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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题62三角函数的应用(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题62三角函数的应用(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了三角函数模型的作用，解三角函数应用题的基本步骤等内容，欢迎下载使用。
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
题型一 三角函数模型在物理学中的应用
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cs 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝__cm.
5．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
7．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
8．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3))) B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))) D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
9．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq \x\t(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A B C D
10．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
C．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
11．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求t＝5 s时，该物体的位置．
12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
13．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
14．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少
15．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
16．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
题型二 三角函数模型的实际应用
1．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
2．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝9sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)x＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acseq \f(πx,6) B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acseq \f(πx,6)－3
7．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3
C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
8．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
10．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
11．下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①eq \f(y,A)＝cseq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝cseq \f(πx,6)；
③eq \f(y－46,－A)＝cseq \f(πx,6)；④eq \f(y－26,A)＝sineq \f(πx,6).
12．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
13．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
14．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
15．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
16．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
17．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
18．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
19．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
20．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq \r(x)(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq \f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
x
1
2
3
y
10000
9500
？
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
专题62 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
题型一 三角函数模型在物理学中的应用
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
[解析]依题意是求函数s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq \f(2π,2π)＝1，故选D.
2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
[解析]当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π).
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cs 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
[解析]当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq \f(3π,2)＝－5，当t＝eq \f(2π,3)时，s2＝10cseq \f(4π,3)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2.
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝__cm.
[解析]由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).
5．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
[解析]由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5,2)π，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)πt＋φ))，将点(0.1,2)代入y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋φ))中，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1，所以φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
令k＝0，得φ＝eq \f(π,4)，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))).
6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
[解析]当10≤t≤15时，有eq \f(3,2)π<5≤eq \f(t,2)≤eq \f(15,2)7．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[解析]该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D.
8．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3))) B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))) D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
[解析]由图象得周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，最大值为300，图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)，0))，
则ω＝eq \f(2π,T)＝100π，A＝300，∴I＝300sin(100πt＋φ)．∴0＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100π×\f(1,150)＋φ)).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0.取φ＝eq \f(π,3)，∴I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))).
9．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq \x\t(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A B C D
[解析]令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sineq \f(θ,2)＝eq \f(d,2)，∴d＝2sineq \f(θ,2)＝2sineq \f(l,2)，
即d＝f(l)＝2sineq \f(l,2)(0≤l≤2π)，它的图象为C.
10．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
C．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
[解析]由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－eq \f(π,3)，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0，故选A.
11．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求t＝5 s时，该物体的位置．
[解析] (1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，
则由振幅为3 cm，周期为3 s，可得A＝3，T＝eq \f(2π,ω)＝3，得ω＝eq \f(2π,3).
又物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时，∴当t＝0时，x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝1.
∵0≤φ＜2π，∴φ＝eq \f(π,2)，从而所求的函数关系式是x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋\f(π,2)))＝3cseq \f(2π,3)t.
(2)令t＝5，得x＝3cseq \f(10π,3)＝－1.5，故t＝5 s时，该物体在O点左侧且距O点1.5 cm处．
12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解析]列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
13．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
[解析] (1)由题图可知，周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，
从题图中可以看出A＝4，T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π.即eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2，将t＝eq \f(π,12)，s＝4代入解析式，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1，解得φ＝eq \f(π,3).
所以这条曲线的函数解析式为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2eq \r(3) cm.
14．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少
[解析] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－eq \f(π,2).
故B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4.8cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2))))).∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，θ∈[0，＋∞)．
(2)点A在圆上转动的角速度是eq \f(π,30)，故t秒转过的弧度数为eq \f(π,30)t，
∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1.得eq \f(π,30)t－eq \f(π,2)＝eq \f(π,2)，∴t＝30.
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
15．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解析] (1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)，即开始时的电压为110eq \r(3) V.
(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220eq \r(3) V，当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值．
16．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[解析]建立如图所示的平面直角坐标系
(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为eq \f(2π,2)t，
即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，
∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝eq \f(π,2)，∴z＝50＋40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(π,2)))＝50＋40csπt.
(2)当50＋40csπt≥70时，解之得，2k－eq \f(1,3)≤t≤2k＋eq \f(1,3)，持续时间为eq \f(2,3)min.
即在摩天轮转动一圈内，有eq \f(2,3)minP点距离地面超过70 m.
题型二 三角函数模型的实际应用
1．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
[解析]因为Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，
此时150ωπ＋eq \f(π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,2)π，解得ω＝eq \f(1,120).
2．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
[解析]因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9500，
当x＝3时，y＝9000.
