高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题64三角函数章末综合测评(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题64三角函数章末综合测评(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cs(π－θ)等于( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3 B．6 C．18 D．36
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
4．已知sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α＝eq \f(4,5)，且β在第三象限，则cseq \f(β,2)的值等于( )
A．±eq \f(\r(5),5) B．±eq \f(2\r(5),5) C．－eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
5．若函数g(x)＝asinxcsx(a>0)的最大值为eq \f(1,2)，则函数f(x)＝sinx＋acsx的图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝0 B．x＝－eq \f(3π,4) C．x＝－eq \f(π,4) D．x＝－eq \f(5π,4)
6．函数f(x)＝cs2x＋sinxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的最大值与最小值之和为( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．0 D .eq \f(3,4)
7．eq \f(\r(3)－tan 20°,sin 20°)的值为( )
A．1 B．2 C．3D．4
8．已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，α∈(0，π)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))的值为( )
A.eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) B.eq \f(\r(3)－2\r(2),6) C.eq \f(1＋2\r(6),6) D.eq \f(1－2\r(6),6)
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数f(x)的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取得最大值，则下列结论不正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是4π B．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3π,8)对称 D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))对称
10．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C.
①图象C关于直线x＝eq \f(11π,12)对称；
②函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增；
③由y＝3sin2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的是( )
A．① B．② C．③ D．①②③
11．关于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，有下列说法：
A．y＝f(x)的最大值为eq \r(2)；
B．y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
C．y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上单调递减；
D．将函数y＝eq \r(2)cs2x的图象向左平移eq \f(π,24)个单位长度后，将与已知函数的图象重合．
其中正确的是( )．
12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq \r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))).则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝eq \f(π,30)，φ＝－eq \f(π,6)
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)的单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6eq \r(3)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且cs α＝eq \f(x,5)，则tan 2α＝________.
14．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(3,5)，则sin2eq \f(α,2)＋eq \f(sin4αcs2α,1＋cs4α)的值为________．
15．已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是________．
16．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)，若f(x)在区间(π，2π)内无最值，则ω的取值范围是
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知tanα＝－eq \f(3,4).
(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；
(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))的值．
18．已知函数f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sineq \f(x,2)·cseq \f(x,2)－eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝eq \f(3\r(2),10)，求sin2α的值．
19．如图，函数y＝2cs(ωx＋θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R，ω＞0，0≤θ≤\f(π,2)))的图象与y轴交于点(0，eq \r(3))，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝eq \f(\r(3),2)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，求x0的值．
20．设f(x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sinx－(sinx－csx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值．
21．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足sin2(A＋C)＝eq \r(3)sin Bcs B，cs(C－A)＝－2cs 2A.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)已知函数f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x(x∈R)，求f(A＋45°)的值．
22．如图，矩形ABCD的长AD＝2eq \r(3)，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
专题64 三角函数章末综合测评
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cs(π－θ)等于( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
[解析] ∵r＝eq \r(42＋－32)＝5，∴csθ＝eq \f(4,5)，∴cs(π－θ)＝－csθ＝－eq \f(4,5).
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3 B．6 C．18 D．36
[解析]根据题意，得该圆的半径为eq \f(6,1)＝6，由扇形的面积公式，得S扇＝eq \f(1,2)×6×6＝18.故选C.
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
[解析]∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＝π，∴eq \f(3π,4)－α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2).
4．已知sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α＝eq \f(4,5)，且β在第三象限，则cseq \f(β,2)的值等于( )
A．±eq \f(\r(5),5) B．±eq \f(2\r(5),5) C．－eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
[解析]由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝eq \f(4,5)，得sin β＝－eq \f(4,5).
∵β在第三象限，∴cs β＝－eq \f(3,5)，∴cseq \f(β,2)＝±eq \r(\f(1＋cs β,2))＝±eq \r(\f(1,5))＝±eq \f(\r(5),5).
5．若函数g(x)＝asinxcsx(a>0)的最大值为eq \f(1,2)，则函数f(x)＝sinx＋acsx的图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝0 B．x＝－eq \f(3π,4) C．x＝－eq \f(π,4) D．x＝－eq \f(5π,4)
[解析]g(x)＝eq \f(a,2)sin2x(a>0)的最大值为eq \f(1,2)，所以a＝1，f(x)＝sinx＋csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
令x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z.故选B.
6．函数f(x)＝cs2x＋sinxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的最大值与最小值之和为( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．0 D .eq \f(3,4)
[解析]f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，∵－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6)，∴－eq \f(1,2)≤sinx≤eq \f(1,2).
