x的值；
5．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x等于
6．lg5(lg3(lg2x))＝0，则xeq \s\up15(－\f(1,2))等于
7．已知lg2[lg3(lg4x)]＝lg3[lg4(lg2y)]＝0，求x＋y 的值．
8．2 eq \s\up15(1＋eq \f(1,2)lg25) 的值等于
9．设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于
10．式子2lg25＋lg eq \s\d8(\f(3,2)) 1的值为________．
11．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54的值为________．
12．求值：(1)9eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)；(2) 5eq \s\up15(1＋lg52).
13．计算23＋lg23＋32－lg39＝________.
14．3lg34－27eq \s\up5(\f(2,3))－lg 0.01＋ln e3等于
15．2 eq \s\up15(lg2eq \f(1,4)) －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋lg eq \f(1,100)＋(eq \r(2)－1)lg 1的值是________．
16．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)的值是
17．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1，求eq \r(x)·yeq \s\up5(\f(3,4))的值．
18．已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝eq \f(1,b).
19．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值．
专题34 对数的概念
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
4．对数的基本性质
(1)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即lga1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①对数恒等式：algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
题型一 对数的概念
1．使对数lg2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
[解析]要使对数lg2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x所以x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))，故选C.
2．使对数lga(5－a)有意义的a的取值范围为( )
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)
C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)
[解析]由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得03．使lg(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
[解析] 要使lg(x－1)(x＋2)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,x＋2>0，))∴x>1且x≠2.
4．函数f(x)＝eq \f(lg x＋1,x－1)中x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[解析] 要使函数有意义，必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－1≠0，))解得x>－1且x≠1，故选C.
5．若lg(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围．
[解析]若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(1,2)，且x≠1.即x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)，且x≠1)))).
6．若对数lg(2a－1)(6－2a)有意义，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,3)
[解析]由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－2a＞0，,2a－1＞0，,2a－1≠1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜3，,a＞\f(1,2)，,a≠1))⇒eq \f(1,2)＜a＜3且a≠1，故选D.
7．对于a＞0，且a≠1，下列说法中，正确的是( )
①若M＝N，则lgaM＝lgaN；②若lgaM＝lgaN，则M＝N；
③若lgaM2＝lgaN2，则M＝N；④若M＝N，则lgaM2＝lgaN2.
A．①③ B．②④ C．② D．①②③④
[解析]对于①，当M＝N≤0时，lgaM，lgaN都没有意义，故不成立；对于②，lgaM＝lgaN，则必有M＞0，N＞0，M＝N；对于③，当M，N互为相反数且不为0时，也有lgaM2＝lgaN2，但此时M≠N；对于④，当M＝N＝0时，lgaM2，lgaN2都没有意义，故不成立．综上，只有②正确．
题型二 指数式与对数式的互化
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；(3)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(4)lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6.
[解析] (1)∵3－2＝eq \f(1,9)，∴lg3eq \f(1,9)＝－2. (2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16，∴lgeq \f(1,4)16＝－2.
(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27. (4)∵lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6，∴(eq \r(x))－6＝64.
2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 32＝－5；(5)lg0.001＝－3.
[解析] (1)lg2eq \f(1,128)＝－7. (2)lg327＝a. (3)lg0.1＝－1. (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝32. (5)10－3＝0.001.
3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2)4－2＝eq \f(1,16)；(3)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3；(4)lg3eq \f(1,27)＝－3.(5)lg 1 000＝3；(6)ln x＝2.
[解析] (1)∵53＝125，∴lg5125＝3. (2)∵4－2＝eq \f(1,16)，∴lg4eq \f(1,16)＝－2.
(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝8. (4)∵lg3eq \f(1,27)＝－3，∴3－3＝eq \f(1,27).
(5)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (6)由ln x＝2，可得e2＝x.
4．(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝eq \f(1,32)；34＝81；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n；
(2)将下列对数式改写成指数式：lg5125＝3；lgeq \f(1,2)16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3.
