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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题59三角恒等变换的简单应用(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题59三角恒等变换的简单应用(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了辅助角公式等内容，欢迎下载使用。
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 恒等变换与三角函数图象性质的综合
1．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcs x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))
C．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))
2．函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是________．
3．函数y＝eq \f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是
4．函数f(x)＝sinx(csx－sinx)的最小正周期是
5．函数f(x)＝sinx－csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为______．
6．若函数f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＋a在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值与最小值的和为eq \f(3,2)，则a＝
7．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为
8．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin xcs x和g(x)＝cs2x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．
9．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是
10．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
11．函数f(x)＝sinx－eq \r(3)csx(x∈[－π，0])的单调递增区间是
12．设函数f(x)＝eq \r(3)cs2ωx＋sinωxcsωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).则ω的值为
13．已知函数f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0A．函数f(x)的最大值为eq \r(3)，无最小值 B．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值 D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值
14．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．
15．在△ABC中，若3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.
16．已知A＋B＝eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是______，最小值是________．
17．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x18．函数y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
19．在△ABC中，若sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
20．已知函数f(x)＝cs(π＋x)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调递增区间．
21．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2－cs 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)≥0.
22．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．
23．已知f(x)＝5sinxcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的对称轴、对称中心．
24．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，求函数f(x)的最大、最小值．
25．已知f(x)＝eq \f(\r(3),2)(sin x＋cs x)2－cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝eq \f(1＋5\r(3),10)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))的值．
26．已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2.
(1)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
27．已知函数f(x)＝sin x－2eq \r(3)sin2eq \f(x,2).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最小值．
28．已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
29．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
30．已知函数f(x)＝4csxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
31．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin(x－3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝eq \f(6,5)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs2x0的值．
题型二 三角函数在实际问题中的应用
1．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cs2θ的值等于____．
2．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
3．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．
4．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cs 2θ.
6．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝eq \r(3)x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)若sin α＝eq \f(1,3)，求cs∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
7．某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50eq \r(3)米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：eq \r(3)取1.732，eq \r(2)取1.414)．
8．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
9．如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在Seq \x\t(T)上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
10．如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？
专题59 三角恒等变换的简单应用
1.辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 恒等变换与三角函数图象性质的综合
1．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcs x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))
C．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))
[解析]∵f(x)＝1－cs 2x＋sin 2x＝1＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，得f(x)的单调减区间为eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(7π,8)＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))，故选B.
2．函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是________．
[解析]f(x)＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，
所以函数f(x)的值域为[－5,3]．
3．函数y＝eq \f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是
[解析] y＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))
4．函数f(x)＝sinx(csx－sinx)的最小正周期是
[解析]由f(x)＝sinx(csx－sinx)＝sinxcsx－sin2x＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \f(1,2)，
可得函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π
5．函数f(x)＝sinx－csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为______．
[解析] ∵f(x)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)csx))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴f(x)的最小值为eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－1
6．若函数f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＋a在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值与最小值的和为eq \f(3,2)，则a＝
[解析]f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＋a＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)＋a，因为－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,3)，
所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，则－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1.又f(x)的最大值与最小值的和为eq \f(3,2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋a))＝eq \f(3,2)，解得a＝0.
7．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为
[解析]因为f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
所以其对称轴方程为x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
解得x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.又函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的图象关于直线x＝a对称，所以a＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
当k＝0时，最小正实数a的值为eq \f(π,6).
8．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin xcs x和g(x)＝cs2x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．
[解析]f(x)＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x，g(x)＝cs2x＝eq \f(1＋cs 2x,2)，
所以MN＝|f(a)－g(a)|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2a－\f(1,2)cs 2a－\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(π,4)))－\f(\r(2),2)))，
则当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(π,4)))＝－1时，MN取得最大值，为eq \f(1＋\r(2),2).
9．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是
[解析] ∵f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
即f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).故f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值为eq \f(3,2).
10．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
[解析]f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋θ)).