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝9sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)x＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)
[解析]令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝eq \f(9－5,2)＝2可排除C；或由题意，可得A＝eq \f(9－5,2)＝2，b＝7，周期T＝eq \f(2π,ω)＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq \f(π,4).∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))＋7.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＋7＝9，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝1.∵|φ|∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析]由已知可得该函数具有周期性，其周期T＝12，不妨设该函数为y＝asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又∵当t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0,12]．
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
[解析]设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).
当x＝9时，ymax＝6.故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x.
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acseq \f(πx,6) B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acseq \f(πx,6)－3
[解析]当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq \f(－5.9＋22.8,2)＞0.故选C.
7．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3
C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
[解析]由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝eq \f(2π,15).故选A.
8．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
[解析]过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cs∠POQ＝eq \f(1,2)，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即eq \f(1,3)个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×eq \f(1,3)＝5秒．
9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
[解析]由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23.从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23.
故10月份的平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.
10．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
[解析] (1)如图，建立直角坐标系，设角φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<φ<0))是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为eq \f(5×2π,60)＝eq \f(π,6)，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－eq \f(1,2)，即φ＝－eq \f(π,6).
故所求的函数表达式为z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2.
(2)令z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2＝6，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＝1.取eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
11．下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①eq \f(y,A)＝cseq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝cseq \f(πx,6)；
③eq \f(y－46,－A)＝cseq \f(πx,6)；④eq \f(y－26,A)＝sineq \f(πx,6).
[解析] (1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(3)1月份的平均气温最低，为21.4 ，7月份的平均气温最高，为73.0 ，根据散点图知eq \f(T,2)＝7－1＝6，
所以T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得eq \f(y,A)＝eq \f(26.0,25.8)>1≠cseq \f(π,6)，所以①不适合．
代入②，得eq \f(y－46,A)＝eq \f(26.0－46,25.8)<0≠cseq \f(π,6)，
所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．
12．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[解析] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq \f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1，cseq \f(π,6)t＞0,2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，
即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，
所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
13．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解析] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))
解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋800.
又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6＋φ))＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－eq \f(π,2)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.
14．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解析] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，
即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2).而x∈[4,16]，所以x＝eq \f(26,3).
令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，而x∈[4,16]，
所以x＝eq \f(34,3).故该细菌的存活时间为eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)小时．
15．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解析] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝eq \f(2π,|ω|)，可得T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)，所以函数p(t)的周期为eq \f(1,80) min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝eq \f(1,T)＝80(次)．
(3)列表：
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
16．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解析] (1)依题意知T＝eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6)，h＝eq \f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,6)＋φ))＝1，所以φ＝－eq \f(π,6)，
所以d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6)－\f(π,6)))＋12.2＝3.8sineq \f(2π,3)＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2<10.3，有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＜－eq \f(1,2)，因此2kπ＋eq \f(7π,6)＜eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)<2kπ＋eq \f(11π,6)(k∈Z)，
所以2kπ＋eq \f(4π,3)令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
17．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
[解析] (1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，
可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6)，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝200，,B＝300.))
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝－1，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×\f(π,6)＋φ))＝1.又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－eq \f(5π,6).
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300.
(2)由条件可知，200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，
化简，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥eq \f(1,2)⇒2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．
18．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
[解析] (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，
因此ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝eq \f(1,2)(ymax－ymin)＝3，B＝eq \f(1,2)(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sineq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，即y＝3sineq \f(π,6)t＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sineq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)，
eq \f(π,6)t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
19．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解析] (1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝8，,b＝6，))易知eq \f(T,2)＝14－2，所以T＝24，所以ω＝eq \f(π,12)，
易知8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＋6＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＝－1，故eq \f(π,12)×2＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－eq \f(2π,3)，所以y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)x－\f(2π,3)))＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×9－\f(2π,3)))＋6＝8sineq \f(π,12)＋6<8sineq \f(π,6)＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．
20．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq \r(x)(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq \f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
[解析] (1)由图象，可知A＝eq \f(8\r(3),3)，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,4×（8－5）)＝eq \f(π,6)，
将Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(8\r(3),3)))代入y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))中，得eq \f(5π,6)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)．
因为|φ|(2)在y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))中，令x＝4，得D(4，4)，
从而得曲线OD的方程为y＝2eq \r(x)(0≤x≤4)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4\r(3),3)))，
所以矩形PMFE的面积为S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,3)))×eq \f(4\r(3),3)＝eq \f(32\r(3),9)，即儿童乐园的面积为eq \f(32\r(3),9).
