高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示同步训练题，共12页。试卷主要包含了若a<0，则a的三角形式为，复数的三角形式是，计算÷＝________.，把下列复数表示成代数形式，将下列复数表示成三角形式等内容，欢迎下载使用。

1．若a<0，则a的三角形式为( )
A．a(cs 0＋isin 0) B．a(cs π＋isin π)
C．－a(cs π＋isin π) D．－a(cs π－isin π)
2．复数(sin 10°＋ics 10°)(sin 10°＋ics 10°)的三角形式是( )
A．sin 30°＋ics 30° B．cs 160°＋isin 160°
C．cs 30°＋isin 30° D．sin 160°＋ics 160°
3．若|z|＝2，arg z＝eq \f(π,3)，则复数z＝________.
4．复数cseq \f(15π,7)＋isineq \f(15π,7)的辐角主值是________．
5．复数10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))表示成代数形式为________．
6．将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．
7．在复平面内，将复数eq \r(3)＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为________．
8．计算(cs 40°＋isin 40°)÷(cs 10°＋isin 10°)＝________.
9．把下列复数表示成代数形式：
(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))；(2)2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).
10．将下列复数表示成三角形式
(1)tan θ＋i，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)1＋cs α＋isin α，α∈[0,2π)．
拓展练
1．向量eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))，分别对应非零复数z1，z2，若eq \(OZ1,\s\up7(―→))⊥eq \(OZ2,\s\up7(―→))，则eq \f(z1,z2)是( )
A．负实数 B．纯虚数
C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
2．已知复数－3＋4i的辐角主值为α，复数3－4i的辐角主值为β，则α－β＝________.
3．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为eq \f(3π,2)，则实数a＝________.
4．已知z＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12)))，则eq \f(1,z)的辐角主值为________．
5．已知复数z1，z2，满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝eq \f(1＋\r(3)i,2)，则z1z2＝________.
6.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i和2，则点C所表示的复数为________．
7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足zeq \\al(2,2)＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.
培优练
已知z＝cs θ－sin θ＋eq \r(2)＋i(cs θ＋sin θ)．
(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示)．
课时跟踪检测（十七） 复数的三角表示
基础练
1．若a<0，则a的三角形式为( )
A．a(cs 0＋isin 0) B．a(cs π＋isin π)
C．－a(cs π＋isin π) D．－a(cs π－isin π)
解析：选C 因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cs π＋isin π)．故选C.
2．复数(sin 10°＋ics 10°)(sin 10°＋ics 10°)的三角形式是( )
A．sin 30°＋ics 30° B．cs 160°＋isin 160°
C．cs 30°＋isin 30° D．sin 160°＋ics 160°
解析：选B (sin 10°＋ics 10°)(sin 10°＋ics 10°)
＝(cs 80°＋isin 80°)(cs 80°＋isin 80°)
＝cs 160°＋isin160°.故选B.
3．若|z|＝2，arg z＝eq \f(π,3)，则复数z＝________.
解析：由题意知，z＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝1＋eq \r(3)i.
答案：1＋eq \r(3)i
4．复数cseq \f(15π,7)＋isineq \f(15π,7)的辐角主值是________．
解析：原式＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,7)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,7)))＝cseq \f(π,7)＋isineq \f(π,7)，故其辐角主值为eq \f(π,7).
答案：eq \f(π,7)
5．复数10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))表示成代数形式为________．
解析：10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝－5eq \r(3)－5i.
答案：－5eq \r(3)－5i
6．将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．
解析：1＋i＝eq \r(2)(cs 45°＋isin 45°)，由题意知，(1＋i)·[cs(－45°)＋isin(－45°)]＝eq \r(2)(cs 45°＋isin 45°)·[cs(－45°)＋isin(－45°)]＝eq \r(2)(cs 0°＋isin 0°)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
7．在复平面内，将复数eq \r(3)＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为________．
解析：由题意知，(eq \r(3)＋i)×(cs 90°＋isin 90°)
＝2(cs 30°＋isin 30°)×(cs 90°＋isin 90°)＝2(cs 120°＋isin 120°)＝－1＋eq \r(3)i.即所得向量对应的复数为－1＋eq \r(3)i.
答案：－1＋eq \r(3)i
8．计算(cs 40°＋isin 40°)÷(cs 10°＋isin 10°)＝________.
解析：(cs 40°＋isin 40°)÷(cs 10°＋isin 10°)＝ cs(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cs 30°＋isin 30°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i.
答案：eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i
9．把下列复数表示成代数形式：
(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))；(2)2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).
解：(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝2－2eq \r(3)i.
(2)2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝eq \r(6)－eq \r(6)i.
10．将下列复数表示成三角形式
(1)tan θ＋i，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)1＋cs α＋isin α，α∈[0,2π)．
解：(1)tan θ＋i＝eq \f(sin θ,cs θ)＋i＝eq \f(1,cs θ)(sin θ＋ics θ)，
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs θ>0，
∴tan θ＋i＝eq \f(1,cs θ)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)))).
