广东省中山市2023-2024学年八年级第二学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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(测试时间∶ 120分钟， 满分∶ 120分)
温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷．
一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)
1. 在某校举办的“学党史，感党恩，跟党走”演讲比赛中，五位评委对其中一位选手的评分分别是： 88， 91， 90， 89， 88． 这组数据的中位数是（ ）
A. 88B. 89C. 90D. 91
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数，熟记定义是解题关键．根据中位数的定义即可得．
【详解】解：将数据按顺序排列，88， 88， 89，90，91．
这组数据的中位数是89，
故选：B．
2. 函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．
【详解】解：由题知，，
解得，
故答案为：B．
3. 若点在函数的图象上，则b的值是（ ）
A. B. 0C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数的应用．将代入函数解析式中求解，即可解题．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
解得，
故选：D．
4. 一个直角三角形中，两条边的长都是2，则第三条边的长是（ ）
A. 2B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．明确两条长都是2的边是直角边是解题的关键．
根据两条长都是2的边是直角边，利用勾股定理求第三边的长即可．
【详解】解：由题意知，两条长都是2的边是直角边，
∴第三边的长为，
故选：C．
5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩(单位：分)分别是：7，8，8，9，8，8．对于这组数据，下列说法不正确的是（ ）
A. 平均数是8B. 中位数是8C. 众数是8D. 方差是8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了众数、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：由题知，
平均数是，故A项正确，不符合题意；
中位数是，故B项正确，不符合题意；
众数是8，故C项正确，不符合题意；
方差，故D项错误，符合题意；
故选：D．
6. 李明周末去菜市场买菜，从家中走分钟到一个离家米菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里．如图表示李明离家距离(米)与外出时间(分)之间关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键．
按时间可将图象分为三段：分钟，小明离家距离从增加到；分钟，小明离家距离没有变化；分钟，小明离家距离从米减少为；据此即可选择．
【详解】解：根据题意可得：从家中走分钟到一个离家米的菜市场，即分钟，小明离家距离从增加到米；
买菜花了分钟，即分钟，小明离家距离没有变化；
之后用分钟返回家里，即分钟，小明离家距离从米减少为，
故选：．
7. 计算 则□中数是（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法．熟练掌握二次根式的除法运算是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知 ，，
故选：C．
8. 某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占，演唱技能占，乐器演奏占．该校的王芳同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：94分，95分，90分．则王芳同学的音乐成绩是（ ）
A. 93.3B. 93C. 92.8D. 92.3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，直接利用加权平均数的公式进行计算即可．
【详解】解：由题知，（分），
故选：B．
9. 如图， 矩形中，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F． 则的长是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2.4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形和折叠，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，证明．根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠性质，得，
，
设，则，
在中，
则，
解得，
的长为，
，
．
故选：C．
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形． 若，则正方形的面积是（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等性质，勾股定理，熟练掌握相关判定及性质是解题关键．根据三角形全等性质得到，，进而得到，利用勾股定理得到的长，即可得到正方形的面积．
【详解】解：四个直角三角形全等，，
，，
，
．
正方形的面积是，
故选：A．
二、填空题 (共5个小题，每小题4分，满分20分)
11. 计算＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式，
故答案为1
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
12. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，根据直线平移k值不变，只有b发生改变解答即可，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
【详解】∵直线向下平移了2个单位长度，
∴由“上加下减”的原则得：平移后的解析式为：，即，
故答案为：．
13. 现有若干个球，从中取出x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为，若再放入一个 的球，此时箱子里球的平均质量变为，则x的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，平均数概念，先利用不同的方式表示出箱子里球的总重量列出方程，再求出解，即可解题．
【详解】解：由题知，，
解得，
故答案为：．
14. 如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，，与相交于点，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．
【详解】如图所示，连接，，，与相交于点，

∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴和共线，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15. 如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角定理，等边三角形性质，勾股定理，连接，，利用三角形中位线定理得到，当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，利用等边三角形性质，，再利用三角形外角定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，即可解题．
【详解】解：连接，，
点 E 是的中点，的中点为 G．
，，
点 F 是上的动点，
当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，
，
，，
，
，
，
的最大值是．
三、解答题(一)(共4个小题，每小题6分，满分24分)
16. 计算∶
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先算二次根式的乘法，去括号，然后计算加减法即可．
【详解】解：，
，
．
