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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题58简单的三角恒等变换(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题58简单的三角恒等变换(原卷版+解析)，共25页。
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点二 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]． sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
知识点三 辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，
角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 求值问题
类型一 应用半角公式求值
1．已知taneq \f(θ,2)＝3，则csθ等于
2．已知sinα＝－eq \f(4,5)，π<α3．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，求cs eq \f(\a\vs4\al(α－β),2) 的值．
4．已知sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)＝－eq \f(1,\r(5))，450°<α<540°，求taneq \f(α,2)的值．
5．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于
6．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于________．
7．设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
8．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).
9．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cs eq \f(θ,2)＝________.
类型二 求值
1．已知eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，则eq \f(cs α,sin α－1)的值为
2．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝
3．已知tan 2α＝eq \f(3,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为
4．若3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(\r(3),4)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，则sin θ＋cs θ的值是
6．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝
7．已知sinα＋csα＝eq \f(1,3)，则2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝
8．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ等于
9．设α为第四象限角，且eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.
10．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))的值为
11．若tanx＝eq \r(2)，则eq \f(2cs2\f(x,2)－sinx－1,sinx＋csx)＝________.
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，cs2α＝eq \f(7,25)，则taneq \f(α,2)＝
13．已知sin 2θ＝eq \f(3,5)，0＜2θ＜eq \f(π,2)，则eq \f(2cs2\f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝________．
14．若α－β＝eq \f(π,4)，则sinαsinβ的最大值为________．
15．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，0<α<β<π，求α－β的值．
16．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝________.
17．已知cs2θ＝eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，
(1)求tanθ的值．
(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值．
18．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(7,9).
(1)求taneq \f(β,2)的值；
(2)求sin α的值．
题型二 化简问题
1．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则eq \r(1－sinα)化简的结果为( )
A．sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) B．sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
2. 化简eq \f(（1－sin α－cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\r(2－2cs α))(－π＜α＜0)．
3．化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0＜α＜π)．
4．已知π<α5．若α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs2α,2))－ eq \r(\f(1－cs2α,2))等于( )
A．csα－sinα B．csα＋sinα
C．－csα＋sinα D．－csα－sinα
6．若－2π<α<－eq \f(3π,2)，则 eq \r(\f(1－csα－π,2))的值是( )
A．sineq \f(α,2) B．cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2) D．－cseq \f(α,2)
7．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))得( )
A．2＋sinα B．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
C．2 D．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
8．eq \r(2＋2cs8)＋2eq \r(1－sin8)的化简结果是________．
9．化简下列各式：
(1)eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，则eq \r(1－sin 2α)＝________.
(2)α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________.
10．eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝__________.
11．化简tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)＝__________.
12．化简：eq \f(sin4x,1＋cs4x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx).
13．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs β,1－sin β)，则( )
A．2α＋β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)
C．α＋2β＝eq \f(π,2) D．α－2β＝eq \f(π,2)
14．化简eq \f(sin4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝( )
A．sin2α B．cs2α
C．sinα D．csα
15．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(180°<α<360°)．
16．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(π<α<2π)．
17．化简：
(1)eq \r(1＋sinθ)－eq \r(1－sinθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)<θ<2π))；(2)eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)).
18．化简：csα eq \r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq \r(\f(1－csα,1＋csα))，π<α19．化简：eq \f(1－sinα－csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2－2csα))(－π<α<0)
题型三 证明问题
1．求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
2．求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
3．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).
4．求证：eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,2tanθ)＝eq \f(1＋sin4θ＋cs4θ,1－tan2θ).
5．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sinx,csx＋cs2x).
6．求证：eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).
专题58 简单的三角恒等变换
知识点一 半角公式
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点二 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]． sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
知识点三 辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，
角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 求值问题
类型一 应用半角公式求值
1．已知taneq \f(θ,2)＝3，则csθ等于
[解析]csθ＝cs2eq \f(θ,2)－sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2))＝eq \f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq \f(1－32,1＋32)＝－eq \f(4,5).
2．已知sinα＝－eq \f(4,5)，π<α[解析] ∵π<α∴sineq \f(α,2)＝ eq \r(\f(1－csα,2))＝eq \f(2\r(5),5)，cseq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1＋csα,2))＝－eq \f(\r(5),5)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－2.
3．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，求cs eq \f(\a\vs4\al(α－β),2) 的值．
[解析]因为α为钝角，β为锐角，sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，所以cs α＝－eq \f(3,5)，cs β＝eq \f(5,13).
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(33,65).
因为eq \f(π,2)＜α＜π且0＜β＜eq \f(π,2)，所以0＜α－β＜π，即0＜eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2).
所以cs eq \f(α－β,2)＝ eq \r(\f(1＋cs（α－β）,2))＝ eq \r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq \f(7\r(65),65).
4．已知sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)＝－eq \f(1,\r(5))，450°<α<540°，求taneq \f(α,2)的值．
[解析]由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2＝eq \f(1,5)，即1－sinα＝eq \f(1,5)，得sinα＝eq \f(4,5).