当θ＝eq \f(2,3)π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．[答案] D
11．函数f(x)＝sinx－eq \r(3)csx(x∈[－π，0])的单调递增区间是
[解析] ∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．
令k＝0得增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5,6)π)).∵x∈[－π，0]，∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))
12．设函数f(x)＝eq \r(3)cs2ωx＋sinωxcsωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).则ω的值为
[解析]f(x)＝eq \f(\r(3),2)cs2ωx＋eq \f(1,2)sin2ωx＋eq \f(\r(3),2)＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)＋a，依题意得2ω·eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，解之得ω＝eq \f(1,2).
13．已知函数f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0A．函数f(x)的最大值为eq \r(3)，无最小值 B．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值 D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值
[解析]因为f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝eq \f(cs2x－1,sin2x)＝eq \f(－2sin2x,2sinxcsx)＝－tanx，0所以函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值，故选D.
14．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．
[解析] f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x－eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)(1－cs2x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x＋eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2)，
所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
15．在△ABC中，若3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.
[解析] 因为3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，所以eq \f(3,2)cs(A－B)－eq \f(5,2)cs(A＋B)＝0，
所以eq \f(3,2)csAcsB＋eq \f(3,2)sinAsinB－eq \f(5,2)csAcsB＋eq \f(5,2)sinAsinB＝0，
即csAcsB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq \f(1,4).
16．已知A＋B＝eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是______，最小值是________．
[解析]∵A＋B＝eq \f(2π,3)，∴cs2A＋cs2B＝eq \f(1,2)(1＋cs2A＋1＋cs2B)＝1＋eq \f(1,2)(cs2A＋cs2B)＝1＋cs(A＋B)cs(A－B)
＝1＋cseq \f(2π,3)·cs(A－B)＝1－eq \f(1,2)cs(A－B)，∴当cs(A－B)＝－1时，原式取得最大值eq \f(3,2)；
当cs(A－B)＝1时，原式取得最小值eq \f(1,2).
17．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x[解析]f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)\f(sin x,cs x)))cs x＝eq \r(3)sin x＋cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
∵0≤x18．函数y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
[解析]y＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))＝eq \f(1,2)sin2x，是奇函数．故选A.
19．在△ABC中，若sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
[解析]由已知得，sinAsinB＝eq \f(1＋csC,2)，又∵csC＝－cs(A＋B)，∴2sinAsinB＋cs(A＋B)＝1，
∴cs(A－B)＝1，∵0∴△ABC是等腰三角形，故选B.
20．已知函数f(x)＝cs(π＋x)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调递增区间．
[解析]f(x)＝(－cs x)·(－sin x)－eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5,12)π(k∈Z)，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增，
即f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12))).
21．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2－cs 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)≥0.
[解析] (1)因为f(x)＝sin2x＋cs2x＋sin 2x－cs 2x＝1＋sin 2x－cs 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1.
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，
eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1∈[0，eq \r(2)＋1]．当2x－eq \f(π,4)＝－eq \f(π,4)，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)≥0.
22．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．
[解析] (1)∵f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x＝cs2xsin2x＋eq \f(1,2)cs4x＝eq \f(1,2)(sin4x＋cs4x)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
∴f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，最大值为eq \f(\r(2),2).
(2)∵f(α)＝eq \f(\r(2),2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝1，∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴4α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)，\f(17π,4))).∴4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,2)，故α＝eq \f(9π,16).
23．已知f(x)＝5sinxcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的对称轴、对称中心．
[解析]f(x)＝eq \f(5,2)sin2x－5eq \r(3)×eq \f(1＋cs2x,2)＋eq \f(5\r(3),2)＝eq \f(5,2)sin2x－eq \f(5\r(3),2)cs2x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))(k∈Z)．
(2)对称轴方程是：x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(5,12)π，(k∈Z)；对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．
24．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，求函数f(x)的最大、最小值．
[解析]f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cs 2x－2eq \r(2)·eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sin 2x＋eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2).
(1)函数f(x)的最小正周期为π.
(2)令2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)．
令2x＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(1,2)kπ－eq \f(π,8)(k∈Z)．
所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ－\f(π,8)，－\r(2)))(k∈Z)．
(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤1，
所以当x＝eq \f(π,2)时，f(x)取最小值－eq \f(3\r(2),2)，当x＝eq \f(π,8)时，f(x)取最大值1－eq \r(2).