[解析] (1)lg216＝4；lg2eq \f(1,32)＝－5；lg381＝4；lgeq \f(1,2)n＝m.
(2)53＝125；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16；eb＝a；103＝1000.
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln1＝0 B．8 eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3) C．lg39＝2与9 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝3 D．lg77＝1与71＝7
[解析]由lg39＝2，得32＝9，故选C.
6．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．lg3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
[解析]∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，选B.
7．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5cB．b5＝ac
C．b＝5acD．b＝c5a
[解析]由lgaeq \r(5,b)＝c，得ac＝eq \r(5,b)，∴b＝(ac)5＝a5c.[答案] A
8．若lgxeq \r(7,y)＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
[解析]∵lgxeq \r(7,y)＝z，∴eq \r(7,y)＝xz，∴y＝(xz)7＝x7z.
9．若a＝lg23，则2a＋2－a＝________；
[解析]因为a＝lg23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝eq \f(10,3).
10．若xlg23＝1，则3x＋9x的值为( )
A．6B．3
C．eq \f(5,2) D．eq \f(1,2)
[解析]由xlg23＝1得3x＝2，因此9x＝(3x)2＝4，所以3x＋9x＝2＋4＝6，故选A.
11．若a＝lg 2，b＝lg 3，则100的值为________．
[解析]∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3.∴100＝eq \f(10a2,10b)＝eq \f(4,3).
12．若lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，lgeq \f(1,4)y＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
[解析] ∵lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.∵lg eq \s\d8(\f(1,4)) y＝m＋2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.
∴eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
题型三 对数的计算
1．lg3 eq \f(1,81)＝
[解析]令lg3eq \f(1,81)＝t，则3t＝eq \f(1,81)＝3－4，∴t＝－4.
2．已知lgx16＝2，则x等于
[解析] ∵lgx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.
3．已知lnx＝2，则x等于
[解析] 由lnx＝2得，e2＝x，所以x＝e2.
4．若lg3x＝3，则x＝
[解析]∵lg3x＝3，∴x＝33＝27.
5．已知lgeq \s\up4(\f(1,2))x＝3，则xeq \s\up5(\f(1,3))＝________.
[解析]∵lgeq \s\up4(\f(1,2))x＝3，∴x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴xeq \f(1,3)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3))eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
6．方程2lg3x＝eq \f(1,4)的解是
[解析]∵2lg3x＝eq \f(1,4)＝2－2，∴lg3x＝－2，∴x＝3－2＝eq \f(1,9).
7．方程lg3(2x2－1)＝1的解为x＝________.
[解析] 由lg3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，∴2x2＝4，x＝±eq \r(2).
8．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若lg25x＝eq \f(1,2)，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]对于①，∵lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①对；
对于②，∵lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②对；
对于③，∵10＝lg x，∴x＝1010，③错；
对于④，∵lg25x＝eq \f(1,2)，∴x＝25eq \f(1,2)＝5.所以只有①②正确．
9．lg33＋3lg32＝________.
[解析] lg33＋3lg32＝1＋2＝3.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－lg2x＋1，x≥0，,2x－1，x＜0，))则f(f(3))＝________.
[解析]∵f(3)＝－lg2(3＋1)＝－lg24＝－2，∴f(f(3))＝f(－2)＝2－2－1＝eq \f(1,4)－1＝－eq \f(3,4).
11．求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)； (2)lgx 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解析] (1)x＝(64)eq \s\up15(－\f(2,3))＝(43)eq \s\up15(－\f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16).
(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq \s\up5(\f(1,6))＝8eq \s\up5(\f(1,6))＝(23)eq \s\up5(\f(1,6))＝2eq \s\up5(\f(1,2))＝eq \r(2).
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.