∵450°<α<540°，∴csα＝－eq \f(3,5)，∴taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),\f(4,5))＝2.
5．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于
[解析]由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).
6．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于________．
[解析] 由sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0得cs θ＝－eq \f(4,5)，
∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(sin\f(θ,2),cs\f(θ,2))＝eq \f(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2))＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)＝eq \f(－\f(3,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))))＝－3
7．设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
[解析]∵5π＜θ＜6π，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).又cseq \f(θ,2)＝a，∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).
8．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).
[解析]法一：∵180°<θ<270°，∴90°∴tan eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))＝－eq \r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))))＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－2.
9．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cs eq \f(θ,2)＝________.
[解析] 由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝eq \f(24,25)或sin θ＝－1(舍去)．
故cs θ＝－eq \r(1－sin2 θ)＝－eq \f(7,25)，由cs2 eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)得cs2 eq \f(θ,2)＝eq \f(9,25).
又eq \f(θ,2)是第一、三象限角，所以cs eq \f(θ,2)＝±eq \f(3,5).
类型二 求值
1．已知eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，则eq \f(cs α,sin α－1)的值为
[解析]∵eq \f(cs α,1＋sin α)·eq \f(cs α,sin α－1)＝eq \f(cs2α,sin2α－1)＝eq \f(1－sin2α,sin2α－1)＝－1且eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，∴eq \f(cs α,sin α－1)＝－eq \f(\r(3),3).
2．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝
[解析]sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝eq \f(1－csB＋C,2)＋2cs2A－1＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1＝－eq \f(1,9).
3．已知tan 2α＝eq \f(3,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为
[解析]由tan 2α＝eq \f(3,4)，即eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4)，得tan α＝eq \f(1,3)或tan α＝－3.
又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cs xsin α－2sin α≥0恒成立，
所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－eq \f(3,\r(10))，cs α＝eq \f(1,\r(10))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)－cs αsineq \f(π,4)＝－eq \f(2\r(5),5)
4．若3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
[解析]因为3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－eq \f(π,6).
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(\r(3),4)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，则sin θ＋cs θ的值是
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2θ))＝eq \f(1,2)cs 2θ＝eq \f(\r(3),4).
所以cs 2θ＝eq \f(\r(3),2).因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，所以2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以sin 2θ＝－eq \f(1,2)，且sin θ＋cs θ＜0.
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋sin 2θ＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).所以sin θ＋cs θ＝－eq \f(\r(2),2).
6．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝
[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1.∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(π,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).
7．已知sinα＋csα＝eq \f(1,3)，则2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝
[解析] sinα＋csα＝eq \f(1,3)，两边平方可得1＋sin2α＝eq \f(1,9)，可得sin2α＝－eq \f(8,9)，
2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝－eq \f(8,9).
8．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ等于
[解析] 因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
故cs2θ≤0，所以cs2θ＝－eq \r(1－sin22θ)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(7),8)))2)＝－eq \f(1,8).
又cs2θ＝1－2sin2θ，所以sin2θ＝eq \f(1－cs2θ,2)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))),2)＝eq \f(9,16).
又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq \f(3,4)
9．设α为第四象限角，且eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.
[解析] ∵α为第四象限的角，∴sinα<0，csα>0
∵eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(sin2α＋α,sinα)＝eq \f(sin2αcsα＋cs2αsinα,sinα)＝2cs2α＋cs2α＝4cs2α－1＝eq \f(13,5)
∴csα＝eq \f(3\r(10),10)，sinα＝－eq \f(\r(10),10)，tanα＝－eq \f(1,3)，∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(3,4).
10．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))的值为
[解析] 由csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，可得sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5).
所以eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2).
11．若tanx＝eq \r(2)，则eq \f(2cs2\f(x,2)－sinx－1,sinx＋csx)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(csx－sinx,csx＋sinx)＝eq \f(1－tanx,1＋tanx)＝eq \f(1－\r(2),1＋\r(2))＝eq \f(1－\r(2)2,－1)＝2eq \r(2)－3.
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，cs2α＝eq \f(7,25)，则taneq \f(α,2)＝
[解析]由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)⇒sinα－csα＝eq \f(7,5) ①，cs2α＝eq \f(7,25)⇒cs2α－sin2α＝eq \f(7,25)，
所以(csα－sinα)(csα＋sinα)＝eq \f(7,25) ②，由①②可得csα＋sinα＝－eq \f(1,5) ③，
由①③得sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，所以角α为第二象限角，所以eq \f(α,2)为第一、三象限角，t
aneq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \r(\f(1＋\f(4,5),1－\f(4,5)))＝3
13．已知sin 2θ＝eq \f(3,5)，0＜2θ＜eq \f(π,2)，则eq \f(2cs2\f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝________．
[解析]eq \f(2cs2\f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2 \f(θ,2)－1))－sin θ,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs \f(π,4)＋cs θsin \f(π,4))))＝eq \f(cs θ－sin θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(1－\f(sin θ,cs θ),\f(sin θ,cs θ)＋1)＝eq \f(1－tan θ,tan θ＋1).
