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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题46三角函数的概念(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题46三角函数的概念(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了单位圆，任意角的三角函数的定义，诱导公式一等内容，欢迎下载使用。
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①正弦：点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα；
②余弦：点P的横坐标x叫做α的余弦，记作csα，即x＝csα；
③正切：把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)
(3)三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为
正弦函数y＝sinx(x∈R)；余弦函数y＝csx(x∈R)；正切函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
5．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sinα，cs(α＋k·2π)＝csα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用
1．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，csα＝________，tanα＝________.
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为
3．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为
4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则csα＝
5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则tanα的值为
6．角α终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α＋sin α的值为________．
7．若角α的终边过点(2sin30°，－2cs30°)，则sinα的值等于
8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，\f(12,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin α·tan β＝________.
9．已知角α的终边过点(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs α＝________.
10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝eq \f(1,5)，
则sin β＝________.
11．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2csα的值等于________．
12．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，csα，tanα的值．
13．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
14．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于
15．已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．
16．已知角α的终边经过P(－b，4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则b的值为
17．若角α的终边经过P(－3，b)，且csα＝－eq \f(3,5)，则b＝________，sinα＝________.
18．若cs α＝－eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是
19．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cs α＝－eq \f(4,5)，则x＝________.
20．已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝eq \f(\r(2),2)m，求m的值．
21．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－eq \f(12,5)，则sin α＋cs α的值为________．
22．已知角α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))(y<0)，则sinαtanα＝________.
23．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)，其中k∈Z，则t的值为____________．
24．已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，则sin θ＋tan θ的值为________．
25．已知角θ的终边上一点P(－eq \r(3)，m)，且sinθ＝eq \f(\r(2),4)m.求csθ与tanθ.
26．已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，求sin α，tan α的值．
27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(2,3)，
则tan α＝________．
28．若角α终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，
则m－n等于
29．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cs α) B．P(cs α，sin α)
C．P(rsin α，rcs α) D．P(rcs α，rsin α)
30．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg cs α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
31．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β)的值．
题型二 三角函数值符号的运用
1．已知sin α＞0，cs α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．点P(tanα，csα)在第三象限，则α是第________象限角．
4．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(csα，sinα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知sin θcs θ<0，且|cs θ|＝cs θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
6．若tan α<0，且sin α>cs α，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．若sinαtanα<0，且eq \f(csα,tanα)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
9．若cs α与tan α同号，那么α在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
10．若sinθA．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．已知tanx>0，且sinx＋csx>0，那么角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
12．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．在△ABC中，若sinAcsBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
14．点P(tan 2 018°，cs 2 018°)位于第________象限．
15．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))；③tan2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
16．判断下列各式的符号：
(1)tan 120°sin 269°；(2)cs 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)));(3) cs6·tan6;(4) eq \f(tan－3,cs 8·tan 5).
17．判断下列各式的符号：
(1)sin105°·cs230°；(2)cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))；(3)sin145°cs(－210°)；(4)sin3·cs4·tan5；(5)sin2·cs3·tan5
18．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cs B B．cs B与sin C
C．sin C与tan A D．taneq \f(A,2)与sin C
19．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝________.
20．函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是( )
A．{－1，0，1，3} B．{－1，0，3}
C．{－1，3} D．{－1，1}
21．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cs α＝－eq \f(x,\r(x2＋y2))，
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
22．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
23．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
24．已知α是第三象限角，且cseq \f(α,2)>0，则eq \f(α,2)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
25．已知sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(4,5)，试确定α是第几象限角．
26．已知sin θ＜0，tan θ＞0.
(1)求角θ的集合；
(2)求eq \f(θ,2)的终边所在的象限；
(3)试判断sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)的符号．
题型三 诱导公式一的应用
1．sin 585°的值为
2．sin(－315°)的值是
3．sineq \f(25,3)π＝________.
4．sin(－1380°)的值为
5．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))的值等于
6．cs 1 470°＝____________．
7．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))等于________．
8．求下列三角函数值：
(1)sin eq \f(25,6)π＋cs eq \f(19,3)π；(2)sin2 eq \f(17π,4)＋tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))tan eq \f(9π,4)；
(3)sin 390°＋cs(－660°)＋3tan 405°－cs 540°；(4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)))＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(9π,4)－sin eq \f(7π,3).
9．求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°；(2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3)；(3) sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4))).
10．求值：(1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°.(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4))).
(3)sin810°＋tan1125°＋cs420°； (4)sin1140°cs(－690°)＋tan1845°.
11．计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cs1110°＋cs(－1020°)sin750°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan4π；
(3)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°).
12．化简下列各式：
(1)sineq \f(7,2)π＋cseq \f(5,2)π＋cs(－5π)＋taneq \f(π,4)；(2)a2sin 810°－b2cs 900°＋2abtan 1125°.
13．已知角α的终边经过点P(3，4)．
(1)求tan(－6π＋α)的值；
(2)求eq \f(sin（α－4π）,cs（6π＋α）)·sin(α－2π)·cs(2π＋α)的值．
14．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
15．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是________．
16．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)，cs\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
17．点P从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达Q点，则Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
题型四 与三角函数有关的定义域问题
1．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(sinx＋csx,tanx)；(2)y＝eq \r(－csx)＋eq \r(sinx).
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝eq \r(sinx)＋tanx.
3．已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)·csx<0的解集．
4．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cs θ＋1)x＋cs2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2eq \r(2)，求θ的范围．三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
专题46 三角函数的概念
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①正弦：点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα；
②余弦：点P的横坐标x叫做α的余弦，记作csα，即x＝csα；
③正切：把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)
(3)三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为
正弦函数y＝sinx(x∈R)；余弦函数y＝csx(x∈R)；正切函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
5．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sinα，cs(α＋k·2π)＝csα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用
1．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，csα＝________，tanα＝________.
[解析]∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋－122)＝13，
则sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tanα＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5).
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为
[解析]由三角函数定义知tan α＝eq \f(－1,1)＝－1.
3．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为
[解析] ∵α的终边经过点P(1，－1)，∴sinα＝eq \f(－1,\r(12＋－12))＝－eq \f(\r(2),2).