12．求下列各式中x的值：
(1)若lg3 eq \f(1＋2x,3)＝1，求x的值；
(2)若lg2019(x2－1)＝0，求x的值．
[解析] (1)∵lg3eq \f(1＋2x,3)＝1，∴eq \f(1＋2x,3)＝3，∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵lg2019(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±eq \r(2).
13．计算：(1)lg9 27；(2)lgeq \r(4,3) 81；(3)lgeq \r(3,54)625.
[解析] (1)设x＝lg9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝eq \f(3,2).
(2)设x＝lgeq \r(4,3)81，则(eq \r(4,3))x＝81,3eq \s\up15(\f(x,4))＝34，∴x＝16.
(3)令x＝lgeq \r(3,54)625，∴(eq \r(3,54))x＝625,5eq \s\up15(\f(4,3)x)＝54，∴x＝3.
14．求下列各式中的x的值：
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；(3)lgx(3＋2eq \r(2))＝－2；(4)lg5(lg2x)＝0；(5)x＝lg27eq \f(1,9).
[解析] (1)由lgx27＝eq \f(3,2)，得x eq \s\up15( eq \f (3,2)) ＝27，∴x＝27 eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝32＝9.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，得2 eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＝x，∴x＝eq \f(1,\r(3,22))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由lgx(3＋2eq \r(2))＝－2，得3＋2eq \r(2)＝x－2，
即x＝(3＋2eq \r(2)) eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \r(2)－1.
(4)由lg5(lg2x)＝0，得lg2x＝1.∴x＝21＝2.
(5)由x＝lg27eq \f(1,9)，得27x＝eq \f(1,9)，即33x＝3－2，∴x＝－eq \f(2,3).
题型四 对数性质的应用
1．若lg3(lg x)＝0，则x的值等于________．
[解析]由lg3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.
2．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.
[解析]由lg2(lgx9)＝1可知lgx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．
3．求下列各式中x的值：
①lg2(lg5x)＝0；②lg3(lg x)＝1；③lg eq \s\d8((eq \r(2)－1)) (eq \r(2)－1)＝x；④3x＋3＝2.
[解析]①∵lg2(lg5x)＝0.∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
②∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1000.
③∵lg eq \s\d8((eq \r(2)－1)) (eq \r(2)－1)＝x，∴(eq \r(2)－1)x＝eq \r(2)－1，∴x＝1.
④∵x＋3＝lg32，∴x＝lg32－3.
4．若lg2(x2－7x＋13)＝0，求x的值；
[解析]因为lg2(x2－7x＋13)＝0，所以x2－7x＋13＝1，即x2－7x＋12＝0，解得x＝4或x＝3.
5．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x等于
[解析]由条件知，lg3(lg2x)＝1，所以lg2x＝3，所以x＝8.
6．lg5(lg3(lg2x))＝0，则xeq \s\up15(－\f(1,2))等于
[解析]∵lg5(lg3(lg2x))＝0，∴lg3(lg2x)＝1，∴lg2x＝3，∴x＝23＝8，
∴xeq \s\up15(－\f(1,2))＝8eq \s\up15(－\f(1,2))＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
7．已知lg2[lg3(lg4x)]＝lg3[lg4(lg2y)]＝0，求x＋y 的值．
[解析]因为lg2[lg3(lg4x)]＝0，所以lg3(lg4x)＝1，所以lg4x＝3.
所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.
8．2 eq \s\up15(1＋eq \f(1,2)lg25) 的值等于
[解析]2 eq \s\up15(1＋eq \f(1,2)lg25) ＝2×2 eq \s\up15(eq \f(1,2)lg25) ＝2×(2lg25) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝2×(5) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝2eq \r(5).
9．设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于
[解析] 由5 lg5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.
10．式子2lg25＋lg eq \s\d8(\f(3,2)) 1的值为________．
[解析] 原式＝5＋0＝5.
11．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54的值为________．
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54＝2×4＝8.
12．求值：(1)9eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)；(2) 5eq \s\up15(1＋lg52).