(2)1＋cs α＋isin α＝2cs2eq \f(α,2)＋i·2sineq \f(α,2)cs eq \f(α,2)
＝2cseq \f(α,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋isin \f(α,2))).
∵当0≤α<π时，0≤eq \f(α,2)0，
∴1＋cs α＋isin α＝2cseq \f( α,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋isin\f(α,2)))，
当π≤α<2π时，eq \f(π,2)≤eq \f(α,2)<π，cseq \f(α,2)≤0，
∴1＋cs α＋isin α＝－2cseq \f(α,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(α,2)－isin\f(α,2)))
＝－2cseq \f(α,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(α,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(α,2))))).
拓展练
1．向量eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))，分别对应非零复数z1，z2，若eq \(OZ1,\s\up7(―→))⊥eq \(OZ2,\s\up7(―→))，则eq \f(z1,z2)是( )
A．负实数 B．纯虚数
C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
解析：选B 设复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，由于eq \(OZ1,\s\up7(―→))⊥eq \(OZ2,\s\up7(―→))，所以eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)＝eq \f(r1,r2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(csθ1－θ2＋isinθ1－θ2))＝eq \f(r1,r2)[cs(±90°)＋isin(±90°)]＝±eq \f(r1,r2)i，即eq \f(z1,z2)为纯虚数．故选B.
2．已知复数－3＋4i的辐角主值为α，复数3－4i的辐角主值为β，则α－β＝________.
解析：由题意知eq \f(－3＋4i,3－4i)＝－eq \f(3－4i,3－4i)＝－1，又由题意知eq \f(π,2)<α<π，eq \f(3π,2)<β<2π，所以－eq \f(3π,2)<α－β<－eq \f(π,2)，所以α－β＝－π.
答案：－π
3．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为eq \f(3π,2)，则实数a＝________.
解析：由于复数z的辐角主值为eq \f(3π,2)，故z＝rcseq \f(3π,2)＋isineq \f(3π,2)＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1.
答案：－1
4．已知z＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12)))，则eq \f(1,z)的辐角主值为________．
解析：eq \f(1,z)＝eq \f(1,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12))))＝eq \f(cs 0＋isin 0,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(23π,12)＋isin\f(23π,12))).
∴eq \f(1,z)的辐角主值为eq \f(23π,12).
答案：eq \f(23π,12)
5．已知复数z1，z2，满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝eq \f(1＋\r(3)i,2)，则z1z2＝________.
解析：设z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β，
因为z1＋z2＝eq \f(1＋\r(3)i,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＋cs β＝\f(1,2)， ①,sin α＋sin β＝\f(\r(3),2)， ②))
和差化积，eq \f(②,①)得tan eq \f(α＋β,2)＝eq \r(3)，
所以sin(α＋β)＝eq \f(\r(3),2)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,2)，
所以z1z2＝(cs α＋isin α)(cs β＋isin β)＝cs(α＋β)＋isin(α＋β)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
答案：－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i
6.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i和2，则点C所表示的复数为________．
解析：∵A，B所表示的复数分别是eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i和2，eq \(AB,\s\up7(―→))所表示的复数为eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i，把eq \(AB,\s\up7(―→))逆时针旋转60°得到eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))对应的复数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(\r(3),2)i))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 60°＋isin 60°))＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)i，eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i＋eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)i＝2＋eq \r(3)i，即点C对应的复数是2＋eq \r(3)i.
答案：2＋eq \r(3)i
7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足zeq \\al(2,2)＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.
解：设z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β，z3＝cs γ＋isin γ，则由z2＋iz3－i＝0，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs β－sin γ＝0，,sin β＋cs γ－1＝0.))
利用cs2β＋sin2β＝1，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs γ＝\f(1,2)，,sin γ＝±\f(\r(3),2).))
所以，z3＝eq \f(1±\r(3)i,2).
当z3＝eq \f(1＋\r(3)i,2)时，z2＝－i(z3－1)＝eq \f(\r(3)＋i,2)，z1＝eq \f(z\\al(2,2),z3)＝1；
当z3＝eq \f(1－\r(3)i,2)时，
z2＝－i(z3－1)＝eq \f(－\r(3)＋i,2)，z1＝eq \f(z\\al(2,2),z3)＝1.
培优练
已知z＝cs θ－sin θ＋eq \r(2)＋i(cs θ＋sin θ)．
(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示)．
解：(1)|z|＝ eq \r(cs θ－sin θ＋\r(2)2＋cs θ＋sin θ2)
＝ eq \r(4＋2\r(2)cs θ－sin θ)
＝2 eq \r(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))).
所以，当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1时，即θ＝2kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)时，
|z|取最大值2eq \r(2).
(2)设arg z＝α，
由z＝cs θ－sin θ＋eq \r(2)＋i(cs θ＋sin θ)
＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))，
所以tan α＝eq \f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),\r(2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,8))).
因为θ∈(π，2π)，
所以，z的实部＝eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))>0，
z的虚部＝eq \r(2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(7π,4)))时，eq \r(2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))<0，
z所对应的点位于第四象限，
由于eq \f(5π,8)当θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))时，eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))≥0，
z所对应的点位于第一象限(或x轴非负半轴)，
由于π