17. 如图，直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，的面积等于4，求直线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，求一次函数解析式．熟练掌握坐标与图形，待定系数法是解题的关键．
由题意知，，即，可求，则，待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：由题意知，，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点A，B，C都在网格点上，观察并猜想的形状，然后通过计算证明你的猜想．
【答案】为直角三角形，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，根据勾股定理，算出、、，再得到，即可解题．
【详解】解：为直角三角形，证明如下：
由题知，，
，
，
则，
，
为直角三角形．
19. 某校举办主题为“绿色校园我设计”的跨学科主题学习活动，收齐学生提交的设计图后，一位评委从中随机抽取部分设计图进行试评分．这位评委对每幅设计图只评1个分，分值从高到低分别为5分、4分、3分、2分、1分．该评委将这次试评分结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）该评委本次试评分抽取的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若再随机抽取5幅设计图，评分分别为5分、5分、4分、5分、3分，与增加这5幅设计图之前相比，两组数据的众数是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）不发生改变，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求样本容量，众数，补全条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）利用5分的人数除以扇形圆心角其所占比，即可解题；
（2）利用统计图算出4分的人数，再补全条形统计图，即可解题；
（3）根据所给数据表示出两组数据的众数，再进行比较，即可解题．
【小问1详解】
解：，
故答案为：．
【小问2详解】
解：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：不发生改变，
增加这5幅设计图之前，众数为分，
增加这5幅设计图之后，分的人数有人，分的人数有人，众数为分，
两组数据的众数一样，故众数不发生改变．
四、解答题 (二)(共3个小题，每小题8分，满分24分)
20. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）17.62米
（2）7米
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
21. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速后的速度；
（2）求图中的与的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象，速度与时间的关系，从函数图象获取信息是解题关键．
（1）由图像可得，慧慧走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度．
（2）在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出的值，结合图像可得聪聪行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走用的时间，即可求出．
【小问1详解】
解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了，
故提速前的速度为，
∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
【小问2详解】
解：由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度为，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为，
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴慧慧的速度为，
∴慧慧行走用的时间为，
即，
故，．
22. 如图，点分别是的边的中点，连接并延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用三角形中位线定理，，根据，得，，从而得到，，即可证明．
（2）过点作于，根据题意易证，，，再根据直角三角形中，所对的直角边为斜边的一半，得的长，再根据平行四边形面积公式，即可求出四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵点分别是的边的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：过点作于，如图，
∵四边形平行四边形，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴平行四边形的面积为．
五、解答题 (三)(共2个小题， 第23题10分， 第24题12分， 满分24分)
23. 如图， 直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与交于点C．
（1）求的面积；
（2）在平面直角坐标系中是否存在一点 D，使以A，B，C，D为顶点四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点 是x轴上的动点， 过点P作x轴的垂线， 分别交直线， 于点 M， N． 当时，求m的值．
【答案】（1）5 （2）存在，点D的坐标或或
（3）或3
【解析】
【分析】（1）先分别求出A、B、C的坐标，再根据坐标与图形的性质，三角形的面积公式求解即可；
（2）分三种情况：①以为对角线，，为边的平行四边形，②以为对角线，，为边的平行四边形，③以为对角线，，为边的平行四边形，利用平行四边形的性质，平移的性质求解即可；
（3）把分别代入直线 ，直线 ，求出点M、N的坐标，再根据，建立关于m的方程求解即可．
【小问1详解】
解：对于直线 ，
令，则，
解得：，
∴
对于直线，
令，则，
解得：，
∴
联立，得，解得：，
∴；
∴
【小问2详解】
解：分三种情况：如图，
①以为对角线，，为边的平行四边形，
则沿平移可得，
∵，，
∴点C向右平移1个单位，向下平移2个单位，与点B重合．
∴点A向右平移1个单位，向下平移2个单位，得到点D，
∵，
∴，
②以为对角线，，为边的平行四边形，
同理可得点
③以为对角线，，为边的平行四边形，
同理可得点．
综上，存在，点D的坐标为或或．
【小问3详解】
解：∵过点P作x轴的垂线， 分别交直线， 于点 M， N．，
∴M、N的横坐标为m，
把代入直线 ，得，
∴
∴
代入直线，得，
∴
∴
∵
∴
解得：或3．
本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，两直线交点，直线与坐标轴围绕成的三角形面积，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，平移中的坐标变换，本题属一次函数与几何图形的综合题目，难度一般，注意分类讨论，以免漏解．
24. 如图， 在正方形中，，分别为，中点，与交于点 P．
（1）试猜想的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）连接，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在第 （2） 问的条件下， 若， 求的长．
【答案】（1），，证明见解析
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，推出，，可得结论；
（2）延长到点，使，证明，进而证明是等腰直角三角形，可得结论．
（3）利用勾股定理求出，得到，再利用三角形面积公式求出，进而得到，即可利用勾股定理求出，由，即可求解．
【小问1详解】
解：结论：，，
理由：正方形中，，分别为，的中点，
，，，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：结论：．
理由：如图，延长到点，使，
，
，
．
、分别为，的中点，
，
．
，，
，
是等腰直角三角形，
．
，
．
【小问3详解】
解：正方形中，，分别为，的中点，
，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．