[解析] (1)9eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)＝(32)eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)＝3eq \s\up15(lg34)＝4. (2)5eq \s\up15(1＋lg52)＝5×5eq \s\up15(lg52)＝5×2＝10.
13．计算23＋lg23＋32－lg39＝________.
[解析]23＋lg23＋32－lg39＝23×2lg23＋eq \f(32,3lg39)＝8×3＋eq \f(9,9)＝25.
14．3lg34－27eq \s\up5(\f(2,3))－lg 0.01＋ln e3等于
[解析]3lg34－27eq \s\up5(\f(2,3))－lg 0.01＋ln e3＝4－eq \r(3,272)－lgeq \f(1,100)＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.
15．2 eq \s\up15(lg2eq \f(1,4)) －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋lg eq \f(1,100)＋(eq \r(2)－1)lg 1的值是________．
[解析]原式＝eq \f(1,4)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3)) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋lg 10－2＋(eq \r(2)－1)0＝eq \f(1,4)－eq \f(9,4)－2＋1＝－3.
16．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)的值是
[解析]由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴lgx(yx)＝lg2(12)＝0.
17．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1，求eq \r(x)·yeq \s\up5(\f(3,4))的值．
[解析] ∵lg2(lg3(lg4 x))＝0，∴lg3(lg4 x)＝1，
∴lg4 x＝3，∴x＝43＝64.由lg4(lg2 y)＝1，知lg2 y＝4，∴y＝24＝16.
因此eq \r(x)·yeq \s\up5(\f(3,4))＝eq \r(64)×16eq \s\up5(\f(3,4))＝8×8＝64.
18．已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝eq \f(1,b).
[解析]设lgab＝lgba＝k，则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0，且b≠1，∴k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝eq \f(1,b)；
当k＝1时，a＝b.∴a＝b或a＝eq \f(1,b)，命题得证．
19．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值．
[解析]原函数式可化为f(x)＝lg aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,lg a)))2－eq \f(1,lg a)＋4lg a.∵f(x)有最大值3，
∴lg a<0，且－eq \f(1,lg a)＋4lg a＝3，
整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－eq \f(1,4).
又∵lg a<0，∴lg a＝－eq \f(1,4).∴a＝10 eq \s\up15(－eq \f(1,4)) .
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
4．对数的基本性质
(1)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即lga1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①对数恒等式：algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
题型一 对数的概念
1．使对数lg2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
2．使对数lga(5－a)有意义的a的取值范围为( )
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)
C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)
3．使lg(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
4．函数f(x)＝eq \f(lg x＋1,x－1)中x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
5．若lg(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围．
6．若对数lg(2a－1)(6－2a)有意义，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,3)
7．对于a＞0，且a≠1，下列说法中，正确的是( )
①若M＝N，则lgaM＝lgaN；②若lgaM＝lgaN，则M＝N；
③若lgaM2＝lgaN2，则M＝N；④若M＝N，则lgaM2＝lgaN2.
A．①③ B．②④ C．② D．①②③④
题型二 指数式与对数式的互化
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；(3)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(4)lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6.
2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 32＝－5；(5)lg0.001＝－3.
3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2)4－2＝eq \f(1,16)；(3)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3；(4)lg3eq \f(1,27)＝－3.(5)lg 1 000＝3；(6)ln x＝2.
4．(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝eq \f(1,32)；34＝81；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n；
(2)将下列对数式改写成指数式：lg5125＝3；lgeq \f(1,2)16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3.
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln1＝0 B．8 eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3) C．lg39＝2与9 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝3 D．lg77＝1与71＝7
6．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．lg3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
7．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5cB．b5＝ac
C．b＝5acD．b＝c5a
8．若lgxeq \r(7,y)＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
9．若a＝lg23，则2a＋2－a＝________；
10．若xlg23＝1，则3x＋9x的值为( )
A．6B．3
C．eq \f(5,2) D．eq \f(1,2)
11．若a＝lg 2，b＝lg 3，则100的值为________．
12．若lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，lgeq \f(1,4)y＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
题型三 对数的计算
1．lg3 eq \f(1,81)＝
2．已知lgx16＝2，则x等于
3．已知lnx＝2，则x等于
4．若lg3x＝3，则x＝
5．已知lgeq \s\up4(\f(1,2))x＝3，则xeq \s\up5(\f(1,3))＝________.