25．已知f(x)＝eq \f(\r(3),2)(sin x＋cs x)2－cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝eq \f(1＋5\r(3),10)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))的值．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)(sin x＋cs x)2－cs2x＝eq \f(\r(3),2)(1＋2sin xcs x)－cs2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(cs 2x＋1,2)＋eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3)－1,2).
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
(2)由(1)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3)－1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＋eq \f(\r(3)－1,2)＝cs θ＋eq \f(\r(3)－1,2)＝eq \f(1＋5\r(3),10)，
∴cs θ＝eq \f(3,5)，∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴sin θ＝－eq \f(4,5)，∴sin 2θ＝2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)，cs 2θ＝2cs2θ－1＝－eq \f(7,25)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))＝sin 2θcs eq \f(π,4)－cs 2θsineq \f(π,4)＝－eq \f(17\r(2),50).
26．已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2.
(1)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
[解析] (1)证明过程如下：f(x)＝2cs2eq \f(x,2)＝1＋cs x，
g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2＝1＋2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝1＋sin x，
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋sin x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs x－\f(\r(2),2)sin x))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
∵x∈[0，π]，∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
当eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤π，即0≤x≤eq \f(3π,4)时，h(x)递减，当π≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，即eq \f(3π,4)≤x≤π时，h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，
根据函数h(x)的单调性，可知当x＝eq \f(3π,4)时，函数h(x)取到最小值．
27．已知函数f(x)＝sin x－2eq \r(3)sin2eq \f(x,2).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最小值．
[解析] (1)因为f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x－eq \r(3)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤eq \f(2π,3)，所以eq \f(π,3)≤x＋eq \f(π,3)≤π.当x＋eq \f(π,3)＝π，即x＝eq \f(2π,3)时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－eq \r(3).
28．已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
[解析](1)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x＝eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(3,2)sin 2x－sin 2x＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)证明：令t＝2x＋eq \f(π,3)，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
因为y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减，所以f(x)≥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，得证．
29．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解析] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＝2eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1
＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).
30．已知函数f(x)＝4csxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝4csxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1＝4csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)csx))－1＝eq \r(3)sin2x＋2cs2x－1
＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3).
于是当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)max＝2；
当2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,6)，即x＝－eq \f(π,6)时，f(x)min＝－1.
31．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin(x－3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝eq \f(6,5)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs2x0的值．
[解析]f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))).又∵f(x0)＝eq \f(6,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).
由x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq \f(4,5)，
cs2x0＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝eq \f(3－4\r(3),10).
题型二 三角函数在实际问题中的应用
1．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cs2θ的值等于____．
[解析]题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.
设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝25，,\f(1,2)ab＝6，))
所以两条直角边的长分别为3,4.则csθ＝eq \f(4,5)，cs2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(7,25).
2．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
[解析]画出图象如右图所示，设∠AOB＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，
则AB＝asinθ，OA＝acsθ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acsθ·asinθ＝a2·2sinθcsθ＝a2sin2θ.
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为eq \f(\r(2),2)a.
3．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．
[解析]连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝csθ－AD＝csθ－sinθ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(csθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcsθ＝－eq \f(1,2)(1－cs2θ)＋eq \f(1,2)sin2θ
＝eq \f(1,2)(sin2θ＋cs2θ)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)cs(2θ－45°)－eq \f(1,2).
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝eq \f(\r(2)－1,2) (m2)．
∴割出的长方形桌面的最大面积为eq \f(\r(2)－1,2) m2.
4．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解析]设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcs α＝R(sin α＋cs α)＋R＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.
∵0<α即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最大．
5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cs 2θ.
[解析]由题意，5cs θ－5sin θ＝1，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以cs θ－sin θ＝eq \f(1,5).
由(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2，所以cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，
所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝(cs θ＋sin θ)(cs θ－sin θ)＝eq \f(7,25).
