高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题49诱导公式五和公式六(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题49诱导公式五和公式六(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了公式五，公式六，化简等内容，欢迎下载使用。

(1)角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.
3．诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq \f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq \f(π,2)±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·eq \f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq \f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
4．利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.
题型一 利用诱导公式化简与求值
1．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))
2．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝________.
3．下列各式中，不正确的是( )
A．sin(180°－α)＝sinα B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝sineq \f(α,2) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα D．tan(－α)＝－tanα
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
5．化简sin(π＋α)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs(π＋α)＝________.
6．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋α)－eq \f(sin2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinπ－α).
7．化简：eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)＝( )
A．－sin θ B．sin θ C．cs θ D．－cs θ
8．化简：eq \f(sin2π＋αcsπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)),csπ－αsin3π－αsin－π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))＝________.
9．化简：eq \f(csα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)).
10．eq \f(sin2π－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))csπ－α,tanα－3πsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－2α)))等于( )
A．－csα B．csα C．sinα D．－sinα
11．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs（π＋α）)＋eq \f(sin（π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin（π＋α）).
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么csα＝
13．已知csθ＝－eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝________.
14．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|＜eq \f(π,2)，则tan φ＝________.
15．如果cs(π＋A)＝－eq \f(1,2)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝
16．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的结果是
17．若cs(α＋π)＝－eq \f(2,3)，则sin(－α－eq \f(3π,2))＝
18．已知cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.
19．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于
20．已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，α为第一象限角，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
21．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(\r(,3),2)，则tan(2018π－α)＝
22．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为
23．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于
24．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为________．
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))的值为________．
26．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.
27．已知α是第四象限角，且cs(5°＋α)＝eq \f(4,5)，则cs(α－85°)＝________.
28．已知sin 10°＝k，则cs 620°的值为( )
A．k B．－k
C．±k D．不确定
29．已知csα＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)＝________.
30．已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2) C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
31．若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，则cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是
32．化简eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)的结果为________．
33．若f(cs x)＝cs 2x，则f(sin 15°)的值为
34．已知f(sin x)＝cs 3x，则f(cs 10°)的值为
35．若f(sinx)＝3－cs2x，则f(csx)＝( )
A．3－cs2x B．3－sin2x C．3＋cs2x D．3＋sin2x
36．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝
37．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且csA＝－eq \r(3)cs(π－B)，则C＝________.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
1．求证：eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tanα.
2．求证：eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq \f(2,sin2θ).
3．求证：eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).
4．求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.
5．求证：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.
6．求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).
题型三 诱导公式的综合应用
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cs 2)，则α等于________．
2．已知f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))的值为________．
3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))的值．
4．已知cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，α为锐角，求eq \f(tan435°－α＋sinα－165°,cs195°＋α·sin105°＋α)的值．
5．已知角α的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))).
(1)求sin α的值；(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcs3π－α)的值．
6．已知tanθ＝2，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)的值．
7．已知tan(3π＋α)＝2，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－sin－α＋csπ＋α)＝________.
8．已知eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，则sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＝________.
9．已知csα＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值．
10．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，则eq \f(sin（π－α）＋cs（π＋α）,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))＝________．
11．已知sin(α－3π)＝2cs(α－4π)，求eq \f(sin（π－α）＋5cs（2π－α）,2sin（\f(3π,2)－α）－sin（－α）)的值．
12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，
则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝________.
13．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是
14．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且α，β的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝eq \f(3,5)，则sin β＝
15．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，eq \f(3,5))，求eq \f(sin（\f(π,2)＋α）＋2sin（\f(π,2)－α）,2cs（\f(3π,2)－α）)的值．
16．已知f(α)＝eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs－α－π).
(1)化简f(α)；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，求tan α.
17．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
18．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
19．若sinα＝eq \f(\r(5),5)，求eq \f(cs3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)),cs3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α)))的值．
20．在△ABC中，sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状．
21．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求sin α与cs α的值．
22．已知sin(π－α)－cs(π＋α)＝eq \f(\r(,2),3)(eq \f(π,2)<α<π)，求下列各式的值．
(1)sin α－cs α；
(2)cs2(eq \f(π,2)＋α)－cs2(－α)．
23．已知函数f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan（2π－α）,tan（α＋π）sin（α＋π）).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，求f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值；
(3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)，求f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．
24．是否存在角α，β，α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cs(eq \f(π,2)－β)，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
25．已知f(cs x)＝cs 17x.