4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则csα＝
[解析] ∵x＝－4，y＝3，∴r＝eq \r(－42＋32)＝5，∴csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4,5)＝－eq \f(4,5)
5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则tanα的值为
[解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
6．角α终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α＋sin α的值为________．
[解析]cs α＝x＝eq \f(\r(3),2)，sin α＝y＝eq \f(1,2)，故cs α＋sin α＝eq \f(\r(3)＋1,2).
7．若角α的终边过点(2sin30°，－2cs30°)，则sinα的值等于
[解析] ∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cs30°＝－eq \r(3)，∴r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2)
8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，\f(12,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin α·tan β＝________.
[解析]由任意角的正弦、正切函数的定义知sin α＝eq \f(12,13)，tan β＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3)，
所以sin α·tan β＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(16,13).
9．已知角α的终边过点(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs α＝________.
[解析]因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs θ＜0，r＝eq \r(－3cs θ2＋4cs θ2)＝5|cs θ|＝－5cs θ，
所以cs α＝eq \f(－3cs θ,－5cs θ)＝eq \f(3,5).
10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝eq \f(1,5)，
则sin β＝________.
[解析]设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝eq \f(1,5)，所以sin β＝－y＝－eq \f(1,5).
11．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2csα的值等于________．
[解析]∵a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sinα＝－eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，
∴sinα＋2csα＝eq \f(2,5).
12．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，csα，tanα的值．
[解析]r＝eq \r(－4a2＋3a2)＝5|a|，
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4a,5a)＝－eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(3a,－4a)＝－eq \f(3,4)；
若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4).
13．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
[解析]设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋y2＝1，,x≥0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，所以sin α＝y＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝x＝eq \f(\r(5),5).
14．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于
[解析]在α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5)，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
或者取P′(1，－2)，则r＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5)，所以sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5).
15．已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．
[解析]直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，
在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，
所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；
在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，
所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3).
16．已知角α的终边经过P(－b，4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则b的值为
[解析]由x＝－b，y＝4，得r＝eq \r(b2＋16)，所以cs α＝eq \f(－b,\r(b2＋16))＝－eq \f(3,5)，解得b＝3(b＝－3舍去)．
17．若角α的终边经过P(－3，b)，且csα＝－eq \f(3,5)，则b＝________，sinα＝________.
[解析]∵csα＝eq \f(－3,\r(9＋b2))，∴eq \f(－3,\r(9＋b2))＝－eq \f(3,5)，∴b＝4或b＝－4.
当b＝4时，sinα＝eq \f(b,\r(9＋b2))＝eq \f(4,5)，当b＝－4时，sinα＝eq \f(b,\r(9＋b2))＝－eq \f(4,5).
18．若cs α＝－eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是
[解析]r＝eq \r(x2＋22)，由题意得eq \f(x,\r(x2＋22))＝－eq \f(\r(3),2)，所以x＝－2eq \r(3).
19．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cs α＝－eq \f(4,5)，则x＝________.
[解析]因为|OP|＝eq \r(x2＋－62)＝eq \r(x2＋36)，所以cs α＝eq \f(x,\r(x2＋36))，又cs α＝－eq \f(4,5)，
所以eq \f(x,\r(x2＋36))＝－eq \f(4,5)，整理得x＝－8.
20．已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝eq \f(\r(2),2)m，求m的值．
[解析]∵P(4,3m)，∴r＝eq \r(16＋9m2)，∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3m,\r(16＋9m2))＝eq \f(\r(2),2)m，
两边平方，得eq \f(9m2,16＋9m2)＝eq \f(1,2)m2.∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±eq \f(\r(2),3).
21．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－eq \f(12,5)，则sin α＋cs α的值为________．
[解析]根据三角函数的定义，tan α＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，∴a＝－12，∴P(5，－12)．
这时r＝13，∴sin α＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(5,13)，从而sin α＋cs α＝－eq \f(7,13).
22．已知角α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))(y<0)，则sinαtanα＝________.
[解析]∵α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋y2＝1，即y2＝eq \f(3,4).
又∵y<0，∴y＝－eq \f(\r(3),2).∴sinα＝－eq \f(\r(3),2)，tanα＝eq \r(3)，sinαtanα＝－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝－eq \f(3,2).
23．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)，其中k∈Z，则t的值为____________．
[解析]因为sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)(k∈Z)，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又角α的终边过点P(3，－4t)，故sin α＝eq \f(－4t,\r(9＋16t2))＝－eq \f(3,5)，解得t＝eq \f(9,16)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(9,16)舍去)).
24．已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，则sin θ＋tan θ的值为________．
[解析]因为r＝eq \r(x2＋9)，cs θ＝eq \f(x,r)，所以eq \f(\r(10),10)x＝eq \f(x,\r(x2＋9)).
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq \r(10).又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)＋30,10).
当θ为第二象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)－30,10).
25．已知角θ的终边上一点P(－eq \r(3)，m)，且sinθ＝eq \f(\r(2),4)m.求csθ与tanθ.
[解析]由题意得sinθ＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(2),4)m，若m＝0，则csθ＝－1，tanθ＝0.若m≠0，则m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，csθ＝－eq \f(\r(6),4)，tanθ＝－eq \f(\r(15),3)；当m＝－eq \r(5)时，csθ＝－eq \f(\r(6),4)，tanθ＝eq \f(\r(15),3).
26．已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，求sin α，tan α的值．
[解析]由题意得x＝m，y＝eq \r(3)，所以r＝|OP|＝eq \r(m2＋3)，
所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，解得m＝eq \r(5)(负值舍去)，则r＝2eq \r(2)，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\r(3),\r(5))＝eq \f(\r(15),5).
27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(2,3)，
则tan α＝________．
[解析]设点A的横坐标为x，则由eq \r(x2＋\f(4,9))＝1，解得x＝±eq \f(\r(5),3)，因为角α为第二象限角，
所以x＝－eq \f(\r(5),3)，cs α＝－eq \f(\r(5),3)，所以tan α＝eq \f(\f(2,3),－\f(\r(5),3))＝－eq \f(2\r(5),5).
28．若角α终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，
则m－n等于
[解析]∵角α终边与y＝3x重合，且sinα<0，所以α为第三象限角，∴P(m，n)中m<0且n<0，
据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3m，,m2＋n2＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－3，))∴m－n＝2.