6．方程2lg3x＝eq \f(1,4)的解是
7．方程lg3(2x2－1)＝1的解为x＝________.
8．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若lg25x＝eq \f(1,2)，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．lg33＋3lg32＝________.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－lg2x＋1，x≥0，,2x－1，x＜0，))则f(f(3))＝________.
11．求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)； (2)lgx 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
12．求下列各式中x的值：
(1)若lg3 eq \f(1＋2x,3)＝1，求x的值；
(2)若lg2019(x2－1)＝0，求x的值．
13．计算：(1)lg9 27；(2)lgeq \r(4,3) 81；(3)lgeq \r(3,54)625.
14．求下列各式中的x的值：
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；(3)lgx(3＋2eq \r(2))＝－2；(4)lg5(lg2x)＝0；(5)x＝lg27eq \f(1,9).
题型四 对数性质的应用
1．若lg3(lg x)＝0，则x的值等于________．
2．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.
3．求下列各式中x的值：
①lg2(lg5x)＝0；②lg3(lg x)＝1；③lg eq \s\d8((eq \r(2)－1)) (eq \r(2)－1)＝x；④3x＋3＝2.
4．若lg2(x2－7x＋13)＝0，求x的值；
5．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x等于
6．lg5(lg3(lg2x))＝0，则xeq \s\up15(－\f(1,2))等于
7．已知lg2[lg3(lg4x)]＝lg3[lg4(lg2y)]＝0，求x＋y 的值．
8．2 eq \s\up15(1＋eq \f(1,2)lg25) 的值等于
9．设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于
10．式子2lg25＋lg eq \s\d8(\f(3,2)) 1的值为________．
11．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54的值为________．
12．求值：(1)9eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)；(2) 5eq \s\up15(1＋lg52).
13．计算23＋lg23＋32－lg39＝________.
14．3lg34－27eq \s\up5(\f(2,3))－lg 0.01＋ln e3等于
15．2 eq \s\up15(lg2eq \f(1,4)) －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋lg eq \f(1,100)＋(eq \r(2)－1)lg 1的值是________．
16．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)的值是
17．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1，求eq \r(x)·yeq \s\up5(\f(3,4))的值．
18．已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝eq \f(1,b).
19．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值．
专题34 对数的概念
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
4．对数的基本性质
(1)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即lga1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①对数恒等式：algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
题型一 对数的概念
1．使对数lg2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
[解析]要使对数lg2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x
2．使对数lga(5－a)有意义的a的取值范围为( )
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)
C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)
[解析]由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0
[解析] 要使lg(x－1)(x＋2)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,x＋2>0，))∴x>1且x≠2.
4．函数f(x)＝eq \f(lg x＋1,x－1)中x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[解析] 要使函数有意义，必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－1≠0，))解得x>－1且x≠1，故选C.
5．若lg(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围．
[解析]若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(1,2)，且x≠1.即x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)，且x≠1)))).
6．若对数lg(2a－1)(6－2a)有意义，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,3)
[解析]由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－2a＞0，,2a－1＞0，,2a－1≠1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜3，,a＞\f(1,2)，,a≠1))⇒eq \f(1,2)＜a＜3且a≠1，故选D.
7．对于a＞0，且a≠1，下列说法中，正确的是( )
①若M＝N，则lgaM＝lgaN；②若lgaM＝lgaN，则M＝N；
③若lgaM2＝lgaN2，则M＝N；④若M＝N，则lgaM2＝lgaN2.