6．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝eq \r(3)x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)若sin α＝eq \f(1,3)，求cs∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
[解析] (1)由题意知∠QOM＝eq \f(π,3)，因为sin α＝eq \f(1,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(2\r(2),3)，所以cs∠POQ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cseq \f(π,3)cs α＋sineq \f(π,3)sin α＝eq \f(2\r(2)＋\r(3),6).
(2)由三角函数定义，得P(cs α，sin α)，从而Q(cs α，eq \r(3)cs α)，
所以S△POQ＝eq \f(1,2)|cs α||eq \r(3)cs α－sin α|＝eq \f(1,2)|eq \r(3)cs2α－sin αcs α|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(\r(3)cs 2α,2)－\f(1,2)sin 2α))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))≤eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋1))＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以当α＝－eq \f(π,12)时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).
7．某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50eq \r(3)米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：eq \r(3)取1.732，eq \r(2)取1.414)．
[解析] (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，∴HE＝eq \f(50,csx).
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，∴HF＝eq \f(50,sinx).
又∠EHF＝90°，∴EF＝eq \f(50,sinxcsx)，∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx).当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝eq \f(π,6)；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝eq \f(π,3).
故此函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))).
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
设sinx＋csx＝t，则sinxcsx＝eq \f(t2－1,2)，∴L＝eq \f(50t＋1,\f(t2－1,2))＝eq \f(100,t－1).
由t＝sinx＋csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，得eq \f(\r(3)＋1,2)≤t≤eq \r(2)，
从而eq \r(2)＋1≤eq \f(1,t－1)≤eq \r(3)＋1，当x＝eq \f(π,4)，即CE＝50时，Lmin＝100(eq \r(2)＋1)，
∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
8．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
[解析]如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝eq \f(π,2)，又AB＝1，所以PA＝cs α，PB＝sin α.又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝eq \f(1,2)PA·PB＋eq \f(1,2)PT·PB·sin α＝eq \f(1,2)sin αcs α＋eq \f(1,2)sin2α
＝eq \f(1,4)sin 2α＋eq \f(1,4)(1－cs 2α)＝eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋eq \f(1,4).
因为0＜α＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,4)＜2α－eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)，所以当2α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(3π,8)时，
S四边形ABTP取得最大值eq \f(\r(2),4)＋eq \f(1,4).
9．如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在Seq \x\t(T)上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
[解析]如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90csθ，MP＝90sinθ.
所以PQ＝MB＝100－90csθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.
所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90csθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋csθ)＋8100sinθcsθ.
令t＝sinθ＋csθ(1≤t≤eq \r(2))，则sinθcsθ＝eq \f(t2－1,2).
所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·eq \f(t2－1,2)＝eq \f(8100,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(10,9)))2＋950.
故当t＝eq \f(10,9)时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝eq \r(2)时，S矩形PQCR有最大值(14050－9000eq \r(2)) m2.
10．如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？
[解析]如图，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，四边形OACB的面积为S.取AB的中点D，连接OD，CD，
则OD⊥AB，CD⊥AB.
在Rt△ODA中，OA＝1，∠AOD＝eq \f(θ,2)，所以AD＝OAsin∠AOD＝sineq \f(θ,2)，OD＝OAcs∠AOD＝cseq \f(θ,2)，
所以AB＝2AD＝2sineq \f(θ,2).因为△ABC为等边三角形，所以CD＝ACsin∠CAB＝2sineq \f(θ,2)sin60°＝eq \r(3)sineq \f(θ,2).
所以S＝S△ABC＋S△AOB＝eq \f(1,2)CD·AB＋eq \f(1,2)OD·AB＝eq \f(1,2)×eq \r(3)sineq \f(θ,2)×2sineq \f(θ,2)＋eq \f(1,2)×cseq \f(θ,2)×2sineq \f(θ,2)
＝eq \r(3)sin2eq \f(θ,2)＋eq \f(1,2)sinθ＝eq \r(3)×eq \f(1－csθ,2)＋eq \f(1,2)sinθ＝eq \f(1,2)sinθ－eq \f(\r(3),2)csθ＋eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2).