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
x
1
2
3
y
10000
9500
？
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
t
0
eq \f(1,320)
eq \f(1,160)
eq \f(3,320)
eq \f(1,80)
p(t)
115
140
115
90
115
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
题型一 三角函数模型在物理学中的应用
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cs 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝__cm.
5．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
7．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
8．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3))) B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))) D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
9．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq \x\t(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A B C D
10．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
C．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
11．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求t＝5 s时，该物体的位置．
12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
13．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
14．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少
15．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
16．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
题型二 三角函数模型的实际应用
1．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
2．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝9sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)x＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acseq \f(πx,6) B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acseq \f(πx,6)－3
7．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3
C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
8．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
10．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
11．下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①eq \f(y,A)＝cseq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝cseq \f(πx,6)；
③eq \f(y－46,－A)＝cseq \f(πx,6)；④eq \f(y－26,A)＝sineq \f(πx,6).
12．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
13．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
14．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
15．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
16．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
17．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
18．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
19．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
20．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq \r(x)(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq \f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
x
1
2
3
y
10000
9500
？
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
专题62 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
题型一 三角函数模型在物理学中的应用
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
[解析]依题意是求函数s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq \f(2π,2π)＝1，故选D.
2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
[解析]当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π).
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cs 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
[解析]当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq \f(3π,2)＝－5，当t＝eq \f(2π,3)时，s2＝10cseq \f(4π,3)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2.
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝__cm.
[解析]由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).
5．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
[解析]由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5,2)π，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)πt＋φ))，将点(0.1,2)代入y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋φ))中，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1，所以φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
令k＝0，得φ＝eq \f(π,4)，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))).
6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
[解析]当10≤t≤15时，有eq \f(3,2)π<5≤eq \f(t,2)≤eq \f(15,2)
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[解析]该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D.
8．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3))) B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))) D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
[解析]由图象得周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，最大值为300，图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)，0))，
则ω＝eq \f(2π,T)＝100π，A＝300，∴I＝300sin(100πt＋φ)．∴0＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100π×\f(1,150)＋φ)).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0.取φ＝eq \f(π,3)，∴I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))).
9．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq \x\t(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A B C D
[解析]令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sineq \f(θ,2)＝eq \f(d,2)，∴d＝2sineq \f(θ,2)＝2sineq \f(l,2)，
即d＝f(l)＝2sineq \f(l,2)(0≤l≤2π)，它的图象为C.
10．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
C．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
[解析]由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－eq \f(π,3)，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0，故选A.
11．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求t＝5 s时，该物体的位置．
[解析] (1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，
则由振幅为3 cm，周期为3 s，可得A＝3，T＝eq \f(2π,ω)＝3，得ω＝eq \f(2π,3).
又物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时，∴当t＝0时，x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝1.
∵0≤φ＜2π，∴φ＝eq \f(π,2)，从而所求的函数关系式是x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋\f(π,2)))＝3cseq \f(2π,3)t.
(2)令t＝5，得x＝3cseq \f(10π,3)＝－1.5，故t＝5 s时，该物体在O点左侧且距O点1.5 cm处．
12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解析]列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
13．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
[解析] (1)由题图可知，周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，
从题图中可以看出A＝4，T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π.即eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2，将t＝eq \f(π,12)，s＝4代入解析式，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1，解得φ＝eq \f(π,3).
所以这条曲线的函数解析式为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2eq \r(3) cm.
14．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少
[解析] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－eq \f(π,2).
故B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4.8cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2))))).∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，θ∈[0，＋∞)．
(2)点A在圆上转动的角速度是eq \f(π,30)，故t秒转过的弧度数为eq \f(π,30)t，
∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1.得eq \f(π,30)t－eq \f(π,2)＝eq \f(π,2)，∴t＝30.
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
15．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解析] (1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)，即开始时的电压为110eq \r(3) V.
(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220eq \r(3) V，当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值．
16．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[解析]建立如图所示的平面直角坐标系
(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为eq \f(2π,2)t，
即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，
∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝eq \f(π,2)，∴z＝50＋40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(π,2)))＝50＋40csπt.
(2)当50＋40csπt≥70时，解之得，2k－eq \f(1,3)≤t≤2k＋eq \f(1,3)，持续时间为eq \f(2,3)min.
即在摩天轮转动一圈内，有eq \f(2,3)minP点距离地面超过70 m.
题型二 三角函数模型的实际应用
1．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
[解析]因为Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，
此时150ωπ＋eq \f(π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,2)π，解得ω＝eq \f(1,120).
2．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
[解析]因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9500，
当x＝3时，y＝9000.