(1)求证：f(sin x)＝sin 17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin x)＝sin nx推出f(cs x)＝cs nx?
专题49 诱导公式五和公式六
1．公式五
(1)角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.
3．诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq \f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq \f(π,2)±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·eq \f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq \f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
4．利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.
题型一 利用诱导公式化简与求值
1．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))
[解析]sin(π＋θ)＝－sin θ；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ.
2．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝________.
[解析]sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－cs α.
3．下列各式中，不正确的是( )
A．sin(180°－α)＝sinα B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝sineq \f(α,2) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα D．tan(－α)＝－tanα
[解析]由诱导公式知A、D正确．
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sinα，故C正确．
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°＋\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，故B不正确．
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
[解析]由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
5．化简sin(π＋α)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs(π＋α)＝________.
[解析]原式＝(－sin α)·sin α＋cs α·(－cs α)＝－sin2α－cs2α＝－1.
6．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋α)－eq \f(sin2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinπ－α).
[解析]原式＝eq \f(cs α－sin α,－cs α)－eq \f(sin－αsin α,sin α)＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
7．化简：eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)＝( )
A．－sin θ B．sin θ C．cs θ D．－cs θ
[解析]原式＝eq \f(sinθ－πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,cs θsin－θ)＝eq \f(－sin θ－sin θcs θ,cs θ－sin θ)＝－sin θ.
8．化简：eq \f(sin2π＋αcsπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)),csπ－αsin3π－αsin－π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))＝________.
[解析]原式＝eq \f(sinα·－csα·sinα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),－csα·sinα·[－sinπ－α]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))＝eq \f(sinα·－sinα,－sinα·csα)＝tanα
9．化简：eq \f(csα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)).
[解析]原式＝eq \f(cs[－π－α],sinα)·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))(－sinα)＝eq \f(csπ－α,sinα)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))(－sinα)
＝eq \f(－csα,sinα)·(－csα)(－sinα)＝－cs2α.
10．eq \f(sin2π－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))csπ－α,tanα－3πsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－2α)))等于( )
A．－csα B．csα C．sinα D．－sinα
[解析]原式＝eq \f(sin－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))·－csα,tanα·csα·sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)))))＝eq \f(sinαcsα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)),tanαcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)))))＝－csα.故选A.
11．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs（π＋α）)＋eq \f(sin（π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin（π＋α）).
[解析]因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，sin(π－α)＝sin α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
所以原式＝eq \f(cs α·sin α,－cs α)＋eq \f(sin α·（－sin α）,－sin α)＝－sin α＋sin α＝0.
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么csα＝
[解析]sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα＝eq \f(1,5).
13．已知csθ＝－eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝________.
[解析]sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝csθ＝－eq \f(3,5).
14．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|＜eq \f(π,2)，则tan φ＝________.
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)，sin φ＝－eq \f(\r(3),2)，又∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴cs φ＝eq \f(1,2)，故tan φ＝－eq \r(3).
15．如果cs(π＋A)＝－eq \f(1,2)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝
[解析]∵cs(π＋A)＝－csA＝－eq \f(1,2)，∴csA＝eq \f(1,2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝csA＝eq \f(1,2)
16．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的结果是
[解析]∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq \f(3,5),∴sinα＝eq \f(3,5)，且α是第二象限角,
∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－(－csα)＝csα＝－eq \f(4,5)
17．若cs(α＋π)＝－eq \f(2,3)，则sin(－α－eq \f(3π,2))＝
[解析]因为cs(α＋π)＝－cs α＝－eq \f(2,3)，所以cs α＝eq \f(2,3).所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))＝cs α＝eq \f(2,3).
18．已知cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.
[解析]因为cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5).
19．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于
[解析]∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(1,2).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).
20．已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，α为第一象限角，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
[解析]因为cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(1,2)，所以cs α＝eq \f(1,2)，又α为第一象限角．
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝－eq \f(\r(3),2).
21．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(\r(,3),2)，则tan(2018π－α)＝
[解析]由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(\r(,3),2)得sin α＝－eq \f(\r(,3),2)，
又0<α因为tan(2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－eq \r(,3)
22．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为
[解析]∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3).
23．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
24．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为________．
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))的值为________．
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(3,5).
26．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝－eq \f(1,3).
27．已知α是第四象限角，且cs(5°＋α)＝eq \f(4,5)，则cs(α－85°)＝________.