因为0<θ<π，所以－eq \f(π,3)<θ－eq \f(π,3)所以当θ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(5π,6)时，S取得最大值1＋eq \f(\r(3),2).
所以当OA与OB的夹角为eq \f(5π,6)时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1＋eq \f(\r(3),2).
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 恒等变换与三角函数图象性质的综合
1．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcs x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))
C．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))
2．函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是________．
3．函数y＝eq \f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是
4．函数f(x)＝sinx(csx－sinx)的最小正周期是
5．函数f(x)＝sinx－csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为______．
6．若函数f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＋a在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值与最小值的和为eq \f(3,2)，则a＝
7．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为
8．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin xcs x和g(x)＝cs2x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．
9．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是
10．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
11．函数f(x)＝sinx－eq \r(3)csx(x∈[－π，0])的单调递增区间是
12．设函数f(x)＝eq \r(3)cs2ωx＋sinωxcsωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).则ω的值为
13．已知函数f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0
C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值 D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值
14．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．
15．在△ABC中，若3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.
16．已知A＋B＝eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是______，最小值是________．
17．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
19．在△ABC中，若sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
20．已知函数f(x)＝cs(π＋x)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调递增区间．
21．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2－cs 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)≥0.
22．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．
23．已知f(x)＝5sinxcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的对称轴、对称中心．
24．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，求函数f(x)的最大、最小值．
25．已知f(x)＝eq \f(\r(3),2)(sin x＋cs x)2－cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝eq \f(1＋5\r(3),10)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))的值．
26．已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2.
(1)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
27．已知函数f(x)＝sin x－2eq \r(3)sin2eq \f(x,2).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最小值．
28．已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
29．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
30．已知函数f(x)＝4csxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
31．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin(x－3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝eq \f(6,5)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs2x0的值．
题型二 三角函数在实际问题中的应用
1．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cs2θ的值等于____．
2．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
3．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．
4．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cs 2θ.
6．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝eq \r(3)x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)若sin α＝eq \f(1,3)，求cs∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
7．某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50eq \r(3)米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：eq \r(3)取1.732，eq \r(2)取1.414)．
8．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
9．如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在Seq \x\t(T)上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
10．如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？
专题59 三角恒等变换的简单应用
1.辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 恒等变换与三角函数图象性质的综合
1．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcs x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))
C．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))
[解析]∵f(x)＝1－cs 2x＋sin 2x＝1＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，得f(x)的单调减区间为eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(7π,8)＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))，故选B.
2．函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是________．
[解析]f(x)＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，
所以函数f(x)的值域为[－5,3]．
3．函数y＝eq \f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是
[解析] y＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))
4．函数f(x)＝sinx(csx－sinx)的最小正周期是
[解析]由f(x)＝sinx(csx－sinx)＝sinxcsx－sin2x＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \f(1,2)，
可得函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π
5．函数f(x)＝sinx－csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为______．
[解析] ∵f(x)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)csx))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴f(x)的最小值为eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－1
6．若函数f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＋a在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值与最小值的和为eq \f(3,2)，则a＝
[解析]f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＋a＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)＋a，因为－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,3)，
所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，则－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1.又f(x)的最大值与最小值的和为eq \f(3,2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋a))＝eq \f(3,2)，解得a＝0.
7．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为
[解析]因为f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
所以其对称轴方程为x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
解得x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.又函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的图象关于直线x＝a对称，所以a＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
当k＝0时，最小正实数a的值为eq \f(π,6).
8．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin xcs x和g(x)＝cs2x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．
[解析]f(x)＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x，g(x)＝cs2x＝eq \f(1＋cs 2x,2)，
所以MN＝|f(a)－g(a)|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2a－\f(1,2)cs 2a－\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(π,4)))－\f(\r(2),2)))，
则当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(π,4)))＝－1时，MN取得最大值，为eq \f(1＋\r(2),2).
9．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是
[解析] ∵f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
即f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).故f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值为eq \f(3,2).
10．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
[解析]f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋θ)).