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝9sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)x＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)
[解析]令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝eq \f(9－5,2)＝2可排除C；或由题意，可得A＝eq \f(9－5,2)＝2，b＝7，周期T＝eq \f(2π,ω)＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq \f(π,4).∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))＋7.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＋7＝9，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝1.∵|φ|
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析]由已知可得该函数具有周期性，其周期T＝12，不妨设该函数为y＝asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又∵当t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0,12]．
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
[解析]设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).
当x＝9时，ymax＝6.故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x.
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acseq \f(πx,6) B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acseq \f(πx,6)－3
[解析]当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq \f(－5.9＋22.8,2)＞0.故选C.
7．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3
C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
[解析]由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝eq \f(2π,15).故选A.
8．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
[解析]过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cs∠POQ＝eq \f(1,2)，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即eq \f(1,3)个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×eq \f(1,3)＝5秒．
9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
[解析]由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23.从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23.
故10月份的平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.
10．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
[解析] (1)如图，建立直角坐标系，设角φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<φ<0))是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为eq \f(5×2π,60)＝eq \f(π,6)，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－eq \f(1,2)，即φ＝－eq \f(π,6).
故所求的函数表达式为z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2.
(2)令z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2＝6，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＝1.取eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
11．下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①eq \f(y,A)＝cseq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝cseq \f(πx,6)；
③eq \f(y－46,－A)＝cseq \f(πx,6)；④eq \f(y－26,A)＝sineq \f(πx,6).
[解析] (1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(3)1月份的平均气温最低，为21.4 ，7月份的平均气温最高，为73.0 ，根据散点图知eq \f(T,2)＝7－1＝6，
所以T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得eq \f(y,A)＝eq \f(26.0,25.8)>1≠cseq \f(π,6)，所以①不适合．
代入②，得eq \f(y－46,A)＝eq \f(26.0－46,25.8)<0≠cseq \f(π,6)，
所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．
12．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[解析] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq \f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1，cseq \f(π,6)t＞0,2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，
即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，
所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
13．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解析] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))
解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋800.
又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6＋φ))＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－eq \f(π,2)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.
14．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解析] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，
即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2).而x∈[4,16]，所以x＝eq \f(26,3).
令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，而x∈[4,16]，
所以x＝eq \f(34,3).故该细菌的存活时间为eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)小时．
15．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解析] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝eq \f(2π,|ω|)，可得T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)，所以函数p(t)的周期为eq \f(1,80) min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝eq \f(1,T)＝80(次)．
(3)列表：
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
16．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解析] (1)依题意知T＝eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6)，h＝eq \f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,6)＋φ))＝1，所以φ＝－eq \f(π,6)，
所以d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6)－\f(π,6)))＋12.2＝3.8sineq \f(2π,3)＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2<10.3，有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＜－eq \f(1,2)，因此2kπ＋eq \f(7π,6)＜eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)<2kπ＋eq \f(11π,6)(k∈Z)，
所以2kπ＋eq \f(4π,3)
17．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
[解析] (1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，
可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6)，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝200，,B＝300.))
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝－1，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×\f(π,6)＋φ))＝1.又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－eq \f(5π,6).
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300.
(2)由条件可知，200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，
化简，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥eq \f(1,2)⇒2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．
18．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
[解析] (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，
因此ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝eq \f(1,2)(ymax－ymin)＝3，B＝eq \f(1,2)(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sineq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，即y＝3sineq \f(π,6)t＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sineq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)，
eq \f(π,6)t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
19．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解析] (1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝8，,b＝6，))易知eq \f(T,2)＝14－2，所以T＝24，所以ω＝eq \f(π,12)，
易知8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＋6＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＝－1，故eq \f(π,12)×2＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－eq \f(2π,3)，所以y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)x－\f(2π,3)))＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×9－\f(2π,3)))＋6＝8sineq \f(π,12)＋6<8sineq \f(π,6)＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．
20．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq \r(x)(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq \f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
[解析] (1)由图象，可知A＝eq \f(8\r(3),3)，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,4×（8－5）)＝eq \f(π,6)，
将Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(8\r(3),3)))代入y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))中，得eq \f(5π,6)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)．
因为|φ|
从而得曲线OD的方程为y＝2eq \r(x)(0≤x≤4)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4\r(3),3)))，
所以矩形PMFE的面积为S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,3)))×eq \f(4\r(3),3)＝eq \f(32\r(3),9)，即儿童乐园的面积为eq \f(32\r(3),9).
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
x
1
2
3
y
10000
9500
？
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
t
0
eq \f(1,320)
eq \f(1,160)
eq \f(3,320)
eq \f(1,80)
p(t)
115
140
115
90
115
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
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