人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示课后练习题，共21页。试卷主要包含了．设，则的共轭复数是，3复数的三角表示等内容，欢迎下载使用。

(1) 复数的幅角：设复数 Z=a ＋ bi 对应向量 ，以 x 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线 ( 起点为 O) 为终边的角 θ ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，叫做辐角的主值，记作 argZ ．
说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2π 的整数倍．
(2) 复数的三角形式： r(csθ ＋ isinθ) 叫做复数 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
说明：任何一个复数 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(csθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 为 Z 的模， θ 为 Z 的一个辐角．
例1.(1)（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
(2)（2021·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
举一反三
(1)．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A．B．
C．D．
(2)．（2021·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A．－40°B．310°C．50°D．130°
(3)．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、复数的三角形式的运算：
设 Z=r(csθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (csθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (csθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．则

例2.(1)．（2021·全国·模拟预测）设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
(2)．（2021·福建·厦门双十中学模拟预测）已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ）
A．B．2C．D．
举一反三
(1)．（2021·全国·模拟预测（文））瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（ ）
A．B．C．D．
(2)．（2021·河南郑州·三模（理））1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
(3)．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
巩固提升
一、单选题
1．（2021·甘肃省民乐县第一中学三模（理））欧拉是世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，(为自然对数的底数，为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当时，可得恒等式（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·山东枣庄·二模）大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1B．C．iD．
3．（2021·福建省福州第一中学模拟预测）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·湖南·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2020·全国·二模（文））在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·湖南·邵阳市第二中学模拟预测（理））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．②④C．①②D．①③
二、多选题
7．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第一象限B．复数的模长等于
C．为纯虚数D．
8．（2021·全国·高一课时练习）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
三、双空题
9．（2020·浙江·模拟预测）欧拉公式（i为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”.请计算:____；猜想：___（填“是”或“不是”）虚数.
四、填空题
10．（2020·吉林·梅河口市第五中学模拟预测（文））欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.
五、解答题
11．（2022·湖南·高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（2022·湖南·高一课时练习）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．
(1)求；
(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求．
7.3复数的三角表示（讲义+例题+小练）
一．复数的三角表示式
(1) 复数的幅角：设复数 Z=a ＋ bi 对应向量 ，以 x 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线 ( 起点为 O) 为终边的角 θ ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，叫做辐角的主值，记作 argZ ．
说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2π 的整数倍．
(2) 复数的三角形式： r(csθ ＋ isinθ) 叫做复数 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
说明：任何一个复数 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(csθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 为 Z 的模， θ 为 Z 的一个辐角．
例1.(1)（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的三角形式的定义直接判断.
【详解】
复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.
故选：A
(2)（2021·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将复数写成三角形式，可得结果.
【详解】
复数，因此，复数的辐角主值为.
故选：A.
举一反三
(1)．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
复数的三角表示为，对比选项得到答案.
【详解】
复数的三角表示为：，其中，B选项满足.
故选：B.
(2)．（2021·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A．－40°B．310°C．50°D．130°
【答案】B
【解析】
【分析】
将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.
【详解】
复数，所以该复数的辐角主值是.
故选：B
(3)．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
二、复数的三角形式的运算：
设 Z=r(csθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (csθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (csθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．则

例2.(1)．（2021·全国·模拟预测）设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式将复数化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数，即可求出其共轭复数；
【详解】
解：因为
所以
所以的共轭复数是，
故选：C
(2)．（2021·福建·厦门双十中学模拟预测）已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设复数，根据题意可得，，即可解决.
【详解】
设复数，
∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为，
∴，，
∴．
故选:D.
举一反三
(1)．（2021·全国·模拟预测（文））瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【详解】
得，
当时，，复数对应的点在第一象限；
当时，，复数对应的点在第二象限；
当时，，复数对应的点在轴上；
当时，，复数对应的点在第四象限；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
(2)．（2021·河南郑州·三模（理））1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题设定义的欧拉公式写出的三角形式，由复数的几何性质写出的三角形式，进而求，即可知其虚部.
【详解】
由题意知：，而，
∴，即虚部为.
故选：C.
(3)．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
【答案】 2
【解析】
【分析】
（1）直接代公式得原式为，化简即得解；
（2）直接代公式化简得，解方程即得解.
【详解】
（1）；
（2）.
故答案为：；2.
巩固提升
一、单选题
1．（2021·甘肃省民乐县第一中学三模（理））欧拉是世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，(为自然对数的底数，为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当时，可得恒等式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接把代入即可得．
【详解】
把代入可得，即．
故选：C．
2．（2021·山东枣庄·二模）大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1B．C．iD．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.
【详解】
因为，
所以，
故选：D.
3．（2021·福建省福州第一中学模拟预测）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.
【详解】
解：根据复数乘方公式：，得
.
故选：D.
4．（2021·湖南·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
由题意，根据复数的几何意义结合、即可得解.
【详解】
由题意，
所以该复数在复平面内所对应的点为，
因为，，
所以该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.
故选：C.
【点睛】
本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.
5．（2020·全国·二模（文））在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据三角函数的定义可求得、的值，进而可得出复数的值.
【详解】
设，由题意知，，，所以，
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
6．（2020·湖南·邵阳市第二中学模拟预测（理））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．②④C．①②D．①③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.
【详解】
因为，故，故①正确.
，
所以，，故③正确，④错误.
而.
故②正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法．
二、多选题
7．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第一象限B．复数的模长等于
C．为纯虚数D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.
【详解】
A：，而，则、，故位于第二象限，错误；
B：，则其模长为，正确；
C：，则为实数，错误；
D：，正确；
故选：BD
8．（2021·全国·高一课时练习）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用复数的三角形式的性质和三角函数恒等变换公式逐个分析判断即可
【详解】
解：根据题意，在，
令可得.
对于A，设，则有，
变形可得，
则，A正确；
对于B，设，则有，
变形可得，
则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，设，若，即，则有，，
则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；
故选：AD.
三、双空题
9．（2020·浙江·模拟预测）欧拉公式（i为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”.请计算:____；猜想：___（填“是”或“不是”）虚数.
【答案】 不是
【解析】
【分析】
由欧拉公式（i为虚数单位）直接计算即可
【详解】
解：由欧拉公式可知，，
因为，
所以为实数，不是虚数，
故答案为：；不是
【点睛】
此题考查利用欧拉公式求值，考查了阅读理解能力，考查了计算能力，属于中档题.
四、填空题
10．（2020·吉林·梅河口市第五中学模拟预测（文））欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.
【答案】三
【解析】
【分析】
由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.判断点所在的象限，即得答案.
【详解】
由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.
点在第三象限，
即表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为：三.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题.
五、解答题
11．（2022·湖南·高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为；
(2)不是三角形式，化为三角形式为；
(3)不是三角形式，化为三角形式为；
(4)是三角形式.
【解析】
【分析】
直接利用复数的三角形式求解即可.
(1)
不是三角形式，
，
其中，故三角形式为；
(2)
不是三角形式，
，
其中，故三角形式为；
(3)
不是三角形式，
，
，故三角形式为；
(4)
是三角形式.
12．（2022·湖南·高一课时练习）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．
(1)求；
(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)设出复数的幅角主值，再根据已知计算求解作答.，
(2)由(1)求出点A，B，C的坐标，再借助向量数量积计算作答.
(1)
因在复平面上所对应的点在第一象限，设，则，
有，因的虚部为2，即，解得，，
所以.
(2)
由(1)知，，，，则点，
，，因此，，
所以.