因为sin 2θ＝eq \f(3,5)，0＜2θ＜eq \f(π,2)，所以cs 2θ＝eq \f(4,5)，所以tan θ＝eq \f(sin 2θ,1＋cs 2θ)＝eq \f(\f(3,5),1＋\f(4,5))＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(1－tan θ,tan θ＋1)＝eq \f(1－\f(1,3),\f(1,3)＋1)＝eq \f(1,2)，即eq \f(2cs2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1,2).
14．若α－β＝eq \f(π,4)，则sinαsinβ的最大值为________．
[解析]α＝β＋eq \f(π,4)，则sinαsinβ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))sinβ＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β＋\f(π,4)))－cs\f(π,4)))＝－eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β＋\f(π,4)))＋eq \f(\r(2),4)
∴最大值为eq \f(2＋\r(2),4).
15．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，0<α<β<π，求α－β的值．
[解析]因为(sinα＋sinβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2，(csα＋csβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2，
以上两式展开两边分别相加得2＋2cs(α－β)＝1，所以cs(α－β)＝－eq \f(1,2)，
又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，所以α－β＝－eq \f(2π,3).
16．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝________.
[解析] eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sinαcs\f(π,5)＋csαsin\f(π,5),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sinα,csα)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,csα)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3.
17．已知cs2θ＝eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，
(1)求tanθ的值．
(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值．
[解析] (1)∵cs2θ＝eq \f(7,25)，∴eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(7,25)，∴eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(7,25)，解得tanθ＝±eq \f(3,4)，
∵eq \f(π,2)<θ<π，∴tanθ＝－eq \f(3,4).
(2)eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)，∴eq \f(π,2)<θ<π，tanθ＝－eq \f(3,4)，∴sinθ＝eq \f(3,5)，csθ＝－eq \f(4,5)，
∴eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)＝eq \f(1－\f(4,5)＋\f(3,5),－\f(4,5)＋\f(3,5))＝－4.
18．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(7,9).
(1)求taneq \f(β,2)的值；
(2)求sin α的值．
[解析](1)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，则sin β＝eq \f(2\r(2),3)，taneq \f(β,2)＝eq \f(sin β,1＋cs β)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2).
(2)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，
从而cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2（α＋β）)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))\s\up12(2))＝－eq \f(4\r(2),9)，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cs β－cs(α＋β)sin β＝eq \f(7,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(2),9)))×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(1,3).
题型二 化简问题
1．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则eq \r(1－sinα)化简的结果为( )
A．sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) B．sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
[解析] eq \r(1－sinα)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3,4)π))，∴sineq \f(α,2)>cseq \f(α,2)，∴原式＝sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2).
2. 化简eq \f(（1－sin α－cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\r(2－2cs α))(－π＜α＜0)．
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2 \f(α,2)－2sin \f(α,2)cs \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\r(2×2sin2\f(α,2)))＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\a\vs4\al(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))))
＝eq \f(sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(α,2)－cs2\f(α,2))),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))))＝eq \f(－sin \f(α,2)cs α,\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))).
因为－π＜α＜0，所以－eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜0，所以sin eq \f(α,2)＜0，所以原式＝eq \f(－sin \f(α,2)cs α,－sin \f(α,2))＝cs α.
3．化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0＜α＜π)．
[解析]因为tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)，所以(1＋cs α)tan eq \f(α,2)＝sin α，
又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α，且1－cs α＝2sin2 eq \f(α,2)，
所以原式＝eq \f(－sin α－sin α,\r(2sin2 \f(α,2)))＝eq \f(－2sin α,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＝－eq \f(2\r(2)sin \f(α,2)cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))).
因为0＜α＜π，所以0＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2).所以sin eq \f(α,2)＞0.所以原式＝－2eq \r(2)cs eq \f(α,2).
4．已知π<α[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).
∵π＜α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，∴cseq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0，
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cseq \f(α,2).
5．若α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs2α,2))－ eq \r(\f(1－cs2α,2))等于( )
A．csα－sinα B．csα＋sinα
C．－csα＋sinα D．－csα－sinα
[解析]原式＝ eq \r(\f(1＋2cs2α－1,2))－eq \r(\f(1－1－2sin2α,2))＝|csα|－|sinα|
∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，∴csα>0，sinα<0，∴原式＝csα＋sinα.
6．若－2π<α<－eq \f(3π,2)，则 eq \r(\f(1－csα－π,2))的值是( )
A．sineq \f(α,2) B．cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2) D．－cseq \f(α,2)
[解析] eq \r(\f(1－csα－π,2))＝eq \r(\f(1－csπ－α,2))＝eq \r(\f(1＋csα,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))，
∵－2π<α<－eq \f(3π,2)，∴－π7．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))得( )
A．2＋sinα B．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
C．2 D．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
[解析]原式＝1＋2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))))＝2＋sinα－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2＋sinα－sinα＝2.