A．①③ B．②④ C．② D．①②③④
[解析]对于①，当M＝N≤0时，lgaM，lgaN都没有意义，故不成立；对于②，lgaM＝lgaN，则必有M＞0，N＞0，M＝N；对于③，当M，N互为相反数且不为0时，也有lgaM2＝lgaN2，但此时M≠N；对于④，当M＝N＝0时，lgaM2，lgaN2都没有意义，故不成立．综上，只有②正确．
题型二 指数式与对数式的互化
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；(3)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(4)lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6.
[解析] (1)∵3－2＝eq \f(1,9)，∴lg3eq \f(1,9)＝－2. (2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16，∴lgeq \f(1,4)16＝－2.
(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27. (4)∵lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6，∴(eq \r(x))－6＝64.
2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 32＝－5；(5)lg0.001＝－3.
[解析] (1)lg2eq \f(1,128)＝－7. (2)lg327＝a. (3)lg0.1＝－1. (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝32. (5)10－3＝0.001.
3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2)4－2＝eq \f(1,16)；(3)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3；(4)lg3eq \f(1,27)＝－3.(5)lg 1 000＝3；(6)ln x＝2.
[解析] (1)∵53＝125，∴lg5125＝3. (2)∵4－2＝eq \f(1,16)，∴lg4eq \f(1,16)＝－2.
(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝8. (4)∵lg3eq \f(1,27)＝－3，∴3－3＝eq \f(1,27).
(5)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (6)由ln x＝2，可得e2＝x.
4．(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝eq \f(1,32)；34＝81；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n；
(2)将下列对数式改写成指数式：lg5125＝3；lgeq \f(1,2)16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3.
[解析] (1)lg216＝4；lg2eq \f(1,32)＝－5；lg381＝4；lgeq \f(1,2)n＝m.
(2)53＝125；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16；eb＝a；103＝1000.
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln1＝0 B．8 eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3) C．lg39＝2与9 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝3 D．lg77＝1与71＝7
[解析]由lg39＝2，得32＝9，故选C.
6．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．lg3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
[解析]∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，选B.
7．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5cB．b5＝ac
C．b＝5acD．b＝c5a
[解析]由lgaeq \r(5,b)＝c，得ac＝eq \r(5,b)，∴b＝(ac)5＝a5c.[答案] A
8．若lgxeq \r(7,y)＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
[解析]∵lgxeq \r(7,y)＝z，∴eq \r(7,y)＝xz，∴y＝(xz)7＝x7z.
9．若a＝lg23，则2a＋2－a＝________；
[解析]因为a＝lg23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝eq \f(10,3).
10．若xlg23＝1，则3x＋9x的值为( )
A．6B．3
C．eq \f(5,2) D．eq \f(1,2)
[解析]由xlg23＝1得3x＝2，因此9x＝(3x)2＝4，所以3x＋9x＝2＋4＝6，故选A.
11．若a＝lg 2，b＝lg 3，则100的值为________．
[解析]∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3.∴100＝eq \f(10a2,10b)＝eq \f(4,3).
12．若lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，lgeq \f(1,4)y＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
[解析] ∵lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.∵lg eq \s\d8(\f(1,4)) y＝m＋2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.
∴eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
题型三 对数的计算
1．lg3 eq \f(1,81)＝
[解析]令lg3eq \f(1,81)＝t，则3t＝eq \f(1,81)＝3－4，∴t＝－4.
2．已知lgx16＝2，则x等于
[解析] ∵lgx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.
3．已知lnx＝2，则x等于
[解析] 由lnx＝2得，e2＝x，所以x＝e2.
4．若lg3x＝3，则x＝
[解析]∵lg3x＝3，∴x＝33＝27.
5．已知lgeq \s\up4(\f(1,2))x＝3，则xeq \s\up5(\f(1,3))＝________.