29．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cs α) B．P(cs α，sin α)
C．P(rsin α，rcs α) D．P(rcs α，rsin α)
[解析]设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,r)，∴y＝rsin α，又cs α＝eq \f(x,r)，∴x＝rcs α，∴P(rcs α，rsin α)，故选D.
30．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg cs α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解析] (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，可知sin α<0.由lg cs α有意义，可知cs α>0，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵|OM|＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5).
由正弦函数的定义可知sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
31．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β)的值．
[解析]由题意可知P(a，－b)，则sin α＝eq \f(－b,\r(a2＋（－b）2))，cs α＝eq \f(a,\r(a2＋（－b）2))，tan α＝－eq \f(b,a)；
由题意可知Q(b，a)，则sin β＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，cs β＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tan β＝eq \f(a,b)，
所以eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β)＝－1－eq \f(b2,a2)＋eq \f(a2＋b2,a2)＝0.
题型二 三角函数值符号的运用
1．已知sin α＞0，cs α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
2．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由于sinα<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C
3．点P(tanα，csα)在第三象限，则α是第________象限角．
[解析]因为点P(tanα，csα)在第三象限，所以tanα<0，csα<0，则角α的终边在第二象限.
4．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(csα，sinα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]因为－eq \f(π,2)<α<0，所以csα>0，且sinα<0，所以点Q(csα，sinα)在第四象限，选D.
5．已知sin θcs θ<0，且|cs θ|＝cs θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]由|cs θ|＝cs θ，可知cs θ≥0，结合sin θcs θ<0，得sin θ<0，cs θ>0，所以角θ是第四象限角.
6．若tan α<0，且sin α>cs α，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由tan α<0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sin α>0，cs α<0，满足sin α>cs α；
若α是第四象限角，则sin α<0，cs α>0，不满足sin α>cs α，故选B.
7．已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．
8．若sinαtanα<0，且eq \f(csα,tanα)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二、三象限角．
由eq \f(csα,tanα)<0可知csα，tanα异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
9．若cs α与tan α同号，那么α在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
[解析]因为cs α与tan α同号，所以α在第一、二象限．
10．若sinθA．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由条件可知csθ>0，sinθ<0，则θ为第四象限角，故选D.
11．已知tanx>0，且sinx＋csx>0，那么角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]∵tanx>0，∴x在第一或第三象限．若x在第一象限，则sinx>0，csx>0，∴sinx＋csx>0.
若x在第三象限，则sinx<0，csx<0，与sinx＋csx>0矛盾．故x只能在第一象限．
12．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由α是第三象限角知，sin α<0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D.
13．在△ABC中，若sinAcsBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[解析]因为sinA>0，所以csB，tanC中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．答案C
14．点P(tan 2 018°，cs 2 018°)位于第________象限．
[解析]因为2 018°＝5×360°＋218°，所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角，
所以tan 2 018°＞0，cs 2 018°＜0，所以点P位于第四象限．
15．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))；③tan2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析]①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)＝sin80°>0；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))>0
③∵eq \f(π,2)<2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选B.
16．判断下列各式的符号：
(1)tan 120°sin 269°；(2)cs 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)));(3) cs6·tan6;(4) eq \f(tan－3,cs 8·tan 5).
[解析] (1)因为120°角是第二象限角，所以tan 120°<0.
因为269°角是第三象限角，所以sin 269°<0.所以tan 120°sin 269°>0.
(2)因为π<4所以－eq \f(23π,4)是第一象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))>0，所以cs 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))<0.
(3)∵eq \f(3π,2)<6<2π，∴6是第四象限角．∴cs6>0，tan6<0.∴cs6·tan6<0.
(4)∵弧度数为－3,5,8的角分别是第三、第四、第二象限角，
∴tan(－3)＞0，tan 5＜0，cs 8＜0，∴eq \f(tan－3,cs 8·tan 5)＞0.
17．判断下列各式的符号：
(1)sin105°·cs230°；(2)cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))；(3)sin145°cs(－210°)；(4)sin3·cs4·tan5；(5)sin2·cs3·tan5
[解析] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cs230°<0.于是sin105°·cs230°<0.
(2)因为eq \f(π,2)<3<π，所以3是第二象限角，所以cs3<0，又因为－eq \f(2π,3)是第三象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))>0，
所以cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))<0.
(3)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cs(－210°)＜0，∴sin 145°cs(－210°)＜0.
(4)∵eq \f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)＜5＜2π，∴sin 3＞0，cs 4＜0，tan 5＜0，∴sin 3·cs 4·tan 5＞0.
(5)∵2 rad为第二象限角，∴sin2>0；3 rad为第二象限角，∴cs3<0；5 rad为第四象限角，∴tan5<0，
∴sin2·cs3·tan5>0
18．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cs B B．cs B与sin C
C．sin C与tan A D．taneq \f(A,2)与sin C
[解析]∵0＜A＜π，∴0＜eq \f(A,2)＜eq \f(π,2)，∴taneq \f(A,2)＞0；又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
19．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝________.
[解析] ∵角α的终边在直线x＋y＝0上∴角α的终边落在二、四象限角平分线上，且|sinα|＝|csα|，
若α在第二象限，sinα>0，csα<0，∴eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,－csα)＋eq \f(sinα,csα)＝0
若α在第四象限，sinα<0，csα>0，∴eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,csα)＋eq \f(－sinα,csα)＝0.
20．函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是( )
A．{－1，0，1，3} B．{－1，0，3}
C．{－1，3} D．{－1，1}
[解析]当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝－1；
当x是第三象限角时，y＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1.
故函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是{－1，3}．
21．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cs α＝－eq \f(x,\r(x2＋y2))，
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析]①正确；②错误，如sineq \f(π,6)＝sineq \f(5π,6)；③错误，如sineq \f(π,2)＝1＞0；
④错误，cs α＝eq \f(x,\r(x2＋y2)).所以B选项是正确的．
22．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
[解析]因为cs α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.
23．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
[解析]角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)是第二、四象限角，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，∴角eq \f(α,2)是第四象限角．
24．已知α是第三象限角，且cseq \f(α,2)>0，则eq \f(α,2)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析.由α是第三象限角知：2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)．所以kπ＋eq \f(π,2)因此，当k是偶数时，eq \f(α,2)是第二象限角；当k是奇数时，eq \f(α,2)是第四象限角．
又cs eq \f(α,2)>0，因此eq \f(α,2)是第四象限角，故选D.