8．eq \r(2＋2cs8)＋2eq \r(1－sin8)的化简结果是________．
[解析]原式＝eq \r(4cs24)＋2eq \r(1－2sin4cs4)＝2|cs4|＋2eq \r(sin4－cs42)＝2|cs4|＋2|sin4－cs4|.
因为eq \f(5π,4)<49．化简下列各式：
(1)eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，则eq \r(1－sin 2α)＝________.
(2)α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________.
[解析] (1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α＞cs α，
∴eq \r(1－sin 2α)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \r(sin2α－2sin αcs α＋cs2α)＝eq \r(sin α－cs α2)＝sin α－cs α.
(2)∵α为第三象限角，∴cs α＜0，sin α＜0，
∴eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝eq \f(\r(2cs2α),cs α)－eq \f(\r(2sin2α),sin α)＝eq \f(－\r(2)cs α,cs α)－eq \f(－\r(2)sin α,sin α)＝0.
10．eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝__________.
[解析] 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin12°－3cs12°,cs12°),sin12°·2cs24°)＝eq \f(\r(3)sin12°－3cs12°,sin24°cs24°)＝eq \f(4\r(3)sin12°cs60°－cs12°sin60°,2sin24°cs24°)
＝eq \f(4\r(3)sin－48°,sin48°)＝－4eq \r(3).
11．化简tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)＝__________.
[解析] 原式＝eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin20°,cs20°)－1))＝2eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin20°－\f(1,2)cs20°))·eq \f(1,cs20°)
＝2eq \f(cs20°,sin20°)·cs10°sin(20°－30°)·eq \f(1,cs20°)＝2eq \f(cs10°,sin20°)·sin(－10°)＝－eq \f(2sin10°cs10°,sin20°)＝－1
12．化简：eq \f(sin4x,1＋cs4x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx).
[解析]原式＝eq \f(2sin2xcs2x,2cs22x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(sin2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(2sinxcsx,2cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(sinx,1＋csx)＝taneq \f(x,2).
13．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs β,1－sin β)，则( )
A．2α＋β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)
C．α＋2β＝eq \f(π,2) D．α－2β＝eq \f(π,2)
[解析]由题意得sin α－sin αsin β＝cs αcs β，sin α＝cs(α－β)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(α－β)．
∵eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴eq \f(π,2)－α＝α－β或eq \f(π,2)－α＋α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝eq \f(π,2).
14．化简eq \f(sin4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝( )
A．sin2α B．cs2α
C．sinα D．csα
[解析] ∵4sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝4cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2α，∴原式＝eq \f(sin4α,2cs2α)＝eq \f(2sin2αcs2α,2cs2α)＝sin2α.
15．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(180°<α<360°)．
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2·2cs2\f(α,2)))＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))＝eq \f(cs\f(α,2)－csα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))).
又∵180°<α<360°，∴90°16．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(π<α<2π)．
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2·2cs2\f(α,2)))＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\a\vs4\al(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))))＝eq \f(cs\f(α,2)－csα,\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))).
又∵π<α<2π，∴eq \f(π,2)17．化简：
(1)eq \r(1＋sinθ)－eq \r(1－sinθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)<θ<2π))；(2)eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)).
[解析] (1)原式＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))，∵eq \f(3π,2)<θ<2π，∴eq \f(3π,4)∴00.
∴原式＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))＝－2sineq \f(θ,2).
(2)原式＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tanα＝eq \f(1,2)csαsinα＝eq \f(1,4)sin2α.
18．化简：csα eq \r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq \r(\f(1－csα,1＋csα))，π<α[解析]原式＝csαeq \r(\f(1－sinα2,cs2α))＋sinαeq \r(\f(1－csα2,sin2α))＝csα·eq \f(1－sinα,|csα|)＋sinα·eq \f(1－csα,|sinα|)，
因为π<α所以原式＝－(1－sinα)－(1－csα)＝sinα＋csα－2.
19．化简：eq \f(1－sinα－csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2－2csα))(－π<α<0)
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2·2sin2\f(α,2)))＝eq \f(2sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))
＝eq \f(sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(α,2)－cs2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＝eq \f(－sin\f(α,2)csα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).
因为－π<α<0，所以－eq \f(π,2)题型三 证明问题
1．求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
[解析]法一：用正弦、余弦公式．
左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)cs α
＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，∴原式成立．
2．求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
[解析]左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))
＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．所以原等式成立．
3．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).
[解析]法一：(由左推右)taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝eq \f(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(sin x,cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(2sin x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))))＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).
法二：(由右推左)eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cs\f(3x,2)cs\f(x,2))
＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2).
4．求证：eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,2tanθ)＝eq \f(1＋sin4θ＋cs4θ,1－tan2θ).
[解析]要证原式，可以证明eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,1＋sin4θ＋cs4θ)＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ).
∵左边＝eq \f(sin4θ＋1－cs4θ,sin4θ＋1＋cs4θ)＝eq \f(2sin2θcs2θ＋2sin22θ,2sin2θcs2θ＋2cs22θ)＝eq \f(2sin2θcs2θ＋sin2θ,2cs2θsin2θ＋cs2θ)＝tan2θ，
右边＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．
5．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sinx,csx＋cs2x).