[解析]∵lgeq \s\up4(\f(1,2))x＝3，∴x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴xeq \f(1,3)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3))eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
6．方程2lg3x＝eq \f(1,4)的解是
[解析]∵2lg3x＝eq \f(1,4)＝2－2，∴lg3x＝－2，∴x＝3－2＝eq \f(1,9).
7．方程lg3(2x2－1)＝1的解为x＝________.
[解析] 由lg3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，∴2x2＝4，x＝±eq \r(2).
8．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若lg25x＝eq \f(1,2)，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]对于①，∵lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①对；
对于②，∵lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②对；
对于③，∵10＝lg x，∴x＝1010，③错；
对于④，∵lg25x＝eq \f(1,2)，∴x＝25eq \f(1,2)＝5.所以只有①②正确．
9．lg33＋3lg32＝________.
[解析] lg33＋3lg32＝1＋2＝3.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－lg2x＋1，x≥0，,2x－1，x＜0，))则f(f(3))＝________.
[解析]∵f(3)＝－lg2(3＋1)＝－lg24＝－2，∴f(f(3))＝f(－2)＝2－2－1＝eq \f(1,4)－1＝－eq \f(3,4).
11．求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)； (2)lgx 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解析] (1)x＝(64)eq \s\up15(－\f(2,3))＝(43)eq \s\up15(－\f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16).
(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq \s\up5(\f(1,6))＝8eq \s\up5(\f(1,6))＝(23)eq \s\up5(\f(1,6))＝2eq \s\up5(\f(1,2))＝eq \r(2).
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.
12．求下列各式中x的值：
(1)若lg3 eq \f(1＋2x,3)＝1，求x的值；
(2)若lg2019(x2－1)＝0，求x的值．
[解析] (1)∵lg3eq \f(1＋2x,3)＝1，∴eq \f(1＋2x,3)＝3，∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵lg2019(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±eq \r(2).
13．计算：(1)lg9 27；(2)lgeq \r(4,3) 81；(3)lgeq \r(3,54)625.
[解析] (1)设x＝lg9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝eq \f(3,2).
(2)设x＝lgeq \r(4,3)81，则(eq \r(4,3))x＝81,3eq \s\up15(\f(x,4))＝34，∴x＝16.
(3)令x＝lgeq \r(3,54)625，∴(eq \r(3,54))x＝625,5eq \s\up15(\f(4,3)x)＝54，∴x＝3.
14．求下列各式中的x的值：
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；(3)lgx(3＋2eq \r(2))＝－2；(4)lg5(lg2x)＝0；(5)x＝lg27eq \f(1,9).
[解析] (1)由lgx27＝eq \f(3,2)，得x eq \s\up15( eq \f (3,2)) ＝27，∴x＝27 eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝32＝9.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，得2 eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＝x，∴x＝eq \f(1,\r(3,22))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由lgx(3＋2eq \r(2))＝－2，得3＋2eq \r(2)＝x－2，
即x＝(3＋2eq \r(2)) eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \r(2)－1.
(4)由lg5(lg2x)＝0，得lg2x＝1.∴x＝21＝2.
(5)由x＝lg27eq \f(1,9)，得27x＝eq \f(1,9)，即33x＝3－2，∴x＝－eq \f(2,3).
题型四 对数性质的应用
1．若lg3(lg x)＝0，则x的值等于________．
[解析]由lg3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.
2．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.
[解析]由lg2(lgx9)＝1可知lgx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．
3．求下列各式中x的值：
①lg2(lg5x)＝0；②lg3(lg x)＝1；③lg eq \s\d8((eq \r(2)－1)) (eq \r(2)－1)＝x；④3x＋3＝2.
[解析]①∵lg2(lg5x)＝0.∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
②∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1000.
③∵lg eq \s\d8((eq \r(2)－1)) (eq \r(2)－1)＝x，∴(eq \r(2)－1)x＝eq \r(2)－1，∴x＝1.
④∵x＋3＝lg32，∴x＝lg32－3.