25．已知sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(4,5)，试确定α是第几象限角．
[解析]因为sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)>0，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(4,5)<0，所以eq \f(α,2)是第二象限角，所以2kπ＋eq \f(π,2)由sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)故α是第四象限角．
26．已知sin θ＜0，tan θ＞0.
(1)求角θ的集合；
(2)求eq \f(θ,2)的终边所在的象限；
(3)试判断sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)的符号．
[解析] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，
所以θ为第三象限角，θ角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜θ＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)可得，kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(θ,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.
当k是偶数时，eq \f(θ,2)终边在第二象限；当k是奇数时，eq \f(θ,2)终边在第四象限．
(3)由(2)可得当k是偶数时，sineq \f(θ,2)＞0，cseq \f(θ,2)＜0，taneq \f(θ,2)＜0，所以sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)＞0；
当k是奇数时sineq \f(θ,2)＜0，cseq \f(θ,2)＞0，taneq \f(θ,2)＜0，所以sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)＞0.
综上知，sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)＞0.
题型三 诱导公式一的应用
1．sin 585°的值为
[解析]sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°.
由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，所以sin 225°＝－eq \f(\r(2),2).
2．sin(－315°)的值是
[解析]sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
3．sineq \f(25,3)π＝________.
[解析]sineq \f(25,3)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
4．sin(－1380°)的值为
[解析]sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).
5．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))的值等于
[解析] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)
6．cs 1 470°＝____________．
[解析]cs 1 470°＝cs(4×360°＋30°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
7．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))等于________．
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).
8．求下列三角函数值：
(1)sin eq \f(25,6)π＋cs eq \f(19,3)π；(2)sin2 eq \f(17π,4)＋tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))tan eq \f(9π,4)；
(3)sin 390°＋cs(－660°)＋3tan 405°－cs 540°；(4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)))＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(9π,4)－sin eq \f(7π,3).
[解析] (1)sin eq \f(25,6)π＋cs eq \f(19,3)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.
(2)原式＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋4π))＋tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2π))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π))＝sin2eq \f(π,4)＋tan2 eq \f(π,6)·tan eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
(3)原式＝sin(360°＋30°)＋cs(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cs(360°＋180°)
＝sin 30°＋cs 60°＋3tan 45°－cs 180°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋3×1－(－1)＝5.
(4)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,2)))＋tan π－2cs 0＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,4)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,2)＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(π,4)－sin eq \f(π,3)
＝1＋0－2＋1－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),2).
9．求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°；(2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3)；(3) sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4))).
[解析] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cs(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cs 30°
＝1－1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)＋taneq \f(π,4)cseq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4)；
(3) sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(π,3)－taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0.
10．求值：(1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°.(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4))).
(3)sin810°＋tan1125°＋cs420°； (4)sin1140°cs(－690°)＋tan1845°.
[解析] (1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
(3)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cs(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cs60°＝1＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(4)原式＝sin(3×360°＋60°)cs(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cs30°＋tan45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1＝eq \f(7,4).
11．计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cs1110°＋cs(－1020°)sin750°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan4π；
(3)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°).
[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin45°cs30°＋cs60°sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).
(3)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
12．化简下列各式：
(1)sineq \f(7,2)π＋cseq \f(5,2)π＋cs(－5π)＋taneq \f(π,4)；(2)a2sin 810°－b2cs 900°＋2abtan 1125°.
[解析] (1)原式＝sineq \f(3,2)π＋cseq \f(π,2)＋cs π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cs 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
13．已知角α的终边经过点P(3，4)．
(1)求tan(－6π＋α)的值；
(2)求eq \f(sin（α－4π）,cs（6π＋α）)·sin(α－2π)·cs(2π＋α)的值．
[解析]设x＝3，y＝4则r＝eq \r(32＋42)＝5，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(4,3)，
(1)tan(－6π＋α)＝tan α＝eq \f(4,3).
(2)原式＝eq \f(sin α,cs α)·sin α·cs α＝sin2 α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,25).
14．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
[解析]tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)＝eq \f(a,4)，解得a＝eq \f(4\r(3),3).
15．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是________．
[解析]由题意，得tan 420°＝－eq \f(a,4)，即tan 60°＝－eq \f(a,4)，解得a＝－4eq \r(3).
16．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)，cs\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
[解析]由任意角的三角函数的定义，得tanθ＝eq \f(y,x)＝eq \f(cs\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝－1.∵sineq \f(3π,4)>0，cseq \f(3π,4)<0，∴
点P在第四象限，∴θ＝eq \f(7π,4).
17．点P从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达Q点，则Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
[解析]点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达Q点，所以点Q是角eq \f(26π,3)与单位圆的交点，所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(26π,3)，sin\f(26π,3)))，又cseq \f(26π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(2π,3)))＝cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，sineq \f(26π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(2π,3)))＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
题型四 与三角函数有关的定义域问题
1．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(sinx＋csx,tanx)；(2)y＝eq \r(－csx)＋eq \r(sinx).
[解析](1)要使函数有意义，需tanx≠0，∴x≠kπ＋eq \f(π,2)，且x≠kπ，k∈Z.∴x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z.
于是函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(kπ,2)，k∈Z)))).
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－csx≥0，,sinx≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(3π,2)k∈Z，,2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，))解得2kπ＋eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z)))).
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝eq \r(sinx)＋tanx.
[解析] (1)依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))∴函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
(2)当sinx≥0且tanx有意义时，函数才有意义，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2k＋1π，,x≠kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1())xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1())2kπ≤x<2kπ＋eq \f(π,2)或2kπ＋eq \f(π,2)3．已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)·csx<0的解集．
[解析]f(x)·csx<0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,csx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,csx>0.))
则由图知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1∴eq \f(π,2)4．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cs θ＋1)x＋cs2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2eq \r(2)，求θ的范围．
[解析]∵方程有两实根，∴Δ＝4(cs θ＋1)2－4cs2θ≥0，∴cs θ≥－eq \f(1,2).①
∵|α－β|≤2eq \r(2)，∴(α＋β)2－4αβ≤8.
由根与系数的关系得α＋β＝－2(cs θ＋1)，α·β＝cs2 θ，∴4(cs θ＋1)2－4cs2θ≤8.