当sinx＝－eq \f(1,2)时，f(x)min＝eq \f(1,4)；当sinx＝eq \f(1,2)时，f(x)max＝eq \f(5,4)，∴f(x)min＋f(x)max＝eq \f(1,4)＋eq \f(5,4)＝eq \f(3,2).
7．eq \f(\r(3)－tan 20°,sin 20°)的值为( )
A．1 B．2 C．3D．4
[解析] eq \f(\r(3)－tan 20°,sin 20°)＝eq \f(\r(3)－\f(sin 20°,cs 20°),sin 20°)＝eq \f(\f(\r(3)cs 20°－sin 20°,cs 20°),sin 20°)＝eq \f(2sin60°－20°,\f(1,2)sin 40°)＝4×eq \f(sin 40°,sin 40°)＝4.
8．已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，α∈(0，π)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))的值为( )
A.eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) B.eq \f(\r(3)－2\r(2),6) C.eq \f(1＋2\r(6),6) D.eq \f(1－2\r(6),6)
[解析]∵sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，∵α∈(0，π)，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，
又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2\r(2),3).
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sineq \f(π,6)＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(2)＋\r(3),6).
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数f(x)的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取得最大值，则下列结论不正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是4π B．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3π,8)对称 D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))对称
[解析]选BCD由题意，f(x)的最小正周期为4π，∴ω＝eq \f(2π,4π)＝eq \f(1,2)，
∵当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取得最大值．即eq \f(1,2)×eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.∴φ＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z.
∵0＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3).∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).对于A，正确；
对于B，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,12)))，由正弦函数的单调性可知错误；
对于C，由2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3π,8)＋\f(π,3)))≠2，故错误；
对于D，由2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3π,8)＋\f(π,3)))≠0，故错误．
10．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C.
①图象C关于直线x＝eq \f(11π,12)对称；
②函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增；
③由y＝3sin2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的是( )
A．① B．② C．③ D．①②③
答案 A、B
[解析]①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)－\f(π,3)))＝3sineq \f(3π,2)＝－3，∴直线x＝eq \f(11π,12)为对称轴，①正确；
②由－eq \f(π,12)＜x＜eq \f(5π,12)⇒－eq \f(π,2)＜2x－eq \f(π,3)＜eq \f(π,2)，由于函数y＝3sinx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，
故函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增，②正确；
③f(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))))，而由y＝3sin2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))的图象，得不到图象C，③错误．
11．关于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，有下列说法：
A．y＝f(x)的最大值为eq \r(2)；
B．y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
C．y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上单调递减；
D．将函数y＝eq \r(2)cs2x的图象向左平移eq \f(π,24)个单位长度后，将与已知函数的图象重合．
其中正确的是( )．
[解析]f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,12))).
∴f(x)max＝eq \r(2)，T＝eq \f(2π,2)＝π.x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))时，2x＋eq \f(5π,12)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，函数单调递减．
y＝eq \r(2)cs2x向左平移eq \f(π,24)个单位长度后得到y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,24)))))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,12)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,12)))))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7π,12)))与已知图象不重合．故A B C正确．
12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq \r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))).则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝eq \f(π,30)，φ＝－eq \f(π,6)
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)的单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6eq \r(3)
[解析]选ABD，由题意，R＝eq \r(27＋9)＝6，T＝60＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(π,30)，∵tan φ＝eq \f(－3,3\r(3))＝－eq \f(\r(3),3)，∴φ＝－eq \f(π,6).故A正确；f(t)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))，当t∈[35,55]时，eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,3)))，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10,25]时，eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，函数y＝f(t)不单调，C不正确；当t＝20时，eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，
点P的纵坐标为6，|PA|＝eq \r(27＋81)＝6eq \r(3)，正确．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且cs α＝eq \f(x,5)，则tan 2α＝________.
[解析]因为α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，所以x＜0，
因为cs α＝eq \f(x,5)＝eq \f(x,\r(x2＋16))，所以x＝－3，所以tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).
14．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(3,5)，则sin2eq \f(α,2)＋eq \f(sin4αcs2α,1＋cs4α)的值为________．
[解析]∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，∴csα＝－eq \f(4,5).
∴sin2eq \f(α,2)＋eq \f(sin4αcs2α,1＋cs4α)＝eq \f(1－csα,2)＋eq \f(2sin2αcs22α,2cs22α)＝eq \f(1－csα,2)＋2sinαcsα＝－eq \f(3,50).