当θ＝eq \f(2,3)π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．[答案] D
11．函数f(x)＝sinx－eq \r(3)csx(x∈[－π，0])的单调递增区间是
[解析] ∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．
令k＝0得增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5,6)π)).∵x∈[－π，0]，∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))
12．设函数f(x)＝eq \r(3)cs2ωx＋sinωxcsωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).则ω的值为
[解析]f(x)＝eq \f(\r(3),2)cs2ωx＋eq \f(1,2)sin2ωx＋eq \f(\r(3),2)＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)＋a，依题意得2ω·eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，解之得ω＝eq \f(1,2).
13．已知函数f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0
C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值 D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值
[解析]因为f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝eq \f(cs2x－1,sin2x)＝eq \f(－2sin2x,2sinxcsx)＝－tanx，0
14．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．
[解析] f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x－eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)(1－cs2x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x＋eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2)，
所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
15．在△ABC中，若3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.
[解析] 因为3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，所以eq \f(3,2)cs(A－B)－eq \f(5,2)cs(A＋B)＝0，
所以eq \f(3,2)csAcsB＋eq \f(3,2)sinAsinB－eq \f(5,2)csAcsB＋eq \f(5,2)sinAsinB＝0，
即csAcsB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq \f(1,4).
16．已知A＋B＝eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是______，最小值是________．
[解析]∵A＋B＝eq \f(2π,3)，∴cs2A＋cs2B＝eq \f(1,2)(1＋cs2A＋1＋cs2B)＝1＋eq \f(1,2)(cs2A＋cs2B)＝1＋cs(A＋B)cs(A－B)
＝1＋cseq \f(2π,3)·cs(A－B)＝1－eq \f(1,2)cs(A－B)，∴当cs(A－B)＝－1时，原式取得最大值eq \f(3,2)；
当cs(A－B)＝1时，原式取得最小值eq \f(1,2).
17．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x
∵0≤x
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
[解析]y＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))＝eq \f(1,2)sin2x，是奇函数．故选A.
19．在△ABC中，若sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
[解析]由已知得，sinAsinB＝eq \f(1＋csC,2)，又∵csC＝－cs(A＋B)，∴2sinAsinB＋cs(A＋B)＝1，
∴cs(A－B)＝1，∵0
20．已知函数f(x)＝cs(π＋x)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调递增区间．
[解析]f(x)＝(－cs x)·(－sin x)－eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5,12)π(k∈Z)，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增，
即f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12))).
21．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2－cs 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)≥0.
[解析] (1)因为f(x)＝sin2x＋cs2x＋sin 2x－cs 2x＝1＋sin 2x－cs 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1.
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，
eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1∈[0，eq \r(2)＋1]．当2x－eq \f(π,4)＝－eq \f(π,4)，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)≥0.
22．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．
[解析] (1)∵f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x＝cs2xsin2x＋eq \f(1,2)cs4x＝eq \f(1,2)(sin4x＋cs4x)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
∴f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，最大值为eq \f(\r(2),2).
(2)∵f(α)＝eq \f(\r(2),2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝1，∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴4α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)，\f(17π,4))).∴4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,2)，故α＝eq \f(9π,16).
23．已知f(x)＝5sinxcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的对称轴、对称中心．
[解析]f(x)＝eq \f(5,2)sin2x－5eq \r(3)×eq \f(1＋cs2x,2)＋eq \f(5\r(3),2)＝eq \f(5,2)sin2x－eq \f(5\r(3),2)cs2x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))(k∈Z)．
(2)对称轴方程是：x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(5,12)π，(k∈Z)；对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．
24．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，求函数f(x)的最大、最小值．
[解析]f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cs 2x－2eq \r(2)·eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sin 2x＋eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2).
(1)函数f(x)的最小正周期为π.
(2)令2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)．
令2x＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(1,2)kπ－eq \f(π,8)(k∈Z)．
所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ－\f(π,8)，－\r(2)))(k∈Z)．
(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤1，
所以当x＝eq \f(π,2)时，f(x)取最小值－eq \f(3\r(2),2)，当x＝eq \f(π,8)时，f(x)取最大值1－eq \r(2).