[解析]因为α是第四象限角，且cs(5°＋α)＝eq \f(4,5)＞0，所以5°＋α是第四象限角，
所以sin(5°＋α)＝－eq \r(1－cs25°＋α)＝－eq \f(3,5)，
所以cs(α－85°)＝cs(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－eq \f(3,5).
28．已知sin 10°＝k，则cs 620°的值为( )
A．k B．－k
C．±k D．不确定
[解析]cs 620°＝cs(360°＋260°)＝cs 260°＝cs(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.
29．已知csα＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)＝________.
[解析]sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)＝－csαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cs2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,9).
30．已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2) C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
[解析]sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).
31．若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，则cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是
[解析]由sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝eq \f(a,2)，
cs(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)a.
32．化简eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)的结果为________．
[解析]eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)＝eq \f(sin360°＋40°[－sin180°＋50°],cs720°＋90°＋40°－tan50°)＝eq \f(sin40°sin50°,sin40°tan50°)＝eq \f(sin50°,\f(sin50°,cs50°))＝cs50°.
33．若f(cs x)＝cs 2x，则f(sin 15°)的值为
[解析]因为f(sin 15°)＝f(cs 75°)＝cs 150°＝－eq \f(\r(3),2).
34．已知f(sin x)＝cs 3x，则f(cs 10°)的值为
[解析] f(cs 10°)＝f(sin 80°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).
35．若f(sinx)＝3－cs2x，则f(csx)＝( )
A．3－cs2x B．3－sin2x C．3＋cs2x D．3＋sin2x
[解析] f(csx)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝3－cs(π－2x)＝3＋cs2x，故选C.
36．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝
[解析]原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).
37．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且csA＝－eq \r(3)cs(π－B)，则C＝________.
[解析]由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)csA＝3sinA， ①,csA＝\r(3)csB， ②))
由①得tanA＝eq \f(\r(3),3)，故A＝eq \f(π,6).由②得csB＝eq \f(cs\f(π,6),\r(3))＝eq \f(1,2)，故B＝eq \f(π,3).故C＝eq \f(π,2).
题型二 利用诱导公式证明恒等式
1．求证：eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tanα.
[解析]左边＝eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝eq \f(tan－α－sinαcsα,－csαsinα)＝eq \f(－tanαsinαcsα,csαsinα)＝－tanα＝右边，
所以原等式成立．
2．求证：eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq \f(2,sin2θ).
[解析]左边＝eq \f(－csθ,csθ－csθ－1)＋eq \f(csθ,－csθcsθ＋csθ)
＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(1－csθ＋1＋csθ,1＋csθ1－csθ)＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝右边．∴原式成立．
3．求证：
eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).
[解析]右边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2θ)＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ2,sin2θ－cs2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝左边，所以原等式成立．
4．求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.
[解析]左边＝eq \f(cs θsin－θtan－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(cs θsin θtan θ,－sin θcs θ)＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
5．求证：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.
[解析]因为eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)－2π))tan－x)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))tan x)＝eq \f(－sin x,cs xtan x)＝－1
＝右边，所以原等式成立．
6．求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).
[解析]左边＝eq \f(－2cs θ·sin θ－1,sin2θ＋cs2θ－2sin2θ)＝eq \f(－sin θ＋cs θ2,cs θ＋sin θcs θ－sin θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)，
右边＝eq \f(tan8π＋π＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq \f(tanπ＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(\f(sin θ,cs θ)＋1,\f(sin θ,cs θ)－1)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)，
所以等式成立．
题型三 诱导公式的综合应用
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cs 2)，则α等于________．
[解析] cs α＝eq \f(2sin 2,\r(2sin 22＋－2cs 22))＝sin 2，∴α＝2－eq \f(π,2).
2．已知f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))的值为________．
[解析] ∵f(α)＝eq \f(－sinα－csα,－csα－tanα)＝csα，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))＝cseq \f(25,3)π＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))的值．
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,9).
4．已知cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，α为锐角，求eq \f(tan435°－α＋sinα－165°,cs195°＋α·sin105°＋α)的值．
[解析]原式＝eq \f(tan360°＋75°－α－sinα＋15°,cs180°＋15°＋α·sin[180°＋α－75°])＝eq \f(tan75°－α－sinα＋15°,－cs15°＋α·[－sinα－75°])
＝－eq \f(1,cs15°＋α·sin15°＋α)＋eq \f(sinα＋15°,cs15°＋α·cs15°＋α).