[解析]证法一：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝eq \f(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))
＝eq \f(sinx,cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(2sinx,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))))＝eq \f(2sinx,csx＋cs2x).∴原式成立．
证法二：eq \f(2sinx,csx＋cs2x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2).
∴原式成立．
6．求证：eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).
[解析]因为sin(2α＋β)－2cs(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cs(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)csα＋cs(α＋β)sinα－2cs(α＋β)sinα＝sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点二 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]． sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
知识点三 辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，
角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 求值问题
类型一 应用半角公式求值
1．已知taneq \f(θ,2)＝3，则csθ等于
2．已知sinα＝－eq \f(4,5)，π<α
4．已知sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)＝－eq \f(1,\r(5))，450°<α<540°，求taneq \f(α,2)的值．
5．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于
6．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于________．
7．设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
8．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).
9．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cs eq \f(θ,2)＝________.
类型二 求值
1．已知eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，则eq \f(cs α,sin α－1)的值为
2．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝
3．已知tan 2α＝eq \f(3,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为
4．若3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(\r(3),4)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，则sin θ＋cs θ的值是
6．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝
7．已知sinα＋csα＝eq \f(1,3)，则2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝
8．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ等于
9．设α为第四象限角，且eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.
10．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))的值为
11．若tanx＝eq \r(2)，则eq \f(2cs2\f(x,2)－sinx－1,sinx＋csx)＝________.
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，cs2α＝eq \f(7,25)，则taneq \f(α,2)＝
13．已知sin 2θ＝eq \f(3,5)，0＜2θ＜eq \f(π,2)，则eq \f(2cs2\f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝________．
14．若α－β＝eq \f(π,4)，则sinαsinβ的最大值为________．
15．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，0<α<β<π，求α－β的值．
16．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝________.
17．已知cs2θ＝eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，
(1)求tanθ的值．
(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值．
18．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(7,9).
(1)求taneq \f(β,2)的值；
(2)求sin α的值．
题型二 化简问题
1．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则eq \r(1－sinα)化简的结果为( )
A．sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) B．sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
2. 化简eq \f(（1－sin α－cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\r(2－2cs α))(－π＜α＜0)．
3．化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0＜α＜π)．
4．已知π<α
A．csα－sinα B．csα＋sinα
C．－csα＋sinα D．－csα－sinα
6．若－2π<α<－eq \f(3π,2)，则 eq \r(\f(1－csα－π,2))的值是( )
A．sineq \f(α,2) B．cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2) D．－cseq \f(α,2)
7．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))得( )
A．2＋sinα B．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
C．2 D．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
8．eq \r(2＋2cs8)＋2eq \r(1－sin8)的化简结果是________．
9．化简下列各式：
(1)eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，则eq \r(1－sin 2α)＝________.
(2)α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________.
10．eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝__________.
11．化简tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)＝__________.
12．化简：eq \f(sin4x,1＋cs4x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx).
13．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs β,1－sin β)，则( )
A．2α＋β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)
C．α＋2β＝eq \f(π,2) D．α－2β＝eq \f(π,2)
14．化简eq \f(sin4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝( )
A．sin2α B．cs2α
C．sinα D．csα
15．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(180°<α<360°)．
16．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(π<α<2π)．
17．化简：
(1)eq \r(1＋sinθ)－eq \r(1－sinθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)<θ<2π))；(2)eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)).
18．化简：csα eq \r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq \r(\f(1－csα,1＋csα))，π<α
题型三 证明问题
1．求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
2．求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
3．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).
4．求证：eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,2tanθ)＝eq \f(1＋sin4θ＋cs4θ,1－tan2θ).
5．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sinx,csx＋cs2x).
6．求证：eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).
专题58 简单的三角恒等变换
知识点一 半角公式
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点二 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]． sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
知识点三 辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，
角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 求值问题
类型一 应用半角公式求值
1．已知taneq \f(θ,2)＝3，则csθ等于
[解析]csθ＝cs2eq \f(θ,2)－sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2))＝eq \f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq \f(1－32,1＋32)＝－eq \f(4,5).
2．已知sinα＝－eq \f(4,5)，π<α
3．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，求cs eq \f(\a\vs4\al(α－β),2) 的值．
[解析]因为α为钝角，β为锐角，sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，所以cs α＝－eq \f(3,5)，cs β＝eq \f(5,13).
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(33,65).
因为eq \f(π,2)＜α＜π且0＜β＜eq \f(π,2)，所以0＜α－β＜π，即0＜eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2).
所以cs eq \f(α－β,2)＝ eq \r(\f(1＋cs（α－β）,2))＝ eq \r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq \f(7\r(65),65).
4．已知sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)＝－eq \f(1,\r(5))，450°<α<540°，求taneq \f(α,2)的值．
[解析]由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2＝eq \f(1,5)，即1－sinα＝eq \f(1,5)，得sinα＝eq \f(4,5).
∵450°<α<540°，∴csα＝－eq \f(3,5)，∴taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),\f(4,5))＝2.