即cs θ≤eq \f(1,2).②
由①②得－eq \f(1,2)≤cs θ≤eq \f(1,2)，利用单位圆可知eq \f(π,3)＋2kπ≤θ≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z或eq \f(4π,3)＋2kπ≤θ≤eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z.
∴eq \f(π,3)＋kπ≤θ≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
∴θ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①正弦：点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα；
②余弦：点P的横坐标x叫做α的余弦，记作csα，即x＝csα；
③正切：把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)
(3)三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为
正弦函数y＝sinx(x∈R)；余弦函数y＝csx(x∈R)；正切函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
5．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sinα，cs(α＋k·2π)＝csα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用
1．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，csα＝________，tanα＝________.
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为
3．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为
4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则csα＝
5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则tanα的值为
6．角α终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α＋sin α的值为________．
7．若角α的终边过点(2sin30°，－2cs30°)，则sinα的值等于
8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，\f(12,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin α·tan β＝________.
9．已知角α的终边过点(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs α＝________.
10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝eq \f(1,5)，
则sin β＝________.
11．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2csα的值等于________．
12．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，csα，tanα的值．
13．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
14．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于
15．已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．
16．已知角α的终边经过P(－b，4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则b的值为
17．若角α的终边经过P(－3，b)，且csα＝－eq \f(3,5)，则b＝________，sinα＝________.
18．若cs α＝－eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是
19．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cs α＝－eq \f(4,5)，则x＝________.
20．已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝eq \f(\r(2),2)m，求m的值．
21．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－eq \f(12,5)，则sin α＋cs α的值为________．
22．已知角α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))(y<0)，则sinαtanα＝________.
23．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)，其中k∈Z，则t的值为____________．
24．已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，则sin θ＋tan θ的值为________．
25．已知角θ的终边上一点P(－eq \r(3)，m)，且sinθ＝eq \f(\r(2),4)m.求csθ与tanθ.
26．已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，求sin α，tan α的值．
27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(2,3)，
则tan α＝________．
28．若角α终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，
则m－n等于
29．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cs α) B．P(cs α，sin α)
C．P(rsin α，rcs α) D．P(rcs α，rsin α)
30．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg cs α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
31．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β)的值．
题型二 三角函数值符号的运用
1．已知sin α＞0，cs α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．点P(tanα，csα)在第三象限，则α是第________象限角．
4．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(csα，sinα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知sin θcs θ<0，且|cs θ|＝cs θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
6．若tan α<0，且sin α>cs α，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．若sinαtanα<0，且eq \f(csα,tanα)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
9．若cs α与tan α同号，那么α在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
10．若sinθ
C．第三象限 D．第四象限
11．已知tanx>0，且sinx＋csx>0，那么角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
12．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．在△ABC中，若sinAcsBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
14．点P(tan 2 018°，cs 2 018°)位于第________象限．
15．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))；③tan2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
16．判断下列各式的符号：
(1)tan 120°sin 269°；(2)cs 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)));(3) cs6·tan6;(4) eq \f(tan－3,cs 8·tan 5).
17．判断下列各式的符号：
(1)sin105°·cs230°；(2)cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))；(3)sin145°cs(－210°)；(4)sin3·cs4·tan5；(5)sin2·cs3·tan5
18．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cs B B．cs B与sin C
C．sin C与tan A D．taneq \f(A,2)与sin C
19．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝________.
20．函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是( )
A．{－1，0，1，3} B．{－1，0，3}
C．{－1，3} D．{－1，1}
21．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cs α＝－eq \f(x,\r(x2＋y2))，
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
22．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
23．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
24．已知α是第三象限角，且cseq \f(α,2)>0，则eq \f(α,2)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
25．已知sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(4,5)，试确定α是第几象限角．
26．已知sin θ＜0，tan θ＞0.
(1)求角θ的集合；
(2)求eq \f(θ,2)的终边所在的象限；
(3)试判断sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)的符号．
题型三 诱导公式一的应用
1．sin 585°的值为
2．sin(－315°)的值是
3．sineq \f(25,3)π＝________.
4．sin(－1380°)的值为
5．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))的值等于
6．cs 1 470°＝____________．
7．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))等于________．
8．求下列三角函数值：
(1)sin eq \f(25,6)π＋cs eq \f(19,3)π；(2)sin2 eq \f(17π,4)＋tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))tan eq \f(9π,4)；
(3)sin 390°＋cs(－660°)＋3tan 405°－cs 540°；(4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)))＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(9π,4)－sin eq \f(7π,3).
9．求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°；(2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3)；(3) sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4))).
10．求值：(1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°.(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4))).
(3)sin810°＋tan1125°＋cs420°； (4)sin1140°cs(－690°)＋tan1845°.
11．计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cs1110°＋cs(－1020°)sin750°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan4π；
(3)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°).
12．化简下列各式：
(1)sineq \f(7,2)π＋cseq \f(5,2)π＋cs(－5π)＋taneq \f(π,4)；(2)a2sin 810°－b2cs 900°＋2abtan 1125°.
13．已知角α的终边经过点P(3，4)．
(1)求tan(－6π＋α)的值；
(2)求eq \f(sin（α－4π）,cs（6π＋α）)·sin(α－2π)·cs(2π＋α)的值．
14．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
15．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是________．
16．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)，cs\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
17．点P从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达Q点，则Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
题型四 与三角函数有关的定义域问题
1．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(sinx＋csx,tanx)；(2)y＝eq \r(－csx)＋eq \r(sinx).
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝eq \r(sinx)＋tanx.
3．已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)·csx<0的解集．
4．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cs θ＋1)x＋cs2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2eq \r(2)，求θ的范围．三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
专题46 三角函数的概念
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①正弦：点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα；
②余弦：点P的横坐标x叫做α的余弦，记作csα，即x＝csα；
③正切：把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)
(3)三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为
正弦函数y＝sinx(x∈R)；余弦函数y＝csx(x∈R)；正切函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
5．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sinα，cs(α＋k·2π)＝csα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用
1．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，csα＝________，tanα＝________.
[解析]∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋－122)＝13，
则sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tanα＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5).
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为
[解析]由三角函数定义知tan α＝eq \f(－1,1)＝－1.
3．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为
[解析] ∵α的终边经过点P(1，－1)，∴sinα＝eq \f(－1,\r(12＋－12))＝－eq \f(\r(2),2).