25．已知f(x)＝eq \f(\r(3),2)(sin x＋cs x)2－cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝eq \f(1＋5\r(3),10)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))的值．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)(sin x＋cs x)2－cs2x＝eq \f(\r(3),2)(1＋2sin xcs x)－cs2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(cs 2x＋1,2)＋eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3)－1,2).
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
(2)由(1)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3)－1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＋eq \f(\r(3)－1,2)＝cs θ＋eq \f(\r(3)－1,2)＝eq \f(1＋5\r(3),10)，
∴cs θ＝eq \f(3,5)，∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴sin θ＝－eq \f(4,5)，∴sin 2θ＝2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)，cs 2θ＝2cs2θ－1＝－eq \f(7,25)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))＝sin 2θcs eq \f(π,4)－cs 2θsineq \f(π,4)＝－eq \f(17\r(2),50).
26．已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2.
(1)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
[解析] (1)证明过程如下：f(x)＝2cs2eq \f(x,2)＝1＋cs x，
g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2＝1＋2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝1＋sin x，
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋sin x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs x－\f(\r(2),2)sin x))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
∵x∈[0，π]，∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
当eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤π，即0≤x≤eq \f(3π,4)时，h(x)递减，当π≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，即eq \f(3π,4)≤x≤π时，h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，
根据函数h(x)的单调性，可知当x＝eq \f(3π,4)时，函数h(x)取到最小值．
27．已知函数f(x)＝sin x－2eq \r(3)sin2eq \f(x,2).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最小值．
[解析] (1)因为f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x－eq \r(3)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤eq \f(2π,3)，所以eq \f(π,3)≤x＋eq \f(π,3)≤π.当x＋eq \f(π,3)＝π，即x＝eq \f(2π,3)时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－eq \r(3).
28．已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
[解析](1)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x＝eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(3,2)sin 2x－sin 2x＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)证明：令t＝2x＋eq \f(π,3)，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
因为y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减，所以f(x)≥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，得证．
29．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解析] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＝2eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1
＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).
30．已知函数f(x)＝4csxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝4csxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1＝4csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)csx))－1＝eq \r(3)sin2x＋2cs2x－1
＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3).
于是当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)max＝2；
当2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,6)，即x＝－eq \f(π,6)时，f(x)min＝－1.
31．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin(x－3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝eq \f(6,5)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs2x0的值．
[解析]f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))).又∵f(x0)＝eq \f(6,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).
由x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq \f(4,5)，
cs2x0＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝eq \f(3－4\r(3),10).
题型二 三角函数在实际问题中的应用
1．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cs2θ的值等于____．
[解析]题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.
设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝25，,\f(1,2)ab＝6，))
所以两条直角边的长分别为3,4.则csθ＝eq \f(4,5)，cs2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(7,25).
2．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
[解析]画出图象如右图所示，设∠AOB＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，
则AB＝asinθ，OA＝acsθ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acsθ·asinθ＝a2·2sinθcsθ＝a2sin2θ.
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为eq \f(\r(2),2)a.
3．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．
[解析]连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝csθ－AD＝csθ－sinθ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(csθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcsθ＝－eq \f(1,2)(1－cs2θ)＋eq \f(1,2)sin2θ
＝eq \f(1,2)(sin2θ＋cs2θ)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)cs(2θ－45°)－eq \f(1,2).
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝eq \f(\r(2)－1,2) (m2)．
∴割出的长方形桌面的最大面积为eq \f(\r(2)－1,2) m2.
4．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解析]设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcs α＝R(sin α＋cs α)＋R＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.
∵0<α
5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cs 2θ.
[解析]由题意，5cs θ－5sin θ＝1，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以cs θ－sin θ＝eq \f(1,5).
由(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2，所以cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，
所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝(cs θ＋sin θ)(cs θ－sin θ)＝eq \f(7,25).
6．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝eq \r(3)x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)若sin α＝eq \f(1,3)，求cs∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
[解析] (1)由题意知∠QOM＝eq \f(π,3)，因为sin α＝eq \f(1,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(2\r(2),3)，所以cs∠POQ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cseq \f(π,3)cs α＋sineq \f(π,3)sin α＝eq \f(2\r(2)＋\r(3),6).