5．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于
[解析]由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).
6．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于________．
[解析] 由sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0得cs θ＝－eq \f(4,5)，
∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(sin\f(θ,2),cs\f(θ,2))＝eq \f(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2))＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)＝eq \f(－\f(3,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))))＝－3
7．设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
[解析]∵5π＜θ＜6π，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).又cseq \f(θ,2)＝a，∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).
8．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).
[解析]法一：∵180°<θ<270°，∴90°
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－2.
9．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cs eq \f(θ,2)＝________.
[解析] 由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝eq \f(24,25)或sin θ＝－1(舍去)．
故cs θ＝－eq \r(1－sin2 θ)＝－eq \f(7,25)，由cs2 eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)得cs2 eq \f(θ,2)＝eq \f(9,25).
又eq \f(θ,2)是第一、三象限角，所以cs eq \f(θ,2)＝±eq \f(3,5).
类型二 求值
1．已知eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，则eq \f(cs α,sin α－1)的值为
[解析]∵eq \f(cs α,1＋sin α)·eq \f(cs α,sin α－1)＝eq \f(cs2α,sin2α－1)＝eq \f(1－sin2α,sin2α－1)＝－1且eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，∴eq \f(cs α,sin α－1)＝－eq \f(\r(3),3).
2．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝
[解析]sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝eq \f(1－csB＋C,2)＋2cs2A－1＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1＝－eq \f(1,9).
3．已知tan 2α＝eq \f(3,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为
[解析]由tan 2α＝eq \f(3,4)，即eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4)，得tan α＝eq \f(1,3)或tan α＝－3.
又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cs xsin α－2sin α≥0恒成立，
所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－eq \f(3,\r(10))，cs α＝eq \f(1,\r(10))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)－cs αsineq \f(π,4)＝－eq \f(2\r(5),5)
4．若3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
[解析]因为3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－eq \f(π,6).
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(\r(3),4)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，则sin θ＋cs θ的值是
[解析]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2θ))＝eq \f(1,2)cs 2θ＝eq \f(\r(3),4).
所以cs 2θ＝eq \f(\r(3),2).因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，所以2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以sin 2θ＝－eq \f(1,2)，且sin θ＋cs θ＜0.
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋sin 2θ＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).所以sin θ＋cs θ＝－eq \f(\r(2),2).
6．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝
[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1.∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(π,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).
7．已知sinα＋csα＝eq \f(1,3)，则2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝
[解析] sinα＋csα＝eq \f(1,3)，两边平方可得1＋sin2α＝eq \f(1,9)，可得sin2α＝－eq \f(8,9)，
2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝－eq \f(8,9).
8．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ等于
[解析] 因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
故cs2θ≤0，所以cs2θ＝－eq \r(1－sin22θ)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(7),8)))2)＝－eq \f(1,8).
又cs2θ＝1－2sin2θ，所以sin2θ＝eq \f(1－cs2θ,2)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))),2)＝eq \f(9,16).
又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq \f(3,4)
9．设α为第四象限角，且eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.
[解析] ∵α为第四象限的角，∴sinα<0，csα>0
∵eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(sin2α＋α,sinα)＝eq \f(sin2αcsα＋cs2αsinα,sinα)＝2cs2α＋cs2α＝4cs2α－1＝eq \f(13,5)
∴csα＝eq \f(3\r(10),10)，sinα＝－eq \f(\r(10),10)，tanα＝－eq \f(1,3)，∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(3,4).
10．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))的值为
[解析] 由csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，可得sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5).
所以eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2).
11．若tanx＝eq \r(2)，则eq \f(2cs2\f(x,2)－sinx－1,sinx＋csx)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(csx－sinx,csx＋sinx)＝eq \f(1－tanx,1＋tanx)＝eq \f(1－\r(2),1＋\r(2))＝eq \f(1－\r(2)2,－1)＝2eq \r(2)－3.
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，cs2α＝eq \f(7,25)，则taneq \f(α,2)＝
[解析]由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)⇒sinα－csα＝eq \f(7,5) ①，cs2α＝eq \f(7,25)⇒cs2α－sin2α＝eq \f(7,25)，
所以(csα－sinα)(csα＋sinα)＝eq \f(7,25) ②，由①②可得csα＋sinα＝－eq \f(1,5) ③，
由①③得sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，所以角α为第二象限角，所以eq \f(α,2)为第一、三象限角，t
aneq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \r(\f(1＋\f(4,5),1－\f(4,5)))＝3
13．已知sin 2θ＝eq \f(3,5)，0＜2θ＜eq \f(π,2)，则eq \f(2cs2\f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝________．
[解析]eq \f(2cs2\f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2 \f(θ,2)－1))－sin θ,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs \f(π,4)＋cs θsin \f(π,4))))＝eq \f(cs θ－sin θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(1－\f(sin θ,cs θ),\f(sin θ,cs θ)＋1)＝eq \f(1－tan θ,tan θ＋1).