4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则csα＝
[解析] ∵x＝－4，y＝3，∴r＝eq \r(－42＋32)＝5，∴csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4,5)＝－eq \f(4,5)
5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则tanα的值为
[解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
6．角α终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α＋sin α的值为________．
[解析]cs α＝x＝eq \f(\r(3),2)，sin α＝y＝eq \f(1,2)，故cs α＋sin α＝eq \f(\r(3)＋1,2).
7．若角α的终边过点(2sin30°，－2cs30°)，则sinα的值等于
[解析] ∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cs30°＝－eq \r(3)，∴r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2)
8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，\f(12,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin α·tan β＝________.
[解析]由任意角的正弦、正切函数的定义知sin α＝eq \f(12,13)，tan β＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3)，
所以sin α·tan β＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(16,13).
9．已知角α的终边过点(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs α＝________.
[解析]因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs θ＜0，r＝eq \r(－3cs θ2＋4cs θ2)＝5|cs θ|＝－5cs θ，
所以cs α＝eq \f(－3cs θ,－5cs θ)＝eq \f(3,5).
10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝eq \f(1,5)，
则sin β＝________.
[解析]设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝eq \f(1,5)，所以sin β＝－y＝－eq \f(1,5).
11．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2csα的值等于________．
[解析]∵a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sinα＝－eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，
∴sinα＋2csα＝eq \f(2,5).
12．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，csα，tanα的值．
[解析]r＝eq \r(－4a2＋3a2)＝5|a|，
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4a,5a)＝－eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(3a,－4a)＝－eq \f(3,4)；
若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4).
13．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
[解析]设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋y2＝1，,x≥0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，所以sin α＝y＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝x＝eq \f(\r(5),5).
14．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于
[解析]在α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5)，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
或者取P′(1，－2)，则r＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5)，所以sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5).
15．已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．
[解析]直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，
在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，
所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；
在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，
所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3).
16．已知角α的终边经过P(－b，4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则b的值为
[解析]由x＝－b，y＝4，得r＝eq \r(b2＋16)，所以cs α＝eq \f(－b,\r(b2＋16))＝－eq \f(3,5)，解得b＝3(b＝－3舍去)．
17．若角α的终边经过P(－3，b)，且csα＝－eq \f(3,5)，则b＝________，sinα＝________.
[解析]∵csα＝eq \f(－3,\r(9＋b2))，∴eq \f(－3,\r(9＋b2))＝－eq \f(3,5)，∴b＝4或b＝－4.
当b＝4时，sinα＝eq \f(b,\r(9＋b2))＝eq \f(4,5)，当b＝－4时，sinα＝eq \f(b,\r(9＋b2))＝－eq \f(4,5).
18．若cs α＝－eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是
[解析]r＝eq \r(x2＋22)，由题意得eq \f(x,\r(x2＋22))＝－eq \f(\r(3),2)，所以x＝－2eq \r(3).
19．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cs α＝－eq \f(4,5)，则x＝________.
[解析]因为|OP|＝eq \r(x2＋－62)＝eq \r(x2＋36)，所以cs α＝eq \f(x,\r(x2＋36))，又cs α＝－eq \f(4,5)，
所以eq \f(x,\r(x2＋36))＝－eq \f(4,5)，整理得x＝－8.
20．已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝eq \f(\r(2),2)m，求m的值．
[解析]∵P(4,3m)，∴r＝eq \r(16＋9m2)，∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3m,\r(16＋9m2))＝eq \f(\r(2),2)m，
两边平方，得eq \f(9m2,16＋9m2)＝eq \f(1,2)m2.∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±eq \f(\r(2),3).
21．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－eq \f(12,5)，则sin α＋cs α的值为________．
[解析]根据三角函数的定义，tan α＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，∴a＝－12，∴P(5，－12)．
这时r＝13，∴sin α＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(5,13)，从而sin α＋cs α＝－eq \f(7,13).
22．已知角α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))(y<0)，则sinαtanα＝________.
[解析]∵α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋y2＝1，即y2＝eq \f(3,4).
又∵y<0，∴y＝－eq \f(\r(3),2).∴sinα＝－eq \f(\r(3),2)，tanα＝eq \r(3)，sinαtanα＝－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝－eq \f(3,2).
23．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)，其中k∈Z，则t的值为____________．
[解析]因为sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)(k∈Z)，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又角α的终边过点P(3，－4t)，故sin α＝eq \f(－4t,\r(9＋16t2))＝－eq \f(3,5)，解得t＝eq \f(9,16)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(9,16)舍去)).
24．已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，则sin θ＋tan θ的值为________．
[解析]因为r＝eq \r(x2＋9)，cs θ＝eq \f(x,r)，所以eq \f(\r(10),10)x＝eq \f(x,\r(x2＋9)).
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq \r(10).又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)＋30,10).
当θ为第二象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)－30,10).
25．已知角θ的终边上一点P(－eq \r(3)，m)，且sinθ＝eq \f(\r(2),4)m.求csθ与tanθ.
[解析]由题意得sinθ＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(2),4)m，若m＝0，则csθ＝－1，tanθ＝0.若m≠0，则m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，csθ＝－eq \f(\r(6),4)，tanθ＝－eq \f(\r(15),3)；当m＝－eq \r(5)时，csθ＝－eq \f(\r(6),4)，tanθ＝eq \f(\r(15),3).
26．已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，求sin α，tan α的值．
[解析]由题意得x＝m，y＝eq \r(3)，所以r＝|OP|＝eq \r(m2＋3)，
所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，解得m＝eq \r(5)(负值舍去)，则r＝2eq \r(2)，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\r(3),\r(5))＝eq \f(\r(15),5).
27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(2,3)，
则tan α＝________．
[解析]设点A的横坐标为x，则由eq \r(x2＋\f(4,9))＝1，解得x＝±eq \f(\r(5),3)，因为角α为第二象限角，
所以x＝－eq \f(\r(5),3)，cs α＝－eq \f(\r(5),3)，所以tan α＝eq \f(\f(2,3),－\f(\r(5),3))＝－eq \f(2\r(5),5).
28．若角α终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，
则m－n等于
[解析]∵角α终边与y＝3x重合，且sinα<0，所以α为第三象限角，∴P(m，n)中m<0且n<0，
据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3m，,m2＋n2＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－3，))∴m－n＝2.