(2)由三角函数定义，得P(cs α，sin α)，从而Q(cs α，eq \r(3)cs α)，
所以S△POQ＝eq \f(1,2)|cs α||eq \r(3)cs α－sin α|＝eq \f(1,2)|eq \r(3)cs2α－sin αcs α|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(\r(3)cs 2α,2)－\f(1,2)sin 2α))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))≤eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋1))＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以当α＝－eq \f(π,12)时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).
7．某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50eq \r(3)米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：eq \r(3)取1.732，eq \r(2)取1.414)．
[解析] (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，∴HE＝eq \f(50,csx).
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，∴HF＝eq \f(50,sinx).
又∠EHF＝90°，∴EF＝eq \f(50,sinxcsx)，∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx).当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝eq \f(π,6)；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝eq \f(π,3).
故此函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))).
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
设sinx＋csx＝t，则sinxcsx＝eq \f(t2－1,2)，∴L＝eq \f(50t＋1,\f(t2－1,2))＝eq \f(100,t－1).
由t＝sinx＋csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，得eq \f(\r(3)＋1,2)≤t≤eq \r(2)，
从而eq \r(2)＋1≤eq \f(1,t－1)≤eq \r(3)＋1，当x＝eq \f(π,4)，即CE＝50时，Lmin＝100(eq \r(2)＋1)，
∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
8．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
[解析]如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝eq \f(π,2)，又AB＝1，所以PA＝cs α，PB＝sin α.又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝eq \f(1,2)PA·PB＋eq \f(1,2)PT·PB·sin α＝eq \f(1,2)sin αcs α＋eq \f(1,2)sin2α
＝eq \f(1,4)sin 2α＋eq \f(1,4)(1－cs 2α)＝eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋eq \f(1,4).
因为0＜α＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,4)＜2α－eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)，所以当2α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(3π,8)时，
S四边形ABTP取得最大值eq \f(\r(2),4)＋eq \f(1,4).
9．如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在Seq \x\t(T)上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
[解析]如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90csθ，MP＝90sinθ.
所以PQ＝MB＝100－90csθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.
所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90csθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋csθ)＋8100sinθcsθ.
令t＝sinθ＋csθ(1≤t≤eq \r(2))，则sinθcsθ＝eq \f(t2－1,2).
所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·eq \f(t2－1,2)＝eq \f(8100,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(10,9)))2＋950.
故当t＝eq \f(10,9)时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝eq \r(2)时，S矩形PQCR有最大值(14050－9000eq \r(2)) m2.
10．如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？
[解析]如图，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，四边形OACB的面积为S.取AB的中点D，连接OD，CD，
则OD⊥AB，CD⊥AB.
在Rt△ODA中，OA＝1，∠AOD＝eq \f(θ,2)，所以AD＝OAsin∠AOD＝sineq \f(θ,2)，OD＝OAcs∠AOD＝cseq \f(θ,2)，
所以AB＝2AD＝2sineq \f(θ,2).因为△ABC为等边三角形，所以CD＝ACsin∠CAB＝2sineq \f(θ,2)sin60°＝eq \r(3)sineq \f(θ,2).
所以S＝S△ABC＋S△AOB＝eq \f(1,2)CD·AB＋eq \f(1,2)OD·AB＝eq \f(1,2)×eq \r(3)sineq \f(θ,2)×2sineq \f(θ,2)＋eq \f(1,2)×cseq \f(θ,2)×2sineq \f(θ,2)
＝eq \r(3)sin2eq \f(θ,2)＋eq \f(1,2)sinθ＝eq \r(3)×eq \f(1－csθ,2)＋eq \f(1,2)sinθ＝eq \f(1,2)sinθ－eq \f(\r(3),2)csθ＋eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2).
因为0<θ<π，所以－eq \f(π,3)<θ－eq \f(π,3)
所以当OA与OB的夹角为eq \f(5π,6)时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1＋eq \f(\r(3),2).
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