因为sin 2θ＝eq \f(3,5)，0＜2θ＜eq \f(π,2)，所以cs 2θ＝eq \f(4,5)，所以tan θ＝eq \f(sin 2θ,1＋cs 2θ)＝eq \f(\f(3,5),1＋\f(4,5))＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(1－tan θ,tan θ＋1)＝eq \f(1－\f(1,3),\f(1,3)＋1)＝eq \f(1,2)，即eq \f(2cs2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1,2).
14．若α－β＝eq \f(π,4)，则sinαsinβ的最大值为________．
[解析]α＝β＋eq \f(π,4)，则sinαsinβ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))sinβ＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β＋\f(π,4)))－cs\f(π,4)))＝－eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β＋\f(π,4)))＋eq \f(\r(2),4)
∴最大值为eq \f(2＋\r(2),4).
15．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，0<α<β<π，求α－β的值．
[解析]因为(sinα＋sinβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2，(csα＋csβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2，
以上两式展开两边分别相加得2＋2cs(α－β)＝1，所以cs(α－β)＝－eq \f(1,2)，
又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，所以α－β＝－eq \f(2π,3).
16．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝________.
[解析] eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sinαcs\f(π,5)＋csαsin\f(π,5),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sinα,csα)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,csα)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3.
17．已知cs2θ＝eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，
(1)求tanθ的值．
(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值．
[解析] (1)∵cs2θ＝eq \f(7,25)，∴eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(7,25)，∴eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(7,25)，解得tanθ＝±eq \f(3,4)，
∵eq \f(π,2)<θ<π，∴tanθ＝－eq \f(3,4).
(2)eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)，∴eq \f(π,2)<θ<π，tanθ＝－eq \f(3,4)，∴sinθ＝eq \f(3,5)，csθ＝－eq \f(4,5)，
∴eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)＝eq \f(1－\f(4,5)＋\f(3,5),－\f(4,5)＋\f(3,5))＝－4.
18．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(7,9).
(1)求taneq \f(β,2)的值；
(2)求sin α的值．
[解析](1)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，则sin β＝eq \f(2\r(2),3)，taneq \f(β,2)＝eq \f(sin β,1＋cs β)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2).
(2)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，
从而cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2（α＋β）)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))\s\up12(2))＝－eq \f(4\r(2),9)，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cs β－cs(α＋β)sin β＝eq \f(7,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(2),9)))×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(1,3).
题型二 化简问题
1．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则eq \r(1－sinα)化简的结果为( )
A．sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) B．sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
[解析] eq \r(1－sinα)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3,4)π))，∴sineq \f(α,2)>cseq \f(α,2)，∴原式＝sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2).
2. 化简eq \f(（1－sin α－cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\r(2－2cs α))(－π＜α＜0)．
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2 \f(α,2)－2sin \f(α,2)cs \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\r(2×2sin2\f(α,2)))＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))),\a\vs4\al(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))))
＝eq \f(sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(α,2)－cs2\f(α,2))),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))))＝eq \f(－sin \f(α,2)cs α,\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))).
因为－π＜α＜0，所以－eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜0，所以sin eq \f(α,2)＜0，所以原式＝eq \f(－sin \f(α,2)cs α,－sin \f(α,2))＝cs α.
3．化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0＜α＜π)．
[解析]因为tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)，所以(1＋cs α)tan eq \f(α,2)＝sin α，
又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α，且1－cs α＝2sin2 eq \f(α,2)，
所以原式＝eq \f(－sin α－sin α,\r(2sin2 \f(α,2)))＝eq \f(－2sin α,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＝－eq \f(2\r(2)sin \f(α,2)cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))).
因为0＜α＜π，所以0＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2).所以sin eq \f(α,2)＞0.所以原式＝－2eq \r(2)cs eq \f(α,2).
4．已知π<α
∵π＜α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，∴cseq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0，
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cseq \f(α,2).
5．若α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs2α,2))－ eq \r(\f(1－cs2α,2))等于( )
A．csα－sinα B．csα＋sinα
C．－csα＋sinα D．－csα－sinα
[解析]原式＝ eq \r(\f(1＋2cs2α－1,2))－eq \r(\f(1－1－2sin2α,2))＝|csα|－|sinα|
∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，∴csα>0，sinα<0，∴原式＝csα＋sinα.
6．若－2π<α<－eq \f(3π,2)，则 eq \r(\f(1－csα－π,2))的值是( )
A．sineq \f(α,2) B．cseq \f(α,2)
C．－sineq \f(α,2) D．－cseq \f(α,2)
[解析] eq \r(\f(1－csα－π,2))＝eq \r(\f(1－csπ－α,2))＝eq \r(\f(1＋csα,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))，
∵－2π<α<－eq \f(3π,2)，∴－π
A．2＋sinα B．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
C．2 D．2＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
[解析]原式＝1＋2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))))＝2＋sinα－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2＋sinα－sinα＝2.
8．eq \r(2＋2cs8)＋2eq \r(1－sin8)的化简结果是________．
[解析]原式＝eq \r(4cs24)＋2eq \r(1－2sin4cs4)＝2|cs4|＋2eq \r(sin4－cs42)＝2|cs4|＋2|sin4－cs4|.
