数学第七章 复数7.2 复数的四则运算巩固练习

这是一份数学第七章 复数7.2 复数的四则运算巩固练习，共10页。试卷主要包含了复数eq \f＝，20－20的值是等内容，欢迎下载使用。

1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2等于( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
2．若i是虚数单位，则eq \f(i,\r(3)＋3i)等于( )
A.eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),12)i B.eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),12)i
C.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),6)i D.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),6)i
3．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
4．复数eq \f(1＋2i2,3－4i)＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
5．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
6．已知eq \f(2－3i,z)＝－i，则复数z＝________.
7．设复数z＝1＋eq \r(2)i，则z2－2z＝________.
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq \f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．
9．已知eq \x\t(z)为z的共轭复数，若z·eq \x\t(z)－3ieq \x\t(z)＝1＋3i，求z.
10．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．
拓展练
1．[多选]设有下面四个命题，其中为真命题的是( )
A．若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \x\t(z)2
D．若复数z∈R，则eq \x\t(z)∈R
2．eq \f(1－2i2,i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若a为正实数，i为虚数单位，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝( )
A．2 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D．1
4．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}满足“对任意的x，y∈S，必有xy∈S”，则当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b2＝1，,c2＝b))时，b＋c＋d等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．i
5．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq \x\t(z)，则eq \f(2－\x\t(z),z)＝________.
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
7．计算：
(1)eq \f(1＋i2＋31－i,2＋i)；
(2)eq \f(1,i)(eq \r(2)＋eq \r(2)i)5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋i)))4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))7.
培优练
复数z＝eq \f(1＋i3a＋bi,1－i)且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，eq \x\t(z)对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
课时跟踪检测（十六） 复数的乘、除运算
基础练
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2等于( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析：选A z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.
2．若i是虚数单位，则eq \f(i,\r(3)＋3i)等于( )
A.eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),12)i B.eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),12)i
C.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),6)i D.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),6)i
解析：选B eq \f(i,\r(3)＋3i)＝eq \f(i\r(3)－3i,\r(3)＋3i\r(3)－3i)＝eq \f(3＋\r(3)i,12)＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),12)i.
3．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝eq \f(1＋i,i)＝eq \f(1,i)＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
4．复数eq \f(1＋2i2,3－4i)＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：选A eq \f(1＋2i2,3－4i)＝eq \f(－3＋4i,3－4i)＝－1.
5．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
6．已知eq \f(2－3i,z)＝－i，则复数z＝________.
解析：因为eq \f(2－3i,z)＝－i，所以z＝eq \f(2－3i,－i)＝(2－3i)i＝3＋2i.
答案：3＋2i
7．设复数z＝1＋eq \r(2)i，则z2－2z＝________.
解析：∵z＝1＋eq \r(2)i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋eq \r(2)i)(1＋eq \r(2)i－2)＝(1＋eq \r(2)i)(－1＋eq \r(2)i)＝－3.
答案：－3
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq \f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋2i,3－4i)＝eq \f(a＋2i3＋4i,25)＝eq \f(3a－8＋6＋4ai,25)，
根据已知条件，得a＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)
9．已知eq \x\t(z)为z的共轭复数，若z·eq \x\t(z)－3ieq \x\t(z)＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则eq \x\t(z)＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2－3b＝1，,－3a＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝3.))
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
10．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．
解：∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋q－3p＝0，,2p－24＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝12，,q＝26.))
∴p＋q＝38.
拓展练
1．[多选]设有下面四个命题，其中为真命题的是( )
A．若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \x\t(z)2
D．若复数z∈R，则eq \x\t(z)∈R
解析：选AD 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于A，若eq \f(1,z)∈R，即eq \f(1,a＋bi)＝eq \f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以A为真命题；对于B，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以B为假命题；对于C，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq \x\t(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以C为假命题；对于D，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒eq \x\t(z)＝a－bi＝a∈R，所以D为真命题．故选A、D.
2．eq \f(1－2i2,i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B eq \f(1－2i2,i)＝eq \f(－3－4i,i)＝eq \f(－3－4i－i,i×－i)＝－4＋3i，对应的点为(－4,3)，位于第二象限．故选B.
3．若a为正实数，i为虚数单位，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝( )
A．2 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D．1
解析：选B ∵eq \f(a＋i,i)＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝ eq \r(1＋a2)＝2，解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \r(3)(舍)．故选B.
4．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}满足“对任意的x，y∈S，必有xy∈S”，则当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b2＝1，,c2＝b))时，b＋c＋d等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．i
解析：选B 由已知条件得b＝－1，c＝±i，d＝－c，
∴b＋c＋d＝－1.故选B.
5．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq \x\t(z)，则eq \f(2－\x\t(z),z)＝________.
解析：∵z＝－1－i，∴eq \x\t(z)＝－1＋i，
eq \f(2－\x\t(z),z)＝eq \f(2－－1＋i,－1－i)＝eq \f(3－i,－1－i)＝－1＋2i.
答案：－1＋2i
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,2ab＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1.))
∴|z|＝ eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
7．计算：
(1)eq \f(1＋i2＋31－i,2＋i)；
(2)eq \f(1,i)(eq \r(2)＋eq \r(2)i)5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋i)))4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))7.
解：(1)原式＝eq \f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq \f(3－i,2＋i)
＝eq \f(3－i2－i,5)＝eq \f(5－5i,5)＝1－i.
(2)eq \f(1,i)(eq \r(2)＋eq \r(2)i)5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋i)))4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))7
＝－i·(eq \r(2))5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋i2)))2＋i7
＝16eq \r(2)(－1＋i)－eq \f(1,4)－i
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16\r(2)＋\f(1,4)))＋(16eq \r(2)－1)i.
培优练
复数z＝eq \f(1＋i3a＋bi,1－i)且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，eq \x\t(z)对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝eq \f(1＋i3a＋bi,1－i)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得
a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，eq \x\t(z)对应的点构成正三角形，
∴|z－eq \x\t(z)|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得
|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，
∴a＜0，b＜0.
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\r(3)，,b＝－1.))
故所求值为a＝－eq \r(3)，b＝－1.