因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以15°<α＋15°<105°.
又cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，所以sin(15°＋α)＝eq \f(4,5)，故原式＝－eq \f(1,\f(3,5)×\f(4,5))＋eq \f(\f(4,5),\f(3,5)×\f(3,5))＝eq \f(5,36).
5．已知角α的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))).
(1)求sin α的值；(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcs3π－α)的值．
[解析] (1)因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，所以|OP|＝1，sin α＝－eq \f(3,5).
(2)eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcs3π－α)＝eq \f(cs αtan α,－sin α－cs α)＝eq \f(1,cs α)，
由三角函数定义知cs α＝eq \f(4,5)，故所求式子的值为eq \f(5,4).
6．已知tanθ＝2，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)的值．
[解析] eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝eq \f(csθ－－csθ,csθ－sinθ)＝eq \f(2csθ,csθ－sinθ)＝eq \f(2,1－tanθ)＝eq \f(2,1－2)＝－2.
7．已知tan(3π＋α)＝2，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－sin－α＋csπ＋α)＝________.
[解析]由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以
原式＝eq \f(－sinα＋－csα＋csα－2－sinα,sinα－csα)＝eq \f(sinα,sinα－csα)＝eq \f(tanα,tanα－1)＝eq \f(2,2－1)＝2.
8．已知eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，则sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＝________.
[解析]∵eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2, sin θ＝3cs θ，∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＝sin θcs θ＝eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(3,10).
9．已知csα＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值．
[解析]因为csα＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角，
所以sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).
所以f(α)＝eq \f(－tanα·sinα·csα,－csα)＝tanαsinα＝eq \f(sinα,csα)·sinα＝eq \f(－\f(3,5),－\f(4,5))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(9,20).
10．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，则eq \f(sin（π－α）＋cs（π＋α）,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))＝________．
[解析]因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，所以sin α＝2cs α.原式＝eq \f(sin α－cs α,5sin α－3cs α)＝eq \f(2cs α－cs α,10cs α－3cs α)＝eq \f(1,7).
11．已知sin(α－3π)＝2cs(α－4π)，求eq \f(sin（π－α）＋5cs（2π－α）,2sin（\f(3π,2)－α）－sin（－α）)的值．
[解析]因为sin(α－3π)＝2cs(α－4π)，所以－sin(3π－α)＝2cs(4π－α)，
所以－sin(π－α)＝2cs(－α)，所以sin α＝－2cs α，且cs α≠0，
所以原式＝eq \f(sin α＋5cs α,－2cs α＋sin α)＝eq \f(－2cs α＋5cs α,－2cs α－2cs α)＝eq \f(3cs α,－4cs α)＝－eq \f(3,4).
12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，
则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝________.
[解析]设θ的终边上一点为P(x,3x)(x≠0)，则tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(3x,x)＝3.
因此eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝eq \f(－cs θ－2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(－3cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(－3,1－tan θ)＝eq \f(－3,1－3)＝eq \f(3,2).
13．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是
[解析] sin(α－15°)＋cs(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cs[180°－(75°＋α)]
＝－cs(75°＋α)－cs(75°＋α)＝－2cs(75°＋α)＝－eq \f(2,3).
14．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且α，β的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝eq \f(3,5)，则sin β＝
[解析]由α，β∈(0，eq \f(π,2))，且α，β的终边关于直线y＝x对称知α＋β＝eq \f(π,2)，因此β＝eq \f(π,2)－α，
所以sin β＝sin(eq \f(π,2)－α)＝cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)
15．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，eq \f(3,5))，求eq \f(sin（\f(π,2)＋α）＋2sin（\f(π,2)－α）,2cs（\f(3π,2)－α）)的值．
[解析]因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P(a，eq \f(3,5))，所以a2＋eq \f(9,25)＝1(a＜0)，
所以a＝－eq \f(4,5)，所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，
所以原式＝eq \f(cs α＋2cs α,－2sin α)＝－eq \f(3,2)·eq \f(cs α,sin α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))×eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2.
16．已知f(α)＝eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs－α－π).
(1)化简f(α)；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，求tan α.
[解析](1)f(α)＝eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs－α－π)＝eq \f(－tan α·cs α·cs α,－cs α)＝sin α.