因为eq \f(5π,4)<4
(1)eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，则eq \r(1－sin 2α)＝________.
(2)α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________.
[解析] (1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α＞cs α，
∴eq \r(1－sin 2α)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \r(sin2α－2sin αcs α＋cs2α)＝eq \r(sin α－cs α2)＝sin α－cs α.
(2)∵α为第三象限角，∴cs α＜0，sin α＜0，
∴eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝eq \f(\r(2cs2α),cs α)－eq \f(\r(2sin2α),sin α)＝eq \f(－\r(2)cs α,cs α)－eq \f(－\r(2)sin α,sin α)＝0.
10．eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝__________.
[解析] 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin12°－3cs12°,cs12°),sin12°·2cs24°)＝eq \f(\r(3)sin12°－3cs12°,sin24°cs24°)＝eq \f(4\r(3)sin12°cs60°－cs12°sin60°,2sin24°cs24°)
＝eq \f(4\r(3)sin－48°,sin48°)＝－4eq \r(3).
11．化简tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)＝__________.
[解析] 原式＝eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin20°,cs20°)－1))＝2eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin20°－\f(1,2)cs20°))·eq \f(1,cs20°)
＝2eq \f(cs20°,sin20°)·cs10°sin(20°－30°)·eq \f(1,cs20°)＝2eq \f(cs10°,sin20°)·sin(－10°)＝－eq \f(2sin10°cs10°,sin20°)＝－1
12．化简：eq \f(sin4x,1＋cs4x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx).
[解析]原式＝eq \f(2sin2xcs2x,2cs22x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(sin2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(2sinxcsx,2cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(sinx,1＋csx)＝taneq \f(x,2).
13．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs β,1－sin β)，则( )
A．2α＋β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)
C．α＋2β＝eq \f(π,2) D．α－2β＝eq \f(π,2)
[解析]由题意得sin α－sin αsin β＝cs αcs β，sin α＝cs(α－β)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(α－β)．
∵eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴eq \f(π,2)－α＝α－β或eq \f(π,2)－α＋α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝eq \f(π,2).
14．化简eq \f(sin4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝( )
A．sin2α B．cs2α
C．sinα D．csα
[解析] ∵4sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝4cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2α，∴原式＝eq \f(sin4α,2cs2α)＝eq \f(2sin2αcs2α,2cs2α)＝sin2α.
15．化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(180°<α<360°)．
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2·2cs2\f(α,2)))＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))＝eq \f(cs\f(α,2)－csα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))).
又∵180°<α<360°，∴90°
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2·2cs2\f(α,2)))＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\a\vs4\al(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))))＝eq \f(cs\f(α,2)－csα,\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))).
又∵π<α<2π，∴eq \f(π,2)
(1)eq \r(1＋sinθ)－eq \r(1－sinθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)<θ<2π))；(2)eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)).
[解析] (1)原式＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))，∵eq \f(3π,2)<θ<2π，∴eq \f(3π,4)
∴原式＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))＝－2sineq \f(θ,2).
(2)原式＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tanα＝eq \f(1,2)csαsinα＝eq \f(1,4)sin2α.
18．化简：csα eq \r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq \r(\f(1－csα,1＋csα))，π<α
因为π<α
19．化简：eq \f(1－sinα－csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2－2csα))(－π<α<0)
[解析]原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2·2sin2\f(α,2)))＝eq \f(2sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))
＝eq \f(sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(α,2)－cs2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＝eq \f(－sin\f(α,2)csα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).
因为－π<α<0，所以－eq \f(π,2)
1．求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
[解析]法一：用正弦、余弦公式．
左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)cs α
＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，∴原式成立．
2．求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
[解析]左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))
＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．所以原等式成立．
3．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).
[解析]法一：(由左推右)taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝eq \f(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(sin x,cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(2sin x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))))＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).
法二：(由右推左)eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cs\f(3x,2)cs\f(x,2))
＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2).
4．求证：eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,2tanθ)＝eq \f(1＋sin4θ＋cs4θ,1－tan2θ).
[解析]要证原式，可以证明eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,1＋sin4θ＋cs4θ)＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ).
∵左边＝eq \f(sin4θ＋1－cs4θ,sin4θ＋1＋cs4θ)＝eq \f(2sin2θcs2θ＋2sin22θ,2sin2θcs2θ＋2cs22θ)＝eq \f(2sin2θcs2θ＋sin2θ,2cs2θsin2θ＋cs2θ)＝tan2θ，
右边＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．
5．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sinx,csx＋cs2x).
[解析]证法一：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝eq \f(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))
＝eq \f(sinx,cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(2sinx,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))))＝eq \f(2sinx,csx＋cs2x).∴原式成立．
证法二：eq \f(2sinx,csx＋cs2x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cs\f(3x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2).
∴原式成立．
6．求证：eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).
[解析]因为sin(2α＋β)－2cs(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cs(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)csα＋cs(α＋β)sinα－2cs(α＋β)sinα＝sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).
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