15．已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是________．
[解析]函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位长度后，可得函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ＋\f(π,4)))的图象，再根据所得函数图象关于原点成中心对称，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2φ＋\f(π,4)))＝0，∴2φ＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，
∵0<φ16．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)，若f(x)在区间(π，2π)内无最值，则ω的取值范围是
[解析]∵函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)在区间(π，2π)内无最值，∴区间(π，2π)是函数的一个单调区间，
故有kπ－eq \f(π,2)≤ωπ＋eq \f(π,4)，2ωπ＋eq \f(π,4)≤kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.解得k－eq \f(3,4)≤ω≤eq \f(k,2)＋eq \f(1,8)，k∈Z.
取k＝0，可得0<ω≤eq \f(1,8)；取k＝1，可得eq \f(1,4)≤ω≤eq \f(5,8).
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知tanα＝－eq \f(3,4).
(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；
(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))的值．
[解析] (1)2＋sinαcsα－cs2α＝eq \f(2sin2α＋cs2α＋sinαcsα－cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα＋cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α＋tanα＋1,tan2α＋1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋1)＝eq \f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq \f(22,25).
(2)原式＝eq \f(－sinα－csα－sinαcs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinαsinαsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))＝eq \f(sin2αcsαsinα,－csαsin2αcsα)＝－eq \f(sinα,csα)＝－tanα＝eq \f(3,4).
18．已知函数f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sineq \f(x,2)·cseq \f(x,2)－eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝eq \f(3\r(2),10)，求sin2α的值．
[解析] (1)f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(1＋csx)－eq \f(1,2)sinx－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
(2)由(1)知f(α)＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3\r(2),10)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5).
所以sin2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1－eq \f(18,25)＝eq \f(7,25).
19．如图，函数y＝2cs(ωx＋θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R，ω＞0，0≤θ≤\f(π,2)))的图象与y轴交于点(0，eq \r(3))，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝eq \f(\r(3),2)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，求x0的值．
[解析] (1)把(0，eq \r(3))代入y＝2cs(ωx＋θ)中，得csθ＝eq \f(\r(3),2).
∵0≤θ≤eq \f(π,2)，∴θ＝eq \f(π,6).∵T＝π，且ω＞0，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.
(2)∵点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝eq \f(\r(3),2)，∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0－\f(π,2)，\r(3))).
∵点P在y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上，且eq \f(π,2)≤x0≤π，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x0－\f(5π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，且eq \f(7π,6)≤4x0－eq \f(5π,6)≤eq \f(19π,6)，
∴4x0－eq \f(5π,6)＝eq \f(11π,6)或4x0－eq \f(5π,6)＝eq \f(13π,6)，∴x0＝eq \f(2π,3)或x0＝eq \f(3π,4).
20．设f(x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sinx－(sinx－csx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值．
[解析] (1)由f(x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sinx－(sinx－csx)2＝2eq \r(3)sin2x－(1－2sinxcsx)＝eq \r(3)(1－cs2x)＋sin2x－1
＝sin2x－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)－1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))k∈Z)).
(2)由(1)知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1的图象，
再把得到的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到y＝2sinx＋eq \r(3)－1的图象，即g(x)＝2sinx＋eq \r(3)－1.
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sineq \f(π,6)＋eq \r(3)－1＝eq \r(3).
21．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足sin2(A＋C)＝eq \r(3)sin Bcs B，cs(C－A)＝－2cs 2A.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)已知函数f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x(x∈R)，求f(A＋45°)的值．
[解析] (1)∵sin2(A＋C)＝eq \r(3)sin Bcs B，∴sin2B＝eq \r(3)sin Bcs B，
∵sin B≠0，∴sin B＝eq \r(3)cs B，∴tan B＝eq \r(3)，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，
又cs(C－A)＝－2cs 2A，得cs(120°－2A)＝－2cs 2A，
化简得sin 2A＝－eq \r(3)cs 2A，解得tan 2A＝－eq \r(3)，又0°＜A＜120°，∴0°＜2A＜240°，
∴2A＝120°，∴A＝60°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形．
(2)∵f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－\f(\r(3),2)cs x))＝2(sin xcs 60°－cs xsin 60°)＝2sin(x－60°)，
∴f(A＋45°)＝2sin 45°＝eq \r(2).
22．如图，矩形ABCD的长AD＝2eq \r(3)，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
[解析]过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2)))，则∠BAH＝eq \f(π,2)－θ，OA＝2eq \r(3)cs θ，
BH＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ，AH＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ，∴B(2eq \r(3)cs θ＋sin θ，cs θ)，
OB2＝(2eq \r(3)cs θ＋sin θ)2＋cs2θ＝7＋6cs 2θ＋2eq \r(3)sin 2θ＝7＋4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3))).
由0＜θ＜eq \f(π,2)，知eq \f(π,3)＜2θ＋eq \f(π,3)＜eq \f(4π,3)，所以当θ＝eq \f(π,12)时，OB2取得最大值7＋4eq \r(3).