29．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cs α) B．P(cs α，sin α)
C．P(rsin α，rcs α) D．P(rcs α，rsin α)
[解析]设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,r)，∴y＝rsin α，又cs α＝eq \f(x,r)，∴x＝rcs α，∴P(rcs α，rsin α)，故选D.
30．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg cs α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解析] (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，可知sin α<0.由lg cs α有意义，可知cs α>0，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵|OM|＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5).
由正弦函数的定义可知sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
31．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β)的值．
[解析]由题意可知P(a，－b)，则sin α＝eq \f(－b,\r(a2＋（－b）2))，cs α＝eq \f(a,\r(a2＋（－b）2))，tan α＝－eq \f(b,a)；
由题意可知Q(b，a)，则sin β＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，cs β＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tan β＝eq \f(a,b)，
所以eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β)＝－1－eq \f(b2,a2)＋eq \f(a2＋b2,a2)＝0.
题型二 三角函数值符号的运用
1．已知sin α＞0，cs α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
2．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由于sinα<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C
3．点P(tanα，csα)在第三象限，则α是第________象限角．
[解析]因为点P(tanα，csα)在第三象限，所以tanα<0，csα<0，则角α的终边在第二象限.
4．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(csα，sinα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]因为－eq \f(π,2)<α<0，所以csα>0，且sinα<0，所以点Q(csα，sinα)在第四象限，选D.
5．已知sin θcs θ<0，且|cs θ|＝cs θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]由|cs θ|＝cs θ，可知cs θ≥0，结合sin θcs θ<0，得sin θ<0，cs θ>0，所以角θ是第四象限角.
6．若tan α<0，且sin α>cs α，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由tan α<0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sin α>0，cs α<0，满足sin α>cs α；
若α是第四象限角，则sin α<0，cs α>0，不满足sin α>cs α，故选B.
7．已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．
8．若sinαtanα<0，且eq \f(csα,tanα)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二、三象限角．
由eq \f(csα,tanα)<0可知csα，tanα异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
9．若cs α与tan α同号，那么α在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
[解析]因为cs α与tan α同号，所以α在第一、二象限．
10．若sinθ
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由条件可知csθ>0，sinθ<0，则θ为第四象限角，故选D.
11．已知tanx>0，且sinx＋csx>0，那么角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]∵tanx>0，∴x在第一或第三象限．若x在第一象限，则sinx>0，csx>0，∴sinx＋csx>0.
若x在第三象限，则sinx<0，csx<0，与sinx＋csx>0矛盾．故x只能在第一象限．
12．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]由α是第三象限角知，sin α<0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D.
13．在△ABC中，若sinAcsBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[解析]因为sinA>0，所以csB，tanC中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．答案C
14．点P(tan 2 018°，cs 2 018°)位于第________象限．
[解析]因为2 018°＝5×360°＋218°，所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角，
所以tan 2 018°＞0，cs 2 018°＜0，所以点P位于第四象限．
15．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))；③tan2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析]①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)＝sin80°>0；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))>0
③∵eq \f(π,2)<2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选B.
16．判断下列各式的符号：
(1)tan 120°sin 269°；(2)cs 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)));(3) cs6·tan6;(4) eq \f(tan－3,cs 8·tan 5).
[解析] (1)因为120°角是第二象限角，所以tan 120°<0.
因为269°角是第三象限角，所以sin 269°<0.所以tan 120°sin 269°>0.
(2)因为π<4
(3)∵eq \f(3π,2)<6<2π，∴6是第四象限角．∴cs6>0，tan6<0.∴cs6·tan6<0.
(4)∵弧度数为－3,5,8的角分别是第三、第四、第二象限角，
∴tan(－3)＞0，tan 5＜0，cs 8＜0，∴eq \f(tan－3,cs 8·tan 5)＞0.
17．判断下列各式的符号：
(1)sin105°·cs230°；(2)cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))；(3)sin145°cs(－210°)；(4)sin3·cs4·tan5；(5)sin2·cs3·tan5
[解析] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cs230°<0.于是sin105°·cs230°<0.
(2)因为eq \f(π,2)<3<π，所以3是第二象限角，所以cs3<0，又因为－eq \f(2π,3)是第三象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))>0，
所以cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))<0.
(3)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cs(－210°)＜0，∴sin 145°cs(－210°)＜0.
(4)∵eq \f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)＜5＜2π，∴sin 3＞0，cs 4＜0，tan 5＜0，∴sin 3·cs 4·tan 5＞0.
(5)∵2 rad为第二象限角，∴sin2>0；3 rad为第二象限角，∴cs3<0；5 rad为第四象限角，∴tan5<0，
∴sin2·cs3·tan5>0
18．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cs B B．cs B与sin C
C．sin C与tan A D．taneq \f(A,2)与sin C
[解析]∵0＜A＜π，∴0＜eq \f(A,2)＜eq \f(π,2)，∴taneq \f(A,2)＞0；又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
19．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝________.
[解析] ∵角α的终边在直线x＋y＝0上∴角α的终边落在二、四象限角平分线上，且|sinα|＝|csα|，
若α在第二象限，sinα>0，csα<0，∴eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,－csα)＋eq \f(sinα,csα)＝0
若α在第四象限，sinα<0，csα>0，∴eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,csα)＋eq \f(－sinα,csα)＝0.
20．函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是( )
A．{－1，0，1，3} B．{－1，0，3}
C．{－1，3} D．{－1，1}
[解析]当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝－1；
当x是第三象限角时，y＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1.
故函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是{－1，3}．
21．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cs α＝－eq \f(x,\r(x2＋y2))，
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析]①正确；②错误，如sineq \f(π,6)＝sineq \f(5π,6)；③错误，如sineq \f(π,2)＝1＞0；
④错误，cs α＝eq \f(x,\r(x2＋y2)).所以B选项是正确的．
22．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
[解析]因为cs α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.
23．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
[解析]角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)是第二、四象限角，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，∴角eq \f(α,2)是第四象限角．
24．已知α是第三象限角，且cseq \f(α,2)>0，则eq \f(α,2)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析.由α是第三象限角知：2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)．所以kπ＋eq \f(π,2)
又cs eq \f(α,2)>0，因此eq \f(α,2)是第四象限角，故选D.
