人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课时作业

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课时作业，共13页。试卷主要包含了故选D.等内容，欢迎下载使用。

1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(v1,v2)))
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10eq \r(2) N
C．20eq \r(2) N D．40eq \r(2) N
5．在△ABC中，若|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________．
7．已知A，B是圆心为C，半径为eq \r(5)的圆上的两点，且|AB|＝eq \r(5)，则eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝________.
8．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a－b，eq \(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
10.如图所示，用两根分别长5eq \r(2) m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
拓展练
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
2．已知△ABC满足eq \(AB,\s\up7(―→))2＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up7(―→))·eq \(BF,\s\up7(―→))的值是( )
A.eq \r(2) B．2
C．0 D．1
4.如图，设P为△ABC内一点，且2eq \(PA,\s\up7(―→))＋2eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PC,\s\up7(―→))＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq \f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
6．四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＝(1,1)且eq \f(\(BA,\s\up7(―→)),|\(BA,\s\up7(―→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up7(―→)),|\(BC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(\r(2 ) \(BD,\s\up7(―→)),|\(BD,\s\up7(―→))|)，则此四边形的面积等于________．
7．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
培优练
在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcs θ＝eq \f(\r(2),10)，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cs(θ－45°)＝eq \f(4,5)
课时跟踪检测（九） 平面向量的应用
基础练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(v1,v2)))
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：选D 由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故选D.
3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
解析：选A s＝200＋300＝500(km)，|a|＝eq \r(2002＋3002)＝100eq \r(13)(km)，∴s＞|a|.故选A.
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10eq \r(2) N
C．20eq \r(2) N D．40eq \r(2) N
解析：选B 如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝eq \r(2)|F1|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10eq \r(2) N．故选B.
5．在△ABC中，若|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 由|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|得|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|2＝|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|2，即eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，∴eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(AC,\s\up7(―→)). ∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．故选B.
6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________．
解析：合速度|v合|＝ eq \r(202－122)＝16(km/h)＝eq \f(800,3)(m/min)，∴t＝400÷eq \f(800,3)＝1.5(min)．
答案：1.5 min
7．已知A，B是圆心为C，半径为eq \r(5)的圆上的两点，且|AB|＝eq \r(5)，则eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝________.
解析：由弦长|AB|＝eq \r(5)，可知∠ACB＝60°，故eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝－eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝－|eq \(CA,\s\up7(―→))||eq \(CB,\s\up7(―→))|cs∠ACB＝－eq \f(5,2).
答案：－eq \f(5,2)
8．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a－b，eq \(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
解析：由题意，得|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|.
由eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，
所以|a|＝|b|，由|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|得|a－b|＝|a＋b|，
所以a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，
所以|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，所以S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1.
答案：1
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明：设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝e，
eq \(DB,\s\up7(―→))＝c，eq \(DC,\s\up7(―→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝d－c，所以eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝e·(d－c)＝0所以eq \(AD,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，即AD⊥BC.
10.如图所示，用两根分别长5eq \r(2) m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|Fa|cs 45°＝|Fb|cs 30°，,|Fa|sin 45°＋|Fb|sin 30°＝100.))
解得|Fa|＝150eq \r(2)－50eq \r(6).
故A处受力的大小为(150eq \r(2)－50eq \r(6))N.
拓展练
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
解析：选D W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D.
2．已知△ABC满足eq \(AB,\s\up7(―→))2＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，eq \(AB,\s\up7(―→))2＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→)))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))，∴eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，∴eq \(CA,\s\up7(―→))⊥eq \(CB,\s\up7(―→))，∴△ABC是直角三角形．故选C.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up7(―→))·eq \(BF,\s\up7(―→))的值是( )
A.eq \r(2) B．2
C．0 D．1
解析：选A ∵eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \r(2)|eq \(DF,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，∴|eq \(DF,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(CF,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)－1，∴eq \(AE,\s\up7(―→))·eq \(BF,\s\up7(―→))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→)))·(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CF,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝－eq \r(2)(eq \r(2)－1)＋1×2＝－2＋eq \r(2)＋2＝eq \r(2).故选A.
4.如图，设P为△ABC内一点，且2eq \(PA,\s\up7(―→))＋2eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PC,\s\up7(―→))＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
解析：选A 设AB的中点是D，∵eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＝2eq \(PD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up7(―→))，∴eq \(PD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,4)eq \(PC,\s\up7(―→))，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的eq \f(1,5).故选A.
5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq \f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：根据题意得|α||β|sin θ＝eq \f(1,2).
又|α|＝1，|β|≤1，∴eq \f(1,2)≤sin θ≤1，∴eq \f(π,6)≤θ≤eq \f(5π,6).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
6．四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＝(1,1)且eq \f(\(BA,\s\up7(―→)),|\(BA,\s\up7(―→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up7(―→)),|\(BC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(\r(2 ) \(BD,\s\up7(―→)),|\(BD,\s\up7(―→))|)，则此四边形的面积等于________．
解析：∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，∴四边形ABCD是平行四边形．
对eq \f(\(BA,\s\up7(―→)),|\(BA,\s\up7(―→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up7(―→)),|\(BC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(\r(2 ) \(BD,\s\up7(―→)),|\(BD,\s\up7(―→))|)两边平方得1＋1＋eq \f(2\(BA,\s\up7(―→))·\(BC,\s\up7(―→)),|\(BA,\s\up7(―→))||\(BC,\s\up7(―→))|)＝2，∴eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四边形ABCD是正方形，且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，∴四边形ABCD的面积为2.
答案：2
7．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
证明：法一：∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))·(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|2－|eq \(AB,\s\up7(―→))|2＝0.
∴eq \(AC,\s\up7(―→))⊥eq \(BD,\s\up7(―→))，即AC⊥BD.
法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．
如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，
则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.
∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(BA,\s\up7(―→))＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，
eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→))＝c2－a2－b2＝0.
∴eq \(AC,\s\up7(―→))⊥eq \(BD,\s\up7(―→))，即AC⊥BD.
培优练
在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcs θ＝eq \f(\r(2),10)，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cs(θ－45°)＝eq \f(4,5)
解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵eq \(OQ,\s\up7(―→))＝eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(PQ,\s\up7(―→))，
∴eq \(OQ,\s\up7(―→))2＝(eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(PQ,\s\up7(―→)))2＝eq \(OP,\s\up7(―→))2＋eq \(PQ,\s\up7(―→))2＋2eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(PQ,\s\up7(―→)).
∴eq \(OQ,\s\up7(―→))2＝eq \(OP,\s\up7(―→))2＋eq \(PQ,\s\up7(―→))2－2|eq \(OP,\s\up7(―→))||eq \(PQ,\s\up7(―→))|cs(θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×eq \f(4,5)＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得eq \(OQ,\s\up7(―→))2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．