(2)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－eq \f(3,5)，得cs α＝－eq \f(3,5)，
又α是第二象限角，所以sin α＝eq \r(1－cs2 α)＝eq \f(4,5)，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).
17．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
[解析] (1)f(α)＝eq \f(sinαcsα－sinα,sinα[－sinπ＋α])＝eq \f(csα－sinα,sinα)＝－csα
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sinα＝eq \f(1,5)，∴sinα＝－eq \f(1,5)，又∵α为第三象限角，
∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－cseq \f(5π,3)＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
18．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
[解析]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)·tan2α＝－tan2α＝－eq \f(9,16).
19．若sinα＝eq \f(\r(5),5)，求eq \f(cs3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)),cs3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α)))的值．
[解析] eq \f(cs3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)),cs3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α)))
＝eq \f(cs[2π＋π－α],csα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),csπ＋αsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))))－sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))
＝eq \f(－csα,csα－csα－1)＋eq \f(csα,－csαcsα＋csα)＝eq \f(1,1＋csα)＋eq \f(1,1－csα)＝eq \f(2,sin2α)，
因为sinα＝eq \f(\r(5),5)，所以eq \f(2,sin2α)＝10，即原式＝10.
20．在△ABC中，sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状．
解析]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，∴sineq \f(π－2C,2)＝sineq \f(π－2B,2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－C))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，即cs C＝cs B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形．
21．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求sin α与cs α的值．
[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sin α，
∴sin α·cs α＝eq \f(60,169)，即2sin α·cs α＝eq \f(120,169).①
又∵sin2α＋cs2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169).
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α＞cs α＞0，即sin α＋cs α＞0，sin α－cs α＞0，
∴sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③
sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④
(③＋④)÷2得sin α＝eq \f(12,13)，(③－④)÷2得cs α＝eq \f(5,13).
22．已知sin(π－α)－cs(π＋α)＝eq \f(\r(,2),3)(eq \f(π,2)<α<π)，求下列各式的值．
(1)sin α－cs α；
(2)cs2(eq \f(π,2)＋α)－cs2(－α)．
[解析]由sin (π－α)－cs(π＋α)＝eq \f(\r(,2),3)，得sin α＋cs α＝eq \f(\r(,2),3).将两边分别平方，得1＋2sin αcs α＝eq \f(2,9)，
所以2sin αcs α＝－eq \f(7,9).又eq \f(π,2)<α<π，所以sin α>0，cs α<0.
(1)因为(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)))＝eq \f(16,9)，
又sin α－cs α>0，所以sin α－cs α＝eq \f(4,3).
(2)cs2(eq \f(π,2)＋α)－cs2 (－α)＝sin2 α－cs2 α＝(sin α＋cs α)(sin α－cs α)＝eq \f(\r(,2),3)×eq \f(4,3)＝eq \f(4\r(,2),9).
23．已知函数f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan（2π－α）,tan（α＋π）sin（α＋π）).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，求f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值；
(3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)，求f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．
[解析] (1)f(α)＝eq \f(－cs αsin α（－tan α）,tan α（－sin α）)＝－cs α.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α，因为f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，所以cs α·sin α＝eq \f(1,8)，
可得(sin α－cs α)2＝eq \f(3,4)，由eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，得cs α>sin α，所以f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α－cs α＝－eq \f(\r(,3),2).
(3)由(2)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)即为sin α＝－2cs α，联立sin2 α＋cs2 α＝1，解得cs2 α＝eq \f(1,5)，
所以f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin αcs α＝2cs2 α＝eq \f(2,5).
24．是否存在角α，β，α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cs(eq \f(π,2)－β)，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解析]由条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))
①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2，所以sin2α＝eq \f(1,2).
又α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，所以α＝eq \f(π,4)或α＝－eq \f(π,4).将α＝eq \f(π,4)代入②，得cs β＝eq \f(\r(3),2).
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知符合．将α＝－eq \f(π,4)代入②得cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知不符合．
综上可知，存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
25．已知f(cs x)＝cs 17x.
(1)求证：f(sin x)＝sin 17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin x)＝sin nx推出f(cs x)＝cs nx?
[解析] (1)证明：f(sin x)＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(17\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,2)－17x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－17x))＝sin 17x.
(2)f(cs x)＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－nx))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sin nx，n＝4k，,cs nx，n＝4k＋1，,sin nx，n＝4k＋2，,－cs nx，n＝4k＋3.))k∈Z,故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.