4．若lg2(x2－7x＋13)＝0，求x的值；
[解析]因为lg2(x2－7x＋13)＝0，所以x2－7x＋13＝1，即x2－7x＋12＝0，解得x＝4或x＝3.
5．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x等于
[解析]由条件知，lg3(lg2x)＝1，所以lg2x＝3，所以x＝8.
6．lg5(lg3(lg2x))＝0，则xeq \s\up15(－\f(1,2))等于
[解析]∵lg5(lg3(lg2x))＝0，∴lg3(lg2x)＝1，∴lg2x＝3，∴x＝23＝8，
∴xeq \s\up15(－\f(1,2))＝8eq \s\up15(－\f(1,2))＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
7．已知lg2[lg3(lg4x)]＝lg3[lg4(lg2y)]＝0，求x＋y 的值．
[解析]因为lg2[lg3(lg4x)]＝0，所以lg3(lg4x)＝1，所以lg4x＝3.
所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.
8．2 eq \s\up15(1＋eq \f(1,2)lg25) 的值等于
[解析]2 eq \s\up15(1＋eq \f(1,2)lg25) ＝2×2 eq \s\up15(eq \f(1,2)lg25) ＝2×(2lg25) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝2×(5) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝2eq \r(5).
9．设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于
[解析] 由5 lg5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.
10．式子2lg25＋lg eq \s\d8(\f(3,2)) 1的值为________．
[解析] 原式＝5＋0＝5.
11．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54的值为________．
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54＝2×4＝8.
12．求值：(1)9eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)；(2) 5eq \s\up15(1＋lg52).
[解析] (1)9eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)＝(32)eq \s\up15(eq \f(1,2)lg34)＝3eq \s\up15(lg34)＝4. (2)5eq \s\up15(1＋lg52)＝5×5eq \s\up15(lg52)＝5×2＝10.
13．计算23＋lg23＋32－lg39＝________.
[解析]23＋lg23＋32－lg39＝23×2lg23＋eq \f(32,3lg39)＝8×3＋eq \f(9,9)＝25.
14．3lg34－27eq \s\up5(\f(2,3))－lg 0.01＋ln e3等于
[解析]3lg34－27eq \s\up5(\f(2,3))－lg 0.01＋ln e3＝4－eq \r(3,272)－lgeq \f(1,100)＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.
15．2 eq \s\up15(lg2eq \f(1,4)) －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋lg eq \f(1,100)＋(eq \r(2)－1)lg 1的值是________．
[解析]原式＝eq \f(1,4)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3)) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋lg 10－2＋(eq \r(2)－1)0＝eq \f(1,4)－eq \f(9,4)－2＋1＝－3.
16．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)的值是
[解析]由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴lgx(yx)＝lg2(12)＝0.
17．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1，求eq \r(x)·yeq \s\up5(\f(3,4))的值．
[解析] ∵lg2(lg3(lg4 x))＝0，∴lg3(lg4 x)＝1，
∴lg4 x＝3，∴x＝43＝64.由lg4(lg2 y)＝1，知lg2 y＝4，∴y＝24＝16.
因此eq \r(x)·yeq \s\up5(\f(3,4))＝eq \r(64)×16eq \s\up5(\f(3,4))＝8×8＝64.
18．已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝eq \f(1,b).
[解析]设lgab＝lgba＝k，则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0，且b≠1，∴k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝eq \f(1,b)；
当k＝1时，a＝b.∴a＝b或a＝eq \f(1,b)，命题得证．
19．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值．
[解析]原函数式可化为f(x)＝lg aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,lg a)))2－eq \f(1,lg a)＋4lg a.∵f(x)有最大值3，
∴lg a<0，且－eq \f(1,lg a)＋4lg a＝3，
整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－eq \f(1,4).
又∵lg a<0，∴lg a＝－eq \f(1,4).∴a＝10 eq \s\up15(－eq \f(1,4)) .
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