25．已知sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(4,5)，试确定α是第几象限角．
[解析]因为sin eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)>0，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(4,5)<0，所以eq \f(α,2)是第二象限角，所以2kπ＋eq \f(π,2)
26．已知sin θ＜0，tan θ＞0.
(1)求角θ的集合；
(2)求eq \f(θ,2)的终边所在的象限；
(3)试判断sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)的符号．
[解析] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，
所以θ为第三象限角，θ角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜θ＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)可得，kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(θ,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.
当k是偶数时，eq \f(θ,2)终边在第二象限；当k是奇数时，eq \f(θ,2)终边在第四象限．
(3)由(2)可得当k是偶数时，sineq \f(θ,2)＞0，cseq \f(θ,2)＜0，taneq \f(θ,2)＜0，所以sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)＞0；
当k是奇数时sineq \f(θ,2)＜0，cseq \f(θ,2)＞0，taneq \f(θ,2)＜0，所以sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)＞0.
综上知，sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)＞0.
题型三 诱导公式一的应用
1．sin 585°的值为
[解析]sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°.
由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，所以sin 225°＝－eq \f(\r(2),2).
2．sin(－315°)的值是
[解析]sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
3．sineq \f(25,3)π＝________.
[解析]sineq \f(25,3)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
4．sin(－1380°)的值为
[解析]sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).
5．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))的值等于
[解析] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)
6．cs 1 470°＝____________．
[解析]cs 1 470°＝cs(4×360°＋30°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
7．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))等于________．
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).
8．求下列三角函数值：
(1)sin eq \f(25,6)π＋cs eq \f(19,3)π；(2)sin2 eq \f(17π,4)＋tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))tan eq \f(9π,4)；
(3)sin 390°＋cs(－660°)＋3tan 405°－cs 540°；(4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)))＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(9π,4)－sin eq \f(7π,3).
[解析] (1)sin eq \f(25,6)π＋cs eq \f(19,3)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.
(2)原式＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋4π))＋tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2π))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π))＝sin2eq \f(π,4)＋tan2 eq \f(π,6)·tan eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
(3)原式＝sin(360°＋30°)＋cs(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cs(360°＋180°)
＝sin 30°＋cs 60°＋3tan 45°－cs 180°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋3×1－(－1)＝5.
(4)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,2)))＋tan π－2cs 0＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,4)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,2)＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(π,4)－sin eq \f(π,3)
＝1＋0－2＋1－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),2).
9．求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°；(2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3)；(3) sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4))).
[解析] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cs(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cs 30°
＝1－1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)＋taneq \f(π,4)cseq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4)；
(3) sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(π,3)－taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0.
10．求值：(1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°.(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4))).
(3)sin810°＋tan1125°＋cs420°； (4)sin1140°cs(－690°)＋tan1845°.
[解析] (1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
(3)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cs(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cs60°＝1＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(4)原式＝sin(3×360°＋60°)cs(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cs30°＋tan45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1＝eq \f(7,4).
11．计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cs1110°＋cs(－1020°)sin750°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan4π；
(3)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°).
[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin45°cs30°＋cs60°sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).
(3)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
12．化简下列各式：
(1)sineq \f(7,2)π＋cseq \f(5,2)π＋cs(－5π)＋taneq \f(π,4)；(2)a2sin 810°－b2cs 900°＋2abtan 1125°.
[解析] (1)原式＝sineq \f(3,2)π＋cseq \f(π,2)＋cs π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cs 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
13．已知角α的终边经过点P(3，4)．
(1)求tan(－6π＋α)的值；
(2)求eq \f(sin（α－4π）,cs（6π＋α）)·sin(α－2π)·cs(2π＋α)的值．
[解析]设x＝3，y＝4则r＝eq \r(32＋42)＝5，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(4,3)，
(1)tan(－6π＋α)＝tan α＝eq \f(4,3).
(2)原式＝eq \f(sin α,cs α)·sin α·cs α＝sin2 α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,25).
14．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
[解析]tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)＝eq \f(a,4)，解得a＝eq \f(4\r(3),3).
15．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是________．
[解析]由题意，得tan 420°＝－eq \f(a,4)，即tan 60°＝－eq \f(a,4)，解得a＝－4eq \r(3).
16．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)，cs\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
[解析]由任意角的三角函数的定义，得tanθ＝eq \f(y,x)＝eq \f(cs\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝－1.∵sineq \f(3π,4)>0，cseq \f(3π,4)<0，∴
点P在第四象限，∴θ＝eq \f(7π,4).
17．点P从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达Q点，则Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
[解析]点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达Q点，所以点Q是角eq \f(26π,3)与单位圆的交点，所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(26π,3)，sin\f(26π,3)))，又cseq \f(26π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(2π,3)))＝cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，sineq \f(26π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(2π,3)))＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
题型四 与三角函数有关的定义域问题
1．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(sinx＋csx,tanx)；(2)y＝eq \r(－csx)＋eq \r(sinx).
[解析](1)要使函数有意义，需tanx≠0，∴x≠kπ＋eq \f(π,2)，且x≠kπ，k∈Z.∴x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z.
于是函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(kπ,2)，k∈Z)))).
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－csx≥0，,sinx≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(3π,2)k∈Z，,2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，))解得2kπ＋eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z)))).
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝eq \r(sinx)＋tanx.
[解析] (1)依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))∴函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
(2)当sinx≥0且tanx有意义时，函数才有意义，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2k＋1π，,x≠kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1())xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1())2kπ≤x<2kπ＋eq \f(π,2)或2kπ＋eq \f(π,2)
[解析]f(x)·csx<0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,csx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,csx>0.))
则由图知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1
[解析]∵方程有两实根，∴Δ＝4(cs θ＋1)2－4cs2θ≥0，∴cs θ≥－eq \f(1,2).①
∵|α－β|≤2eq \r(2)，∴(α＋β)2－4αβ≤8.
由根与系数的关系得α＋β＝－2(cs θ＋1)，α·β＝cs2 θ，∴4(cs θ＋1)2－4cs2θ≤8.
即cs θ≤eq \f(1,2).②
由①②得－eq \f(1,2)≤cs θ≤eq \f(1,2)，利用单位圆可知eq \f(π,3)＋2kπ≤θ≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z或eq \f(4π,3)＋2kπ≤θ≤eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z.
∴eq \f(π,3)＋kπ≤θ≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
∴θ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
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