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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题38不同函数增长的差异(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题38不同函数增长的差异(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了三种函数模型的性质，几种函数模型的增长差异，2万公顷、0，322，206 7，593 3等内容，欢迎下载使用。
2.几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝lgax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值， y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
(5)一般地，虽然对数函数y＝lgax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内， lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有lgax＜xn＜ax.
题型一 几类函数模型增长差异的比较
1．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝lg2 019x D．y＝2 019x
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝lg3x
3．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．下面对函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
6．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
题型二 指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较
1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
3．当2A．2x>x2>lg2xB．x2>2x>lg2x
C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x
4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
9．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
10．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
11．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．
12．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))与geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2 019)与g(2 019)的大小．
13．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
14．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
15．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值．
题型三 函数模型的选择问题
1．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝lg2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，
选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
5．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：
①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝algbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
6．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
8．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0
专题38 不同函数增长的差异
1.三种函数模型的性质
2.几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝lgax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值， y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
(5)一般地，虽然对数函数y＝lgax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内， lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有lgax＜xn＜ax.
题型一 几类函数模型增长差异的比较
1．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝lg2 019x D．y＝2 019x
[解析]指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝lg3x
[解析]结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝lg3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
3．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
[解析]结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.
4．下面对函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
[解析]观察函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
[解析]当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
6．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
[解析]水面的高度增长得越来越快，图象应为B．
8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
[解析]小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
[解析] A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
题型二 指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较
1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
[解析]在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝lg2x，故y2>y1>y3.
2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
[解析]结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.
3．当2A．2x>x2>lg2xB．x2>2x>lg2x
C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x
[解析]解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图象，所以x2>2x>lg2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
[解析]用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，
故选D.
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
[解析]设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故选D．
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
[解析]由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了总产量C随时间t的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
9．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
[解析]∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))
∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
10．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[解析]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)11．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1由图可知g(6)>f(6)．
12．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))与geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2 019)与g(2 019)的大小．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＜geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))；当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 019)＞g(2 019)．
13．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
14．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
[解析]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；当cf(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
15．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值．
[解析] (1)画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
∴函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为
0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2033年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6，
即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．
题型三 函数模型的选择问题
1．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝lg2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
[解析][将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
[解析]根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．故选D.
3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，
选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
[解析]据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2,1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.即h＝lg3(t＋1)．
当t＝8时，h＝lg3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
5．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：
①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝algbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
[解析] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15.0＝2500a＋50b＋c，,10.8＝12100a＋110b＋c，,15.0＝62500a＋250b＋c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2000)，,b＝－\f(3,20)，,c＝\f(85,4).))所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝eq \f(1,2000)t2－eq \f(3,20)t＋eq \f(85,4).故选②.
(2)当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q＝eq \f(1,2000)×1502－eq \f(3,20)×150＋eq \f(85,4)＝10(元/千克)．
6．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
[解析]A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为eq \f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和为100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为eq \f(100－97,97)，100元一年到期的本息和为100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，购买B种债券．
7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
[解析] 设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1(2)当x＝6000时，y1＝114000, y2＝108000，∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．
8．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
[解析]将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．
①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，
解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.
所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.
②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07.
③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.
比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0
2.几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝lgax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值， y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
(5)一般地，虽然对数函数y＝lgax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内， lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有lgax＜xn＜ax.
题型一 几类函数模型增长差异的比较
1．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝lg2 019x D．y＝2 019x
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝lg3x
3．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．下面对函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
6．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
题型二 指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较
1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
3．当2
C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x
4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
9．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
10．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
11．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．
12．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))与geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2 019)与g(2 019)的大小．
13．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
14．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
15．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值．
题型三 函数模型的选择问题
1．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝lg2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，
选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
5．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：
①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝algbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
6．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
8．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0
专题38 不同函数增长的差异
1.三种函数模型的性质
2.几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝lgax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值， y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
(5)一般地，虽然对数函数y＝lgax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内， lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有lgax＜xn＜ax.
题型一 几类函数模型增长差异的比较
1．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝lg2 019x D．y＝2 019x
[解析]指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝lg3x
[解析]结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝lg3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
3．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
[解析]结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.
4．下面对函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
[解析]观察函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
[解析]当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
6．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
[解析]水面的高度增长得越来越快，图象应为B．
8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
[解析]小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
[解析] A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
题型二 指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较
1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
[解析]在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝lg2x，故y2>y1>y3.
2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
[解析]结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.
3．当2
C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x
[解析]解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图象，所以x2>2x>lg2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
[解析]用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，
故选D.
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
[解析]设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故选D．
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
[解析]由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了总产量C随时间t的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
9．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
[解析]∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))
∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
10．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[解析]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)
12．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))与geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2 019)与g(2 019)的大小．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＜geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))；当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 019)＞g(2 019)．
13．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x
14．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
[解析]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1
当e
当b
15．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值．
[解析] (1)画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
∴函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为
0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2033年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6，
即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．
题型三 函数模型的选择问题
1．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝lg2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
[解析][将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
[解析]根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．故选D.
3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，
选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
[解析]据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2,1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.即h＝lg3(t＋1)．
当t＝8时，h＝lg3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
5．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：
①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝algbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
[解析] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15.0＝2500a＋50b＋c，,10.8＝12100a＋110b＋c，,15.0＝62500a＋250b＋c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2000)，,b＝－\f(3,20)，,c＝\f(85,4).))所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝eq \f(1,2000)t2－eq \f(3,20)t＋eq \f(85,4).故选②.
(2)当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q＝eq \f(1,2000)×1502－eq \f(3,20)×150＋eq \f(85,4)＝10(元/千克)．
6．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
[解析]A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为eq \f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和为100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为eq \f(100－97,97)，100元一年到期的本息和为100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，购买B种债券．
7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
[解析] 设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1
8．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
[解析]将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．
①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，
解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.
所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.
②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07.
③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.
比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0
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